Puits delta : état lié et diffusion

Un état lié a une énergie $E<0$. Posons $\kappa=\sqrt{-2mE}/\hbar>0$. Hors de l'origine, l'équation stationnaire s'écrit $\phi"=\kappa^2\phi$. La normalisabilité impose de garder l'exponentielle décroissante de chaque côté :

$$\phi(x)=Ae^{-\kappa x}\ (x>0),\qquad\phi(x)=Be^{\kappa x}\ (x<0).$$

La continuité en $0$ impose $A=B$, et l'on a $\phi(x)=Ae^{-\kappa|x|}$. Les dérivées valent $\phi'(0^+)=-\kappa A$ et $\phi'(0^-)=\kappa A$. La condition de saut donne

$$-2\kappa A=-\frac{2mg}{\hbar^2}A,\qquad\text{soit}\qquad\kappa=\frac{mg}{\hbar^2}=\kappa_0 .$$

Il n'y a qu'une seule valeur possible de $\kappa$, donc un seul état lié, d'énergie

$$E_0=-\frac{\hbar^2\kappa_0^2}{2m}=-\frac{mg^2}{2\hbar^2}.$$

La normalisation $1=|A|^2\int_{\R}e^{-2\kappa_0|x|}dx=|A|^2/\kappa_0$ donne $A=\sqrt{\kappa_0}$, et $\phi_0(x)=\sqrt{\kappa_0}\,e^{-\kappa_0|x|}$. L'état lié est pair. Un état impair devrait s'annuler en $0$ par continuité ; mais il devrait aussi être de la forme $Ae^{-\kappa x}$ pour $x>0$, qui ne s'annule pas en $0$ sauf si $A=0$. Il n'y a donc pas d'état lié impair : contrairement au puits carré fini, qui peut en posséder plusieurs, le puits delta n'a qu'un seul état lié, quelle que soit sa profondeur $g$.

On a

$$P\Bigl(|x|>\frac{1}{\kappa_0}\Bigr)=2\kappa_0\int_{1/\kappa_0}^\infty e^{-2\kappa_0x}dx=e^{-2}\simeq0{,}14 .$$

La longueur $1/\kappa_0=\hbar^2/(mg)$ est la taille caractéristique de l'état lié : plus le puits est profond, plus la particule est localisée. Remarquez que, pour cette énergie négative, toute la droite sauf l'origine est classiquement interdite : la particule se trouve entièrement dans une région où une particule classique ne pourrait pas être.

À gauche, il y a l'onde incidente $e^{ikx}$, dont on fixe l'amplitude à un, et une onde réfléchie $e^{-ikx}$. À droite, il n'y a qu'une onde transmise qui s'éloigne vers $+\infty$ ; un terme en $e^{-ikx}$ décrirait une onde arrivant de la droite, ce qui n'est pas la situation étudiée. La continuité en $0$ donne $1+r=t$. Les dérivées valent $\phi'(0^-)=ik(1-r)$ et $\phi'(0^+)=ikt$, et la condition de saut s'écrit

$$ikt-ik(1-r)=-2\kappa_0t .$$

En remplaçant $t$ par $1+r$, on obtient $ik(1+r)-ik(1-r)=2ikr=-2\kappa_0(1+r)$, d'où $r(ik+\kappa_0)=-\kappa_0$ et

$$r=-\frac{\kappa_0}{\kappa_0+ik},\qquad t=1+r=\frac{ik}{\kappa_0+ik}.$$

Le potentiel étant nul des deux côtés, les ondes incidente, réfléchie et transmise ont le même nombre d'onde, donc la même vitesse, et les rapports de courants se réduisent aux modules carrés des amplitudes :

$$R=|r|^2=\frac{\kappa_0^2}{\kappa_0^2+k^2},\qquad T=|t|^2=\frac{k^2}{\kappa_0^2+k^2},\qquad R+T=1 .$$

L'égalité $R+T=1$ traduit la conservation du courant de probabilité. En fonction de l'énergie, avec $k^2=2mE/\hbar^2$ et $\kappa_0^2=m^2g^2/\hbar^4$,

$$T=\frac{1}{1+\kappa_0^2/k^2}=\frac{1}{1+\dfrac{mg^2}{2\hbar^2E}}=\frac{1}{1+|E_0|/E}.$$

À basse énergie, $E\ll|E_0|$, la transmission tend vers zéro : une particule lente est presque totalement réfléchie, même par un puits attractif, ce qui est un effet purement ondulatoire, sans équivalent classique. À haute énergie, $E\gg|E_0|$, la transmission tend vers un, et le puits devient transparent. On remarque que l'énergie de l'état lié sert d'échelle d'énergie pour la diffusion. Enfin, $R$ et $T$ ne dépendent que de $\kappa_0^2$, donc de $g^2$ : le résultat est le même pour une barrière répulsive $+g\delta(x)$. Seules les phases de $r$ et $t$ changent.

Le dénominateur $\kappa_0+ik$ s'annule pour $k=i\kappa_0$. Pour cette valeur, l'onde $e^{ikx}=e^{-\kappa_0x}$ décroît vers la droite, et $e^{-ikx}=e^{\kappa_0x}$ décroît vers la gauche : si l'on divise la solution par $t$ et que l'on fait tendre $t$ vers l'infini, l'onde incidente disparaît et il reste $e^{-\kappa_0|x|}$, exactement l'état lié. L'énergie correspondante, $E=\hbar^2k^2/(2m)=-\hbar^2\kappa_0^2/(2m)$, est celle de l'état lié. C'est un résultat général de la théorie de la diffusion : les états liés correspondent aux pôles de l'amplitude de transmission situés sur l'axe imaginaire positif du plan complexe de $k$.