Position et impulsion dans le puits infini

La densité de probabilité $|\phi_n(x)|^2=\frac2L\sin^2(n\pi x/L)$ est symétrique par rapport au milieu du puits, puisque $\sin^2(n\pi(L-x)/L)=\sin^2(n\pi-n\pi x/L)=\sin^2(n\pi x/L)$. La position moyenne est donc $\langle\hat X\rangle=L/2$.

Pour $\langle\hat X^2\rangle$, posons $k=2n\pi/L$ et utilisons $\sin^2u=(1-\cos2u)/2$ :

$$\langle\hat X^2\rangle=\frac2L\int_0^Lx^2\sin^2\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)dx=\frac1L\int_0^Lx^2\,dx-\frac1L\int_0^Lx^2\cos(kx)\,dx .$$

La première intégrale vaut $L^3/3$. Pour la seconde, deux intégrations par parties donnent, en utilisant $\sin(kL)=0$ et $\cos(kL)=1$ :

$$\begin{aligned} \int_0^Lx^2\cos(kx)\,dx&=\Bigl[\frac{x^2\sin kx}{k}\Bigr]_0^L-\frac2k\int_0^Lx\sin(kx)\,dx\\ &=-\frac2k\left(\Bigl[-\frac{x\cos kx}{k}\Bigr]_0^L+\int_0^L\frac{\cos kx}{k}dx\right)=\frac{2L}{k^2}=\frac{L^3}{2n^2\pi^2}. \end{aligned}$$

On obtient

$$\langle\hat X^2\rangle=L^2\Bigl(\frac13-\frac{1}{2n^2\pi^2}\Bigr), \qquad \sigma_X^2=\langle\hat X^2\rangle-\frac{L^2}{4}=L^2\Bigl(\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\Bigr).$$

La fonction $\phi_n$ est réelle. D'après l'exercice sur le courant de probabilité, ou par un calcul direct, $\langle\hat P\rangle=-i\hbar\int\phi_n\phi_n'\,dx=-\frac{i\hbar}{2}\bigl[\phi_n^2\bigr]_0^L=0$, puisque $\phi_n$ s'annule aux deux bords. Pour $\langle\hat P^2\rangle$, le plus simple est d'utiliser le Hamiltonien : à l'intérieur du puits, $\hat H=\hat P^2/(2m)$, donc $\langle\hat P^2\rangle=2mE_n=n^2\pi^2\hbar^2/L^2$. On peut aussi intégrer par parties, $\langle\hat P^2\rangle=\hbar^2\int_0^L|\phi_n'|^2dx=\hbar^2\frac2L\frac{n^2\pi^2}{L^2}\frac L2$, qui donne le même résultat. Ainsi

$$\sigma_P=\frac{n\pi\hbar}{L}.$$

Physiquement, la particule est dans une superposition de deux ondes planes d'impulsions $\pm n\pi\hbar/L$, de moyenne nulle.

Le produit vaut

$$\sigma_X\sigma_P=\hbar\,n\pi\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}}=\hbar\sqrt{\frac{n^2\pi^2}{12}-\frac12}.$$

C'est une fonction croissante de $n$, minimale pour le fondamental $n=1$ : $\sigma_X\sigma_P=\hbar\sqrt{\pi^2/12-1/2}\simeq0{,}568\,\hbar$. Ce produit est supérieur à $\hbar/2$, conformément à la relation de Heisenberg, mais il ne l'atteint pas : seuls les paquets gaussiens réalisent l'égalité, et la fonction $\phi_1$ n'en est pas un.

Lorsque $n\to\infty$, le terme en $1/n^2$ disparaît et $\sigma_X^2\to L^2/12$. Une particule classique qui rebondit entre les parois à vitesse constante passe le même temps dans chaque intervalle de même longueur : sa position, observée à un instant aléatoire, est uniformément répartie sur $[0,L]$, de densité $1/L$. Sa moyenne est $L/2$ et sa variance vaut

$$\frac1L\int_0^L\Bigl(x-\frac L2\Bigr)^2dx=\frac{L^2}{12}.$$

On retrouve donc la limite classique pour les grands nombres quantiques, conformément au principe de correspondance. Pour $n$ fini, la densité quantique $\frac2L\sin^2(n\pi x/L)$ oscille rapidement autour de la valeur moyenne $1/L$ ; ces oscillations deviennent indiscernables à l'échelle d'un appareil de résolution finie lorsque $n$ est grand.