Giới thiệu chung và các thí nghiệm nền tảng

1. Mở đầu

Bao giờ cũng phải bắt đầu từ đâu đó. Nhiều tài liệu cơ học lượng tử mở đầu bằng thí nghiệm hai khe Young, hoặc bằng lịch sử nghiên cứu bức xạ vật đen và giả thuyết Planck đưa ra để giải thích nó (Planck, 1900).

Planck đưa ra ý tưởng rằng năng lượng chỉ có thể được trao đổi theo những lượng rời rạc, các lượng tử đã trở thành tên gọi của lý thuyết. Nhưng để hiểu lập luận của ông, cần biết vật lý thống kê, điều mà người mới học không phải lúc nào cũng có.

Thí nghiệm hai khe Young thì rất ngoạn mục. Trong phiên bản lượng tử, khi các hạt được gửi từng hạt một, nó bộc lộ những hành vi hoàn toàn không thể hiểu theo cách cổ điển. Tuy nhiên, theo tác giả, thí nghiệm này dễ hiểu hơn nhiều khi nhìn lại sau khi đã biết các nguyên lý của lý thuyết lượng tử. Theo một nghĩa nào đó, riêng nó đã tóm gọn nhiều khía cạnh kỳ lạ nhất của lý thuyết.

Vì vậy, chúng ta sẽ bắt đầu theo cách khác, với thí nghiệm Stern và Gerlach (1922), nghiên cứu một đối tượng có vẻ đơn giản và được hiểu rõ trong vật lý cổ điển: một hạt có mômen từ. Trong thí nghiệm lịch sử, hạt đó là nguyên tử bạc, và điều duy nhất cần tạm chấp nhận là nguyên tử ấy thực sự có mômen từ. Khi gửi nó vào vùng từ trường không đồng nhất, các định luật cơ học và điện từ học dễ dàng dự đoán quỹ đạo của nó.

Kết quả thu được cũng ngoạn mục: chúng khác hẳn dự đoán cổ điển. Bằng cách nối tiếp những thí nghiệm ngày càng tinh vi, mô tả cổ điển sụp đổ, và lần lượt xuất hiện hiện tượng lượng tử hóa (xem mục 4), chồng chập lượng tử (xem mục 7.2), cùng một hiện tượng thuần lượng tử khác mà hai khe Young không trực tiếp làm rõ: tính không tương thích giữa một số phép đo (xem mục 6.1).

Trước hết, chúng ta sẽ nhắc lại mômen từ là gì. Sau đó, chúng ta mô tả thí nghiệm và điều đáng lẽ phải quan sát được nếu nguyên tử hành xử như một nam châm nhỏ thông thường, rồi trình bày kết quả thực tế và bàn về ý nghĩa của chúng.

2. Ôn lại mômen từ cổ điển

2.1. Mômen từ

Mômen từ $\vec{\mu}$, hay mômen lưỡng cực từ, là một vectơ. Nam châm tự nhiên có mômen từ mà theo định nghĩa hướng từ cực Nam đến cực Bắc của nam châm. Đó cũng là hướng của đường sức từ bên trong nam châm; bên ngoài, chúng đi ra từ cực Bắc và trở về cực Nam, xem Hình 1.

Mômen này là đại lượng cơ bản dùng để định lượng độ mạnh của nam châm. Chẳng hạn, lực đẩy giữa hai nam châm quay cực Nam vào nhau phụ thuộc vào tích các mômen từ và khoảng cách.

Tuy nhiên, nam châm tự nhiên không thuận tiện để tiếp tục thảo luận, vì chưa thể thấy ngay điều gì tạo ra từ trường của chúng. Thuận tiện hơn nhiều là nam châm điện, tức các vòng dòng điện. Với một vòng dây phẳng có dòng điện cường độ $I$ chạy qua và bao diện tích $S$, có thể chứng minh mômen từ là $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$, trong đó $\vec{n}$ là vectơ đơn vị pháp tuyến của vòng dây, định hướng theo quy tắc bàn tay phải.

Đây là biểu thức duy nhất chúng ta cần ở đây. Tất nhiên, lý thuyết mômen từ tổng quát hơn nhiều. Nó định nghĩa mômen từ của một phân bố dòng điện bất kỳ bằng tích phân trên phân bố ấy. Công thức vòng dây là một trường hợp riêng. Về cách xây dựng này, xem chương 5 của ^[1].

2.2. Tương tác với từ trường

Cơ học cổ điển suy ra ba tính chất của một lưỡng cực từ đặt trong từ trường ngoài $\vec B$.

Công thức thứ ba suy ra trực tiếp từ công thức thứ hai qua $\vec{F} = -\grad E_t$. Nó cho thấy một hệ mang mômen từ đặt trong từ trường không đồng nhất sẽ chịu một hợp lực làm lệch quỹ đạo. Hai công thức đầu đến từ phép tính tường minh lực Laplace tác dụng lên phân bố dòng điện (đối với mômen lực) và công của lực này (đối với thế năng); chúng ta không lặp lại ở đây và đặc biệt dẫn người đọc đến các mục 5.2 và 5.7 của ^[1] để xem chứng minh đầy đủ¹.

Bỏ qua các chi tiết kỹ thuật, điều chính cần nhớ là thế năng trong phương trình (2) nhỏ nhất khi $\vec\mu$ song song với $\vec B$, và lớn nhất khi ngược chiều: lưỡng cực từ có xu hướng hướng theo từ trường nhờ mômen lực trong phương trình (1). Đây là nguyên lý hoạt động của la bàn. Tuy nhiên, nếu không có tiêu tán, kim la bàn chỉ dao động mãi quanh hướng Bắc, do mômen lực và định lý mômen động lượng. Nếu cuối cùng kim dừng lại, đó là vì ma sát trên trục quay làm tiêu tán năng lượng dao động.

2.3. Tỷ số hồi chuyển từ và chuyển động tiến động

Diễn biến này có dạng đặc biệt khi mômen từ tỷ lệ với một mômen động lượng nội tại của lưỡng cực. Khi ấy, ta đưa vào tỷ số hồi chuyển từ $\gamma$ qua quan hệ tỷ lệ:

Quan hệ như phương trình (4) xuất hiện, chẳng hạn, với mômen từ của điện tích cổ điển chuyển động trên quỹ đạo tròn. Thật vậy, điện tích $q$, khối lượng $m$, đi trên đường tròn bán kính $R$ với tốc độ $v$, tương đương dòng điện $I=qv/(2\pi R)$. Vì thế, nó tạo ra mômen từ

Trong mô hình quỹ đạo cổ điển này, $\gamma=q/(2m)$. Định lý mômen động lượng kết hợp với phương trình (1) cho $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$, rồi nếu $\gamma$ không đổi, ta có phương trình tiến động:

Trong từ trường đồng nhất, nghiệm của phương trình cho thấy vectơ $\vec\mu$ vạch một hình nón quanh hướng từ trường, tức tiến động với tần số góc Larmor $\omega_L=|\gamma|B$, xem Hình 2.

3. Thí nghiệm Stern và Gerlach

Nguyên lý thí nghiệm được tóm tắt trong Hình 3. Các hạt trung hòa từ một nguồn được gửi vào từ trường không đồng nhất do hai nam châm đối diện nhau tạo ra. Một màn đặt xa hơn thu nhận các điểm va chạm, cho phép đo độ lệch nếu có.

3.1. Thiết bị

Các nam châm.

Lực trong phương trình (3) đồng nhất bằng không nếu từ trường ngoài đồng nhất. Lưỡng cực trong trường đồng nhất chỉ chịu mômen lực, còn khối tâm tiếp tục đi thẳng. Do đó, chính sự không đồng nhất của từ trường làm thí nghiệm trở nên thú vị.

Để tạo ra trường ấy, thiết bị Stern và Gerlach (thường gọi tắt là SG) dùng hai nam châm được tạo hình, một có đầu nhọn, một có đầu nhọn ngược hoặc đáy hơi cong, xem Hình 3. Hình học này tập trung các đường sức về mép nhọn của nam châm phía trên. Vì các đường sức sít lại, bảo toàn từ thông $\mathrm{div} \vec B = 0$ trên một ống đường sức cho biết từ trường tăng về phía mép ấy, tức ở đây tăng theo $z$.

Ở bậc nhất, ta muốn viết từ trường bên trong dưới dạng $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$ với $k>0$, nhưng như vậy không thỏa điều kiện phân kỳ bằng không $\mathrm{div} \vec B = 0$. Vì thế, từ trường bắt buộc phải có thêm thành phần ngang. Bỏ qua hiệu ứng mép và giả sử bất biến theo $\vec e_x$, ta được:

Về bậc độ lớn, thiết bị thông thường có $B_0 \sim 0{,}1$ T, với $k\Delta z \ll B_0$ trên toàn bộ khoảng cách thẳng đứng giữa các nam châm, thường vài milimét. Nam châm dài vài centimét.

Nguồn.

Đó là lò nhỏ đặt trong chân không, chứa bạc rắn. Ở nhiệt độ cao, các nguyên tử bay hơi thoát khỏi lò qua một lỗ, và nhiều khe hẹp chọn những nguyên tử có vận tốc gần song song với $\vec e_x$. Ta thu được chùm nguyên tử chuẩn trực, tốc độ điển hình vài trăm mét mỗi giây, với độ phân tán bắt nguồn từ phân bố Maxwell—Boltzmann.

Lưu ý rằng ta dùng các hạt trung hòa điện để chỉ khảo sát hiệu ứng lưỡng cực từ. Hạt mang điện còn chịu lực Lorentz $q\,\vec v\wedge\vec B$, có độ lớn $qvB_0$, vượt xa lực $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$ mà chúng ta quan tâm ở đây.

Màn.

Trong thí nghiệm lịch sử, nguyên tử bạc dần lắng đọng lên màn và cuối cùng tạo thành vết nhìn thấy được. Trong thí nghiệm hiện đại, có thể giảm thông lượng đủ thấp để ghi nhận từng va chạm. Khả năng này sẽ quan trọng ở phần sau, và chúng ta sẽ trở lại với nó.

3.2. Dự đoán của cơ học cổ điển

Gửi vào vùng từ trường của phương trình (7) một hạt trung hòa có mômen từ $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$. Phương trình 3 cho

Vậy lưỡng cực không chỉ lệch theo $z$ mà còn theo $y$. Người đọc từng gặp thí nghiệm Stern và Gerlach ở nơi khác có thể ngạc nhiên, bởi nhiều bài giảng chỉ nói đến những gì xảy ra trên trục $z$. Thực ra, hai số hạng của phương trình (8) về nguyên tắc đóng cùng vai trò.

Có thể bỏ qua điều xảy ra trên trục $y$ là nhờ chuyển động tiến động, và đây là lúc cần một giả thiết quan trọng sẽ được biện minh về sau. Ta giả sử mômen từ của nguyên tử tỷ lệ với mômen động lượng nội tại $\vec L$ của nó.

Với giả thiết này, do từ trường không đổi $B_0\vec e_z$ lớn hơn rất nhiều các hiệu chỉnh $kz\,\vec e_z$ và $-ky\,\vec e_y$, mômen từ ở bậc nhất tiến động quanh $\vec e_z$ với tần số góc $\omega_{td} = |\gamma| B_0$, trong đó $\gamma$ là tỷ số hồi chuyển từ. Trong quá trình đó, thành phần $\mu_z$ không đổi, còn $\mu_y$ dao động quanh không.

Chuyển động tiến động này rất nhanh. Các công thức trên cho những bậc độ lớn có vẻ hợp lý trong thế giới nguyên tử. Chẳng hạn, $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ trở thành $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$ khi dùng điện tích nguyên tố và khối lượng electron². Với $B_0\approx0{,}1$ T, ta được $\omega_{td}\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Mặt khác, thời gian bay trong nam châm là $T=\ell/v_x$, khoảng $10^{-4}$ s khi $\ell$ cỡ vài centimét và $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Như vậy mômen từ quay vài trăm nghìn vòng trong khi đi qua. Lực theo $y$ vì thế có giá trị trung bình bằng không với độ chính xác rất cao.

Trong mô hình này, lực duy nhất còn có ý nghĩa trung bình là $\langle F_z\rangle=k\mu_z$. Hiển nhiên, độ lệch cuối cùng trên màn phải tỷ lệ với $\mu_z$. Chỉ còn xem xét điều kiện ban đầu. Nguyên tử đi ra từ lò, tức một bể nhiệt, nơi không có hướng không gian nào được ưu tiên. Ở lối vào SG, mômen từ do đó phải định hướng ngẫu nhiên, và thành phần thẳng đứng $\mu_z$ lấy liên tục mọi giá trị từ $-\mu$ đến $+\mu$, với phân bố đều.

Dự đoán cổ điển rất rõ ràng: phải quan sát được một dải va chạm liên tục dọc trục $z$ (nhưng không nhất thiết đều vì sự phân tán vận tốc).

4. Kết quả thực nghiệm

Đó không phải điều quan sát được. Độ lệch đúng là chỉ theo $z$, phù hợp với việc lực theo $y$ có trung bình bằng không, nhưng màn không hiện một dải liên tục: thay vào đó là hai vết đối xứng qua trục ban đầu, ngăn cách bởi một vùng trống.

4.1. Đo $\mu_0$

Vị trí chính xác của hai vết cho phép ước lượng $\mu_0$. Giả sử gradient $k=\partial B_z/\partial z$ và vận tốc dọc $v_x$ gần như không đổi trong nam châm, nguyên tử chịu gia tốc ngang trong khoảng thời gian $T=\ell/v_x$:

mà ta tích phân dễ dàng, rồi kéo dài quỹ đạo thẳng đến màn. Tính đến các thông số hình học của thí nghiệm, Otto Stern và Walther Gerlach đã đo được giá trị này cho nguyên tử bạc và thu được giá trị của magneton Bohr:

Phép đo này cho phép quay lại giả thiết 4. Tuy nhiên, nó không cho trực tiếp $\gamma$, vì đối tượng đo là mômen từ chứ không phải mômen động lượng $L$ liên quan. Ta chỉ có thể kiểm tra bậc độ lớn: thang tự nhiên của mômen động lượng nguyên tử là $\hbar$, và nếu viết $L\sim\hbar$ thì $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$. Như vậy ta tìm lại bậc độ lớn đã giả định và tần số góc tiến động cỡ $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, phù hợp với việc không quan sát thấy độ lệch theo $y$.

4.2. Vấn đề của cơ học cổ điển

Thí nghiệm cho thấy một hiện tượng xa lạ với cơ học cổ điển: thành phần mômen từ theo một trục cho trước không biến thiên liên tục mà được lượng tử hóa.

Ngay cả khi chấp nhận nguyên tử bạc có mômen từ, vẫn phải giải thích vì sao những hướng ban đầu bất kỳ từ bể nhiệt lại dẫn đến đúng hai chùm. Hãy xét hai cơ chế cổ điển có thể giải thích kết quả này.

Từ trường trong nam châm có thể làm các mômen thẳng hàng không? Ta đã thấy rằng khi không có tiêu tán, mômen lực từ gây tiến động nhưng giữ nguyên góc giữa lưỡng cực và từ trường. Vì thế nó không làm lưỡng cực thẳng hàng theo $+\vec B$ hay $-\vec B$. Nhưng có thể bỏ qua mọi tiêu tán không? Lý thuyết điện từ quả thực dự đoán mômen đang tiến động sẽ bức xạ³. Tuy nhiên, tiêu tán này không đáng kể: ngay sau khi kết quả được công bố, Einstein tính toán và ước lượng sự hồi phục cần hơn một thế kỷ, trong khi thời gian qua nam châm chỉ khoảng $10^{-4}$ s ^[3]. Hơn nữa, dù đủ nhanh, nó cũng đưa các mômen về hướng năng lượng thấp nhất, song song với từ trường: khi đó chỉ có một vết, không phải hai.

Từ trường ở rìa có thể giải thích hai vết không? Ở lối vào và lối ra của nam châm, hướng và độ lớn từ trường thay đổi, có thể làm tiến động phức tạp hơn. Tuy nhiên, các hiệu ứng này phụ thuộc hình học chính xác của nam châm và điều kiện thí nghiệm nói chung, nên phải thay đổi giữa các thí nghiệm. Trong khi đó, sự tách thành hai chùm không phụ thuộc những chi tiết ấy. Ngoài ra, trong mô hình cổ điển này, diễn biến theo các định luật cơ học và phương trình Maxwell là hàm liên tục của hướng ban đầu: nó không thể biến tập liên tục các hướng ban đầu thành chỉ hai giá trị đầu ra.

4.3. Sự xuất hiện của tính ngẫu nhiên

Trong phiên bản hiện đại của thí nghiệm, có thể giảm thông lượng đến mức các nguyên tử đi qua thiết bị từng hạt một. Mỗi nguyên tử chỉ tạo một va chạm tại một trong hai vết. Hai vết hiện dần khi các va chạm tích lũy.

Tính ngẫu nhiên này chưa đủ để khẳng định có sự ngẫu nhiên căn bản: các nguyên tử ra từ lò và điều kiện ban đầu khác nhau giữa các nguyên tử. Vì thế, việc không dự đoán được vẫn có thể do ta không biết những điều kiện ấy. Câu hỏi sẽ trở nên cấp thiết hơn khi ta kiểm soát tốt hơn việc chuẩn bị chùm.

5. Nhiều thiết bị Stern và Gerlach nối tiếp

Các thí nghiệm nối tiếp nhiều SG sẽ làm rõ vai trò của sự chuẩn bị và xác suất, rồi cho thấy tính không tương thích giữa một số phép đo.

5.1. Chuẩn bị một chùm

Ở đầu ra của $\mathrm{SG}_z$, chùm tách thành hai nhánh. Ta ký hiệu nhánh ứng với kết quả dương là $z+$, nhánh ứng với kết quả âm là $z-$.

Có thể đặt vật cản trên một nhánh và chỉ giữ nhánh kia. Nếu chặn $z-$, mọi nguyên tử tiếp tục thí nghiệm đều đã cho kết quả $z+$ ở thiết bị đầu tiên. Thiết bị vì thế không chỉ để đo, mà còn để chuẩn bị một chùm xác định rõ cho thí nghiệm tiếp theo.

Ta ký hiệu sự chuẩn bị này là $\ket{z+}$. Lúc này, ký hiệu chỉ có nghĩa là “một nguyên tử vừa ra khỏi nhánh $z+$ của bộ phân tích $\mathrm{SG}_z$”. Ta sẽ dần tìm hiểu cấu trúc toán học gắn với ký hiệu đó.

5.2. Tính lặp lại trên cùng một trục

Đặt một $\mathrm{SG}_z$ thứ hai sau thiết bị đầu tiên, chỉ giữ nhánh $z+$ của thiết bị đầu, xem Hình 5. Thực nghiệm cho thấy thiết bị thứ hai chỉ tạo một vết duy nhất trên nhánh $z+$. Nhánh $z-$ trống.

Cách hình dung cổ điển không gặp vấn đề ở đây. Nếu thiết bị đầu chọn một giá trị $\mu_z$ hoặc hướng các mômen theo $z$, và sau đó không có gì thay đổi thành phần $\mu_z$, thiết bị thứ hai phải cho cùng độ lệch đối với mọi nguyên tử được chọn. Kết quả này phù hợp với cách hình dung đơn thuần là phân loại.

5.3. Hai trục khác nhau

Giờ thay thiết bị thứ hai bằng $\mathrm{SG}_x$, có trục phân tích vuông góc với trục của thiết bị đầu, xem Hình 6. Ta lại thấy hai vết với tỷ lệ bằng nhau.

Có thể xét hai cách giải thích cổ điển. Nếu thiết bị đầu đã hướng hoàn toàn $\vec\mu$ theo $z$, thì $\mu_x=0$: thiết bị thứ hai phải cho một vết ở giữa. Nếu nó chỉ chọn các giá trị dương của $\mu_z$ mà không cố định thành phần khác, thì $\mu_x$ vẫn phân bố liên tục: phải thấy một dải liên tục. Không cách nào dự đoán được hai vết quan sát thấy.

Trở lại trường hợp gửi từng nguyên tử một. Mỗi nguyên tử tạo va chạm ở nhánh $x+$ hoặc $x-$; với nhiều nguyên tử, hai kết quả xuất hiện với tỷ lệ bằng nhau. Tuy nhiên, chùm đi vào $\mathrm{SG}_x$ được chuẩn bị có kiểm soát hơn chùm ra trực tiếp từ lò: mọi nguyên tử đều được chọn ở nhánh $z+$ của thiết bị đầu. Như vừa thấy, sự chuẩn bị $\ket{z+}$ của chúng còn bảo đảm một kết quả chắc chắn khi đo lại theo $z$.

Dẫu vậy, sự chuẩn bị này không cho phép dự đoán va chạm sẽ ở nhánh nào khi đo theo $x$. Giải thích bằng sự hỗn loạn lúc ra khỏi lò vì thế không còn đủ: cùng một sự chuẩn bị làm một phép đo chắc chắn nhưng vẫn để phép đo kia ngẫu nhiên. Vai trò của xác suất trong cơ học lượng tử dần rõ hơn.

6. Ba thiết bị SG nối tiếp

6.1. ZXZ: phép lọc thay đổi sự chuẩn bị

Xét chuỗi $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$, xem Hình 7. Sau thiết bị đầu chỉ giữ $z+$; sau thiết bị thứ hai chỉ giữ $x+$. Cuối cùng ta phân tích chùm mới theo $z$.

Trong cách giải thích cổ điển, ta đã loại giả thuyết mômen từ hoàn toàn thẳng hàng với trục SG, vì nó dự đoán vết giữa ở thiết bị thứ hai, nghĩa là không có nhánh $x+$ để chọn. Nếu vẫn giữ cách hình dung phân loại đơn thuần, thiết bị đầu chọn một giá trị dương của $\mu_z$, rồi thiết bị thứ hai phân loại nguyên tử theo $\mu_x$ mà không thay đổi $\mu_z$. Thiết bị thứ ba khi đó chỉ được cho nhánh $z+$. Nhưng nhánh $z-$ lại xuất hiện.

Vậy phép lọc theo $x$ đã thay đổi sự chuẩn bị. Sau khi chọn $x+$, kết quả $z+$ trước đó không còn dự đoán chắc chắn phép đo $z$ mới. Dường như chính trạng thái đã bị thiết bị thứ hai thay đổi.

Đôi khi người ta tóm tắt rằng “đo $x$ phá hủy thông tin về $z$”. Câu này hữu ích, miễn là nhớ rằng không điều gì ở đây phụ thuộc vào việc người làm thí nghiệm biết hay nhìn thấy gì. Bộ lọc $x+$ đã chuẩn bị về mặt vật lý trạng thái mới $\ket{x+}$, và trạng thái này cho $z+$ và $z-$ với xác suất bằng nhau.

6.2. ZYZ: cùng xác suất, khác sự chuẩn bị

Cuối cùng, thay bộ phân tích trung gian theo $x$ bằng bộ phân tích theo $y$, vẫn chỉ giữ nhánh dương. Chuỗi $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ vẫn cho hai kết quả đồng xác suất ở phép đo cuối. Kết quả này mở rộng cho mọi trục trung gian vuông góc với $z$: với hướng $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ trong mặt phẳng $(x,y)$, chọn nhánh $u+$ vẫn cho hai kết quả đồng xác suất ở phép đo cuối theo $z$.

Nhưng điều đó không có nghĩa các sự chuẩn bị $\ket{x+}$, $\ket{y+}$, $\ket{u+}$ đều giống nhau. Phân tích theo $x$ sẽ phân biệt chúng: trường hợp đầu chắc chắn cho $x+$, trường hợp thứ hai cho $x+$ hoặc $x-$ với tỷ lệ bằng nhau, còn trường hợp thứ ba, thực nghiệm cho thấy xác suất của hai kết quả phụ thuộc $\varphi$. Hai sự chuẩn bị do đó có thể cho cùng xác suất ở một phép đo nhưng khác nhau về mặt vật lý.

7. Hình thức luận đang hình thành

Ta không định suy ra toàn bộ hình thức luận lượng tử chỉ từ những thí nghiệm này. Tuy nhiên, thất bại của mô tả cổ điển buộc ta xem lại cách dùng từ và gợi ra một cách mới để biểu diễn trạng thái.

7.1. Trạng thái không phải danh sách giá trị

Không thể quy sự chuẩn bị $\ket{z+}$ về dữ kiện “$\mu_z=+\mu_0$, với các giá trị $\mu_x$, $\mu_y$ chưa biết nhưng đã cố định” mà thiết bị chỉ bộc lộ. Trong cách hình dung phân loại đơn thuần đó, chuỗi $Z\!X\!Z$ phải cho lại $100\,\%$ kết quả $z+$, nhưng thực tế không như vậy. Vậy biểu diễn trạng thái thế nào nếu không bằng danh sách giá trị có sẵn?

7.2. Hướng tới chồng chập lượng tử

Điểm mới quan trọng của hình thức luận lượng tử là chính trạng thái tập hợp các dữ kiện cho phép tính xác suất của kết quả đo.

Sự chuẩn bị $\ket{x+}$ cho kết quả chắc chắn theo $x$ nhưng hai kết quả đồng xác suất theo $z$. Để mô tả điều này, hình thức luận lượng tử biểu diễn $\ket{x+}$ như một chồng chập của hai trạng thái $\ket{z+}$ và $\ket{z-}$:

Các hệ số (ở đây là $1/\sqrt{2}$ trước mỗi số hạng) được gọi là biên độ: bình phương môđun của chúng cho xác suất các kết quả theo $z$, ở đây mỗi kết quả là $1/2$. Mọi nguyên tử được chuẩn bị trong $\ket{x+}$ đều có cùng trạng thái, biểu diễn bởi tổ hợp tuyến tính này. Đây không phải hỗn hợp thống kê trong đó một số nguyên tử ở $\ket{z+}$, số còn lại ở $\ket{z-}$.

Ta không thể suy ra hoàn toàn cấu trúc này chỉ từ những kết quả ở đây. Các thí nghiệm giao thoa trong bài tiếp theo sẽ cung cấp thêm cơ sở. Cuối cùng, vẫn phải đặt nó thành tiên đề.

7.3. Không gian vectơ phức

Các biến thể ZYZ, tổng quát hơn là ZUZ, đặt ra câu hỏi sau: sự chuẩn bị $\ket{y+}$ hay $\ket{u+}$ cũng cho $50/50$ theo $z$ nhưng khác $\ket{x+}$ khi $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$. Do đó hai biên độ của chúng trong cơ sở $\ket{z+},\ket{z-}$ phải có môđun $1/\sqrt2$. Nếu biên độ là số thực, chỉ còn bốn cách chọn dấu $\pm1/\sqrt2$: số khả năng hữu hạn này không đủ biểu diễn sự đa dạng liên tục của các sự chuẩn bị $\ket{u+}$.

Vì thế hình thức luận lượng tử dùng biên độ phức, có thể thay đổi pha mà không thay đổi môđun. Chẳng hạn, ta sẽ viết:

và tổng quát hơn, $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$ với mọi góc $\varphi$. Các trạng thái khi đó khác nhau, nhưng xác suất theo $z$ vẫn bằng $1/2$. Xem xét nghiêm túc những tổ hợp tuyến tính này dẫn đến việc biểu diễn trạng thái bằng vectơ trong một không gian vectơ phức trừu tượng. Từ “trừu tượng” nhắc rằng các hệ số là biên độ xác suất, không phải thành phần không gian của mômen từ cổ điển. Tổng quát hơn, một sự chuẩn bị trạng thái có thể viết

Để lấy biên độ rồi bình phương môđun, cần chiếu trạng thái lên các trạng thái ứng với kết quả có thể xảy ra. Cách đơn giản nhất để lấy các thành phần là dùng tích vô hướng. Nó cũng xác định một chuẩn, với

Bình phương chuẩn tương ứng tổng xác suất các kết quả có thể xảy ra: tổng này phải bằng một, nên trạng thái được biểu diễn bằng vectơ có chuẩn bằng một.

Trong hình thức luận đang hình thành, trạng thái sẽ là vectơ của một không gian Hilbert phức, tức được trang bị tích vô hướng cho phép tính xác suất. Cấu trúc tuyến tính cho phép cộng các biên độ và thể hiện nguyên lý chồng chập lượng tử. Tất cả sẽ được nghiên cứu chi tiết ở chủ đề 2.

8. Tìm hiểu thêm

Một thế kỷ sau những thí nghiệm này, ta có thể nói rõ hơn chúng thực sự đo gì. Sau Stern và Gerlach, người ta dần hiểu rằng mômen từ được đo trong nguyên tử bạc chủ yếu gắn với spin của một electron không ghép cặp. Spin là mômen động lượng nội tại, khác mômen động lượng quỹ đạo của electron. Electron là hạt spin $1/2$: đo hình chiếu spin theo một trục cho hai giá trị $S_z=\pm\hbar/2$.

Mômen động lượng spin này gắn với một mômen từ tỷ lệ với spin:

trong đó $e$ là giá trị dương của điện tích nguyên tố, và $\gamma_s$ là tỷ số hồi chuyển từ của electron. Dấu trừ do electron mang điện âm: mômen từ ngược hướng spin. Vì thế hai giá trị đo được của thành phần ấy là $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$, với $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$. Spin và mômen từ là hai đại lượng khác nhau, tỷ lệ với nhau.

Trong nguyên tử còn phải tính đến mômen động lượng quỹ đạo của electron, gắn với một mômen từ khác. Hydro là ví dụ đơn giản: electron duy nhất có cả spin và trạng thái quỹ đạo. Ở trạng thái cơ bản $1s$, mômen động lượng quỹ đạo bằng không; đóng góp của electron vào mômen từ nguyên tử do đó đến từ spin. Phipps và Taylor thực hiện thí nghiệm Stern và Gerlach với hydro vào năm 1927.

Nguyên tử bạc có nhiều electron hơn, nhưng cấu hình electron $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$ đưa tình huống về cùng nguyên lý. Có thể chứng minh trong các lớp đầy, các đóng góp quỹ đạo và spin triệt tiêu nhau. Còn lại electron $5s$, có mômen động lượng quỹ đạo bằng không ở trạng thái cơ bản và spin bằng $1/2$. Chính mômen từ spin của nó đã được thí nghiệm lịch sử làm lộ rõ.

9. Tài liệu tham khảo