Ruang Hilbert dan notasi Dirac

1. Gagasan dualitas

Dualitas menjadi benang merah seluruh pelajaran ini. Mari mencoba memberikan penafsiran intuitifnya. Dalam matematika, dualitas mencakup banyak situasi, tetapi dalam ruang Hilbert ia menyatakan gagasan sederhana sekaligus mendalam: vektor dapat dipandang bukan hanya sebagai objek tersendiri, melainkan juga sebagai operator yang bekerja pada vektor lain untuk menghasilkan bilangan (yakni sebagai bentuk linear). Dalam mekanika kuantum, bilangan yang dihasilkan merupakan amplitudo probabilitas.

Formalisme kuantum memanfaatkan kedua sisi ini sepenuhnya, dan notasi Dirac menyediakan sistem penulisan cerdik untuk memanipulasinya dengan mudah. Di dalamnya terdapat ket, ditulis $\ket{u}$, yang mewakili vektor dalam ruang, serta bra, ditulis $\bra{u}$, yang mewakili bentuk linear yang bekerja pada vektor tersebut. Gabungannya $\langle u|v\rangle$ menghasilkan skalar, disebut bracket, sedangkan ungkapan seperti $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ menyatakan operator.

Notasi ini telah menjadi bahasa baku fisika kuantum dan penguasaannya secara menyeluruh sangat diperlukan. Ringkasan aturan perhitungan akan disediakan setelah pelajaran ini. Sebenarnya, kita dapat belajar memanipulasi simbol-simbol ini tanpa benar-benar memahami matematika di baliknya. Namun, untuk menangkap maknanya yang mendalam, kita perlu menjalankan program yang diuraikan di sini: memahami bagaimana identifikasi lengkap antara vektor dan bentuk linear dibangun, dan mengapa langkah ini secara alami mengarah pada definisi objek penting lainnya, yaitu adjoint suatu operator.

Pada bagian berikutnya, kita akan mencoba membangun isomorfisme semacam itu antara ruang vektor dan dual aljabarnya, yang didefinisikan sebagai himpunan semua bentuk linearnya. Kita akan melihat bahwa hal itu tidak mungkin. Meskipun ruang vektor berdimensi hingga memang isomorfik dengan dualnya, isomorfisme tersebut tidak kanonik (bergantung pada pilihan basis sebarang). Dalam dimensi tak hingga, keadaannya bahkan lebih buruk: isomorfisme demikian sama sekali tidak ada. Kendala ini menggugurkan identifikasi otomatis antara vektor dan bentuk linear serta menjelaskan perlunya struktur ruang Hilbert yang lebih kaya.

Bagian 3 menunjukkan cara menggunakan struktur tambahan ini untuk mengatasi kesulitan tersebut. Dengan hasil kali dalam, serta dengan membatasi perhatian pada bentuk linear kontinu yang membentuk apa yang disebut dual topologis, kita memperoleh hasil luar biasa. Teorema Riesz menyatakan bahwa untuk setiap ruang Hilbert dengan dimensi berapa pun, terdapat isomorfisme isometrik antilinear dan kanonik antara ruang itu dan dual topologisnya.

Hasil ini memberikan dasar ketat bagi notasi Dirac, yang akan kita jabarkan dalam Bagian 4 dan 5 (ket dan bra, serta operator linear), sebelum menunjukkan bagaimana isomorfisme Riesz secara alami memunculkan konsep adjoint operator (Bagian 6). Bagian 7 merangkum konstruksi ini dalam diagram lengkap. Sepanjang pelajaran, kasus dimensi hingga akan digunakan sebagai contoh konkret untuk mengilustrasikan teori, dengan selalu bekerja pada lapangan $\mathbb{C}$.

2. Bentuk linear dan dual aljabar

Misalkan $E$ adalah ruang vektor atas $\C$. Dual aljabar $E^*$ didefinisikan sebagai himpunan bentuk linear pada $E$, yakni pemetaan linear $\varphi : E \to \C.$

Dalam dimensi hingga $n$, setelah menetapkan basis $(e_1,\dots,e_n)$ bagi $E$, kita dapat membangun keluarga bentuk linear yang bersesuaian $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ dalam $E^*$, yang didefinisikan oleh hubungan:

Dapat dibuktikan bahwa keluarga ini bebas linear dan merentang ruang, sehingga merupakan basis $E^*$ (disebut basis dual). Maka $\dim(E^*) = \dim(E)$, yang berarti $E$ dan $E^*$ isomorfik. Salah satu isomorfisme yang mungkin ialah pemetaan $T$ yang mengaitkan setiap vektor $x = \sum x_i e_i$ dengan bentuk linear $w_x = \sum x_i \theta_i$.

Namun, isomorfisme $T$ ini dapat dikatakan buatan, karena bergantung pada pilihan awal basis $E$. Jika basis diganti, pemetaan $T$ juga berubah. Jadi, tidak ada identifikasi kanonik (alami) antara ruang vektor dan dual aljabarnya.

Dalam dimensi tak hingga, hasil klasik menunjukkan bahwa $E$ tidak pernah isomorfik dengan dual aljabarnya karena dimensi dual itu selalu lebih besar secara ketat (lihat teorema Erdös–Kaplansky). Contohnya, jika dimensi aljabar $E$ terhitung, dimensi aljabar dual aljabarnya tidak terhitung.

Jadi, dalam kedua kasus tidak ada identifikasi kanonik antara vektor dan bentuk linear.

3. Dual topologis dan teorema Riesz

Dalam ruang Hilbert $\H$, norma yang terkait dengan hasil kali dalam memungkinkan kita membedakan kelas khusus bentuk linear: bentuk yang kontinu. Kita menyebut $\varphi : \H \to \C$ kontinu di $x_0$ jika

dan jika kontinu di satu titik, linearitas menjadikannya kontinu di mana-mana¹. Himpunan bentuk linear kontinu merupakan subruang vektor dari dual aljabar. Himpunan ini disebut dual topologis dan kembali ditulis (dengan penyalahgunaan notasi) $\H^*$.

Catatan: norma ini merupakan kasus khusus norma operator yang akan kita temui lagi nanti (lihat bagian 1.5 (Tema 4, Pelajaran 3, belum tersedia dalam bahasa ini)). Konstruksi di atas sendiri berlaku untuk setiap ruang bernorma. Kekhasan kasus Hilbert terletak pada teorema berikut: hasil kali dalam digunakan untuk membangun identifikasi bijektif antara setiap bentuk linear kontinu dan suatu vektor:

Perhatikan bahwa pemetaan $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ dari $\mathcal{H}$ ke $\H^*$ bersifat injektif bahkan dalam ruang yang hanya pra-Hilbert. Memang, jika $\varphi_u = \varphi_v$, maka untuk setiap $x$ dalam $\mathcal{H}$ berlaku $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$, sehingga $u = v$ dengan memilih $x = u - v$ dan menggunakan kepositifan definit hasil kali dalam.

Teorema Riesz kemudian menyatakan bahwa pemetaan ini juga surjektif. Hasil tersebut tidak sepele dan hanya berlaku dalam ruang Hilbert. Sebagai contoh, dalam ruang pra-Hilbert yang tidak lengkap, pemetaan ini tidak surjektif karena terdapat bentuk linear kontinu yang tidak dapat ditulis sebagai hasil kali dalam dengan suatu vektor dari ruang yang tidak lengkap itu.

Dengan demikian, teorema Riesz menyediakan bijeksi $\Phi$ antara $\mathcal{H}$ dan $\mathcal{H}^*$ yang kita cari. Kita memperoleh akibat berikut:

4. Notasi Dirac: bra, ket, bracket

Notasi Dirac sekarang hanyalah penulisan ulang isomorfisme Riesz. Kita pertama-tama mendefinisikan ket, bra, dan bracket, lalu menggunakannya untuk menuliskan kembali dekomposisi pada basis Hilbert yang dibahas dalam pelajaran sebelumnya.

1. Ket. Vektor $u \in \mathcal{H}$ ditulis sebagai ket dengan notasi berikut: $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$

   Struktur linear memberikan aturan perhitungan berikut:

   $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. Bra. Setiap vektor $u \in \H$ dikaitkan melalui $\Phi$ dengan bentuk $\varphi_u$. Bentuk linear ini ditulis sebagai bra, dengan vektor terkait ditulis di dalam bra: $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$

   Jadi, $\bra{u}$ mewakili vektor $u$ yang dipandang sebagai bentuk linear, yakni tindakan « mengambil hasil kali dalam dengan $u$ dan menghasilkan sebuah bilangan ». Aturan perhitungannya adalah:

   $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ yang merupakan akibat antilinearitas $\Phi$.
3. Bracket. Dua cara penulisan tadi memungkinkan hasil kali dalam, yang disebut bracket dalam bahasa Inggris (juga inner product), dibentuk sebagai perkalian bra dengan ket: $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$

   Notasi ini sebenarnya mencerminkan aksi bentuk linear $\bra{u}$ pada vektor $\ket{x}$:

   $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. Dekomposisi Hilbert. Untuk ruang Hilbert berdimensi berapa pun, kita telah melihat rumus dekomposisi $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$, dengan jumlah yang hingga atau konvergen dalam $\mathcal{H}$ jika $I$ tak hingga. Dalam notasi Dirac, rumusnya menjadi:

   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)

   dengan $u_i$ komponen ket $u$ dalam basis tersebut. Perhatikan bahwa komponen ini diperoleh melalui proyeksi ortogonal pada $e_i$ dalam bentuk $u_i = \braket{e_i}{u}$, dan bukan $\braket{u}{e_i}$, yang bernilai $u_i^*$. Kesalahan ini sering terjadi, mungkin karena dalam kalkulus vektor biasa pada $\R^n$, komponen $v_i$ vektor $\vec{v}$ diperoleh dari $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$, sehingga orang dapat menyangka bahwa $u_i = \braket{u}{e_i}$ dalam kasus kuantum. Namun, hal ini mengabaikan sesquilinearitas hasil kali dalam pada $\C$ dan langsung menyebabkan kesalahan perhitungan.

   Untuk bra, kita memiliki:

   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)

   dan kuadrat norma ditulis

   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   dengan kesamaan kedua merupakan identitas Parseval.
5. Operasi « dagger ». Penggunaan isomorfisme $\Phi$ (dari ket ke bra) biasanya ditandai simbol $\dagger$ sebagai superskrip. Kita memilih simbol yang sama untuk isomorfisme invers $\Phi^{-1}$ dari bra ke ket. Dengan demikian, operasi dagger bersifat involutif. Berdasarkan konvensi penulisan ini: $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(pemetaan } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(pemetaan } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(involusi)} \end{aligned}$$

Mari ilustrasikan berbagai hal ini dalam dimensi hingga. Kita memilih $\H$ berdimensi $n$ dan basis Hilbert $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ dengan hasil kali dalam kanoniknya (lihat bagian 3.1 (Tema 2, Pelajaran 1)). Dengan mewakili ket basis secara kanonik sebagai vektor kolom, yakni matriks $(n,1)$:

dengan $1$ pada posisi ke-$i$, semua ket $\ket{u}$ dapat ditulis sebagai vektor kolom

dengan $u_i = \braket{e_i}{u}$. Bentuk linear $\varphi_u$ yang terkait dengan vektor $u$ harus memenuhi, untuk setiap vektor $v$:

Untuk menghasilkan jumlah tersebut, $\bra{u}$ harus diwakili oleh vektor baris berukuran $(1, n)$ yang memuat koordinat konjugat dari $u$:

karena dengan demikian hasil kali dalam $\braket{u}{v}$ diperoleh melalui perkalian matriks biasa:

Sebagai contoh, dalam dimensi 2:

Kita memperoleh hasil berikut:

Perhatikan bahwa hal ini tidak bermakna dalam dimensi tak hingga karena transpos tidak didefinisikan. Meski demikian, dalam ruang $\ell^2(\N)$ dengan basis kanoniknya, situasi cukup serupa bila kita membayangkan vektor kolom atau baris tak hingga serta mengganti jumlah hingga dengan deret konvergen. Cara ini berguna untuk membangun intuisi, tetapi secara ketat objek tersebut bukan matriks dan operasinya bukan transposisi.

5. Operator, elemen matriks, dekomposisi identitas

Kita melanjutkan uraian notasi Dirac, kini dengan memperkenalkan pemetaan linear (juga disebut operator linear) $\hat A$ dari $\mathcal{H}$ ke $\mathcal{G}$, dengan $\mathcal{G}$ ruang Hilbert lainnya.

Penulisan operator. Pertama, perhatikan bahwa dalam fisika operator lazim ditulis dengan tanda topi. Operator $\hat A$ yang bekerja pada vektor $v$ menghasilkan vektor $\hat A v$. Karena itu, dalam notasi Dirac terdapat dua penulisan setara, dengan yang kedua lebih sering digunakan:

Demikian pula, hasil kali dalam yang melibatkan operator dapat ditulis sebagai:

dengan penulisan kedua lebih sering digunakan karena alasan estetika.

Elemen matriks. Dalam rumus di atas, kasus $\bra{w} = \bra{e_i}$ dan $\ket{u} = \ket{e_j}$ sangat penting karena mendefinisikan apa yang disebut elemen matriks operator $\hat A$:

Dalam dimensi tak hingga, ungkapan ini tidak selalu bermakna karena $\ket{e_i}$ harus termasuk dalam domain operator $\hat A$. Hal ini akan dibahas kembali. Dalam dimensi hingga, definisinya jelas: jika vektor basis ditulis sebagai vektor kolom, operator linear berkorespondensi satu-satu dengan matriks yang mewakilinya; jadi kita menulis $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ dengan $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. Persamaan $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ di atas lalu menjadi perkalian matriks biasa $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$, sedangkan hasil kali dalam ditulis $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$.

Operator ket-bra. Bracket adalah bilangan, tetapi ket-bra adalah operator, disebut hasil kali luar (tidak berkaitan dengan hasil kali luar bentuk diferensial). Untuk dua vektor $\ket{u}$ dan $\ket{v}$ dalam ruang Hilbert $\H$ yang sama, kita mengaitkan operator $\ket{u}\bra{v}$ dari $\H$ ke $\H$ yang didefinisikan oleh:

Di sini juga, dalam dimensi hingga, kasus $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$ sangat penting. Semua elemen matriks operator ini nol kecuali satu "1" pada baris $i$ dan kolom $j$; matriks terkait adalah:

Dalam dimensi hingga, setiap operator linear $\hat{A}$ dapat didekomposisi menurut elemen matriksnya:

dengan $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. Perhatikan bahwa dalam dimensi tak hingga dekomposisi ini tidak selalu mungkin; jika ada, dekomposisi harus dipahami dalam arti konvergensi kuat. Kita akan kembali membahasnya dalam pelajaran berikutnya.

Dekomposisi operator identitas. Operator identitas pada $\mathcal{H}$, ditulis $\mathbf{1}$, secara langsung didefinisikan oleh $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ untuk setiap $\ket{x} \in \mathcal{H}$. Dalam dimensi hingga, operator ini tentu diwakili matriks identitas. Secara lebih umum, berlaku rumus

yang juga berlaku dalam dimensi tak hingga terhitung, dengan deret yang konvergen kuat. Rumus ini juga disebut resolusi identitas atau relasi ketertutupan. Rumus tersebut sangat berguna untuk seluruh perhitungan mekanika kuantum. Perhatikan bahwa rumus ini salah dalam ruang nonseparabel²

6. Operator adjoint

Kembali ke isomorfisme Riesz, mari pertimbangkan operator linear kontinu³ $\hat{A}$ dari $\mathcal{H}$ ke $\mathcal{G}$, dengan $\H$ dan $\G$ dua ruang Hilbert yang mungkin memenuhi $\H = \G$.

Ketika $\hat{A}$ bekerja pada ket $\ket{u} \in \mathcal{H}$, diperoleh ket baru $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$. Wajar jika kita menanyakan bra yang terkait melalui isomorfisme Riesz dengan vektor $\ket{v}$, yakni bentuk linear pada $\G$: $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$. Pertanyaan ini secara alami membawa kita pada operator baru, disebut adjoint dari $\hat{A}$, dan juga ditulis $\hat{A}^\dagger$. Operator ini memainkan peran penting dalam mekanika kuantum.

Untuk mengetahui bentuk $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$, tetapkan ket sebarang $\ket{w} \in \mathcal{G}$ dan pertimbangkan bentuk linear pada $\H$:

(Indeks $\G$ di atas menunjukkan ruang tempat hasil kali dalam harus dihitung.) Kita menerima di sini bahwa $\varphi$ adalah bentuk linear kontinu pada $\mathcal{H}$ bila $\hat{A}$ operator kontinu. Berdasarkan teorema Riesz yang diterapkan pada $\mathcal{H}$, terdapat vektor unik $\ket{z} \in \mathcal{H}$ sehingga $\varphi = \varphi_z$, yaitu:

Konstruksi tadi mengaitkan vektor $\ket{w}$ dari $\G$ dengan vektor unik $\ket{z}$ dari $\H$. Secara formal, operasi ini dapat ditulis sebagai aksi operator, disebut operator adjoint dan ditulis $\hat{A}^\dagger$, dalam bentuk $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$. Jadi, operator $\hat A$ bekerja dari $\H$ ke $\G$, sedangkan adjointnya bekerja dari $\G$ ke $\H$.

Dengan melengkapi konstruksi ini untuk setiap $\ket{w}$, mudah diperiksa bahwa operator yang didefinisikan memang linear dan kontinu. Kita memperoleh hasil mendasar berikut:

Adjoint memiliki dua kegunaan praktis dalam perhitungan kuantum formal.

1. Rumus sebelumnya menunjukkan bahwa, dapat dikatakan, « dengan posisi $u$ dan $w$ tetap, adjoint memungkinkan operator dipindahkan dari kiri ke kanan ».
2. Dengan menggunakan simetri Hermitian hasil kali dalam, $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$, kita juga memperoleh:
   $$\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)

   yang kali ini menunjukkan bahwa « adjoint memungkinkan bra dan ket dipertukarkan dengan mengambil konjugat kompleks ».

Kedua identitas ini setara. Tentu kita harus memperhatikan ruang asal dan tujuan $\H$ serta $\G$, dan hasil kali dalam mana yang digunakan, milik $\H$ atau milik $\G$. Namun, dalam praktik hampir selalu $\H = \G$, sehingga notasinya menjadi lebih sederhana.

Sekarang kita ilustrasikan konstruksi sebelumnya dalam dimensi hingga. Hasil utamanya adalah:

Kita belum menjawab secara eksplisit pertanyaan: apa bra $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ yang terkait secara kanonik dengan ket $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$? Rumus (6) menjawabnya melalui hasil kali dalam yang berlaku untuk setiap vektor $w$, sehingga kita dapat menulis:

Kesimpulannya diperoleh dengan mengamati bahwa dua bentuk linear yang bernilai sama pada setiap vektor $w$ pasti sama. Namun, sangat penting untuk memahami objek ini dengan benar. Kekeliruan yang sering muncul ialah mengira dari notasi tersebut bahwa « adjoint bekerja ke kiri pada bra ». Itu salah! Objek $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ sebenarnya merupakan komposisi operator, bukan aksi ke kiri. Ruang asal dan tujuannya adalah:

sehingga $\bra{u} \hat A^\dagger$ adalah komposisi $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$, yang memang merupakan bentuk linear pada $\mathcal{G}$. Simbol $\circ$ biasanya dihilangkan, sehingga dapat menimbulkan kebingungan.

Terakhir, dari $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$, operasi dagger menghasilkan rumus berguna berikut:

Gambar berikut merangkum hubungan antara bra, ket, operator $\hat A$, dan adjointnya yang dibahas dalam pelajaran ini.

Kita mengakhiri bagian ini dengan beberapa sifat penting operasi adjoint:

7. Referensi