Espaços de Hilbert e notação de Dirac

1. A ideia de dualidade

A dualidade é o fio condutor desta lição. Procuremos uma interpretação intuitiva. Em matemática, abrange muitas situações, mas nos espaços de Hilbert exprime uma ideia simples e profunda: um vetor pode ser visto não só como um objeto em si, mas também como um operador que atua sobre outros vetores para produzir números, isto é, como uma forma linear. Em mecânica quântica, esse número é uma amplitude de probabilidade.

O formalismo quântico explora plenamente estas duas facetas, e a notação de Dirac oferece um engenhoso sistema para as manipular. Os kets, escritos $\ket{u}$, representam vetores; os bras, escritos $\bra{u}$, representam formas lineares que atuam sobre eles. A combinação $\langle u|v\rangle$ produz um escalar, chamado bracket, enquanto expressões como $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ descrevem operadores.

Esta notação tornou-se a linguagem habitual da física quântica e é indispensável dominá-la completamente. Após esta lição será fornecido um formulário com as regras de cálculo. É possível aprender a manipular os símbolos sem compreender realmente a matemática subjacente. Mas perceber o seu significado profundo exige o programa aqui esboçado: compreender como se constrói a identificação completa entre vetores e formas lineares e por que razão isso conduz naturalmente a outro objeto essencial, o adjunto de um operador.

Na próxima secção tentaremos estabelecer um isomorfismo entre um espaço vetorial e o seu dual algébrico, o conjunto de todas as suas formas lineares. Veremos que é impossível. Embora um espaço de dimensão finita seja isomorfo ao seu dual, o isomorfismo não é canónico: depende de uma escolha arbitrária de base. Em dimensão infinita a situação piora: tal isomorfismo simplesmente não existe. Estes obstáculos invalidam a identificação automática e justificam recorrer à estrutura mais rica dos espaços de Hilbert.

A Secção 3 mostra como explorar essa estrutura adicional para superar as dificuldades. Graças ao produto interno, restringindo-nos às formas lineares contínuas que constituem o dual topológico, obtemos um resultado notável. O teorema de Riesz afirma que, em qualquer dimensão, existe um isomorfismo isométrico antilinear e canónico entre um espaço de Hilbert e o seu dual topológico.

Isto fundamenta rigorosamente a notação de Dirac, detalhada nas Secções 4 e 5: kets, bras e operadores lineares. Depois veremos como o isomorfismo de Riesz introduz naturalmente o adjunto, na Secção 6. A Secção 7 resume a construção num esquema completo. Ao longo da lição usaremos a dimensão finita como exemplo concreto, trabalhando sempre sobre o corpo $\mathbb{C}$.

2. Formas lineares e dual algébrico

Seja $E$ um espaço vetorial sobre $\C$. O seu dual algébrico $E^*$ é o conjunto das formas lineares sobre $E$, isto é, das aplicações lineares $\varphi : E \to \C.$

Em dimensão finita $n$, fixada uma base $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$, podemos construir uma família correspondente de formas lineares $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ em $E^*$ definida por:

Demonstra-se que esta família é linearmente independente e geradora, portanto uma base de $E^*$, chamada base dual. Assim, $\dim(E^*) = \dim(E)$, pelo que $E$ e $E^*$ são isomorfos. Um isomorfismo possível é a aplicação $T$ que associa a cada vetor $x = \sum x_i e_i$ a forma $w_x = \sum x_i \theta_i$.

Contudo, $T$ é de certo modo artificial, pois depende da escolha inicial da base de $E$. Se mudarmos a base, $T$ também muda. Não existe, pois, uma identificação canónica ou natural entre um espaço vetorial e o seu dual algébrico.

Em dimensão infinita, um resultado clássico mostra que $E$ nunca é isomorfo ao seu dual algébrico, cuja dimensão é estritamente maior; veja-se o teorema de Erdös–Kaplansky. Por exemplo, se $E$ tem dimensão algébrica numerável, o seu dual tem dimensão algébrica não numerável.

Em ambos os casos falta uma identificação canónica entre vetores e formas lineares.

3. Dual topológico e teorema de Riesz

Num espaço de Hilbert $\H$, a norma associada ao produto interno distingue uma classe particular de formas lineares: as contínuas. Diz-se que $\varphi : \H \to \C$ é contínua em $x_0$ se

Se for contínua num ponto, por linearidade é contínua em todos¹. As formas lineares contínuas constituem um subespaço vetorial do dual algébrico, chamado dual topológico e também denotado, abusivamente, $\H^*$.

Observação: esta norma é um caso particular da norma de operador, que veremos na secção 1.5 (Tema 4, Lição 3, indisponível neste idioma). A construção anterior vale em qualquer espaço normado. O que é específico de Hilbert é o teorema seguinte: o produto interno identifica bijetivamente cada forma linear contínua com um vetor.

A aplicação $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ de $\mathcal{H}$ em $\H^*$ já é injetiva num espaço pré-hilbertiano. Se $\varphi_u = \varphi_v$, para todo o $x$ de $\mathcal{H}$ temos $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$; escolhendo $x = u - v$ e usando a definição positiva, resulta $u = v$.

Riesz afirma que também é sobrejetiva. Não é trivial e só vale em espaços de Hilbert. Num pré-hilbertiano incompleto, por exemplo, há formas lineares contínuas que não se exprimem como produto interno com um vetor do próprio espaço; a aplicação não é sobrejetiva.

Riesz fornece assim a bijeção $\Phi$ entre $\mathcal{H}$ e $\mathcal{H}^*$ que procurávamos. Deduzimos:

4. Notação de Dirac: bras, kets e brackets

A notação de Dirac é apenas uma reescrita do isomorfismo de Riesz. Definimos kets, bras e brackets e usamo-los para reescrever a decomposição numa base de Hilbert vista na lição anterior.

1. Os kets. Um vetor $u \in \mathcal{H}$ escreve-se como um ket: $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$

   A estrutura linear fornece as regras:

   $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. Os bras. A cada vetor $u \in \H$ associamos por $\Phi$ uma forma $\varphi_u$. Escrevemo-la como um bra, indicando no seu interior o vetor associado: $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$

   Assim, $\bra{u}$ representa o vetor $u$ visto como forma linear: «calcular o produto interno com $u$ e devolver um número». Temos:

   $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ por antilinearidade de $\Phi$.
3. O bracket. As duas notações permitem formar um produto interno, chamado bracket ou inner product em inglês, como produto de um bra por um ket: $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$

   A notação exprime a ação da forma linear $\bra{u}$ sobre o vetor $\ket{x}$:

   $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. Decomposição hilbertiana. Em qualquer dimensão vimos a decomposição $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$, cuja soma é finita ou converge em $\mathcal{H}$ se $I$ for infinito. Em Dirac:

   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)

   Os $u_i$ são as componentes do ket $u$ na base. Obtêm-se por projeção ortogonal sobre $e_i$ como $u_i = \braket{e_i}{u}$, não como $\braket{u}{e_i}$, que vale $u_i^*$. É um erro frequente, provavelmente porque no cálculo vetorial habitual sobre $\R^n$ recuperamos a componente $v_i$ de $\vec{v}$ por $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$. Isto pode sugerir $u_i = \braket{u}{e_i}$ no caso quântico, mas ignoraria a sesquilinearidade sobre $\C$ e produziria imediatamente um erro de cálculo.

   Para os bras:

   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)

   e o quadrado da norma é

   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   onde a segunda igualdade é a de Parseval.
5. A operação dagger. O isomorfismo $\Phi$ de kets para bras costuma ser indicado pelo expoente $\dagger$. Escolhemos o mesmo símbolo para o inverso $\Phi^{-1}$ de bras para kets. A operação dagger torna-se assim involutiva. Por convenção: $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(aplicação } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(aplicação } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(involução)} \end{aligned}$$

Ilustremos estes pontos em dimensão finita. Escolhemos $\H$ de dimensão $n$ e uma base hilbertiana $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ com o produto interno canónico; ver secção 3.1 (Tema 2, Lição 1). Representamos os kets da base por vetores coluna, matrizes $(n,1)$:

O $1$ ocupa a $i$-ésima posição. Todos os kets $\ket{u}$ se escrevem como colunas

com $u_i = \braket{e_i}{u}$. A forma $\varphi_u$ associada a $u$ deve satisfazer, para todo o vetor $v$:

Para obter esta soma, $\bra{u}$ deve ser representado pelo vetor linha $(1, n)$ das coordenadas conjugadas de $u$:

Assim, o produto interno $\braket{u}{v}$ é o produto matricial habitual:

Por exemplo, em dimensão 2:

Obtivemos:

Em dimensão infinita isto não faz sentido, pois a transposição não está definida. Contudo, em $\ell^2(\N)$ e na sua base canónica, tudo funciona de modo semelhante considerando linhas ou colunas infinitas e substituindo somas finitas por séries convergentes. Pode ajudar a intuição, mas rigorosamente não se trata de matrizes nem de transposição.

5. Operadores, elementos de matriz e decomposição da identidade

Continuamos com Dirac introduzindo aplicações lineares, ou operadores lineares, $\hat A$ de $\mathcal{H}$ em $\mathcal{G}$, sendo $\mathcal{G}$ outro espaço de Hilbert.

Escrita dos operadores. Em física é habitual assinalá-los com um chapéu. Um operador $\hat A$ atuando sobre $v$ dá $\hat A v$. Em Dirac há duas escritas equivalentes; a segunda é mais usada:

Do mesmo modo, um produto interno com operador escreve-se:

A segunda forma é mais frequente por razões estéticas.

Elementos de matriz. O caso $\bra{w} = \bra{e_i}$ e $\ket{u} = \ket{e_j}$ é particularmente importante porque define os elementos de matriz de $\hat A$:

Em dimensão infinita nem sempre faz sentido: $\ket{e_i}$ deve pertencer ao domínio de $\hat A$; voltaremos a isso. Em dimensão finita a definição é transparente. Representando os vetores da base por colunas, cada operador linear corresponde univocamente à sua matriz: $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$, com $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. A equação $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ torna-se o produto habitual $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$, e o produto interno torna-se $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$.

Operadores ket-bra. Um bracket é um número, mas um ket-bra é um operador, chamado produto exterior, sem relação com o produto exterior das formas diferenciais. A dois vetores $\ket{u}$ e $\ket{v}$ do mesmo espaço de Hilbert $\H$ associamos $\ket{u}\bra{v}$ de $\H$ em $\H$, definido por:

Também aqui, em dimensão finita, é importante $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$. Os seus elementos são todos nulos salvo um «1» na linha $i$ e coluna $j$; a matriz é:

Todo o operador linear $\hat{A}$ se decompõe em dimensão finita pelos seus elementos de matriz:

com $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. Em dimensão infinita nem sempre é possível; quando existe, a decomposição entende-se em convergência forte. Voltaremos a isso nas próximas lições.

Decomposição do operador identidade. A identidade em $\mathcal{H}$, denotada $\mathbf{1}$, define-se por $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ para todo o $\ket{x} \in \mathcal{H}$. Em dimensão finita é representada pela matriz identidade. Mais geralmente:

também em dimensão infinita numerável, onde a série converge fortemente. Chama-se resolução da identidade ou relação de fecho. É extremamente útil nos cálculos quânticos. Atenção: é falsa em espaços não separáveis²

6. O operador adjunto

Voltemos a Riesz e consideremos um operador linear contínuo³ $\hat{A}$ de $\mathcal{H}$ em $\mathcal{G}$, sendo $\H$ e $\G$ dois espaços de Hilbert, possivelmente com $\H = \G$.

Quando $\hat{A}$ atua sobre $\ket{u} \in \mathcal{H}$, obtemos $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$. É natural perguntar pelo bra associado por Riesz a $\ket{v}$, isto é, pela forma em $\G$: $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$. Isto conduz ao adjunto de $\hat{A}$, também denotado $\hat{A}^\dagger$, essencial em mecânica quântica.

Para determinar $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$, fixamos um ket qualquer $\ket{w} \in \mathcal{G}$ e consideramos a forma linear sobre $\H$:

O índice $\G$ indica onde se calcula o produto interno. Admitimos que $\varphi$ é uma forma linear contínua em $\mathcal{H}$ se $\hat{A}$ for contínuo. Por Riesz aplicado a $\mathcal{H}$, existe um único $\ket{z} \in \mathcal{H}$ tal que $\varphi = \varphi_z$:

Associamos assim a um vetor $\ket{w}$ de $\G$ um único $\ket{z}$ de $\H$. Formalmente é a ação do operador adjunto $\hat{A}^\dagger$: $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$. O operador $\hat A$ atua de $\H$ para $\G$, enquanto o adjunto vai de $\G$ para $\H$.

Repetindo a construção para cada $\ket{w}$, verifica-se facilmente que o operador definido é linear e contínuo. Obtemos:

O adjunto tem duas utilidades práticas no cálculo quântico formal.

1. A fórmula mostra que, «mantendo fixas as posições de $u$ e $w$, o adjunto permite passar o operador da esquerda para a direita».
2. Pela simetria hermitiana, $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$, também:
   $$\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)

   Isto mostra que «o adjunto permite trocar bra e ket a menos de conjugação complexa».

As duas identidades são equivalentes. É preciso atender aos espaços de partida e chegada $\H$ e $\G$, e a se usamos o produto interno de $\H$ ou de $\G$. Na prática, quase sempre $\H = \G$, simplificando a notação.

Ilustremos a construção em dimensão finita. O resultado principal é:

Falta responder explicitamente: qual é o bra $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ associado canonicamente a $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$? A fórmula (6) responde mediante um produto interno válido para todo o $w$, permitindo escrever:

Duas formas lineares que coincidem em todo o $w$ são iguais. É crucial compreender este objeto: um erro frequente é acreditar que «o adjunto atua à esquerda sobre os bras». É falso! $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ é uma composição de operadores, não uma ação à esquerda. Os espaços de partida e chegada são:

Assim, $\bra{u} \hat A^\dagger$ é a composição $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$, uma forma linear sobre $\mathcal{G}$. A omissão habitual de $\circ$ pode causar confusão.

Finalmente, de $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$, aplicando dagger, deduzimos:

A figura seguinte resume as relações entre bras, kets, o operador $\hat A$ e o seu adjunto.

Terminamos com algumas propriedades importantes da adjunção:

7. Referências