Respiration d'un paquet dans l'oscillateur harmonique

Les résultats possibles sont $E_0=\hbar\omega/2$ et $E_2=5\hbar\omega/2$, chacun avec la probabilité $1/2$. L'énergie moyenne vaut

$$\langle\hat H\rangle=\frac12\cdot\frac{\hbar\omega}{2}+\frac12\cdot\frac{5\hbar\omega}{2}=\frac32\hbar\omega,$$

et elle est constante. Chaque état propre évolue avec sa phase :

$$\ket{\psi(t)}=\frac{1}{\sqrt2}\Bigl(e^{-i\omega t/2}\ket0+e^{-5i\omega t/2}\ket2\Bigr)=\frac{e^{-i\omega t/2}}{\sqrt2}\Bigl(\ket0+e^{-2i\omega t}\ket2\Bigr).$$

Les opérateurs $\hat X$ et $\hat P$ sont des combinaisons de $a$ et $a^\dagger$, qui ne relient un état $\ket n$ qu'aux états $\ket{n\pm1}$. Les éléments de matrice $\bra0\hat X\ket0$, $\bra2\hat X\ket2$ et $\bra0\hat X\ket2$ sont donc tous nuls, puisque $\ket0$ et $\ket2$ diffèrent de deux quanta. Il en va de même pour $\hat P$. Ainsi $\langle\hat X\rangle=\langle\hat P\rangle=0$ à tout instant. C'est compatible avec Ehrenfest : pour l'oscillateur, les valeurs moyennes suivent exactement les équations classiques $\frac{d\langle\hat X\rangle}{dt}=\frac{\langle\hat P\rangle}{m}$ et $\frac{d\langle\hat P\rangle}{dt}=-m\omega^2\langle\hat X\rangle$ ; avec les conditions initiales $\langle\hat X\rangle(0)=\langle\hat P\rangle(0)=0$, leur solution est identiquement nulle. Le centre du paquet reste immobile au fond du puits.

D'après l'indication, $\hat X^2=\frac{\ell^2}{2}\bigl(a^2+(a^\dagger)^2+2N+\mathbf{1}\bigr)$. Calculons ses éléments de matrice utiles. Les termes diagonaux ne font intervenir que $2N+\mathbf{1}$ :

$$\bra0\hat X^2\ket0=\frac{\ell^2}{2},\qquad\bra2\hat X^2\ket2=\frac{\ell^2}{2}(2\times2+1)=\frac{5\ell^2}{2}.$$

Le terme non diagonal vient de $a^2$ : comme $a^2\ket2=a\sqrt2\ket1=\sqrt2\ket0$, on a $\bra0\hat X^2\ket2=\frac{\ell^2}{2}\sqrt2=\frac{\ell^2}{\sqrt2}$, et $\bra2\hat X^2\ket0$ est son conjugué, égal au même nombre réel. Pour l'état $\ket{\psi(t)}$, de coefficients $c_0=\frac{1}{\sqrt2}$ et $c_2=\frac{1}{\sqrt2}e^{-2i\omega t}$ à la phase globale près,

$$\langle\hat X^2\rangle(t)=|c_0|^2\frac{\ell^2}{2}+|c_2|^2\frac{5\ell^2}{2}+2\operatorname{Re}\Bigl(c_0^*c_2\frac{\ell^2}{\sqrt2}\Bigr)=\frac32\ell^2+\frac{\ell^2}{\sqrt2}\cos(2\omega t).$$

Pour $\hat P^2=-\frac{\hbar^2}{2\ell^2}\bigl(a^2+(a^\dagger)^2-2N-\mathbf{1}\bigr)$, les mêmes calculs donnent, avec le changement de signe des termes $a^2$ et $(a^\dagger)^2$ :

$$\langle\hat P^2\rangle(t)=\frac{\hbar^2}{\ell^2}\Bigl(\frac32-\frac{1}{\sqrt2}\cos(2\omega t)\Bigr).$$

Enfin, avec $\frac{\hbar^2}{2m\ell^2}=\frac12m\omega^2\ell^2=\frac{\hbar\omega}{2}$,

$$\langle\hat H\rangle=\frac{\langle\hat P^2\rangle}{2m}+\frac12m\omega^2\langle\hat X^2\rangle=\frac{\hbar\omega}{2}\Bigl(\frac32-\frac{\cos2\omega t}{\sqrt2}+\frac32+\frac{\cos2\omega t}{\sqrt2}\Bigr)=\frac32\hbar\omega,$$

qui est bien constante.

Les valeurs moyennes étant nulles, $\langle\hat X^2\rangle$ et $\langle\hat P^2\rangle$ sont les variances. Le paquet reste centré en $x=0$, mais sa largeur oscille à la pulsation $2\omega$ : il s'élargit et se contracte périodiquement, comme s'il respirait. Lorsque la largeur en position est maximale, la largeur en impulsion est minimale, et inversement : l'énergie passe périodiquement de la forme potentielle à la forme cinétique, son total restant constant. La pulsation $2\omega$ est la fréquence de Bohr $(E_2-E_0)/\hbar$, la seule présente dans l'état. Elle est le double de la fréquence classique, ce qui se comprend : un nuage de particules classiques oscillant autour de l'origine avec des phases symétriques s'élargit et se contracte deux fois par période. Le produit des écarts-types vaut

$$\sigma_X\sigma_P=\hbar\sqrt{\Bigl(\frac32+\frac{\cos2\omega t}{\sqrt2}\Bigr)\Bigl(\frac32-\frac{\cos2\omega t}{\sqrt2}\Bigr)}=\hbar\sqrt{\frac94-\frac{\cos^22\omega t}{2}}\geq\hbar\sqrt{\frac74}\simeq1{,}32\,\hbar,$$

toujours supérieur à $\hbar/2$.

On a

$$\psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt2}\Bigl(1+\frac{2\xi^2-1}{\sqrt2}\Bigr)\phi_0(x)=\frac{\sqrt2-1+2\xi^2}{2}\,\phi_0(x).$$

La densité est proportionnelle à $(\sqrt2-1+2\xi^2)^2e^{-\xi^2}$. Elle est paire, et son maximum se trouve hors de l'origine. En dérivant par rapport à $\xi$ le logarithme de cette fonction, $\frac{8\xi}{\sqrt2-1+2\xi^2}-2\xi$, on trouve que les extrema non nuls vérifient $2\xi^2=4-(\sqrt2-1)=5-\sqrt2$, soit $|\xi|\simeq1{,}34$. La particule a donc le plus de chances d'être détectée vers $x\simeq\pm1{,}34\,\ell$, ce qui est cohérent avec le fait qu'à $t=0$, $\langle\hat X^2\rangle$ prend sa valeur maximale $\bigl(\frac32+\frac{1}{\sqrt2}\bigr)\ell^2$.