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Thème 3 — Postulats

Test recherche — projecteur dans un espace de Hilbert

Mots-clés: Hilbert · espace de Hilbert · projecteur · test recherche · postulat

Exercice 1 : Test recherche — projecteur dans un espace de Hilbert

Question 1
Soit H\mathcal{H} un espace de Hilbert et PP un projecteur orthogonal (P2=P=P†P^2 = P = P^\dagger). On considère une mesure projective associée à PP. Que donne une mesure sur un ket ∣ψ⟩\ket{\psi} déjà dans l'image de PP ?

Indice
Relier à la probabilité ⟨ψ∣P∣ψ⟩\bra{\psi}P\ket{\psi} et au postulat de projection.

Solution
Si ∣ψ⟩∈Im P\ket{\psi} \in \mathrm{Im}\,P, alors P∣ψ⟩=∣ψ⟩P\ket{\psi} = \ket{\psi} et ⟨ψ∣P∣ψ⟩=∥∣ψ⟩∥2=1\bra{\psi}P\ket{\psi} = \|\ket{\psi}\|^2 = 1 (si ∣ψ⟩\ket{\psi} est normalisé). L'issue « oui » (associée à PP) est donc certaine ; après mesure, l'état reste dans l'image de PP.