Ruang Hilbert dan notasi Dirac

1. Basis kontinu tergeneralisasi dari $L^2(\mathbb{R})$

Kita telah membahas ruang model $L^2(\R)$ secara terperinci pada Bagian 3.3 (Tema 2, Pelajaran 1). Khususnya, kita telah menunjukkan basis Hilbert terhitung untuk ruang ini. Setiap keadaan fisik kemudian dapat didekomposisi sebagai deret pada basis fungsi Hermite. Sayangnya, ungkapan eksplisit fungsi-fungsi ini cukup rumit.

Karena itu diperkenalkan suatu « basis » lain, yang sebenarnya bukan basis dalam arti basis Hilbert, melainkan apa yang disebut basis kontinu tergeneralisasi. Peralihan ke dimensi tak hingga di sini memerlukan kehati-hatian, dan konstruksi yang ketat membutuhkan perangkat dari tema berikutnya tentang teori operator linear. Jadi, untuk sementara kita menerima kumpulan rumus berikut, sambil mengingat bahwa ini merupakan panduan penggunaan notasi Dirac dalam "basis" tersebut, bukan konstruksi matematis yang telah dibuktikan.

1.1. Basis tergeneralisasi dalam representasi posisi

Meski demikian, mari mencoba memberikan beberapa gagasan. Pertama diperkenalkan operator adjoint-diri yang disebut operator « posisi », ditulis $\hat{X}$, yang bekerja pada fungsi dalam ruang Hilbert $L^2(\mathbb{R})$ melalui perkalian:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

Perhatikan domain definisinya. Ungkapan ini hanya bermakna jika fungsi $x\,\psi(x)$ tetap berada dalam $L^2(\R)$. Hal ini tidak selalu terjadi: sebagian fungsi yang kuadratnya terintegralkan menjadi divergen setelah dikalikan dengan $x$.¹ Jadi, operator $\hat{X}$ tidak dapat didefinisikan pada seluruh $L^2(\R)$, melainkan hanya pada subruang fungsi tempat hasil aksinya tetap berada dalam $L^2$.

Agar memiliki domain yang terdefinisi dengan baik, rapat dalam $L^2$, dan stabil terhadap operasi biasa (diferensiasi, perkalian dengan $x$, transformasi Fourier), kita memperkenalkan ruang fungsi Schwartz, ditulis $\mathcal{S}(\R)$:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

Dengan kata lain, ini adalah fungsi mulus yang meluruh cepat, sehingga $f$ dan semua turunannya menuju nol lebih cepat daripada setiap pangkat invers dari $x$.

Ruang $\mathcal{S}(\R)$ bersifat:

• rapat dalam $L^2(\R)$ (setiap fungsi dalam $L^2$ dapat didekati sebaik apa pun oleh fungsi dalam $\mathcal{S}$),
• stabil terhadap diferensiasi, perkalian dengan $x$, dan transformasi Fourier.

Jadi, ruang ini merupakan domain alami untuk mendefinisikan operator posisi $\hat{X}$ dan momentum $\hat{P}$ secara tepat, serta menjadi landasan konstruksi ketat formalisme Dirac dan tripel Gelfand.

Setelah kehati-hatian ini diperhatikan, kita dapat menuliskan, untuk sementara secara murni formal², keadaan eigen $\hat{X}$:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

Ket $\ket{x}$ ini membentuk apa yang disebut basis kontinu tergeneralisasi, dalam arti bahwa ket tersebut memungkinkan elemen $L^2(\R)$ direpresentasikan sebagai superposisi kontinu, meskipun $\ket{x}$ sendiri bukan vektor ruang Hilbert.

Sebenarnya, ini bukan ket dalam arti sesungguhnya karena tidak dapat dinormalisasi. Kita akan melihat alasannya. Keluarga ini tidak terhitung, sehingga ortonormalitasnya tidak dapat ditulis menggunakan simbol Kronecker diskret $\delta_{ij}$, melainkan melalui « versi kontinu »   dalam bentuk:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

khususnya:

Di sini kita memperkenalkan delta Dirac $\delta(x)$, yang bukan fungsi biasa, melainkan distribusi dalam teori distribusi matematika. Delta didefinisikan melalui aksinya di bawah integral:

untuk setiap fungsi uji $f$ dalam ruang Schwartz. Harus dipahami bahwa $\delta(x)$ secara tersendiri tidak bermakna, bahkan bukan bilangan. Sebenarnya, $\delta$ adalah bentuk linear $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ yang bekerja pada fungsi uji³. Jadi, ia hanya didefinisikan melalui aksinya di bawah integral (2), bukan melalui nilai-nilainya $\delta(x)$.

Namun, jika tetap ingin memandangnya sebagai fungsi, kita dapat memahaminya sebagai limit barisan fungsi yang semakin terkonsentrasi di sekitar nol, misalnya limit Gaussian yang semakin tajam:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

atau sebagai persegi panjang yang berpusat di nol, dengan lebar menuju nol dan tinggi menuju tak hingga. Dalam gambaran ini, delta tampak pada limitnya sebagai "fungsi" yang nol di mana-mana kecuali di $x = 0$, tempat ia divergen, sambil mempertahankan luas total di bawah kurva sama dengan 1.

Karena itulah dalam fisika kita tetap menulis $\delta(0) = \infty$, tetapi penyalahgunaan notasi dan makna ini harus dipahami dengan baik. Bagaimanapun, melalui pers. (1), hal tersebut menunjukkan bahwa ket $\ket{x}$ tidak memiliki norma hingga. Delta Dirac juga memiliki representasi integral yang sangat berguna dan mungkin merupakan rumus terpenting dalam bagian ini:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

Di sini juga, kesamaan harus dipahami dalam arti teori distribusi, sebab integral tersebut jelas tidak konvergen dan tanpa penafsiran itu tidak bermakna.

« Elemen matriks » operator posisi $\hat{X}$ adalah $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$. Kita tetap menamakannya demikian (bandingkan bagian sebelumnya dalam dimensi hingga), meskipun $\hat{X}$ tidak dapat diwakili oleh matriks biasa. Kita dapat membayangkan « matriks dengan indeks kontinu », yang diagonal dalam arti distribusi, tetapi nilainya pada diagonal $x = x'$ tidak memiliki makna tersendiri ($x\,\delta(0)$ bukan bilangan real). Di sinilah barangkali terlihat perbedaan mendasar antara operator linear dalam dimensi hingga (= matriks) dan operator linear dalam dimensi tak hingga.

Dalam basis tergeneralisasi, resolusi identitas ditulis sebagai:

Rumus ini memperlihatkan dekomposisi setiap ket $\kpsi$ dari ruang Hilbert pada basis kontinu ini sebagai integral:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

dengan mendefinisikan fungsi gelombang

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

Demikian pula, bra konjugat dari $\kpsi$ dikembangkan sebagai:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

dengan menggunakan simetri Hermitian hasil kali dalam: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

Perhatikan bahwa komponen pada $x$ dari vektor $\hat{X} \psi$, yang menurut definisi bernilai $\braket{x}{X\psi}$, juga lebih sering ditulis, karena alasan estetika (bandingkan persamaan (4 (Tema 2, Pelajaran 2))), dalam bentuk:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. Dalam representasi momentum

Dalam mekanika kuantum partikel titik, operator momentum diperkenalkan secara serupa melalui aksinya pada fungsi gelombang $\psi(x)$ yang termasuk dalam $L^2(\mathbb{R})$:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

Di sini juga kita harus membatasi diri pada domain Schwartz agar fungsi gelombang dapat diturunkan dan turunannya tetap memiliki kuadrat yang terintegralkan.

Meyakinkan diri bahwa $\hat{P}$ memang operator adjoint-diri merupakan latihan penerapan yang sangat baik untuk bab ini. Untuk itu, mari mulai dengan mempelajari operator diferensiasi itu sendiri, ditulis:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

Operator ini linear (diferensiasi bersifat linear: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$). Jelas operator ini tidak dapat diwakili matriks seperti dalam dimensi hingga: ia bekerja secara diferensial pada ruang fungsi berdimensi tak hingga. Jadi, adjointnya tidak dapat dihitung dengan operasi transpos konjugat, tetapi tetap dapat dihitung menggunakan definisi adjoint, yang untuk dua fungsi uji $\phi$ dan $\psi$ dalam $\mathcal{S}(\R)$ memenuhi:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

lihat definisi 2 (Tema 2, Pelajaran 2). Dengan menyisipkan resolusi identitas, ruas kiri bernilai:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

yang menunjukkan bahwa adjoint operator $\hat{D} = d/dx$ adalah $-\hat{D} = -d/dx$. Dalam perhitungan di atas, pada baris pertama kita menyisipkan resolusi identitas di antara bra dan ket; pada baris kedua kita mendistribusikannya, dan pada baris ketiga menggunakan simetri Hermitian. Pada baris keempat digunakan definisi $\hat{D}$ dan fungsi gelombang; pada baris kelima dilakukan integrasi parsial pada $\R$: suku batas di tak hingga lenyap karena fungsi ruang Schwartz meluruh lebih cepat daripada setiap monomial. Terakhir, pada baris-baris akhir kita kembali dari fungsi gelombang ke hasil kali dalam, memfaktorkan lalu menghapus resolusi identitas. Karena itu, operator momentum memang adjoint-diri, sebab

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

Sifat adjoint-diri $\hat{P}$ menjamin bahwa nilai eigennya (momentum yang mungkin) real dan fungsi eigennya membentuk basis lengkap ruang keadaan dalam arti tergeneralisasi (melalui distribusi Dirac).

Keadaan eigen momentum. — Dengan cara yang persis serupa, « ket » tergeneralisasi $\ket{p}$ didefinisikan sebagai keadaan eigen $\hat{P}$:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

Dalam representasi posisi, fungsi gelombang terkait diperoleh dengan memproyeksikan pada $\bra{x}$:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

Ini merupakan persamaan diferensial sederhana dengan solusi:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

Ungkapan ini menunjukkan bahwa transformasi yang menghubungkan representasi posisi dan momentum tepat merupakan transformasi Fourier.

Ortogonalitas dan kelengkapan. — Ket $\ket{p}$ memenuhi hubungan yang analog dengan hubungan untuk $\ket{x}$:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

Fungsi gelombang dalam representasi momentum didefinisikan sebagai:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

Jadi, transformasi $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ adalah transformasi Fourier, dan transformasi inversnya ditulis:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

Komutasi fundamental. — Terakhir, operator $\hat{X}$ dan $\hat{P}$ memenuhi relasi komutasi kanonik:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

Relasi inilah yang menjadi dasar seluruh mekanika kuantum partikel titik. Sebenarnya, seluruh rumus dalam bagian ini semata-mata mengikuti relasi kanonik tersebut: dapat dibuktikan bahwa satu-satunya representasi Hilbert yang mungkin bagi aljabar antara X dan P ini ialah yang baru kita tulis. Khususnya, ditunjukkan bahwa $X$ bekerja melalui perkalian pada fungsi gelombang dalam x, sedangkan P melalui diferensiasi, dan sebaliknya. Hasil penting ini akan dijabarkan kemudian; inilah teorema Stone–von Neumann.

1.3. Sifat delta Dirac

Kita mengakhiri bagian dan bab ini dengan beberapa rumus berguna tentang delta Dirac, yang selalu harus dipahami dalam arti distribusi, yaitu ketika delta berada di bawah tanda integral:

Simetri:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

Homogenitas:

untuk setiap bilangan real $a \neq 0$,

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

Perubahan variabel:

jika $f$ adalah fungsi mulus dengan akar sederhana $\{x_i\}$ yang memenuhi $f(x_i) = 0$, maka

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Turunan delta:

turunan dalam arti distribusi didefinisikan oleh

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. Referensi