Spazi di Hilbert e notazione di Dirac

1. L'idea di dualità

La dualità è il filo conduttore di questa lezione. Cerchiamone un'interpretazione intuitiva. In matematica comprende molte situazioni, ma negli spazi di Hilbert esprime un'idea semplice e profonda: un vettore può essere visto non solo come oggetto in sé, ma anche come operatore che agisce su altri vettori per produrre numeri, ossia come forma lineare. In meccanica quantistica, tale numero è un'ampiezza di probabilità.

Il formalismo quantistico sfrutta pienamente questi due aspetti, e la notazione di Dirac offre un ingegnoso sistema per manipolarli. I ket, indicati con $\ket{u}$, rappresentano vettori; i bra, indicati con $\bra{u}$, rappresentano forme lineari che agiscono su di essi. La combinazione $\langle u|v\rangle$ produce uno scalare, chiamato bracket, mentre espressioni come $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ descrivono operatori.

Questa notazione si è imposta come linguaggio standard della fisica quantistica ed è indispensabile padroneggiarla completamente. Dopo questa lezione verrà fornito un formulario delle regole di calcolo. È possibile imparare a manipolare i simboli senza comprendere davvero la matematica sottostante. Ma coglierne il significato profondo richiede il programma qui delineato: capire come si costruisce l'identificazione completa fra vettori e forme lineari e perché essa conduce naturalmente a un altro oggetto essenziale, l'aggiunto di un operatore.

Nella prossima sezione tenteremo di stabilire un isomorfismo fra uno spazio vettoriale e il suo duale algebrico, l'insieme di tutte le sue forme lineari. Vedremo che è impossibile. Benché uno spazio di dimensione finita sia isomorfo al proprio duale, l'isomorfismo non è canonico: dipende da una scelta arbitraria di base. In dimensione infinita la situazione peggiora: un tale isomorfismo semplicemente non esiste. Questi ostacoli invalidano l'identificazione automatica e giustificano il ricorso alla struttura più ricca degli spazi di Hilbert.

La Sezione 3 mostra come sfruttare questa struttura aggiuntiva per superare le difficoltà. Grazie al prodotto scalare, limitandoci alle forme lineari continue che costituiscono il duale topologico, otteniamo un risultato notevole. Il teorema di Riesz afferma che, in qualsiasi dimensione, esiste un isomorfismo isometrico antilineare e canonico fra uno spazio di Hilbert e il suo duale topologico.

Questo fonda rigorosamente la notazione di Dirac, descritta nelle Sezioni 4 e 5: ket, bra e operatori lineari. Vedremo poi come l'isomorfismo di Riesz introduce naturalmente l'aggiunto, nella Sezione 6. La Sezione 7 riassume la costruzione con uno schema completo. Nella lezione useremo la dimensione finita come esempio concreto, lavorando sempre sul campo $\mathbb{C}$.

2. Forme lineari e duale algebrico

Sia $E$ uno spazio vettoriale su $\C$. Il suo duale algebrico $E^*$ è l'insieme delle forme lineari su $E$, ossia delle applicazioni lineari $\varphi : E \to \C.$

In dimensione finita $n$, fissata una base $(e_1,\dots,e_n)$ di $E$, possiamo costruire una corrispondente famiglia di forme lineari $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ in $E^*$ definita da:

Si dimostra che la famiglia è linearmente indipendente e generatrice, quindi una base di $E^*$, detta base duale. Pertanto $\dim(E^*) = \dim(E)$, quindi $E$ ed $E^*$ sono isomorfi. Un possibile isomorfismo è l'applicazione $T$ che associa a ogni vettore $x = \sum x_i e_i$ la forma $w_x = \sum x_i \theta_i$.

Tuttavia $T$ è in un certo senso artificiale, poiché dipende dalla scelta iniziale della base di $E$. Cambiando base cambia anche $T$. Non esiste dunque un'identificazione canonica, o naturale, fra uno spazio vettoriale e il suo duale algebrico.

In dimensione infinita, un risultato classico mostra che $E$ non è mai isomorfo al suo duale algebrico, che ha dimensione strettamente maggiore; si veda il teorema di Erdös–Kaplansky. Se per esempio $E$ ha dimensione algebrica numerabile, il suo duale ha dimensione algebrica non numerabile.

In entrambi i casi manca un'identificazione canonica fra vettori e forme lineari.

3. Duale topologico e teorema di Riesz

In uno spazio di Hilbert $\H$, la norma associata al prodotto scalare distingue una classe particolare di forme lineari: quelle continue. Si dice che $\varphi : \H \to \C$ è continua in $x_0$ se

Se è continua in un punto, per linearità lo è ovunque¹. Le forme lineari continue costituiscono un sottospazio vettoriale del duale algebrico, detto duale topologico e indicato anch'esso, abusivamente, con $\H^*$.

Osservazione: questa norma è un caso particolare della norma di operatore che vedremo nella sezione 1.5 (Tema 4, Lezione 3, non disponibile in questa lingua). La costruzione vale in qualsiasi spazio normato. La specificità di Hilbert è il teorema seguente: il prodotto scalare identifica biunivocamente ogni forma lineare continua con un vettore.

L'applicazione $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ da $\mathcal{H}$ a $\H^*$ è già iniettiva in uno spazio prehilbertiano. Se $\varphi_u = \varphi_v$, per ogni $x$ di $\mathcal{H}$ abbiamo $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$; scegliendo $x = u - v$ e usando la definitezza positiva risulta $u = v$.

Riesz afferma che è anche suriettiva. Non è banale e vale soltanto negli spazi di Hilbert. In un prehilbertiano incompleto, per esempio, esistono forme lineari continue non esprimibili come prodotto scalare con un vettore dello spazio stesso; l'applicazione non è suriettiva.

Riesz fornisce dunque la biiezione $\Phi$ fra $\mathcal{H}$ e $\mathcal{H}^*$ che cercavamo. Ne deduciamo:

4. Notazione di Dirac: bra, ket e bracket

La notazione di Dirac è semplicemente una riscrittura dell'isomorfismo di Riesz. Definiamo ket, bra e bracket e li usiamo per riscrivere la decomposizione in una base di Hilbert vista nella lezione precedente.

1. I ket. Un vettore $u \in \mathcal{H}$ si scrive come un ket: $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$

   La struttura lineare fornisce le regole:

   $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. I bra. A ogni vettore $u \in \H$ associamo mediante $\Phi$ una forma $\varphi_u$. La scriviamo come un bra, indicando al suo interno il vettore associato: $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$

   Così $\bra{u}$ rappresenta il vettore $u$ visto come forma lineare: «calcolare il prodotto scalare con $u$ e restituire un numero». Abbiamo:

   $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ per l'antilinearità di $\Phi$.
3. Il bracket. Le due notazioni permettono di formare un prodotto scalare, detto bracket o inner product in inglese, come prodotto di un bra per un ket: $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$

   La notazione esprime l'azione della forma lineare $\bra{u}$ sul vettore $\ket{x}$:

   $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. Decomposizione hilbertiana. In qualsiasi dimensione abbiamo visto la decomposizione $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$, la cui somma è finita o converge in $\mathcal{H}$ se $I$ è infinito. In Dirac:

   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)

   Gli $u_i$ sono le componenti del ket $u$ nella base. Si ottengono proiettando ortogonalmente su $e_i$ come $u_i = \braket{e_i}{u}$, non come $\braket{u}{e_i}$, che vale $u_i^*$. È un errore frequente, probabilmente perché nel consueto calcolo vettoriale su $\R^n$ si ricava la componente $v_i$ di $\vec{v}$ mediante $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$. Questo può suggerire $u_i = \braket{u}{e_i}$ nel caso quantistico, ma ignorerebbe la sesquilinearità su $\C$ e produrrebbe immediatamente un errore di calcolo.

   Per i bra:

   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)

   e il quadrato della norma è

   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   dove la seconda uguaglianza è quella di Parseval.
5. L'operazione dagger. L'isomorfismo $\Phi$ dai ket ai bra è solitamente indicato con l'esponente $\dagger$. Scegliamo lo stesso simbolo per l'inverso $\Phi^{-1}$ dai bra ai ket. L'operazione dagger diventa così involutiva. Per convenzione: $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(applicazione } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(applicazione } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(involuzione)} \end{aligned}$$

Illustriamo questi punti in dimensione finita. Scegliamo $\H$ di dimensione $n$ e una base hilbertiana $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ con il prodotto scalare canonico; si veda la sezione 3.1 (Tema 2, Lezione 1). Rappresentiamo i ket della base mediante vettori colonna, matrici $(n,1)$:

L'$1$ occupa l'$i$-esima posizione. Tutti i ket $\ket{u}$ si scrivono come colonne

con $u_i = \braket{e_i}{u}$. La forma $\varphi_u$ associata a $u$ deve soddisfare, per ogni vettore $v$:

Per ottenere questa somma, $\bra{u}$ deve essere rappresentato dal vettore riga $(1, n)$ delle coordinate coniugate di $u$:

Così il prodotto scalare $\braket{u}{v}$ è il consueto prodotto matriciale:

Per esempio, in dimensione 2:

Abbiamo ottenuto:

In dimensione infinita questo non ha senso, perché la trasposizione non è definita. Tuttavia, in $\ell^2(\N)$ e nella sua base canonica tutto funziona in modo simile considerando righe o colonne infinite e sostituendo somme finite con serie convergenti. Può aiutare l'intuizione, ma a rigore non si tratta di matrici né di trasposizione.

5. Operatori, elementi di matrice e decomposizione dell'identità

Continuiamo con Dirac introducendo applicazioni lineari, o operatori lineari, $\hat A$ da $\mathcal{H}$ a $\mathcal{G}$, dove $\mathcal{G}$ è un altro spazio di Hilbert.

Scrittura degli operatori. In fisica è consueto indicarli con un cappello. Un operatore $\hat A$ agente su $v$ dà $\hat A v$. In Dirac abbiamo due scritture equivalenti; la seconda è più usata:

Analogamente, un prodotto scalare con operatore si scrive:

La seconda forma è più frequente per ragioni estetiche.

Elementi di matrice. Il caso $\bra{w} = \bra{e_i}$ e $\ket{u} = \ket{e_j}$ è particolarmente importante perché definisce gli elementi di matrice di $\hat A$:

In dimensione infinita non sempre ha senso: $\ket{e_i}$ deve appartenere al dominio di $\hat A$; vi torneremo. In dimensione finita la definizione è trasparente. Rappresentando i vettori della base come colonne, ogni operatore lineare corrisponde univocamente alla sua matrice: $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$, con $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. L'equazione $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ diventa il prodotto consueto $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$, e il prodotto scalare diventa $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$.

Operatori ket-bra. Un bracket è un numero, ma un ket-bra è un operatore, detto prodotto esterno, senza rapporto con il prodotto esterno delle forme differenziali. A due vettori $\ket{u}$ e $\ket{v}$ dello stesso spazio di Hilbert $\H$ associamo $\ket{u}\bra{v}$ da $\H$ a $\H$, definito da:

Anche qui, in dimensione finita, è importante $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$. I suoi elementi sono tutti nulli salvo un «1» nella riga $i$ e colonna $j$; la matrice è:

Ogni operatore lineare $\hat{A}$ si decompone in dimensione finita mediante i suoi elementi di matrice:

con $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. In dimensione infinita non è sempre possibile; quando esiste, la decomposizione va intesa in convergenza forte. Vi torneremo nelle prossime lezioni.

Decomposizione dell'operatore identità. L'identità in $\mathcal{H}$, indicata con $\mathbf{1}$, è definita da $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ per ogni $\ket{x} \in \mathcal{H}$. In dimensione finita è rappresentata dalla matrice identità. Più in generale:

anche in dimensione infinita numerabile, dove la serie converge fortemente. Si chiama risoluzione dell'identità o relazione di chiusura. È estremamente utile nei calcoli quantistici. Attenzione: è falsa negli spazi non separabili²

6. L'operatore aggiunto

Torniamo a Riesz e consideriamo un operatore lineare continuo³ $\hat{A}$ da $\mathcal{H}$ a $\mathcal{G}$, dove $\H$ e $\G$ sono due spazi di Hilbert, eventualmente con $\H = \G$.

Quando $\hat{A}$ agisce su $\ket{u} \in \mathcal{H}$, otteniamo $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$. È naturale chiedersi quale bra sia associato da Riesz a $\ket{v}$, ossia quale sia la forma su $\G$: $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$. Questo conduce all'aggiunto di $\hat{A}$, anch'esso indicato con $\hat{A}^\dagger$, essenziale in meccanica quantistica.

Per determinare $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$, fissiamo un ket qualsiasi $\ket{w} \in \mathcal{G}$ e consideriamo la forma lineare su $\H$:

L'indice $\G$ indica dove si calcola il prodotto scalare. Ammettiamo che $\varphi$ sia una forma lineare continua in $\mathcal{H}$ se $\hat{A}$ è continuo. Per Riesz applicato a $\mathcal{H}$, esiste un unico $\ket{z} \in \mathcal{H}$ tale che $\varphi = \varphi_z$:

Associamo così a un vettore $\ket{w}$ di $\G$ un unico $\ket{z}$ di $\H$. Formalmente è l'azione dell'operatore aggiunto $\hat{A}^\dagger$: $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$. L'operatore $\hat A$ agisce da $\H$ a $\G$, mentre l'aggiunto va da $\G$ a $\H$.

Ripetendo la costruzione per ogni $\ket{w}$, si verifica facilmente che l'operatore definito è lineare e continuo. Otteniamo:

L'aggiunto ha due utilità pratiche nel calcolo quantistico formale.

1. La formula mostra che, «mantenendo fisse le posizioni di $u$ e $w$, l'aggiunto permette di spostare l'operatore da sinistra a destra».
2. Per simmetria hermitiana, $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$, anche:
   $$\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)

   Questo mostra che «l'aggiunto permette di scambiare bra e ket a meno di coniugazione complessa».

Le due identità sono equivalenti. Occorre prestare attenzione agli spazi di partenza e arrivo $\H$ e $\G$ e a quale prodotto scalare, di $\H$ o di $\G$, usiamo. In pratica quasi sempre $\H = \G$, semplificando la notazione.

Illustriamo la costruzione in dimensione finita. Il risultato principale è:

Manca ancora una risposta esplicita: qual è il bra $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ associato canonicamente a $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$? La formula (6) risponde mediante un prodotto scalare valido per ogni $w$, permettendo di scrivere:

Due forme lineari coincidenti su ogni $w$ sono uguali. È cruciale comprendere questo oggetto: un errore frequente è credere che «l'aggiunto agisca da sinistra sui bra». È falso! $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ è una composizione di operatori, non un'azione da sinistra. Gli spazi di partenza e arrivo sono:

Così $\bra{u} \hat A^\dagger$ è la composizione $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$, una forma lineare su $\mathcal{G}$. L'abituale omissione di $\circ$ può creare confusione.

Infine, da $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$, applicando dagger, deduciamo:

La figura seguente riassume le relazioni fra bra, ket, l'operatore $\hat A$ e il suo aggiunto.

Terminiamo con alcune proprietà importanti dell'aggiunzione:

7. Riferimenti