Ruang Hilbert dan notasi Dirac

Dalam pelajaran ini, kita mendefinisikan ruang Hilbert secara tepat dengan terlebih dahulu menunjukkan bagaimana dan di mana ruang tersebut berada dalam cabang besar matematika, yaitu aljabar dan topologi. Kita akan sampai pada teorema klasifikasi ruang Hilbert: dua ruang Hilbert isomorfik secara isometrik jika memiliki dimensi Hilbert yang sama. Konsep ini jangan dicampuradukkan dengan dimensi aljabar ruang vektor, karena keduanya hanya berimpit dalam dimensi hingga. Kita akan memberikan ruang model acuan untuk setiap kasus (dimensi hingga, tak hingga terhitung, dan tak hingga tak terhitung), disertai gambaran penggunaannya dalam mekanika kuantum dasar. Kita akan menutup dengan pembahasan awal tentang apakah fisika yang didefinisikan oleh ruang-ruang Hilbert yang dihubungkan oleh isomorfisme tetap invarian.

1. Struktur matematika dalam fisika

Untuk sampai pada ruang Hilbert, kita menyajikan tinjauan singkat « peta matematika »   yang paling sering digunakan dalam fisika teoretis. Halaman berikut menunjukkan versi peta yang sangat disederhanakan dan sangat jauh dari lengkap, tetapi cukup untuk kuliah ini, lihat Gambar (1).

Jika kita memilih berangkat dari konsep intuitif himpunan titik¹, kita melanjutkan dengan menambahkan struktur pada himpunan tersebut sedikit demi sedikit. Skema ini akan dijelaskan secara bertahap berikutnya.

1.1. Struktur aljabar dan ruang vektor

Dari himpunan titik, kita dapat langsung menuju cabang kiri peta (1), yaitu struktur aljabar, yang umumnya digunakan untuk mendeskripsikan himpunan bilangan (tetapi tidak hanya itu).

Caranya adalah menambahkan satu atau beberapa operasi komposisi internal pada himpunan titik; ketika operasi tersebut memenuhi aturan tertentu (asosiativitas, komutativitas, keberadaan unsur netral, dan sebagainya), kita memperoleh struktur khusus.

Pada gambar ini ditampilkan beberapa struktur dasar: magma (himpunan dengan operasi komposisi internal tanpa sifat khusus), grup, gelanggang, dan medan. Masih banyak yang lain, seperti semigrup, monoid, atau gelanggang nonkomutatif, tetapi tidak ditampilkan agar mudah dibaca. Masing-masing merupakan pengkhususan struktur sebelumnya: setiap medan adalah gelanggang, setiap gelanggang adalah grup terhadap penjumlahan, dan seterusnya. Struktur medan paling penting karena, khususnya, merupakan struktur bilangan real atau kompleks dengan empat operasi hitung biasa. Struktur ini juga memungkinkan pembangunan ruang vektor di atasnya.

Kita kemudian dapat membentuk kombinasi linear serta membahas keluarga bebas linear, keluarga pembangun, basis, dan dimensi ruang vektor. Perhatikan bahwa dalam bab ini ada dua konsep basis yang harus dibedakan: basis aljabar, yang berlaku bagi semua ruang vektor, dan basis Hilbert, yang hanya berlaku bagi ruang Hilbert. Keduanya berimpit dalam dimensi hingga, tetapi tidak dalam dimensi tak hingga. Demikian pula, dimensi aljabar harus dibedakan dari dimensi Hilbert. Karena itu, beberapa pengingat diperlukan untuk pembahasan berikutnya.

Definisi ini setara dengan definisi lazim lainnya: keluarga $(e_i)_{i \in I}$ merupakan basis jika dan hanya jika bebas linear sekaligus membangun $E$. Konsep basis memungkinkan kita membicarakan dimensi ruang vektor.

Perhatikan bahwa bahkan dalam dimensi tak hingga, definisi basis aljabar mengharuskan setiap vektor diuraikan menjadi jumlah hingga vektor basis. Alasannya ialah kita tidak boleh begitu saja menggunakan penguraian menjadi jumlah tak hingga, karena kita harus mengetahui apakah jumlah tersebut konvergen, dan itu memerlukan topologi. Hal ini akan dimungkinkan dalam ruang Hilbert dan membenarkan konsep basis Hilbert yang disesuaikan, lihat Bagian 2.3.

Pertanyaan yang wajar adalah: berapa banyak ruang vektor yang berbeda? Dapatkah kita mengklasifikasikannya? Secara aljabar, jawabannya ya. Untuk itu diperlukan relasi ekuivalensi: isomorfisme ruang vektor, yaitu hubungan satu-ke-satu antara dua ruang vektor $E$ dan $F$ yang mempertahankan struktur linear:

Catatan: definisi ini murni aljabar. Ketika $E$ dan $F$ memiliki topologi yang kompatibel dengan struktur vektornya, kita membedakan konsep isomorfisme topologis: selain itu, $T$ dan $T^{-1}$ harus keduanya kontinu. Kita akan kembali pada hal ini untuk ruang vektor bernorma dan ruang Hilbert.

Kemudian berlaku teorema utama berikut:

Jadi, di atas $\mathbb{K} = \R$ atau $\C$, secara praktis hanya ada satu model ruang vektor berdimensi hingga $n$: masing-masing $\R^n$ atau $\C^n$, himpunan vektor-$n$ dengan komponen real atau kompleks.

Dalam dimensi tak hingga, prinsip klasifikasinya sama: jika aksioma pilihan diterima, dapat dibuktikan bahwa setiap ruang vektor memiliki basis (disebut basis Hamel), dan teorema klasifikasi digeneralisasi menjadi: dua ruang vektor di atas medan yang sama $\mathbb{K}$ isomorfik jika dan hanya jika basis-basisnya memiliki kardinalitas sama.

Kardinalitas basis tak hingga dinyatakan melalui bilangan kardinal transfinit. Bilangan ini membedakan berbagai “ukuran” ketakhinggaan. Kardinal tak hingga terkecil ditulis $\aleph_0$: itulah kardinalitas $\mathbb{N}$, juga $\mathbb{Z}$ dan $\mathbb{Q}$. Selanjutnya secara rekursif didefinisikan hierarki $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$, dengan setiap $\aleph_{n+1}$ kardinal terkecil yang benar-benar lebih besar daripada $\aleph_n$ (tidak ada kardinal di antara keduanya). Dalam logika matematika, hipotesis kontinuum mengasumsikan tidak ada ketakhinggaan berkardinalitas di antara $\mathbb{N}$ dan $\mathbb{R}$; dalam hal itu $\aleph_1$ adalah kardinalitas $\mathbb{R}$.

Namun, klasifikasi ini kurang berguna karena basis Hamel pada umumnya tidak dapat dibangun secara eksplisit. Jadi klasifikasi ruang vektor pada dasarnya tetap teoretis. Situasinya berubah dalam ruang bernorma dan ruang Hilbert, di mana basis ortonormal dapat diberikan secara eksplisit, setidaknya dalam dimensi Hilbert hingga atau tak hingga terhitung, lihat Bagian 3.

Namun, sebelum mencapai ruang Hilbert, kita perlu mengikuti cabang tengah peta matematika dan membahas ruang metrik serta ruang bernorma.

1.2. Ruang metrik dan ruang bernorma

Jika mengikuti cabang tengah peta (1), mula-mula himpunan titik harus dilengkapi topologi; rinciannya akan dibahas pada bab lain (topologi ruang bernorma dan ruang Hilbert). Di sini cukup diingat bahwa topologi memberikan konsep lokalitas yang memungkinkan definisi konvergensi, limit, dan kekontinuan. Khususnya, ruang metrik adalah ruang topologis: ruang titik yang dilengkapi jarak, dan jarak digunakan untuk mendefinisikan lokalitas.

Kini kita dapat menyatukan cabang aljabar dan topologi peta 1 dengan mempelajari ruang metrik yang himpunan dasarnya $X$ merupakan ruang vektor, atau dengan kata lain, ruang vektor yang dilengkapi jarak. Ini membawa kita pada struktur yang sangat penting dalam mekanika kuantum, dengan ruang Hilbert sebagai kasus khusus: ruang vektor bernorma, atau RVB.

Perhatikan bahwa kita tidak ingin mengizinkan sembarang jarak. Karena ruangnya linear, kita menginginkan jarak yang kompatibel dengan struktur vektor:

Syarat-syarat ini menyatakan bahwa jarak mempertahankan geometri ruang vektor: jarak harus invarian terhadap translasi (homogenitas ruang), dan homoteti harus mempertahankan perbandingan jarak^{2  3}. Sekarang pernyataan berikut membawa kita pada ruang bernorma: jika $d$ adalah metrik kompatibel pada ruang vektor $E$, pemetaan jarak terhadap titik asal, yaitu vektor nol, $\norm{x} = d(x, 0_E)$, merupakan norma.

Ruang vektor yang dilengkapi jarak semacam itu adalah ruang vektor bernorma:

Setiap ruang vektor bernorma $(E, \|\cdot\|)$ secara kanonik menentukan ruang metrik $(E, d)$ melalui $d(x,y) = \|x-y\|$, yang otomatis kompatibel dengan struktur vektor. Jadi, ruang vektor bernorma berkorespondensi bijektif dengan subkelas tertentu dari ruang metrik. Dalam pengertian ini, ruang tersebut merupakan himpunan bagiannya.

2. Ruang Hilbert

Kita kini mencapai ruang bernorma pada Gambar (1). Lazimnya, ruang vektor bernorma cukup disebut ruang bernorma, atau menggunakan singkatan RVB. Langkah berikutnya adalah mendefinisikan ruang pra-Hilbert, lalu ruang Hilbert, yang menjadi kerangka matematika mekanika kuantum.

Karena mekanika kuantum dibangun di atas bilangan kompleks, mulai sekarang kita membatasi diri pada $\mathbb{K} = \C$. Hingga kini huruf $E$ dan $F$ digunakan untuk ruang vektor dan ruang bernorma. Mulai sekarang, huruf $\mathcal{H}$ dan $\mathcal{G}$ digunakan untuk ruang (pra-)Hilbert. Vektor tetap ditulis $x, y, z$, dan seterusnya.

2.1. Ruang pra-Hilbert dan hasil kali dalam

Ruang pra-Hilbert adalah ruang vektor bernorma yang normanya berasal dari hasil kali dalam. Hal ini tidak selalu berlaku: beberapa norma tidak dapat diperoleh dari hasil kali dalam, misalnya norma supremum⁴. Jadi ruang pra-Hilbert merupakan himpunan bagian sejati dari ruang vektor bernorma. Kita mengingat kembali definisi hasil kali dalam Hermitian pada $\C$:

Gabungan sifat (1) dan (2) menyiratkan linearitas konjugat (atau antilinearitas) pada argumen pertama⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. Pemetaan yang linear pada satu argumen dan linear konjugat pada argumen lain disebut sesquilinear⁶. Selanjutnya kita cukup menyebut hasil kali dalam tanpa mengulang kata Hermitian: kata itu tersirat.

Mendahului pembahasan sifat topologis, kita nyatakan hasil penting: hasil kali dalam kontinu terhadap kedua variabel, artinya jika $x_n \to x$ dan $y_n \to y$ dalam pengertian norma (yaitu $\|x_n - x\| \to 0$ dan $\|y_n - y\| \to 0$), maka

Dalam postulat pengukuran kuantum, kita akan melihat bahwa probabilitas mengamati besaran fisik yang terkait dengan vektor eigen $\phi$, ketika sistem berada dalam keadaan $\psi$, diberikan oleh $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$ (lihat bagian 1.2 (Tema 3, Pelajaran 1, belum tersedia dalam bahasa ini)). Karena itu, kekontinuan hasil kali dalam menjamin bahwa perubahan kecil keadaan $\psi$ menghasilkan perubahan kecil probabilitas, sebagaimana diharapkan.

Hasil kali dalam memenuhi satu sifat dasar lain:

Ketaksamaan ini khususnya digunakan untuk membuktikan bahwa pemetaan $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ memang merupakan norma, sebagaimana disarankan notasinya.

Kita sampai pada definisi berikut:

Dalam ruang pra-Hilbert kompleks $\mathcal{H}$, berlaku rumus-rumus berguna berikut.

Dua rumus terakhir terkait dengan teorema penting yang menghubungkan hasil kali dalam Hermitian dan norma. Teorema Fréchet-von Neumann-Jordan menyatakan bahwa norma $\|\cdot\|$ pada ruang bernorma $E$ berasal dari hasil kali dalam jika dan hanya jika memenuhi identitas jajaran genjang. Identitas jajaran genjang adalah penguji: ia memeriksa apakah hasil kali dalam ada; jika ada, rumus polarisasi adalah resep untuk membangunnya kembali dari norma.

2.2. Kelengkapan dan ruang Hilbert

Untuk beralih dari ruang pra-Hilbert ke ruang Hilbert, satu konsep topologi mutlak diperlukan: kelengkapan.

Aspek-aspek topologis ini akan dibahas kembali pada bab khusus. Untuk saat ini, cukup dinyatakan bahwa kelengkapan sangat penting bagi fisika kuantum. Secara intuitif, ruang lengkap tidak memiliki « lubang ». Artinya, tidak mungkin ada barisan unsur $\mathcal{H}$ yang konvergen menuju sesuatu di luar $\mathcal{H}$. Inilah yang tidak dimiliki bilangan rasional: barisan rasional yang dibangun dengan tepat dapat menuju bilangan yang bukan rasional; justru dengan cara itulah himpunan bilangan real dibangun.

Dalam mekanika kuantum, setiap keadaan fisik sistem adalah vektor ruang Hilbert dan sebaliknya. Inilah postulat pertama mekanika kuantum. Akibatnya, jika ruang keadaan tidak lengkap, evolusi fungsi gelombang dapat, misalnya, « keluar dari ruang » di bawah persamaan Schrödinger dan menjadi « keadaan nonfisik », yang tidak masuk akal.

Kelengkapan juga berperan dalam postulat dasar lain: hasil pengukuran kuantum harus sesuai dengan spektrum observabel fisik yang dipandang sebagai operator linear adjoint-diri. Padahal suatu operator tidak selalu memiliki adjoint pada ruang yang tidak lengkap. Selain itu, kelengkapan diperlukan bagi teorema spektral yang memungkinkan kajian struktur operator adjoint-diri.

Akhirnya, setiap ungkapan kuantum yang melibatkan jumlah tak hingga (misalnya pengembangan deret Fourier, penguraian pada basis keadaan eigen, dan sebagainya) memerlukan kelengkapan agar bermakna. Contohnya, menulis $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ dalam notasi Dirac (lihat bagian 4 (Tema 2, Pelajaran 2)) mengasumsikan deret ini ada, dan hal itu hanya dijamin oleh kelengkapan.

Namun ada kabar baik: seluk-beluk kelengkapan ini hanya diperlukan dalam dimensi tak hingga. Dalam dimensi hingga, sebuah teorema penting menyederhanakan persoalan:

Kini kita dapat beralih pada deskripsi aljabar ruang Hilbert.

2.3. Basis aljabar dan basis Hilbert

Di atas kita mengingat definisi basis aljabar dalam ruang vektor, lihat Definisi 2. Basis ini memungkinkan penguraian vektor menjadi jumlah hingga. Gagasan utama di balik topologi yang diinduksi norma dan ruang lengkap adalah sebagai berikut. Kini kita dapat membicarakan konvergensi barisan. Khususnya, konvergensi jumlah parsial $(x_n)$, dengan $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ untuk vektor tertentu $x_k$. Jika jumlah ini konvergen, kita memperoleh deret, yaitu jumlah tak hingga: $(x_n) \to x$ dan $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. Ketika ruang lengkap, limit ini dijamin berada di dalam ruang.

Dengan kata lain, ketika dimensi aljabar ruang Hilbert tak hingga, sekarang kita dapat menguraikan vektor menjadi deret tak hingga. Ini memberikan konsep basis baru:

Untuk memahami definisi ini, diperlukan konsep topologis kerapatan:

Definisi ini juga berlaku bagi ruang Hilbert, yang khususnya bernorma. Jadi, totalitas berarti setiap vektor $\H$ dapat didekati sedekat apa pun oleh kombinasi linear hingga unsur-unsur $\H$.

Berbeda dari basis aljabar, kita tidak mengatakan setiap vektor terurai sebagai kombinasi linear hingga unsur-unsurnya, melainkan dapat didekati sedekat yang diinginkan oleh kombinasi linear basis Hilbert. Berkat kelengkapan, pendekatan ini benar-benar konvergen menuju x. Untuk kardinalitas $I$ sembarang, berlaku teorema berikut:

Hubungan antara definisi basis Hilbert dan teorema penguraian tidak langsung jelas.

Dalam dimensi tak hingga, kardinalitas basis aljabar selalu benar-benar lebih besar daripada kardinalitas basis Hilbert. Intuisinya sederhana: kombinasi linear hingga basis aljabar harus mencapai setiap titik $x$, sedangkan untuk basis Hilbert cukup mendekatinya. Jadi basis Hilbert « kurang teliti » dan membutuhkan lebih sedikit arah independen.⁸. Dengan kata lain, kombinasi linear hingga basis Hilbert hanya membentuk bagian sangat kecil dari ruang ($\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$). Jadi pada umumnya diperlukan deret tak hingga konvergen untuk merepresentasikan vektor-vektor $\mathcal{H}$.

Akhirnya, catat satu rumus lain yang sangat berguna dalam matematika fisika kuantum.

2.4. Dimensi Hilbert dan klasifikasi

Kita sudah memiliki hampir semua unsur untuk menyelesaikan klasifikasi seluruh ruang Hilbert. Yang belum ada adalah invarian mendasar, yaitu dimensi Hilbert:

Akhirnya, untuk mengklasifikasikan ruang Hilbert, diperlukan relasi ekuivalensi yang tepat antar ruang tersebut. Kita akan memperluas konsep isomorfisme ruang vektor pada Definisi 4, mula-mula ke ruang bernorma lalu ruang Hilbert, dengan untuk sementara menggunakan pengertian intuitif kekontinuan:

Perhatikan bahwa jika $T$ mempertahankan hasil kali dalam, $T$ otomatis mempertahankan norma ($\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$). Karena itulah digunakan istilah isometri (linear bijektif). Landasan klasifikasi adalah teorema berikut:

Tentu saja, kata dimensi kini merujuk pada dimensi Hilbert. Setiap ruang Hilbert isomorfik secara isometrik dengan salah satu ruang model ini, dan klasifikasinya lengkap. Kita akan membahasnya pada bagian berikut dengan mengesampingkan dimensi tak hingga tak terhitung, yang akan dipelajari jauh kemudian. Ruang-ruang ini menjadi acuan bagi sistem kuantum dengan derajat kebebasan hingga (misalnya spin), tak hingga terhitung (misalnya mekanika kuantum partikel titik), atau tak terhitung (misalnya teori medan kuantum).

3. Ruang model

3.1. Ruang Hilbert $\C^n$

Secara eksplisit, ini adalah himpunan tupel-$n$ bilangan kompleks:

yang dilengkapi:

• Hasil kali dalam Hermitian: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$ (perhatikan konjugat kompleks)
• Norma Euklides terkait: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$

Ini adalah RVB berdimensi $n$ yang dijamin lengkap karena berdimensi hingga di atas medan lengkap. Jadi, ini ruang Hilbert. Basis kanoniknya, sebagai vektor kolom, adalah:

Ini merupakan basis Hilbert berkardinalitas $n$, sekaligus basis aljabar: setiap vektor $x \in \mathbb{C}^n$ terurai tepat sebagai jumlah hingga:

Ruang Hilbert ini digunakan untuk setiap sistem kuantum dengan jumlah hingga keadaan yang dapat dibedakan satu sama lain, khususnya sistem dua tingkat atau qubit.

3.2. Ruang Hilbert $\ell^2(\mathbb{N})$

Ruang ini didefinisikan sebagai himpunan barisan yang kuadratnya dapat dijumlahkan:

Dapat dibuktikan bahwa ini ruang Hilbert jika dilengkapi:

• Hasil kali dalam: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$ (kali ini perhatikan jumlah tak hingga),
• Norma terkait: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$ (catatan yang sama)

Di sini keterhitungannya ditunjukkan melalui pembangunan eksplisit basis kanonik. Basis ini mirip dengan basis $\C^n$. Untuk setiap $i \in \mathbb{N}$, didefinisikan (juga sebagai vektor kolom):

yaitu vektor yang koordinat ke-$i$ bernilai $1$ dan lainnya $0$. Satu-satunya perbedaan dengan dimensi hingga ialah jumlah komponennya tak hingga.

Ruang Hilbert ini misalnya digunakan untuk mendeskripsikan osilator harmonik dalam mekanika kuantum: nanti akan kita lihat bahwa keadaan eigen energinya diindeks oleh bilangan bulat $n$ tanpa batas, sehingga setiap keadaan osilator harmonik ditulis sebagai deret semacam ini.

3.3. Ruang Hilbert $L^2(\R)$

Dalam mekanika kuantum partikel titik satu dimensi, fungsi gelombang $\psi(x)$ merupakan fungsi bernilai kompleks dari variabel real. Penafsiran probabilistik mengharuskan:

Karena itu, secara alami ruang terkait mekanika kuantum ini didefinisikan sebagai himpunan fungsi yang kuadratnya dapat diintegralkan:

Syarat “$< \infty$” menunjukkan bahwa keadaan selalu dapat dinormalisasi. Ruang ini dilengkapi hasil kali dalam:

yang menginduksi norma:

Dapat ditunjukkan bahwa ini menjadikannya ruang Hilbert, tetapi pembuktiannya tidak sepenuhnya sepele. Basis Hilbert eksplisit dapat diberikan. Beberapa basis dikenal (Hermite, wavelet, Laguerre, Walsh ...). Misalnya, mula-mula polinom Hermite didefinisikan melalui relasi rekurensi:

lalu fungsi Hermite didefinisikan:

di sini kita menerima bahwa fungsi-fungsi ini membentuk keluarga ortonormal:

dan total; jadi merupakan basis Hilbert. Catatan: ternyata ini juga basis eigen Hamiltonian osilator harmonik 1D. Untuk rincian lebih lanjut, lihat Wikipedia ^[7]. Dalam praktik, basis ini jarang digunakan karena ungkapan eksplisitnya sangat rumit. Diciptakan « basis lain » (yang sebenarnya bukan basis), yakni basis kontinu tergeneralisasi, ket terkenal $\ket{x}$ yang akan kita bahas kembali.

3.4. Ruang Hilbert $L^2(\mathbb{R}^3)$ dan $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

Dalam tiga dimensi, secara analog kita mempertimbangkan $L^2(\R^3)$ dengan hasil kali dalam

Untuk sistem $n$ partikel dalam tiga dimensi, ruang keadaannya adalah

Hasil kali dalamnya diberikan oleh

dan norma terkaitnya adalah

Semuanya merupakan ruang Hilbert (diterima tanpa bukti).

4. Penutup

Pembaca mungkin terkejut bahwa $L^2(\R)$, yang digunakan untuk mendeskripsikan mekanika kuantum partikel titik dalam 1D, isomorfik dengan $L^2(\R^3)$, yang memodelkan fisika tiga dimensi. Pada pelajaran lain kita akan membahas secara terperinci mengapa ini bukan paradoks. Gagasan utamanya: fisika tidak hanya ditentukan oleh ruang Hilbert, melainkan juga oleh sekumpulan observabel. Tidak ada isomorfisme dari $L^2(\R)$ ke $L^2(\R^3)$ yang dapat membawa seluruh aljabar observabel 1D sekaligus ke aljabar 3D (yakni dari satu pasangan $[\hat{X}, \hat{P}]$ ke tiga pasangan independen $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$).

Isomorfisme ini juga tidak menyatakan kesamaan matematis: kedua ruang Hilbert memang berbeda sebagai ruang fungsi, tetapi tetap isomorfik dalam struktur Hilbert. Isomorfisme hanya menyatakan bahwa keduanya serupa secara struktural, yakni ukurannya sama (dalam kardinalitas basis Hilbert) dan memiliki sifat struktur Hilbert yang sama: di bawah isomorfisme ini, norma, jarak, ortogonalitas, serta sifat topologis konvergensi, kekontinuan, dan sebagainya dipertahankan.

Jadi, meskipun hingga isometri hanya ada satu ruang Hilbert abstrak untuk kardinal tertentu, ada tak hingga realisasi konkretnya.

Namun waktu yang kita habiskan untuk memahami klasifikasi ruang Hilbert tidak sia-sia: seperti terlihat, klasifikasi ini berhubungan dengan situasi fisik berbeda menurut « dimensionalitas » sistem kuantum yang dipertimbangkan. Khususnya, klasifikasi ini disertai aturan perhitungan berbeda (jumlah hingga, deret tak hingga, atau integral kontinu menurut jenis basis). Teori operator linear yang terkait juga berubah secara radikal antara dimensi hingga dan tak hingga.

5. Referensi