Scheda n. 1: Notazione di Dirac in dimensione finita

Parole chiave : Notazione di Dirac, Prodotto scalare hermitiano, Aggiunto, Operatore ket-bra, Risoluzione dell'identità, Dimensione finita, Elementi di matrice, Traccia, Trasposizione coniugata, Formulario

Gli oggetti definiti soddisfano proprietà fondamentali, valide in qualsiasi dimensione dello spazio di Hilbert e indipendentemente dal fatto che gli operatori siano limitati. Nel caso non limitato si può ancora definire un aggiunto, ma è matematicamente più sottile; vi torneremo nel prossimo tema sulla teoria degli operatori lineari. Poiché tutto il mondo usa Dirac, queste proprietà costituiscono di fatto le regole algebriche del calcolo quantistico, ed è indispensabile padroneggiarle.

Questa lezione riunisce tutte le formule utili viste finora, anche ripetendole, e ne aggiunge alcune. Prima diamo quelle valide in qualsiasi dimensione; poi il formulario in dimensione finita, dove Dirac si riduce a un calcolo matriciale esplicito.

1. Regole di calcolo in qualsiasi dimensione

Proprietà del prodotto scalare.

Siano (∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2 due vettori dello spazio di Hilbert e (λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 scalari. Il prodotto scalare soddisfa:

  1. Simmetria hermitiana:
    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}
    (1)
  2. Antilinearità a sinistra: il bra associato a λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi} è λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi}, ossia:
    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣e⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{e} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }
    (2)
  3. Linearità a destra:
    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}
    (3)
  4. Combinazioni lineari: le proprietà precedenti permettono di sviluppare espressioni complicate nel modo consueto. Per ogni α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C, per esempio:
    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }
    (4)
  5. Norma: per definizione,
    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}
    (5)
    con uguaglianza se e solo se ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 è il vettore nullo, talvolta, ma raramente, indicato con ∣∅⟩\ket{\varnothing}.
Proprietà dell'aggiunto.

Ripetiamo le due formule che fungono da definizione:

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

e

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

Questo permette anche di dimostrare, per simmetria hermitiana:

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

Proprietà degli operatori aggiunti.

Per tutti gli operatori lineari continui A^,B^\hat{A}, \hat{B} su H\mathcal{H} e ogni scalare λ∈C\lambda \in \mathbb{C}:

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (antilinearitaˋ)(A^B^)†=B^†A^†,(attenzione all’ordine)(A^†)†=A^,    (involuzione).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(antilinearità)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(attenzione all'ordine)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(involuzione)}. \end{aligned}
Operatore ket-bra.

Un bracket è un numero, ma un ket-bra è un operatore, detto prodotto esterno, senza rapporto con il prodotto esterno delle forme differenziali. A due vettori ∣φ⟩\ket{\phi} e ∣ψ⟩\ket{\psi} associamo l'operatore ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} definito da:

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
Decomposizione dell'operatore identità.

L'identità in H\Hilb è indicata con 1\mathbf{1} e definita da 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb. In una base hilbertiana numerabile {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I}, con II finito o infinito numerabile, l'operatore identità 1\mathbf{1} si scrive:

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

Questa formula è estremamente utile in pratica. Si chiama anche risoluzione dell'identità o relazione di chiusura. Il membro destro è una somma in dimensione finita o una serie convergente in dimensione infinita numerabile. È falsa in dimensione non numerabile.

Decomposizione hilbertiana.

La formula precedente recupera direttamente il teorema di decomposizione della lezione 1, definendo ψi\psi_i come componente del ket ∣ψ⟩\kpsi lungo ∣ei⟩\ket{e_i}:

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

È una somma o una serie secondo la dimensione. La decomposizione del ket ha il suo equivalente per i bra:

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

La norma è allora:

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

Osservazione 1 (Attenzione all'ordine!)
Le componenti del ket sono ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi}, e non ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i}, che vale ψi∗\psi_i^*. Il prodotto scalare hermitiano non è commutativo; bisogna fare attenzione all'ordine. In Rn\mathbb{R}^n con il prodotto scalare euclideo consueto si ricava la componente viv_i di v⃗\vec{v} mediante vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i. Questo potrebbe suggerire la formula quantistica ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i}, ma è sbagliata!
Alcuni operatori particolari.

Il prossimo tema presenta in dettaglio la teoria degli operatori lineari su un Hilbert. Annotiamo già alcuni casi frequenti. Fra gli operatori H→H\Hilb \to \Hilb, avremo in particolare:

  1. A^\hat A, hermitiano o autoaggiunto se A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A},
  2. U^\hat U, unitario se U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1},
  3. P^\hat P, un proiettore se P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P},
  4. P^\hat P, un proiettore ortogonale: un proiettore autoaggiunto.

Gli operatori unitari sono biiettivi, lineari e preservano il prodotto scalare. Li conosciamo già: sono gli isomorfismi isometrici, qui più precisamente automorfismi isometrici poiché consideriamo soltanto operatori lineari da H\Hilb in sé.

2. Formulario in dimensione finita

Se lo spazio di Hilbert ha dimensione finita nn, possiamo precisare ulteriormente le regole. Tutte le formule della sezione precedente valgono, scrivendo le somme come finite: ∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}.

Scelta una base ortonormale B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n, Dirac corrisponde a un calcolo matriciale esplicito che ora descriviamo. Attenzione: quanto segue non ha alcun senso in dimensione infinita.

Ket come vettori colonna.

Rappresentiamo canonicamente i ket della base B\mathcal{B} mediante matrici (n,1)(n,1), o vettori colonna:

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

L'11 occupa l'ii-esima posizione. Mediante la decomposizione algebrica

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

tutti i ket si scrivono come colonne: per ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H} scriviamo:

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

Ometteremo la base B\mathcal{B} di questa espansione salvo quando necessario. Le componenti si ottengono per proiezione ortogonale:

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

Bra come vettori riga coniugati.

La forma φu\varphi_u associata al vettore uu deve soddisfare, per ogni vettore vv:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

per l'antilinearità del prodotto scalare hermitiano a sinistra. Per ottenere questa somma come prodotto matriciale, ⟨u∣\bra{u} deve essere la riga delle coordinate coniugate di uu:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

Allora il prodotto scalare ⟨u|v⟩\braket{u}{v} è il consueto prodotto matriciale:

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

Così il bra ⟨u∣\bra{u} è il trasposto coniugato del ket ∣u⟩\ket{u}. L'operazione dagger equivale in dimensione finita a prendere la trasposta coniugata:

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

Questo è falso in dimensione infinita e non ha nemmeno senso, perché la trasposizione non è definita1.

Nota 1: Al limite, in ℓ2(N)\ell^2(\N) con la base canonica descritta nella Sezione 3.2 (Tema 2, Lezione 1), tutto funziona in modo simile considerando colonne o righe infinite e sostituendo somme finite con serie convergenti. Può aiutare l'intuizione, ma a rigore non sono matrici. In L2(R)L^2(\R) non ha più alcun senso, benché esista anche un analogo integrale; si veda la prossima lezione.
Rappresentazione matriciale degli operatori.

In una base ortonormale {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n in dimensione finita, ogni operatore lineare A^\hat{A} si decompone come:

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

Questo conduce in dimensione finita all'identificazione naturale fra l'operatore lineare A^\hat{A}, con cappello, e la sua matrice AA, senza cappello. La formula è l'equivalente di Dirac dello sviluppo matriciale A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}, dove EijE_{ij} è la matrice elementare con un 11 nella posizione (i,j)(i,j) e zeri altrove. Così EijE_{ij} rappresenta l'operatore ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j}. I coefficienti AijA_{ij} si chiamano elementi di matrice dell'operatore A^\hat{A} nella base {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\}. Valgono:

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

Per ragioni estetiche, è più comune scrivere:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

L'identità è naturalmente rappresentata dalla matrice identità; i suoi elementi sono δij\delta_{ij}, il simbolo di Kronecker.

Traccia di un operatore.

In seguito considereremo spesso la traccia di un operatore A^\hat{A}. In Dirac si calcola mediante:

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

Questa espressione non dipende dalla scelta della base ortonormale.

Aggiunto e trasposta coniugata.

In dimensione finita, la matrice dell'aggiunto A^†\hat{A}^\dagger è la trasposta coniugata della matrice dell'operatore A^\hat{A}:

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

Una breve dimostrazione mostra come applicare le regole precedenti. Gli elementi di matrice di A^†\hat{A}^\dagger sono per definizione:

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

Per la definizione dell'aggiunto:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

Per simmetria hermitiana, ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*, che è proprio l'elemento di matrice Aji∗A_{ji}^*. Quindi:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

La proprietà è dimostrata. In dimensione finita potremo verificare mediante calcolo matriciale esplicito se un operatore è hermitiano, unitario, ecc.

3. Riferimenti

Non sono ancora stati aggiunti riferimenti per questa lezione.