Ficha n.º 1: Notação de Dirac em dimensão finita

Palavras-chave : Notação de Dirac, Produto interno hermitiano, Adjunto, Operador ket-bra, Resolução da identidade, Dimensão finita, Elementos de matriz, Traço, Transposição conjugada, Formulário

Os objetos definidos obedecem a propriedades fundamentais, válidas em qualquer dimensão do espaço de Hilbert e independentemente de os operadores serem limitados. No caso não limitado também se pode definir um adjunto, mas é matematicamente mais subtil; voltaremos a isso no próximo tema sobre teoria dos operadores lineares. Como todo o mundo usa Dirac, estas propriedades constituem de facto as regras algébricas do cálculo quântico, sendo indispensável dominá-las.

Esta lição reúne todas as fórmulas úteis vistas até aqui, mesmo repetindo-as, e acrescenta algumas. Primeiro damos as válidas em qualquer dimensão; depois o formulário de dimensão finita, onde Dirac se reduz a um cálculo matricial explícito.

1. Regras de cálculo em qualquer dimensão

Propriedades do produto interno.

Sejam (∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2 dois vetores do espaço de Hilbert e (λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 escalares. O produto interno satisfaz:

  1. Simetria hermitiana:
    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}
    (1)
  2. Antilinearidade à esquerda: o bra associado a λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi} é λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi}, isto é:
    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣e⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{e} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }
    (2)
  3. Linearidade à direita:
    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}
    (3)
  4. Combinações lineares: as propriedades anteriores permitem desenvolver expressões complicadas da forma habitual. Para quaisquer α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C, por exemplo:
    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }
    (4)
  5. Norma: por definição,
    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}
    (5)
    com igualdade se e só se ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 for o vetor nulo, por vezes, embora raramente, denotado ∣∅⟩\ket{\varnothing}.
Propriedades do adjunto.

Repetimos as duas fórmulas que servem de definição:

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

e

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

Isto permite também demonstrar, pela simetria hermitiana:

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

Propriedades dos operadores adjuntos.

Para quaisquer operadores lineares contínuos A^,B^\hat{A}, \hat{B} sobre H\mathcal{H} e qualquer escalar λ∈C\lambda \in \mathbb{C}:

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (antilinearidade)(A^B^)†=B^†A^†,(atenc¸a˜o aˋ ordem)(A^†)†=A^,    (involuc¸a˜o).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(antilinearidade)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(atenção à ordem)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(involução)}. \end{aligned}
Operador ket-bra.

Um bracket é um número, mas um ket-bra é um operador, chamado produto exterior, sem relação com o produto exterior das formas diferenciais. A dois vetores ∣φ⟩\ket{\phi} e ∣ψ⟩\ket{\psi} associamos o operador ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} definido por:

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
Decomposição do operador identidade.

A identidade em H\Hilb denota-se 1\mathbf{1} e define-se por 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb. Numa base hilbertiana numerável {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I}, com II finito ou infinito numerável, o operador identidade 1\mathbf{1} escreve-se:

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

Esta fórmula é extremamente útil na prática. Também se chama resolução da identidade ou relação de fecho. O membro direito é uma soma em dimensão finita ou uma série convergente em dimensão infinita numerável. É falsa em dimensão não numerável.

Decomposição hilbertiana.

A fórmula anterior recupera diretamente o teorema de decomposição da lição 1, definindo ψi\psi_i como a componente do ket ∣ψ⟩\kpsi sobre ∣ei⟩\ket{e_i}:

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

É uma soma ou uma série consoante a dimensão. A decomposição do ket tem o seu equivalente para os bras:

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

A norma é então:

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

Observação 1 (Atenção à ordem!)
As componentes do ket são ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi}, e não ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i}, que vale ψi∗\psi_i^*. O produto interno hermitiano não é comutativo; é preciso cuidar da ordem. Em Rn\mathbb{R}^n com o produto interno euclidiano habitual recupera-se a componente viv_i de v⃗\vec{v} por vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i. Isto poderia sugerir a fórmula quântica ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i}, mas está incorreta!
Alguns operadores particulares.

O próximo tema apresenta detalhadamente a teoria dos operadores lineares num Hilbert. Registamos já alguns casos frequentes. Entre os operadores H→H\Hilb \to \Hilb, teremos em particular:

  1. A^\hat A, hermitiano ou autoadjunto se A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A},
  2. U^\hat U, unitário se U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1},
  3. P^\hat P, um projetor se P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P},
  4. P^\hat P, um projetor ortogonal: um projetor autoadjunto.

Os operadores unitários são bijetivos, lineares e preservam o produto interno. Já os conhecemos: são os isomorfismos isométricos, aqui mais precisamente automorfismos isométricos, pois só consideramos operadores lineares de H\Hilb em si próprio.

2. Formulário em dimensão finita

Se o Hilbert tem dimensão finita nn, podemos concretizar as regras. Todas as fórmulas da secção anterior valem, escrevendo as somas como finitas: ∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}.

Escolhida uma base ortonormada B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n, Dirac corresponde a um cálculo matricial explícito que detalhamos agora. Atenção: o que se segue não faz qualquer sentido em dimensão infinita.

Kets como vetores coluna.

Representamos canonicamente os kets da base B\mathcal{B} por matrizes (n,1)(n,1), ou vetores coluna:

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

O 11 ocupa a ii-ésima posição. Pela decomposição algébrica

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

todos os kets se escrevem como colunas: para ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H} escrevemos:

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

Omitiremos a base B\mathcal{B} desta expansão salvo quando necessário. As componentes obtêm-se por projeções ortogonais:

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

Bras como vetores linha conjugados.

A forma φu\varphi_u associada ao vetor uu deve satisfazer, para todo o vetor vv:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

pela antilinearidade do produto interno hermitiano à esquerda. Para obter esta soma como produto matricial, ⟨u∣\bra{u} deve ser a linha das coordenadas conjugadas de uu:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

Então o produto interno ⟨u|v⟩\braket{u}{v} é o produto matricial habitual:

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

Assim, o bra ⟨u∣\bra{u} é o transposto conjugado do ket ∣u⟩\ket{u}. A operação dagger equivale em dimensão finita a tomar a transposta conjugada:

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

Isto é falso em dimensão infinita e nem faz sentido, pois a transposição não está definida1.

Nota 1: Quando muito, em ℓ2(N)\ell^2(\N) com a base canónica descrita na Secção 3.2 (Tema 2, Lição 1), tudo funciona de maneira semelhante considerando colunas ou linhas infinitas e substituindo somas finitas por séries convergentes. Pode ajudar a intuição, mas rigorosamente não são matrizes. Em L2(R)L^2(\R) já não faz qualquer sentido, embora também exista um análogo integral; veja-se a próxima lição.
Representação matricial de operadores.

Numa base ortonormada {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n em dimensão finita, todo o operador linear A^\hat{A} se decompõe como:

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

Isto conduz em dimensão finita à identificação natural do operador linear A^\hat{A}, com chapéu, e da sua matriz AA, sem chapéu. A fórmula é o equivalente de Dirac do desenvolvimento matricial A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}, onde EijE_{ij} é a matriz elementar com um 11 na posição (i,j)(i,j) e zeros nas restantes. Assim, EijE_{ij} representa o operador ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j}. Os coeficientes AijA_{ij} chamam-se elementos de matriz do operador A^\hat{A} na base {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\}. Valem:

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

Por razões estéticas, é mais habitual escrever:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

A identidade é naturalmente representada pela matriz identidade; os seus elementos são δij\delta_{ij}, o símbolo de Kronecker.

Traço de um operador.

Mais adiante consideraremos frequentemente o traço de um operador A^\hat{A}. Em Dirac calcula-se por:

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

Esta expressão não depende da escolha da base ortonormada.

Adjunto e transposta conjugada.

Em dimensão finita, a matriz do adjunto A^†\hat{A}^\dagger é a transposta conjugada da matriz do operador A^\hat{A}:

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

Uma demonstração breve mostra como aplicar as regras anteriores. Os elementos de matriz de A^†\hat{A}^\dagger são por definição:

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

Pela definição do adjunto:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

Pela simetria hermitiana, ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*, que é precisamente o elemento de matriz Aji∗A_{ji}^*. Portanto:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

Fica demonstrada a propriedade. Em dimensão finita poderemos verificar por cálculo matricial explícito se um operador é hermitiano, unitário, etc.

3. Referências

Ainda não foram acrescentadas referências para esta lição.