Base de Fourier et identité de Parseval

On calcule

$$\langle e_m,e_n\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-imx}e^{inx}\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(n-m)x}\,dx .$$

Si $n=m$, l'intégrande vaut $1$ et l'on obtient $1$. Si $n\neq m$, une primitive de $e^{i(n-m)x}$ est $\frac{e^{i(n-m)x}}{i(n-m)}$, qui prend la même valeur en $\pm\pi$ puisque $e^{i(n-m)\pi}=e^{-i(n-m)\pi}=(-1)^{n-m}$ ; l'intégrale est nulle. La famille est donc orthonormée, et comme elle est totale, c'est une base hilbertienne : tout $f\in L^2(-\pi,\pi)$ s'écrit $f=\sum_{n\in\Z}c_ne_n$, avec $c_n=\langle e_n,f\rangle$, la série convergeant au sens de la norme de $L^2$.

On a $c_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}x\,e^{-inx}\,dx$. Pour $n=0$, l'intégrande est impair et $c_0=0$. Pour $n\neq0$, on intègre par parties en dérivant $x$ et en intégrant $e^{-inx}$ :

$$\int_{-\pi}^{\pi}x\,e^{-inx}\,dx=\Bigl[\frac{x\,e^{-inx}}{-in}\Bigr]_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{in}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}\,dx=\frac{\pi(-1)^n+\pi(-1)^n}{-in}+0=\frac{2\pi i(-1)^n}{n},$$

où l'on a utilisé $e^{\mp in\pi}=(-1)^n$ et $\frac{1}{-i}=i$. Ainsi

$$c_n=\sqrt{2\pi}\,\frac{i(-1)^n}{n},\qquad |c_n|^2=\frac{2\pi}{n^2}\quad(n\neq0).$$

L'identité de Parseval affirme que $\norm f^2=\sum_{n\in\Z}|c_n|^2$. D'une part, $\norm f^2=\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\frac{2\pi^3}{3}$. D'autre part, chaque entier $n\geq1$ apparaît deux fois, pour $n$ et $-n$, et

$$\sum_{n\in\Z}|c_n|^2=2\sum_{n\geq1}\frac{2\pi}{n^2}=4\pi\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2}.$$

En égalant les deux expressions, on obtient

$$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2}=\frac{2\pi^3}{3}\cdot\frac{1}{4\pi}=\frac{\pi^2}{6}.$$

C'est le célèbre problème de Bâle, résolu par Euler en 1735, retrouvé ici comme une conséquence du théorème de Pythagore en dimension infinie.

La fonction $f_N$ est la projection orthogonale de $f$ sur le sous-espace de dimension finie $F_N$ engendré par $e_{-N},...,e_N$, puisque le projecteur sur ce sous-espace s'écrit $\sum_{|n|\leq N}\ket{e_n}\bra{e_n}$. D'après le résultat sur la meilleure approximation, établi par le théorème de Pythagore, $f_N$ est l'élément de $F_N$ le plus proche de $f$. L'erreur est la norme de la composante orthogonale, qui se calcule, encore par Parseval, à partir des coefficients restants :

$$\norm{f-f_N}^2=\sum_{|n|>N}|c_n|^2=4\pi\sum_{n>N}\frac{1}{n^2}.$$

En comparant la somme à l'intégrale $\int_N^\infty\frac{dx}{x^2}=\frac1N$, on obtient $\norm{f-f_N}^2\simeq\frac{4\pi}{N}$ pour $N$ grand : l'erreur tend vers zéro, mais lentement. La décroissance lente des coefficients, en $1/n$, vient de ce que la fonction $f(x)=x$, prolongée par périodicité, est discontinue en $\pm\pi$. De même que pour la transformation de Fourier sur la droite, plus une fonction est régulière, plus ses coefficients de Fourier décroissent vite.