Moment cinétique d'une orbitale 2p

En coordonnées sphériques, $x+y+2z=r\,(\sin\theta\cos\varphi+\sin\theta\sin\varphi+2\cos\theta)$. Calculons l'intégrale angulaire de son carré. Par symétrie, $\int(x/r)^2d\Omega=\int(y/r)^2d\Omega=\int(z/r)^2d\Omega=4\pi/3$, et les termes croisés comme $\int xy\,d\Omega$ sont nuls, car ils changent de signe par une symétrie qui change le signe d'une seule coordonnée. Ainsi

$$\int(x+y+2z)^2\,d\Omega=r^2(1+1+4)\frac{4\pi}{3}=8\pi r^2 .$$

La condition de normalisation s'écrit alors

$$1=N^2\int_0^\infty8\pi r^2\,e^{-r/a}\,r^2dr=8\pi N^2\times4!\,a^5=192\pi a^5N^2, \qquad N=\frac{1}{\sqrt{192\pi\,a^5}}=\frac{1}{8\sqrt{3\pi}\,a^{5/2}}.$$

On a $x\pm iy=r\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}=\mp r\sqrt{8\pi/3}\,Y_{1,\pm1}$ et $z=r\cos\theta=r\sqrt{4\pi/3}\,Y_{10}$. Posons $c=r\sqrt{4\pi/3}$, de sorte que $r\sqrt{8\pi/3}=\sqrt2\,c$. En prenant la demi-somme et la demi-différence,

$$x=\frac{(x+iy)+(x-iy)}{2}=\frac{c}{\sqrt2}\bigl(Y_{1,-1}-Y_{11}\bigr), y=\frac{(x+iy)-(x-iy)}{2i}=\frac{ic}{\sqrt2}\bigl(Y_{11}+Y_{1,-1}\bigr), \qquad z=c\,Y_{10}.$$

On en déduit

$$x+y+2z=c\left[\frac{1+i}{\sqrt2}\,Y_{1,-1}+2\,Y_{10}+\frac{-1+i}{\sqrt2}\,Y_{11}\right].$$

Comme le facteur radial $r\,e^{-r/(2a)}$ est proportionnel à $R_{21}$, la fonction $\psi$ est une combinaison des trois états $\psi_{21m}$, avec des coefficients proportionnels à

$$\frac{1+i}{\sqrt2}\ (m=-1),\qquad 2\ (m=0),\qquad \frac{-1+i}{\sqrt2}\ (m=1).$$

Les trois états $\psi_{21m}$ ont la même énergie $E_2=-13{,}6/4\simeq-3{,}4$ eV et la même valeur $\hbar^2\ell(\ell+1)=2\hbar^2$ de $\hat L^2$. Toute combinaison de ces états est donc encore un état propre de $\hat H$ et de $\hat L^2$ : une mesure de l'énergie donne $E_2$ avec certitude, et une mesure de $\hat L^2$ donne $2\hbar^2$ avec certitude.

Les résultats possibles sont $-\hbar$, $0$ et $\hbar$. Les états $\psi_{21m}$ étant orthonormés, les probabilités sont proportionnelles aux modules carrés des coefficients trouvés plus haut :

$$\Bigl|\frac{1+i}{\sqrt2}\Bigr|^2=1,\qquad |2|^2=4,\qquad\Bigl|\frac{-1+i}{\sqrt2}\Bigr|^2=1,$$

dont la somme vaut $6$. Ainsi

$$P(L_z=-\hbar)=\frac16,\qquad P(L_z=0)=\frac23,\qquad P(L_z=\hbar)=\frac16 .$$

On remarque que la somme des modules carrés vaut $6$, comme le facteur $1+1+4$ apparu dans la normalisation : c'est une vérification utile. La valeur moyenne est $\langle\hat L_z\rangle=-\hbar\cdot\frac16+0\cdot\frac23+\hbar\cdot\frac16=0$. Ce résultat était prévisible : la fonction $\psi$ est réelle, et l'opérateur $\hat L_z=-i\hbar\,\partial_\varphi$ a une valeur moyenne imaginaire pure sur une fonction réelle, ce qui impose qu'elle soit nulle puisqu'elle doit aussi être réelle.

D'après le postulat de réduction, l'état est projeté sur le sous-espace propre de $\hat L_z$ associé à $\hbar$, intersecté ici avec le niveau $n=2$, $\ell=1$, qui est engendré par $\psi_{211}$. Après normalisation, l'état est $\psi_{211}$, à une phase globale près :

$$\psi_{211}(\mathbf r)=R_{21}(r)\,Y_{11}(\theta,\varphi)\propto-\,r\sin\theta\,e^{i\varphi}e^{-r/(2a)}=-(x+iy)\,e^{-r/(2a)}.$$

Ce n'est pas une fonction réelle : sa phase tourne avec l'angle $\varphi$ autour de l'axe $z$, ce qui correspond à une composante non nulle et bien définie du moment cinétique selon $z$.