Ruang Hilbert dan notasi Dirac

Objek-objek yang baru kita definisikan memenuhi sejumlah sifat mendasar yang selalu berlaku, apa pun dimensi ruang Hilbert dan terlepas dari apakah operatornya terbatas atau tidak. Dalam kasus terakhir, adjoint tetap dapat didefinisikan, tetapi secara matematis lebih halus; kita akan membahasnya kembali pada tema berikutnya tentang teori operator linear. Karena notasi Dirac digunakan di seluruh dunia, sifat-sifat ini pada dasarnya merupakan aturan aljabar perhitungan kuantum dan wajib dikuasai.

Pelajaran ini mengumpulkan seluruh rumus berguna yang telah kita lihat, meskipun harus mengulangnya, dan menambahkan beberapa rumus. Pertama diberikan rumus yang berlaku dalam semua dimensi, lalu kumpulan rumus khusus dimensi hingga, ketika notasi Dirac menjadi perhitungan matriks yang eksplisit.

1. Aturan perhitungan dalam semua dimensi

Sifat hasil kali dalam.

Misalkan $(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2$ dua vektor ruang Hilbert dan $(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$ skalar. Hasil kali dalam memenuhi sifat-sifat berikut:

1. Simetri Hermitian:

   $$\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}$$

   (1)

2. Antilinearitas di kiri: bra yang terkait dengan $\lambda \ket{\psi}$ adalah $\lambda^* \bra{\psi}$, yakni:

   $$\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{dan} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }$$

   (2)

3. Linearitas di kanan:

   $$\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}$$

   (3)

4. Kombinasi linear: sifat-sifat sebelumnya memungkinkan pengembangan ungkapan rumit secara biasa, seperti contoh berikut: untuk setiap $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C$, berlaku:

   $$\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }$$

   (4)

5. Norma: menurut definisi,

   $$\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}$$

   (5)

   dengan kesamaan jika dan hanya jika $\ket{\psi} = 0$ adalah vektor nol (kadang-kadang, tetapi jarang, ditulis $\ket{\varnothing}$).

Sifat adjoint.

Di sini kita tuliskan kembali dua rumus yang menjadi definisi:

dan

yang juga memungkinkan kita membuktikan, melalui simetri Hermitian, bahwa:

Sifat operator adjoint.

Untuk setiap operator linear kontinu $\hat{A}, \hat{B}$ pada $\mathcal{H}$ dan skalar $\lambda \in \mathbb{C}$, berlaku:

Operator ket-bra.

Bracket adalah bilangan, tetapi ket-bra adalah operator, disebut hasil kali luar (tidak berkaitan dengan hasil kali luar bentuk diferensial). Pada dua vektor $\ket{\phi}$ dan $\ket{\psi}$, kita mengaitkan operator $\ket{\phi}\bra{\psi}$ yang didefinisikan oleh:

Dekomposisi operator identitas.

Operator identitas pada $\Hilb$ ditulis $\mathbf{1}$ dan didefinisikan secara langsung oleh $\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb$. Dalam basis Hilbert terhitung $\{\ket{e_i}\}_{i \in I}$, dengan $I$ hingga atau tak hingga terhitung, operator identitas $\mathbf{1}$ ditulis:

Rumus ini sangat berguna dalam praktik. Rumus tersebut juga disebut resolusi identitas atau relasi ketertutupan. Ruas kanan merupakan jumlah dalam dimensi hingga, atau deret konvergen dalam dimensi tak hingga terhitung. Rumus ini salah jika dimensinya tidak terhitung.

Dekomposisi Hilbert.

Sebagai contoh, rumus sebelumnya langsung menghasilkan kembali teorema dekomposisi dalam pelajaran 1, dengan mendefinisikan $\psi_i$ sebagai komponen ket $\kpsi$ pada $\ket{e_i}$:

Ini merupakan jumlah atau deret, sesuai dimensinya. Dekomposisi ket memiliki padanan untuk bra:

Norma kemudian ditulis:

Beberapa operator khusus.

Tema berikutnya menyajikan teori operator linear pada ruang Hilbert secara terperinci. Namun, untuk kelanjutan pembahasan kita catat beberapa kasus yang sangat umum. Di antara operator $\Hilb \to \Hilb$, kita khususnya akan menemukan operator:

1. $\hat A$, Hermitian atau adjoint-diri jika $\hat{A}^\dagger = \hat{A}$,
2. $\hat U$, uniter jika $\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}$,
3. $\hat P$, proyektor jika $\hat{P}^2 = \hat{P}$,
4. $\hat P$, proyektor ortogonal: proyektor adjoint-diri.

Operator uniter bersifat bijektif, linear, dan mempertahankan hasil kali dalam. Jadi, kita telah menjumpainya di atas: operator ini adalah isomorfisme isometrik (di sini tepatnya automorfisme isometrik, karena hanya membahas operator linear dari $\Hilb$ ke dirinya sendiri).

2. Kumpulan rumus dalam dimensi hingga

Aturan perhitungan kuantum dapat diperinci lebih jauh ketika ruang Hilbert berdimensi hingga $n$. Semua rumus bagian sebelumnya tetap berlaku, dengan penjumlahan yang muncul di dalamnya ditulis sebagai jumlah hingga: $\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}$.

Selain itu, setelah basis ortonormal $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ dipilih, notasi Dirac bersesuaian dengan perhitungan matriks eksplisit yang akan kita jabarkan sekarang (perhatikan bahwa uraian berikut sama sekali tidak bermakna dalam dimensi tak hingga).

Ket sebagai vektor kolom.

Dengan mewakili ket basis $\mathcal{B}$ secara kanonik menggunakan matriks $(n,1)$, juga disebut vektor kolom:

dengan $1$ pada posisi ke-$i$, serta melalui dekomposisi aljabar:

semua ket dapat ditulis sebagai vektor kolom: untuk $\ket{v} \in \mathcal{H}$, kita menulis:

Kecuali diperlukan, penyebutan basis $\mathcal{B}$ tempat ekspansi ini dilakukan akan dihilangkan. Selain itu, komponen diperoleh melalui proyeksi ortogonal:

Bra sebagai vektor baris konjugat.

Bentuk linear $\varphi_u$ yang terkait dengan vektor $u$ harus memenuhi, untuk setiap vektor $v$:

karena antilinearitas hasil kali dalam Hermitian di kiri. Agar jumlah tersebut diperoleh sebagai perkalian matriks, $\bra{u}$ harus merupakan vektor baris koordinat konjugat dari $u$:

karena dengan demikian hasil kali dalam $\braket{u}{v}$ diperoleh melalui perkalian matriks biasa:

Kita lalu melihat bahwa bra $\bra{u}$ merupakan transpos konjugat, atau « transkonjugat », dari ket $\ket{u}$. Jadi, dalam dimensi hingga, operasi dagger setara dengan mengambil transpos konjugat:

Hal ini salah dalam dimensi tak hingga, bahkan tidak bermakna, karena transpos tidak didefinisikan¹.

Representasi matriks operator.

Dalam basis ortonormal $\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n$ pada dimensi hingga, setiap operator linear $\hat{A}$ dapat didekomposisi sebagai:

Dalam dimensi hingga, hal ini menghasilkan identifikasi alami antara operator linear $\hat{A}$ (ditulis dengan topi) dan matriksnya $A$ (tanpa topi). Rumus di atas memang merupakan padanan dalam formalisme Dirac bagi ekspansi matriks $A = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}$, dengan $E_{ij}$ matriks elementer yang memiliki $1$ pada posisi $(i,j)$ dan nol di tempat lainnya. Jadi, di sini $E_{ij}$ adalah matriks yang mewakili operator $\ket{e_i} \bra{e_j}$. Koefisien $A_{ij}$ secara alami disebut elemen matriks operator $\hat{A}$ dalam basis $\{\ket{e_i}\}$. Nilainya:

tetapi karena alasan estetika, lebih sering ditulis dalam bentuk:

Tentu matriks operator identitas adalah matriks identitas, dengan elemen matriks $\delta_{ij}$ (simbol Kronecker).

Jejak operator.

Dalam pembahasan selanjutnya kita akan sering mempertimbangkan jejak operator $\hat{A}$. Dalam notasi Dirac, jejak dihitung melalui:

Ungkapan ini tidak bergantung pada pilihan basis ortonormal.

Adjoint dan transpos konjugat.

Dalam dimensi hingga, matriks yang mewakili adjoint $\hat{A}^\dagger$ adalah transpos konjugat matriks yang mewakili operator $\hat{A}$:

Di sini kita berikan bukti singkat untuk menunjukkan cara menggunakan aturan perhitungan di atas dalam praktik. Menurut definisi, elemen matriks $\hat{A}^\dagger$ adalah:

Namun, berdasarkan definisi adjoint, berlaku:

Dengan simetri Hermitian, kita memiliki $\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*$, yang tidak lain adalah elemen matriks $A_{ji}^*$. Jadi:

yang membuktikan sifat tersebut. Dengan demikian, dalam dimensi hingga kita dapat memeriksa secara eksplisit melalui perhitungan matriks apakah operator bersifat Hermitian, uniter, dan seterusnya.

3. Referensi