Spazi di Hilbert e notazione di Dirac

1. Base continua generalizzata di $L^2(\mathbb{R})$

Abbiamo già descritto lo spazio modello $L^2(\R)$ nella Sezione 3.3 (Tema 2, Lezione 1), esibendo in particolare una base hilbertiana numerabile. Ogni stato fisico si decompone allora in una serie nella base delle funzioni di Hermite. Purtroppo le loro espressioni esplicite sono piuttosto scomode.

Si è quindi introdotta un'altra «base», che non è realmente una base hilbertiana, bensì una base continua generalizzata. Il passaggio alla dimensione infinita è delicato; la costruzione rigorosa richiede gli strumenti del prossimo tema sulla teoria degli operatori lineari. Ammettiamo provvisoriamente il formulario seguente come istruzioni per usare Dirac in questa «base», non come una costruzione matematica già stabilita.

1.1. Base generalizzata nella rappresentazione di posizione

Cerchiamo comunque di dare alcune idee. Introduciamo anzitutto un operatore autoaggiunto detto «di posizione», indicato con $\hat{X}$, che agisce sulle funzioni dello spazio di Hilbert $L^2(\mathbb{R})$ per moltiplicazione:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

Attenzione al dominio di definizione. L'espressione ha senso solo se la funzione $x\,\psi(x)$ rimane in $L^2(\R)$. Non accade sempre: certe funzioni a quadrato integrabile diventano divergenti moltiplicandole per $x$.¹ Così $\hat{X}$ non può essere definito su tutto $L^2(\R)$, ma soltanto su un sottospazio di funzioni la cui immagine rimane in $L^2$.

Per disporre di un dominio ben definito, denso in $L^2$ e stabile rispetto alle operazioni consuete (derivazione, moltiplicazione per $x$, trasformata di Fourier), introduciamo lo spazio delle funzioni di Schwartz, indicato con $\mathcal{S}(\R)$:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

Sono quindi funzioni lisce a decrescenza rapida, tali che $f$ e tutte le sue derivate tendono a zero più rapidamente di qualsiasi potenza inversa di $x$.

Lo spazio $\mathcal{S}(\R)$ è:

• denso in $L^2(\R)$: ogni funzione di $L^2$ può essere approssimata arbitrariamente bene mediante funzioni di $\mathcal{S}$,
• stabile per derivazione, moltiplicazione per $x$ e trasformata di Fourier.

È dunque il dominio naturale per definire correttamente gli operatori di posizione $\hat{X}$ e impulso $\hat{P}$, e fonda le costruzioni rigorose del formalismo di Dirac e della terna di Gelfand.

Con queste precauzioni possiamo scrivere, per ora in modo puramente formale², gli autostati di $\hat{X}$:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

Questi ket $\ket{x}$ costituiscono una base continua generalizzata, poiché rappresentano gli elementi di $L^2(\R)$ come sovrapposizioni continue, benché gli stessi $\ket{x}$ non siano vettori dello spazio di Hilbert.

In realtà non sono ket in senso proprio, perché non sono normalizzabili. Vediamo perché. La famiglia è non numerabile, quindi la sua ortonormalità non si esprime con il simbolo discreto di Kronecker $\delta_{ij}$, ma con la sua «versione continua»:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

In particolare:

Abbiamo introdotto la delta di Dirac $\delta(x)$, che non è una funzione ordinaria, ma una distribuzione della teoria delle distribuzioni matematica. Si definisce attraverso la sua azione sotto l'integrale:

per ogni funzione test $f$ dello spazio di Schwartz. Occorre capire che $\delta(x)$ da sola non ha senso; non è nemmeno un numero. In realtà $\delta$ è una forma lineare $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ sulle funzioni test³. È definita soltanto dalla sua azione sotto l'integrale (2), non dai suoi valori $\delta(x)$.

Se insistiamo nel vederla come funzione, possiamo considerarla come il limite di una successione di funzioni sempre più concentrate attorno a zero, per esempio gaussiane sempre più strette:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

Oppure come rettangoli centrati in zero la cui larghezza tende a zero e altezza all'infinito. In questa immagine la delta appare al limite come una «funzione» nulla tranne che in $x = 0$, dove diverge, mantenendo un'area totale sotto la curva pari a 1.

Per questo in fisica si scrive comunque $\delta(0) = \infty$, ma bisogna capire l'abuso di notazione e significato. In ogni caso, per l'eq. (1), ciò mostra che il ket $\ket{x}$ non è normalizzato. La delta di Dirac possiede anche una rappresentazione integrale estremamente utile, probabilmente la formula più importante di questa sezione:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

Anche qui l'uguaglianza va intesa nel senso delle distribuzioni, perché l'integrale evidentemente non converge e altrimenti non avrebbe senso.

Gli «elementi di matrice» dell'operatore posizione $\hat{X}$ sono $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$. Continuiamo a chiamarli così, per confronto con la sezione precedente in dimensione finita, benché $\hat{X}$ non ammetta una matrice ordinaria. Potremmo immaginare una «matrice a indici continui», diagonale in senso distribuzionale, ma senza valore propriamente definito sulla diagonale $x = x'$, poiché $x\,\delta(0)$ non è un numero reale. Qui si vede probabilmente la differenza fondamentale fra operatori lineari in dimensione finita, ossia matrici, e in dimensione infinita.

Nella base generalizzata, la risoluzione dell'identità è:

Permette di esprimere la decomposizione di qualsiasi ket $\kpsi$ dello spazio di Hilbert in questa base continua come un integrale:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

Abbiamo definito la funzione d'onda:

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

Analogamente, il bra coniugato di $\kpsi$ si sviluppa come:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

Abbiamo usato la simmetria hermitiana del prodotto scalare: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

La componente in $x$ del vettore $\hat{X} \psi$, che per definizione vale $\braket{x}{X\psi}$, viene solitamente scritta, ancora per ragioni estetiche e confrontando con l'eq. (4 (Tema 2, Lezione 2)), come:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. Nella rappresentazione di impulso

Nella meccanica quantistica di una particella puntiforme si introduce analogamente l'operatore impulso, o quantità di moto, attraverso la sua azione sulle funzioni d'onda $\psi(x)$ di $L^2(\mathbb{R})$:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

Anche qui dobbiamo limitarci al dominio di Schwartz affinché la funzione d'onda sia derivabile e la sua derivata rimanga a quadrato integrabile.

Un ottimo esercizio di applicazione di questo capitolo è verificare che $\hat{P}$ sia davvero autoaggiunto. A tal fine studiamo prima l'operatore di derivazione, indicato con:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

È lineare, perché la derivazione è lineare: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$. Chiaramente non può essere rappresentato da una matrice come in dimensione finita: agisce differenzialmente su uno spazio di funzioni di dimensione infinita. Non possiamo calcolarne l'aggiunto per trasposizione coniugata, ma possiamo usare la definizione. Per due funzioni test di $\mathcal{S}(\R)$, $\phi$ e $\psi$, soddisfa:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

si veda la definizione 2 (Tema 2, Lezione 2). Inserendo la risoluzione dell'identità, il membro sinistro dà:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

Così l'aggiunto di $\hat{D} = d/dx$ è $-\hat{D} = -d/dx$. Nella prima riga abbiamo inserito la risoluzione dell'identità fra bra e ket; nella seconda distribuito e nella terza usato la simmetria hermitiana. Nella quarta abbiamo usato la definizione di $\hat{D}$ e delle funzioni d'onda; nella quinta integrato per parti su $\R$. I termini al bordo all'infinito si annullano perché le funzioni di Schwartz decrescono più rapidamente di qualsiasi monomio. Infine torniamo dalle funzioni d'onda ai prodotti scalari, raccogliamo ed eliminiamo la risoluzione dell'identità. Dunque l'operatore impulso è autoaggiunto, perché

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

L'autoaggiuntezza di $\hat{P}$ garantisce che i suoi autovalori, gli impulsi possibili, siano reali e che le sue autofunzioni formino una base completa dello spazio degli stati in senso generalizzato, mediante distribuzioni di Dirac.

Autostati dell'impulso. In modo del tutto analogo definiamo i «ket» generalizzati $\ket{p}$ come autostati di $\hat{P}$:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

Nella rappresentazione di posizione otteniamo la funzione d'onda associata proiettando su $\bra{x}$:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

È una semplice equazione differenziale la cui soluzione è:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

Questo mostra che la trasformazione fra le rappresentazioni di posizione e impulso è precisamente la trasformata di Fourier.

Ortogonalità e completezza. I ket $\ket{p}$ soddisfano relazioni analoghe a quelle dei $\ket{x}$:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

La funzione d'onda nella rappresentazione di impulso si definisce come:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

La trasformazione $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ è dunque Fourier; la trasformazione inversa è:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

Commutazione fondamentale. Infine gli operatori $\hat{X}$ e $\hat{P}$ soddisfano la relazione di commutazione canonica:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

Questa relazione fonda tutta la meccanica quantistica di una particella puntiforme. Tutte le formule di questa sezione discendono soltanto da essa: si dimostra che l'unica rappresentazione hilbertiana possibile di questa algebra fra X e P è quella descritta. In particolare $X$ agisce per moltiplicazione sulle funzioni d'onda in x e P per derivazione, e viceversa. Questo grande risultato, il teorema di Stone–von Neumann, verrà dettagliato in seguito.

1.3. Proprietà della delta di Dirac

Terminiamo sezione e capitolo con alcune formule utili della delta di Dirac, sempre nel senso delle distribuzioni, ossia sotto un segno di integrale:

Simmetria:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

Omogeneità:

Per ogni reale $a \neq 0$:

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

Cambio di variabile:

Se $f$ è regolare e ha radici semplici $\{x_i\}$ tali che $f(x_i) = 0$, allora:

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Derivata della delta:

La derivata distribuzionale si definisce mediante

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. Riferimenti