Le produit scalaire de Hilbert-Schmidt

Par définition, $(A^\dagger B)_{jj}=\sum_i(A^\dagger)_{ji}B_{ij}=\sum_iA_{ij}^*B_{ij}$, et en sommant sur $j$, $\tr(A^\dagger B)=\sum_{i,j}A_{ij}^*B_{ij}$. C'est exactement le produit scalaire hermitien usuel de $\C^{n^2}$, lorsqu'on range les $n^2$ coefficients d'une matrice en un seul vecteur. Il est donc linéaire par rapport à $B$, il vérifie la symétrie hermitienne $\langle B,A\rangle_{\rm HS}=\langle A,B\rangle_{\rm HS}^*$, et il est défini positif : $\langle A,A\rangle_{\rm HS}=\sum_{i,j}|A_{ij}|^2\geq0$, avec égalité si et seulement si tous les coefficients sont nuls. La norme associée, $\norm A_{\rm HS}=\sqrt{\sum_{i,j}|A_{ij}|^2}$, est appelée norme de Hilbert-Schmidt, ou norme de Frobenius. L'espace $M_n(\C)$ muni de ce produit scalaire est un espace de Hilbert de dimension $n^2$.

D'après la question précédente, $\langle E_{kl},E_{k'l'}\rangle_{\rm HS}=\sum_{i,j}(E_{kl})_{ij}(E_{k'l'})_{ij}=\delta_{kk'}\delta_{ll'}$, puisque les deux matrices n'ont de coefficient non nul qu'en une seule position. Ces $n^2$ matrices orthonormées forment une base, et la décomposition d'une matrice sur cette base est simplement $A=\sum_{k,l}A_{kl}E_{kl}$, la formule $\hat A=\sum_{k,l}A_{kl}\ket{e_k}\bra{e_l}$ de la notation de Dirac. Pour une matrice unitaire, $\norm U_{\rm HS}^2=\tr(U^\dagger U)=\tr\mathbf{1}=n$.

Les matrices de Pauli étant auto-adjointes, $\langle\sigma_j,\sigma_k\rangle_{\rm HS}=\tr(\sigma_j\sigma_k)$. Pour $j=k$, on obtient $\tr\mathbf{1}=2$. Pour $j\neq k$, le produit $\sigma_j\sigma_k$ vaut $\pm i\sigma_l$, de trace nulle. Enfin, $\langle\mathbf{1},\sigma_j\rangle_{\rm HS}=\tr\sigma_j=0$ et $\langle\mathbf{1},\mathbf{1}\rangle_{\rm HS}=2$. Les quatre matrices $\mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ sont donc orthogonales et de norme $\sqrt2$ ; après division par $\sqrt2$, on obtient quatre matrices orthonormées dans un espace de dimension $4$ : c'est une base orthonormée.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit $|\tr(A^\dagger B)|^2\leq\tr(A^\dagger A)\,\tr(B^\dagger B)$. En prenant $A=\mathbf{1}$ et en renommant $B$ en $A$, on obtient $|\tr A|^2\leq\tr(\mathbf{1})\,\tr(A^\dagger A)=n\,\tr(A^\dagger A)$. L'égalité a lieu si et seulement si $A$ est proportionnelle à l'identité. Par exemple, pour une matrice hermitienne de valeurs propres $\lambda_k$, cette inégalité s'écrit $\bigl(\sum_k\lambda_k\bigr)^2\leq n\sum_k\lambda_k^2$ : le carré de la moyenne des valeurs propres est inférieur à la moyenne de leurs carrés.