Commutateurs, translations et théorème du viriel

Pour $n=1$, c'est la relation canonique. Supposons la formule vraie au rang $n$. En écrivant $\hat P^{n+1}=\hat P^n\hat P$ et en utilisant la règle rappelée, sous la forme $[\hat C,\hat A\hat B]=\hat A[\hat C,\hat B]+[\hat C,\hat A]\hat B$,

$$[\hat X,\hat P^{n+1}]=\hat P^n[\hat X,\hat P]+[\hat X,\hat P^n]\hat P=i\hbar\hat P^n+i\hbar n\hat P^{n-1}\hat P=i\hbar(n+1)\hat P^n,$$

ce qui établit la formule au rang $n+1$. Le commutateur étant linéaire, on en déduit pour un polynôme $f(p)=\sum_na_np^n$ :

$$[\hat X,f(\hat P)]=\sum_na_n[\hat X,\hat P^n]=i\hbar\sum_nna_n\hat P^{n-1}=i\hbar f'(\hat P).$$

Le commutateur avec $\hat X$ agit donc comme une dérivation par rapport à $\hat P$. Le même raisonnement, en partant de $[\hat P,\hat X]=-i\hbar\mathbf{1}$, donne $[\hat P,g(\hat X)]=-i\hbar\,g'(\hat X)$, résultat que l'on vérifie aussi directement en représentation position, où $\hat P=-i\hbar\,d/dx$. Ces formules s'étendent aux fonctions développables en série entière.

D'après la question précédente avec $f(p)=e^{-iap/\hbar}$, dont la dérivée est $f'(p)=-\frac{ia}{\hbar}f(p)$,

$$[\hat X,T(a)]=i\hbar\Bigl(-\frac{ia}{\hbar}\Bigr)T(a)=a\,T(a).$$

Ainsi $\hat XT(a)=T(a)\hat X+aT(a)$. L'opérateur $T(a)$ est unitaire, puisque $T(a)^\dagger=e^{ia\hat P/\hbar}=T(-a)=T(a)^{-1}$, $\hat P$ étant auto-adjoint. En multipliant à gauche par $T(a)^\dagger$, on obtient

$$T(a)^\dagger\hat X\,T(a)=\hat X+a\mathbf{1}.$$

Pour l'état translaté $\ket{\psi_a}=T(a)\ket\psi$, la position moyenne vaut donc

$$\bra{\psi_a}\hat X\ket{\psi_a}=\bra\psi T(a)^\dagger\hat XT(a)\ket\psi=\langle\hat X\rangle_\psi+a .$$

L'opérateur $T(a)$ translate bien l'état d'une distance $a$ vers la droite, en accord avec son action $(T(a)\psi)(x)=\psi(x-a)$ en représentation position.

D'après la règle rappelée,

$$[\hat H,\hat X\hat P]=[\hat H,\hat X]\,\hat P+\hat X\,[\hat H,\hat P].$$

D'une part, seule l'énergie cinétique contribue au premier commutateur, et d'après la première question, $[\hat P^2,\hat X]=-[\hat X,\hat P^2]=-2i\hbar\hat P$, donc $[\hat H,\hat X]=-\frac{i\hbar}{m}\hat P$. D'autre part, seul le potentiel contribue au second, et $[\hat H,\hat P]=[V(\hat X),\hat P]=i\hbar V'(\hat X)$. Ainsi

$$[\hat H,\hat X\hat P]=-\frac{i\hbar}{m}\hat P^2+i\hbar\,\hat XV'(\hat X).$$

L'opérateur $\hat X\hat P$ ne dépend pas explicitement du temps, et le théorème d'Ehrenfest donne

$$\frac{d}{dt}\langle\hat X\hat P\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[\hat H,\hat X\hat P]\rangle=\frac{\langle\hat P^2\rangle}{m}-\langle\hat XV'(\hat X)\rangle .$$

On remarque que $\hat X\hat P$ n'est pas auto-adjoint, mais le théorème d'Ehrenfest, qui ne repose que sur l'équation de Schrödinger, s'applique encore à sa valeur moyenne.

Dans un état stationnaire, toutes les valeurs moyennes d'observables indépendantes du temps sont constantes, puisque l'état ne change que par une phase globale. Le membre de gauche de la relation précédente est donc nul, et $\langle\hat P^2\rangle/m=\langle\hat XV'(\hat X)\rangle$, c'est-à-dire $2\langle\hat T\rangle=\langle\hat XV'(\hat X)\rangle$.

Pour l'oscillateur harmonique, $xV'(x)=m\omega^2x^2=2V(x)$, et le théorème donne $\langle\hat T\rangle=\langle V\rangle$ : dans tout état propre, l'énergie se partage également entre énergie cinétique et énergie potentielle, chacune valant $E_n/2$. Pour le potentiel $\lambda|x|$, on a $xV'(x)=\lambda x\,\mathrm{sgn}(x)=\lambda|x|=V(x)$, d'où $2\langle\hat T\rangle=\langle V\rangle$ : l'énergie potentielle moyenne vaut le double de l'énergie cinétique moyenne, et donc $\langle V\rangle=\frac23E$ et $\langle\hat T\rangle=\frac13E$. Plus généralement, pour $V(x)\propto|x|^s$, on trouve $2\langle\hat T\rangle=s\langle V\rangle$. Le cas du potentiel coulombien à trois dimensions, $s=-1$, donne $2\langle\hat T\rangle=-\langle V\rangle$, résultat que l'on peut vérifier sur le fondamental de l'atome d'hydrogène.