প্রচ্ছদ/বিষয়সমূহ/বিষয় 2

হিলবার্ট স্থান ও ডিরাকের প্রতীকরীতি

হিলবার্ট স্থানের গঠন, টপোলজিক্যাল দ্বৈত স্থান এবং সসীম ও অসীম মাত্রায় ডিরাকের প্রতীকরীতি।

সসীম মাত্রায় ডিরাকের প্রতীকরীতি

যেকোনো মাত্রায় প্রযোজ্য কোয়ান্টাম গণনার বীজগাণিতিক নিয়ম, তারপর সসীম মাত্রায় ম্যাট্রিক্স সূত্রের সংকলন।

ডিরাকের প্রতীকরীতিহার্মিশীয় অন্তর্গুণনঅ্যাডজয়েন্টকেট–ব্রা অপারেটরঅভেদের বিস্তারসসীম মাত্রাম্যাট্রিক্সের উপাদানট্রেসঅনুবন্ধী ট্রান্সপোজসূত্রসংকলন

আমরা যে বস্তুগুলি সংজ্ঞায়িত করেছি সেগুলি কিছু মৌলিক ধর্ম মেনে চলে। হিলবার্ট স্থানের মাত্রা যাই হোক এবং অপারেটরগুলি সীমাবদ্ধ হোক বা না হোক, এই ধর্মগুলি প্রযোজ্য। শেষের ক্ষেত্রেও সংযুক্ত সংজ্ঞায়িত করা যায়, তবে তার গাণিতিক দিক আরও সূক্ষ্ম; রৈখিক অপারেটর তত্ত্বের পরের থিমে আমরা তাতে ফিরব। সারা বিশ্ব ডিরাকের প্রতীকরীতি ব্যবহার করে বলে এই ধর্মগুলি কার্যত কোয়ান্টাম গণনার বীজগাণিতিক নিয়ম, তাই সেগুলি আয়ত্ত করা অপরিহার্য।

এই পাঠে এতক্ষণ দেখা সব দরকারি সূত্র, প্রয়োজনে পুনরাবৃত্তি করে, একত্র করা হয়েছে এবং কয়েকটি নতুন সূত্র যোগ করা হয়েছে। প্রথমে যেকোনো মাত্রায় প্রযোজ্য সূত্রগুলি, তারপর সসীম মাত্রার সূত্রগুলি দেওয়া হয়েছে; সেখানে ডিরাকের প্রতীকরীতি সুস্পষ্ট ম্যাট্রিক্স গণনায় পরিণত হয়।

1. যেকোনো মাত্রায় গণনার নিয়ম

অন্তর্গুণের ধর্ম।

ধরা যাক (∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2 হিলবার্ট স্থানের দুটি ভেক্টর এবং (λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 দুটি স্কেলার। অন্তর্গুণ নিচের ধর্মগুলি মেনে চলে:

  1. হার্মিটীয় প্রতিসাম্য:

    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}

    (1)

  2. বাঁ দিকে প্রতিরৈখিকতা: λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi}-এর সঙ্গে যুক্ত ব্রা হল λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi}, অর্থাৎ:

    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣এবং⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{এবং} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }

    (2)

  3. ডান দিকে রৈখিকতা:

    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}

    (3)

  4. রৈখিক সমন্বয়: আগের ধর্মগুলি দিয়ে নিচের মতো জটিল রাশি স্বাভাবিকভাবে বিস্তার করা যায়। যেকোনো α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C-এর জন্য:

    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }

    (4)

  5. নর্ম: সংজ্ঞা অনুসারে,

    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}

    (5)

    সমতা হবে যদি এবং কেবল যদি ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 শূন্য ভেক্টর হয় (যাকে কখনো, যদিও খুব কম, ∣∅⟩\ket{\varnothing} লেখা হয়)।

সংযুক্তের ধর্ম।

সংজ্ঞা হিসেবে ব্যবহৃত দুটি সূত্র আবার লিখি:

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

এবং

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

এ থেকে হার্মিটীয় প্রতিসাম্য দিয়ে আরও প্রমাণ করা যায় যে:

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

সংযুক্ত অপারেটরের ধর্ম।

H\mathcal{H}-এর ওপর যেকোনো অবিচ্ছিন্ন রৈখিক অপারেটর A^,B^\hat{A}, \hat{B} এবং যেকোনো স্কেলার λ∈C\lambda \in \mathbb{C}-এর জন্য:

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (প্রতিরৈখিকতা)(A^B^)†=B^†A^†,(ক্রমের দিকে খেয়াল করুন)(A^†)†=A^,    (স্ববিপরীততা).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(প্রতিরৈখিকতা)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(ক্রমের দিকে খেয়াল করুন)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(স্ববিপরীততা)}. \end{aligned}
কেট-ব্রা অপারেটর।

একটি ব্র্যাকেট একটি সংখ্যা, কিন্তু একটি কেট-ব্রা একটি অপারেটর, যাকে বহির্গুণ বলা হয় (অন্তরকলনীয় ফর্মের বহির্গুণের সঙ্গে এর সম্পর্ক নেই)। দুটি ভেক্টর ∣φ⟩\ket{\phi} ও ∣ψ⟩\ket{\psi}-এর সঙ্গে আমরা অপারেটর ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} যুক্ত করি, যার সংজ্ঞা:

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
অভেদ অপারেটরের বিভাজন।

H\Hilb-এর অভেদ অপারেটরকে 1\mathbf{1} লেখা হয়; এর সহজ সংজ্ঞা 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb। একটি গণনাযোগ্য হিলবার্টীয় ভিত্তি {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I}-এ, যেখানে II সসীম অথবা গণনাযোগ্য অসীম, অভেদ অপারেটর 1\mathbf{1} লেখা যায়:

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

ব্যবহারিক গণনায় এই সূত্র অত্যন্ত উপযোগী। একে অভেদের রেজোলিউশন বা পূর্ণতা সম্পর্কও বলে। ডান দিকটি সসীম মাত্রায় একটি যোগফল, অথবা গণনাযোগ্য অসীম মাত্রায় একটি অভিসারী শ্রেণি। অগণনাযোগ্য মাত্রায় সূত্রটি ভুল।

হিলবার্টীয় বিভাজন।

যেমন, ∣ei⟩\ket{e_i} বরাবর কেট ∣ψ⟩\kpsi-এর উপাংশকে ψi\psi_i সংজ্ঞায়িত করলে আগের সূত্র থেকে সরাসরি প্রথম পাঠের বিভাজন উপপাদ্য ফিরে পাওয়া যায়:

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

মাত্রা অনুযায়ী এটি একটি যোগফল বা একটি শ্রেণি। কেটের বিভাজনের অনুরূপ ব্রার জন্যও রয়েছে:

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

তখন নর্ম লেখা যায়:

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

মন্তব্য 1 (ক্রমের দিকে খেয়াল করুন!)
কেটের উপাংশগুলি হল ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi}, ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i} নয়; পরেরটির মান ψi∗\psi_i^*। হার্মিটীয় অন্তর্গুণ বিনিময়যোগ্য নয়, তাই ক্রমের দিকে খেয়াল রাখতে হবে। প্রচলিত ইউক্লিডীয় অন্তর্গুণসহ Rn\mathbb{R}^n-এ একটি ভেক্টর v⃗\vec{v}-এর উপাংশ viv_i পাওয়া যায় vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i থেকে। তাই মনে হতে পারে কোয়ান্টাম সূত্রটি হবে ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i}, কিন্তু তা নয়!
কয়েকটি বিশেষ অপারেটর।

পরের থিমে হিলবার্ট স্থানের ওপর রৈখিক অপারেটরের তত্ত্ব বিশদে আলোচনা করা হবে। তবে পরের আলোচনার জন্য কয়েকটি অতি প্রচলিত ক্ষেত্র এখানে উল্লেখ করি। H→H\Hilb \to \Hilb অপারেটরগুলির মধ্যে বিশেষভাবে পাব:

  1. A^\hat A, হার্মিটীয় বা স্বসংযুক্ত, যদি A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A},
  2. U^\hat U, এককীয়, যদি U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1},
  3. P^\hat P, প্রক্ষেপক, যদি P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P},
  4. P^\hat P, লম্ব প্রক্ষেপক: একটি স্বসংযুক্ত প্রক্ষেপক।

এককীয় অপারেটরগুলি একৈক-সার্বিক, রৈখিক এবং অন্তর্গুণ সংরক্ষণ করে। তাই আমরা আগেই তাদের দেখেছি: এগুলি সমদূরত্বীয় সমরূপতা (এখানে সমদূরত্বীয় স্বসমরূপতা, কারণ শুধু H\Hilb থেকে নিজের মধ্যে রৈখিক অপারেটর নিয়ে কথা হচ্ছে)।

2. সসীম মাত্রার সূত্রাবলি

হিলবার্ট স্থান সসীম মাত্রা nn-এর হলে কোয়ান্টাম গণনার নিয়ম আরও নির্দিষ্ট করা যায়। আগের অনুচ্ছেদের সব সূত্রই প্রযোজ্য; সেখানে দেখা যোগফলগুলি সসীম যোগফল হিসেবে লিখতে হবে: ∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}।

এছাড়া, একটি লম্ব-একক ভিত্তি B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n বেছে নিলে ডিরাকের প্রতীকরীতি সুস্পষ্ট ম্যাট্রিক্স গণনার সমতুল্য হয়। এখন তা বিশদে দেখব (সতর্কতা: নিচের আলোচনার অসীম মাত্রায় কোনো অর্থ নেই)।

স্তম্ভ ভেক্টর হিসেবে কেট।

ভিত্তি B\mathcal{B}-এর কেটগুলিকে স্বাভাবিকভাবে (n,1)(n,1) ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ স্তম্ভ ভেক্টর দিয়ে প্রকাশ করি:

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

এখানে 11 আছে ii-তম অবস্থানে। বীজগাণিতিক বিভাজন ব্যবহার করে:

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

সব কেটকে স্তম্ভ ভেক্টর হিসেবে লেখা যায়: ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H}-এর জন্য লিখি:

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

এখানে প্রয়োজন না হলে কোন ভিত্তি B\mathcal{B}-এ বিস্তার করা হয়েছে তা উল্লেখ করব না। তাছাড়া উপাংশগুলি লম্ব প্রক্ষেপণের মাধ্যমে পাওয়া যায়:

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

অনুবন্ধী সারি ভেক্টর হিসেবে ব্রা।

ভেক্টর uu-এর সঙ্গে যুক্ত রৈখিক ফর্ম φu\varphi_u-কে যেকোনো ভেক্টর vv-এর জন্য মেনে চলতে হবে:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

কারণ হার্মিটীয় অন্তর্গুণ বাঁ দিকে প্রতিরৈখিক। এই যোগফলকে ম্যাট্রিক্স গুণন হিসেবে পেতে ⟨u∣\bra{u}-কে uu-এর অনুবন্ধী স্থানাঙ্কগুলির সারি ভেক্টর হতে হবে:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

কারণ তখন অন্তর্গুণ ⟨u|v⟩\braket{u}{v} প্রচলিত ম্যাট্রিক্স গুণন হিসেবে পাওয়া যায়:

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

তাই দেখা যায়, ব্রা ⟨u∣\bra{u} হল কেট ∣u⟩\ket{u}-এর অনুবন্ধী ট্রান্সপোজ। সুতরাং সসীম মাত্রায় ড্যাগার ক্রিয়া মানে অনুবন্ধী ট্রান্সপোজ নেওয়া:

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

অসীম মাত্রায় এটি ভুল, এমনকি অর্থহীন, কারণ ট্রান্সপোজ সংজ্ঞায়িত নয়1।

টীকা 1: বড়জোর, ℓ2(N)\ell^2(\N) স্থানে এবং অনুচ্ছেদ 3.2 (বিষয় 2, পাঠ 1)-এ বিশদে আলোচিত তার প্রাকৃতিক ভিত্তিতে, অসীম স্তম্ভ বা সারি ভেক্টর নিয়ে এবং সসীম যোগফলের বদলে অভিসারী শ্রেণি বসিয়ে অনেকটা একইভাবে কাজ করা যায়। অন্তর্দৃষ্টি গড়তে এটি উপকারী হতে পারে, কিন্তু কঠোর অর্থে এগুলি ম্যাট্রিক্স নয়। L2(R)L^2(\R)-এ এর আর কোনো অর্থই থাকে না, যদিও সেখানেও একটি সমাকলনভিত্তিক অনুরূপ রূপ আছে; পরের পাঠ দেখুন।
অপারেটরের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপন।

সসীম মাত্রায় একটি লম্ব-একক ভিত্তি {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n-এ যেকোনো রৈখিক অপারেটর A^\hat{A}-এর বিভাজন:

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

সসীম মাত্রায় এটি রৈখিক অপারেটর A^\hat{A} (টুপি চিহ্নসহ) ও তার ম্যাট্রিক্স AA-কে (টুপি চিহ্ন ছাড়া) স্বাভাবিকভাবে অভিন্ন করতে দেয়। উপরের সূত্রটি আসলে ডিরাকের রীতিতে ম্যাট্রিক্স বিস্তার A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}-এর প্রতিরূপ, যেখানে EijE_{ij} হল মৌলিক ম্যাট্রিক্স যার (i,j)(i,j) অবস্থানে 11 এবং অন্য সব স্থানে শূন্য। তাই এখানে EijE_{ij} হল অপারেটর ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j}-এর প্রতিনিধিত্বকারী ম্যাট্রিক্স। সহগ AijA_{ij}-গুলিকে স্বাভাবিকভাবেই ভিত্তি {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\}-এ অপারেটর A^\hat{A}-এর ম্যাট্রিক্স উপাদান বলা হয়। এদের মান:

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

তবে লিখনকে সুন্দর রাখতে সাধারণত এভাবে লিখব:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

অবশ্যই অভেদ অপারেটরের ম্যাট্রিক্স হল অভেদ ম্যাট্রিক্স এবং তার ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি হল δij\delta_{ij} (ক্রোনেকার প্রতীক)।

অপারেটরের ট্রেস।

পরবর্তীতে প্রায়ই একটি অপারেটর A^\hat{A}-এর ট্রেস বিবেচনা করতে হবে। ডিরাকের প্রতীকরীতিতে এটি গণনা করা হয়:

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

এই রাশি লম্ব-একক ভিত্তির নির্বাচনের ওপর নির্ভর করে না।

সংযুক্ত ও অনুবন্ধী ট্রান্সপোজ।

সসীম মাত্রায় সংযুক্ত A^†\hat{A}^\dagger-এর প্রতিনিধিত্বকারী ম্যাট্রিক্স হল অপারেটর A^\hat{A}-এর প্রতিনিধিত্বকারী ম্যাট্রিক্সের অনুবন্ধী ট্রান্সপোজ:

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

এখানে একটি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ দিই, কারণ এতে উপরের গণনার নিয়মগুলি বাস্তবে কীভাবে ব্যবহার করা হয় তা বোঝা যায়। সংজ্ঞা অনুসারে A^†\hat{A}^\dagger-এর ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি হল:

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

কিন্তু সংযুক্তের সংজ্ঞা অনুসারে:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

হার্মিটীয় প্রতিসাম্য ব্যবহার করে পাই ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*, আর এটি ম্যাট্রিক্স উপাদান Aji∗A_{ji}^* ছাড়া কিছুই নয়। তাই:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

এতে ধর্মটি প্রমাণিত হল। তাই সসীম মাত্রায় ম্যাট্রিক্স গণনা করে সরাসরি যাচাই করা যাবে কোনো অপারেটর হার্মিটীয়, এককীয় ইত্যাদি কি না।

3. তথ্যসূত্র

এই পাঠে এখনও কোনো তথ্যসূত্র যোগ করা হয়নি।