Exponentielle de matrice

On a $A^k=SDS^{-1}SDS^{-1}\cdots SDS^{-1}=SD^kS^{-1}$, puisque les facteurs $S^{-1}S$ intermédiaires se simplifient. Par linéarité, $e^A=S\bigl(\sum_kD^k/k!\bigr)S^{-1}=Se^DS^{-1}$, et l'exponentielle d'une matrice diagonale est la matrice diagonale des exponentielles. Ainsi $\det e^A=\det e^D=\prod_ke^{\lambda_k}=e^{\sum_k\lambda_k}=e^{\tr A}$, puisque la trace est la somme des valeurs propres. Ce résultat reste vrai pour toute matrice, par densité des matrices diagonalisables.

On a $N^2=0$, donc toutes les puissances $N^k$ avec $k\geq2$ sont nulles, et la série s'arrête :

$$\begin{aligned} e^{tN}=\mathbf{1}+tN=\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

La matrice $N$ n'est pas diagonalisable, et la méthode de la question précédente ne s'applique pas ; mais le calcul direct est ici immédiat. On vérifie que $\det e^{tN}=1=e^{\tr(tN)}$.

Comme $A^2=\mathbf{1}$, on a $A^{2k}=\mathbf{1}$ et $A^{2k+1}=A$. En séparant les termes pairs et impairs de la série,

$$e^{i\theta A}=\sum_k\frac{(i\theta)^{2k}}{(2k)!}\mathbf{1}+\sum_k\frac{(i\theta)^{2k+1}}{(2k+1)!}A=\cos\theta\,\mathbf{1}+i\sin\theta\,A,$$

puisque $i^{2k}=(-1)^k$ et $i^{2k+1}=i(-1)^k$. Sans le facteur $i$, on obtient de même les séries de $\cosh$ et $\sinh$. Pour $A=\sigma_x$,

$$\begin{aligned} e^{i\theta\sigma_x}=\begin{pmatrix}\cos\theta&i\sin\theta\\ i\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},\qquad e^{\sigma_x}=\begin{pmatrix}\cosh1&\sinh1\\ \sinh1&\cosh1\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

La première matrice est unitaire, la seconde ne l'est pas.

D'après la deuxième question, $e^N=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, et de même $e^{N^{\mathsf T}}=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$. Leur produit vaut

$$\begin{aligned} e^Ne^{N^{\mathsf T}}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Or $N+N^{\mathsf T}=\sigma_x$, et d'après la question précédente $e^{\sigma_x}$ a pour coefficients $\cosh1\simeq1{,}543$ et $\sinh1\simeq1{,}175$. Les deux matrices sont différentes : en général, $e^Ae^B\neq e^{A+B}$. La raison est que $N$ et $N^{\mathsf T}$ ne commutent pas. Si $AB=BA$, on peut développer $(A+B)^k$ par la formule du binôme comme pour des nombres, et l'on montre alors que $e^{A+B}=e^Ae^B$. Cette remarque est essentielle en mécanique quantique : l'exponentielle d'une somme d'opérateurs qui ne commutent pas, comme $e^{-i(\hat P^2/2m+V(\hat X))t/\hbar}$, ne se factorise pas en produit d'exponentielles.

Diagonalisons $\hat H$ dans une base orthonormée : $\hat H=VDV^\dagger$ avec $V$ unitaire et $D$ diagonale réelle. Alors $U(t)=Ve^{-iDt}V^\dagger$, et $U(t)^\dagger=Ve^{iDt}V^\dagger$, puisque les coefficients diagonaux $e^{-i\lambda_kt}$ ont pour conjugués $e^{i\lambda_kt}$. Ainsi $U(t)^\dagger U(t)=Ve^{iDt}e^{-iDt}V^\dagger=\mathbf{1}$. Par ailleurs, $-i\hat Ht$ et $-i\hat Hs$ commutent, car ce sont des multiples de la même matrice ; d'après la question précédente, $U(t)U(s)=e^{-i\hat H(t+s)}=U(t+s)$. C'est la loi de groupe de l'opérateur d'évolution.