Espaços de Hilbert e notação de Dirac

1. Base contínua generalizada de $L^2(\mathbb{R})$

Já descrevemos o espaço modelo $L^2(\R)$ na Secção 3.3 (Tema 2, Lição 1), exibindo em particular uma base hilbertiana numerável. Todo o estado físico se decompõe numa série na base das funções de Hermite. Infelizmente, as suas expressões explícitas são bastante complicadas.

Inventou-se por isso outra «base», que não é realmente uma base hilbertiana, mas uma base contínua generalizada. A passagem à dimensão infinita é delicada; a construção rigorosa requer as ferramentas do próximo tema sobre teoria dos operadores lineares. Admitimos provisoriamente o formulário seguinte como instruções para usar Dirac nesta «base», não como uma construção matemática já estabelecida.

1.1. Base generalizada na representação de posição

Tentemos, ainda assim, dar algumas ideias. Introduzimos primeiro um operador autoadjunto chamado «de posição», denotado $\hat{X}$, que atua sobre as funções do espaço de Hilbert $L^2(\mathbb{R})$ por multiplicação:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

Atenção ao domínio de definição. A expressão só faz sentido se a função $x\,\psi(x)$ permanecer em $L^2(\R)$. Nem sempre acontece: certas funções de quadrado integrável tornam-se divergentes quando multiplicadas por $x$.¹ Assim, $\hat{X}$ não pode definir-se em todo o $L^2(\R)$, mas apenas num subespaço de funções cuja imagem permanece em $L^2$.

Para dispor de um domínio bem definido, denso em $L^2$ e estável pelas operações habituais (derivação, multiplicação por $x$, transformada de Fourier), introduzimos o espaço das funções de Schwartz, denotado $\mathcal{S}(\R)$:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

São, portanto, funções suaves de decrescimento rápido, tais que $f$ e todas as suas derivadas tendem para zero mais depressa do que qualquer potência inversa de $x$.

O espaço $\mathcal{S}(\R)$ é:

• denso em $L^2(\R)$: toda a função de $L^2$ pode ser aproximada arbitrariamente bem por funções de $\mathcal{S}$,
• estável por derivação, multiplicação por $x$ e transformada de Fourier.

É, pois, o domínio natural para definir corretamente os operadores de posição $\hat{X}$ e momento $\hat{P}$, e fundamenta as construções rigorosas do formalismo de Dirac e do tripleto de Gelfand.

Com estas precauções podemos escrever, por agora de forma puramente formal², os estados próprios de $\hat{X}$:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

Estes kets $\ket{x}$ constituem uma base contínua generalizada, pois representam os elementos de $L^2(\R)$ como sobreposições contínuas, embora os próprios $\ket{x}$ não sejam vetores do Hilbert.

Na realidade não são kets em sentido estrito, pois não são normalizáveis. Vejamos porquê. A família é não numerável, pelo que a sua ortonormalidade não se exprime pelo símbolo discreto de Kronecker $\delta_{ij}$, mas pela sua «versão contínua»:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

Em particular:

Introduzimos aqui o delta de Dirac $\delta(x)$, que não é uma função ordinária, mas uma distribuição da teoria das distribuições matemática. Define-se pela sua ação sob o integral:

para toda a função de teste $f$ do espaço de Schwartz. É preciso compreender que $\delta(x)$ por si só não faz sentido; nem sequer é um número. Na realidade, $\delta$ é uma forma linear $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ sobre funções de teste³. Define-se apenas pela sua ação sob o integral (2), não pelos seus valores $\delta(x)$.

Se insistirmos em vê-lo como função, podemos considerá-lo como o limite de uma sucessão de funções cada vez mais concentradas em torno de zero, por exemplo gaussianas cada vez mais estreitas:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

Ou como retângulos centrados em zero cuja largura tende para zero e altura para infinito. Nesta imagem, o delta aparece no limite como uma «função» nula salvo em $x = 0$, onde diverge, mantendo uma área total sob a curva igual a 1.

Por isso em física escreve-se ainda assim $\delta(0) = \infty$, mas é preciso compreender o abuso de notação e significado. Em todo o caso, pela eq. (1), isto mostra que o ket $\ket{x}$ não está normalizado. O delta de Dirac também possui uma representação integral extremamente útil, provavelmente a fórmula mais importante desta secção:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

Também aqui a igualdade se entende no sentido das distribuições, pois o integral claramente não converge e de outro modo não teria sentido.

Os «elementos de matriz» do operador posição $\hat{X}$ são $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$. Continuamos a chamar-lhes assim, por comparação com a secção anterior em dimensão finita, embora $\hat{X}$ não admita uma matriz ordinária. Poderíamos imaginar uma «matriz de índices contínuos», diagonal no sentido distribucional, mas sem valor propriamente definido na diagonal $x = x'$, pois $x\,\delta(0)$ não é um número real. Aqui se vê provavelmente a diferença fundamental entre operadores lineares em dimensão finita, isto é, matrizes, e em dimensão infinita.

Na base generalizada, a resolução da identidade é:

Permite exprimir a decomposição de qualquer ket $\kpsi$ do Hilbert nesta base contínua como um integral:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

Definimos a função de onda:

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

Analogamente, o bra conjugado de $\kpsi$ desenvolve-se como:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

Usámos a simetria hermitiana do produto interno: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

A componente em $x$ do vetor $\hat{X} \psi$, que por definição vale $\braket{x}{X\psi}$, costuma escrever-se, também por razões estéticas e comparando com a eq. (4 (Tema 2, Lição 2)), como:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. Na representação de momento

Na mecânica quântica de uma partícula pontual introduz-se analogamente o operador de momento, ou quantidade de movimento, pela sua ação sobre funções de onda $\psi(x)$ de $L^2(\mathbb{R})$:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

Também devemos restringir-nos ao domínio de Schwartz para que a função de onda seja derivável e a sua derivada continue a ser de quadrado integrável.

Um excelente exercício de aplicação deste capítulo é verificar que $\hat{P}$ é realmente autoadjunto. Para isso estudamos primeiro o operador de derivação, denotado:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

É linear, pois a derivação é linear: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$. Claramente não pode representar-se por uma matriz como em dimensão finita: atua diferencialmente num espaço de funções de dimensão infinita. Não podemos calcular o seu adjunto por transposição conjugada, mas podemos fazê-lo pela definição. Para duas funções de teste de $\mathcal{S}(\R)$, $\phi$ e $\psi$, satisfaz:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

veja-se a definição 2 (Tema 2, Lição 2). Inserindo a resolução da identidade, o membro esquerdo dá:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

Assim, o adjunto de $\hat{D} = d/dx$ é $-\hat{D} = -d/dx$. Na primeira linha inserimos a resolução da identidade entre bra e ket; na segunda distribuímos e na terceira usámos simetria hermitiana. Na quarta usámos a definição de $\hat{D}$ e das funções de onda; na quinta integrámos por partes sobre $\R$. Os termos de fronteira no infinito anulam-se porque as funções de Schwartz decrescem mais depressa do que qualquer monómio. Finalmente regressamos das funções de onda aos produtos internos, fatorizamos e eliminamos a resolução da identidade. Portanto, o operador momento é autoadjunto, pois

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

A autoadjunção de $\hat{P}$ garante que os seus valores próprios, os momentos possíveis, sejam reais e que as suas funções próprias formem uma base completa do espaço de estados em sentido generalizado, através das distribuições de Dirac.

Estados próprios do momento. De maneira inteiramente análoga definimos os «kets» generalizados $\ket{p}$ como estados próprios de $\hat{P}$:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

Na representação de posição obtemos a função de onda associada projetando sobre $\bra{x}$:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

É uma equação diferencial simples cuja solução é:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

Isto mostra que a transformação entre as representações de posição e momento é precisamente a transformada de Fourier.

Ortogonalidade e completude. Os kets $\ket{p}$ satisfazem relações análogas às de $\ket{x}$:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

A função de onda na representação de momento define-se por:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

A transformação $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ é, portanto, Fourier; a transformação inversa é:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

Comutação fundamental. Finalmente, os operadores $\hat{X}$ e $\hat{P}$ satisfazem a relação de comutação canónica:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

Esta relação fundamenta toda a mecânica quântica de uma partícula pontual. Todas as fórmulas desta secção se deduzem unicamente dela: demonstra-se que a única representação hilbertiana possível desta álgebra entre X e P é a descrita. Em particular, $X$ atua por multiplicação sobre funções de onda em x e P por derivação, e inversamente. Este grande resultado, o teorema de Stone–von Neumann, será detalhado depois.

1.3. Propriedades do delta de Dirac

Terminamos a secção e o capítulo com algumas fórmulas úteis do delta de Dirac, sempre no sentido das distribuições, isto é, sob um sinal integral:

Simetria:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

Homogeneidade:

Para todo o real $a \neq 0$:

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

Mudança de variável:

Se $f$ é regular e tem raízes simples $\{x_i\}$ tais que $f(x_i) = 0$, então:

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Derivada do delta:

A derivada distribucional define-se por

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. Referências