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Thème 2 — Espaces de Hilbert et notations de Dirac

Propriétés des commutateurs

Mots-clés: commutateur · règle de Leibniz · identité de Jacobi · opérateur anti-hermitien · trace · relation canonique · matrices de Pauli

Exercice 1 : Propriétés des commutateurs

Pour deux opérateurs A^\hat A et B^\hat B sur un espace de Hilbert de dimension finie, on définit le commutateur [A^,B^]=A^B^−B^A^[\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A.

Question 1
Montrer que le commutateur est antisymétrique et bilinéaire, puis établir la règle de Leibniz [A^,B^C^]=B^[A^,C^]+[A^,B^]C^.[\hat A,\hat B\hat C]=\hat B[\hat A,\hat C]+[\hat A,\hat B]\hat C .

Solution
L'antisymétrie [B^,A^]=−[A^,B^][\hat B,\hat A]=-[\hat A,\hat B] et la bilinéarité découlent directement de la définition. Pour la règle de Leibniz, on développe le membre de droite :

B^(A^C^−C^A^)+(A^B^−B^A^)C^=B^A^C^−B^C^A^+A^B^C^−B^A^C^=A^B^C^−B^C^A^,\hat B(\hat A\hat C-\hat C\hat A)+(\hat A\hat B-\hat B\hat A)\hat C=\hat B\hat A\hat C-\hat B\hat C\hat A+\hat A\hat B\hat C-\hat B\hat A\hat C=\hat A\hat B\hat C-\hat B\hat C\hat A,

qui est bien [A^,B^C^][\hat A,\hat B\hat C]. Le commutateur avec A^\hat A agit sur un produit comme une dérivation agit sur un produit de fonctions, à ceci près qu'il faut respecter l'ordre des facteurs.

Question 2
Établir l'identité de Jacobi : [A^,[B^,C^]]+[B^,[C^,A^]]+[C^,[A^,B^]]=0[\hat A,[\hat B,\hat C]]+[\hat B,[\hat C,\hat A]]+[\hat C,[\hat A,\hat B]]=0.

Solution
Développons le premier terme : [A^,[B^,C^]]=A^B^C^−A^C^B^−B^C^A^+C^B^A^[\hat A,[\hat B,\hat C]]=\hat A\hat B\hat C-\hat A\hat C\hat B-\hat B\hat C\hat A+\hat C\hat B\hat A. Les deux autres termes s'obtiennent par permutation circulaire A^→B^→C^→A^\hat A\to\hat B\to\hat C\to\hat A :

[B^,[C^,A^]]=B^C^A^−B^A^C^−C^A^B^+A^C^B^,[C^,[A^,B^]]=C^A^B^−C^B^A^−A^B^C^+B^A^C^.[\hat B,[\hat C,\hat A]]=\hat B\hat C\hat A-\hat B\hat A\hat C-\hat C\hat A\hat B+\hat A\hat C\hat B, \qquad [\hat C,[\hat A,\hat B]]=\hat C\hat A\hat B-\hat C\hat B\hat A-\hat A\hat B\hat C+\hat B\hat A\hat C .

En additionnant les trois lignes, chacun des six produits apparaît une fois avec le signe ++ et une fois avec le signe −- : la somme est nulle.

Question 3
Montrer que si A^\hat A et B^\hat B sont auto-adjoints, leur commutateur est anti-auto-adjoint, [A^,B^]†=−[A^,B^][\hat A,\hat B]^\dagger=-[\hat A,\hat B], et que i[A^,B^]i[\hat A,\hat B] est auto-adjoint. En déduire que la valeur moyenne ⟨ψ∣[A^,B^]∣ψ⟩\bra\psi[\hat A,\hat B]\ket\psi est imaginaire pure.

Solution
L'adjoint d'un produit renverse l'ordre des facteurs : (A^B^)†=B^†A^†=B^A^(\hat A\hat B)^\dagger=\hat B^\dagger\hat A^\dagger=\hat B\hat A. Ainsi [A^,B^]†=B^A^−A^B^=−[A^,B^][\hat A,\hat B]^\dagger=\hat B\hat A-\hat A\hat B=-[\hat A,\hat B]. Par conséquent, (i[A^,B^])†=−i⋅(−[A^,B^])=i[A^,B^](i[\hat A,\hat B])^\dagger=-i\cdot(-[\hat A,\hat B])=i[\hat A,\hat B] : cet opérateur est auto-adjoint, et sa valeur moyenne est réelle. La valeur moyenne de [A^,B^][\hat A,\hat B] est donc −i-i fois un réel, c'est-à-dire imaginaire pure. C'est pourquoi les relations de commutation des observables font intervenir le facteur ii, comme dans [X^,P^]=iℏ1[\hat X,\hat P]=i\hbar\mathbf{1} ou [S^x,S^y]=iℏS^z[\hat S_x,\hat S_y]=i\hbar\hat S_z, et c'est aussi pourquoi l'inégalité de Robertson fait apparaître le module de ⟨[A^,B^]⟩\langle[\hat A,\hat B]\rangle.

Question 4
Calculer [σx,σy][\sigma_x,\sigma_y], avec

σx=(0110),σy=(0−ii0),σz=(100−1).\begin{aligned} \sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\ i&0\end{pmatrix},\qquad\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. \end{aligned}

Vérifier la propriété de la question précédente.

Solution
On calcule les deux produits :

σxσy=(0110)(0−ii0)=(i00−i)=iσz,σyσx=(−i00i)=−iσz.\begin{aligned} \sigma_x\sigma_y=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-i\\ i&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}=i\sigma_z, \qquad \sigma_y\sigma_x=\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}=-i\sigma_z . \end{aligned}

Ainsi [σx,σy]=2iσz[\sigma_x,\sigma_y]=2i\sigma_z. Ce commutateur est bien anti-auto-adjoint, puisque (2iσz)†=−2iσz(2i\sigma_z)^\dagger=-2i\sigma_z, et i[σx,σy]=−2σzi[\sigma_x,\sigma_y]=-2\sigma_z est auto-adjoint.

Question 5
Montrer que tr⁡[A^,B^]=0\tr[\hat A,\hat B]=0. En déduire qu'il n'existe pas de matrices XX et PP de taille finie vérifiant [X,P]=iℏ1[X,P]=i\hbar\mathbf{1}.

Solution
La trace d'un produit ne dépend pas de l'ordre des facteurs : tr⁡(A^B^)=tr⁡(B^A^)\tr(\hat A\hat B)=\tr(\hat B\hat A), d'où tr⁡[A^,B^]=0\tr[\hat A,\hat B]=0. Si l'on avait [X,P]=iℏ1[X,P]=i\hbar\mathbf{1} avec des matrices n×nn\times n, la trace du membre de gauche serait nulle, alors que celle du membre de droite vaudrait iℏn≠0i\hbar n\neq0. C'est impossible : la relation canonique entre position et impulsion ne peut être réalisée que dans un espace de Hilbert de dimension infinie, et l'un au moins des deux opérateurs est alors nécessairement non borné.