Codiagonalisation et ensemble complet d'observables qui commutent

Les deux matrices sont réelles et symétriques, donc auto-adjointes. Toutes deux sont diagonales par blocs, avec un bloc $2\times2$ agissant sur $\ket{e_1},\ket{e_2}$ et un bloc $1\times1$ sur $\ket{e_3}$. Sur le premier bloc, $A$ est l'identité, qui commute avec tout ; sur le second, ce sont des nombres. Ainsi $AB=BA$, ce que l'on vérifie aussi par un calcul direct : $AB=BA=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$.

La matrice $A$ est diagonale : la valeur propre $1$ a pour sous-espace propre le plan engendré par $\ket{e_1}$ et $\ket{e_2}$, et la valeur propre $-1$ la droite engendrée par $\ket{e_3}$. Pour $B$, le bloc $2\times2$ est la matrice $\sigma_x$, de valeurs propres $\pm1$ et de vecteurs propres $\frac{1}{\sqrt2}(\ket{e_1}\pm\ket{e_2})$, et $\ket{e_3}$ est vecteur propre de valeur propre $1$. Ainsi, la valeur propre $1$ de $B$ a pour sous-espace propre le plan engendré par $\frac{1}{\sqrt2}(\ket{e_1}+\ket{e_2})$ et $\ket{e_3}$, et la valeur propre $-1$ la droite engendrée par $\frac{1}{\sqrt2}(\ket{e_1}-\ket{e_2})$.

Chacune des deux observables possède une valeur propre dégénérée. Ni l'une ni l'autre ne suffit donc à définir une base propre unique : dans un sous-espace propre de dimension $2$, n'importe quelle base orthonormée convient. Par exemple, $\ket{e_1}$ et $\ket{e_2}$ forment une base propre de $A$, mais ne sont pas vecteurs propres de $B$.

Si $A\ket v=a\ket v$, alors $A(B\ket v)=BA\ket v=a\,B\ket v$ : le vecteur $B\ket v$ appartient encore au sous-espace propre de $A$ associé à $a$. Le sous-espace $E_A(1)$, engendré par $\ket{e_1}$ et $\ket{e_2}$, est donc stable par $B$, et la restriction de $B$ à ce plan a pour matrice $\sigma_x$ dans la base $(\ket{e_1},\ket{e_2})$. On la diagonalise : ses vecteurs propres sont $\ket{u_\pm}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{e_1}\pm\ket{e_2})$, de valeurs propres $\pm1$. Le sous-espace $E_A(-1)$ est la droite engendrée par $\ket{e_3}$, qui est automatiquement vecteur propre de $B$. On obtient la base orthonormée de vecteurs propres communs

$$\ket{u_+}=\frac{\ket{e_1}+\ket{e_2}}{\sqrt2}\ (a=1,\,b=1),\qquad \ket{u_-}=\frac{\ket{e_1}-\ket{e_2}}{\sqrt2}\ (a=1,\,b=-1),\qquad \ket{e_3}\ (a=-1,\,b=1).$$

C'est la méthode générale de codiagonalisation : on diagonalise la seconde observable dans chacun des sous-espaces propres de la première.

Les trois couples $(1,1)$, $(1,-1)$ et $(-1,1)$ sont distincts. À chacun correspond un sous-espace propre commun de dimension $1$ : par exemple, les vecteurs vérifiant à la fois $A\ket v=\ket v$ et $B\ket v=\ket v$ forment la droite engendrée par $\ket{u_+}$. Un vecteur propre commun est donc déterminé, à une phase près, par la donnée de ses deux valeurs propres, et l'on peut le noter $\ket{a,b}$. En mécanique quantique, si l'on mesure successivement $A$ et $B$, qui sont compatibles, et que l'on obtient les résultats $a$ et $b$, l'état après les deux mesures est complètement déterminé : c'est $\ket{a,b}$, quel que soit l'état initial. Un ensemble complet d'observables qui commutent permet ainsi de préparer un état bien défini et d'étiqueter une base de l'espace des états par des nombres quantiques. C'est par exemple le rôle de $\hat H$, $\hat L^2$ et $\hat L_z$ pour l'atome d'hydrogène, dont les états propres communs sont notés $\ket{n,\ell,m}$.