হিলবার্ট স্থান ও ডিরাকের প্রতীকরীতি

1. $L^2(\mathbb{R})$-এর সাধারণীকৃত অবিচ্ছিন্ন ভিত্তি

অনুচ্ছেদ 3.3 (বিষয় 2, পাঠ 1)-এ আমরা মডেল স্থান $L^2(\R)$ বিশদে আলোচনা করেছি। বিশেষ করে, তার একটি গণনাযোগ্য হিলবার্টীয় ভিত্তি দেখিয়েছি। তখন প্রতিটি ভৌত অবস্থা হার্মিট ফাংশনগুলির ভিত্তিতে একটি শ্রেণি হিসেবে বিভক্ত হয়। দুর্ভাগ্যবশত এই ফাংশনগুলির সুস্পষ্ট রাশি বেশ জটিল।

তাই আরেকটি « ভিত্তি » উদ্ভাবন করা হয়েছে। হিলবার্টীয় ভিত্তির অর্থে এটি প্রকৃত ভিত্তি নয়, বরং যাকে সাধারণীকৃত অবিচ্ছিন্ন ভিত্তি বলা হয়। এখানে অসীম মাত্রায় যাওয়া সূক্ষ্ম ব্যাপার, এবং কঠোর নির্মাণের জন্য রৈখিক অপারেটর তত্ত্ব নিয়ে পরের থিমের উপকরণ লাগবে। আপাতত তাই নিচের সূত্রাবলি মেনে নেব, মনে রেখে যে এটি এই « ভিত্তি »-তে ডিরাকের প্রতীকরীতি ব্যবহারের নির্দেশিকা, কোনো প্রতিষ্ঠিত গাণিতিক নির্মাণ নয়।

1.1. অবস্থান উপস্থাপনে সাধারণীকৃত ভিত্তি

তবু কয়েকটি ধারণা দেওয়ার চেষ্টা করি। প্রথমে একটি স্বসংযুক্ত « অবস্থান » অপারেটর প্রবর্তন করি, যাকে $\hat{X}$ লেখা হয়। এটি হিলবার্ট স্থান $L^2(\mathbb{R})$-এর ফাংশনগুলির ওপর গুণনের মাধ্যমে ক্রিয়া করে:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

সংজ্ঞার ডোমেইনের দিকে খেয়াল করুন। এই রাশির অর্থ থাকে কেবল যদি ফাংশন $x\,\psi(x)$ এখনও $L^2(\R)$-এ থাকে। কিন্তু তা সব সময় হয় না: কিছু বর্গ-সমাকলনযোগ্য ফাংশনকে $x$ দিয়ে গুণ করলে অপসারী হয়ে যায়।¹ তাই অপারেটর $\hat{X}$-কে সম্পূর্ণ $L^2(\R)$-এ সংজ্ঞায়িত করা যায় না, শুধু সেই ফাংশনগুলির উপস্থানে সংজ্ঞায়িত করা যায় যাদের ওপর এর ক্রিয়ার ফল $L^2$-এ থাকে।

একটি সুসংজ্ঞায়িত ডোমেইন পেতে, যা $L^2$-এ ঘন এবং প্রচলিত ক্রিয়াগুলির অধীনে স্থিতিশীল (অন্তরীকরণ, $x$ দিয়ে গুণ, ফুরিয়ার রূপান্তর), আমরা শোয়ার্টজ ফাংশনের স্থান $\mathcal{S}(\R)$ প্রবর্তন করি:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

অর্থাৎ এগুলি দ্রুত ক্ষয়শীল মসৃণ ফাংশন, যাদের $f$ এবং তার সব অন্তরজ শূন্যের দিকে যায় $x$-এর যেকোনো বিপরীত ঘাতের চেয়েও দ্রুত।

স্থান $\mathcal{S}(\R)$ হল:

• $L^2(\R)$-এ ঘন ($L^2$-এর যেকোনো ফাংশনকে $\mathcal{S}$-এর ফাংশন দিয়ে যত খুশি ভালোভাবে আসন্ন করা যায়),
• অন্তরীকরণ, $x$ দিয়ে গুণ এবং ফুরিয়ার রূপান্তরের অধীনে স্থিতিশীল।

তাই অবস্থান অপারেটর $\hat{X}$ ও ভরবেগ অপারেটর $\hat{P}$ সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করার জন্য এটি স্বাভাবিক ডোমেইন, এবং এই স্থানকেই ভিত্তি করে ডিরাকের গাণিতিক রীতি ও গেলফান্ড ত্রয়ীর কঠোর নির্মাণ গড়ে ওঠে।

এই সতর্কতাগুলি মেনে আমরা আপাতত সম্পূর্ণ আনুষ্ঠানিকভাবে² $\hat{X}$-এর নিজস্ব অবস্থাগুলি লিখতে পারি:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

এই কেটগুলি $\ket{x}$ যাকে সাধারণীকৃত অবিচ্ছিন্ন ভিত্তি বলে তা গঠন করে: এদের সাহায্যে $L^2(\R)$-এর সদস্যদের অবিচ্ছিন্ন উপরিপাতন হিসেবে প্রকাশ করা যায়, যদিও $\ket{x}$ নিজেরা হিলবার্ট স্থানের ভেক্টর নয়।

আসলে এগুলি যথার্থ অর্থে কেট নয়, কারণ এদের একক নর্মে স্বাভাবিকীকরণ করা যায় না। কেন তা দেখব। এই পরিবার অগণনাযোগ্য, তাই তার লম্ব-এককতা বিচ্ছিন্ন ক্রোনেকার প্রতীক $\delta_{ij}$ দিয়ে লেখা যায় না, বরং তার « অবিচ্ছিন্ন সংস্করণ »   দিয়ে এভাবে লিখতে হয়:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

বিশেষ করে:

এখানে ডিরাক ডেল্টা $\delta(x)$ প্রবর্তন করা হয়েছে। এটি সাধারণ ফাংশন নয়, বরং গণিতের ডিস্ট্রিবিউশন তত্ত্বের একটি ডিস্ট্রিবিউশন। সমাকলনের মধ্যে তার ক্রিয়া দিয়ে একে সংজ্ঞায়িত করি:

শোয়ার্টজ স্থানের যেকোনো পরীক্ষা ফাংশন $f$-এর জন্য। বুঝতে হবে, আলাদাভাবে $\delta(x)$-এর কোনো অর্থ নেই, এটি এমনকি একটি সংখ্যাও নয়। আসলে $\delta$ হল পরীক্ষা ফাংশনের ওপর ক্রিয়াশীল রৈখিক ফর্ম $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$³। তাই এটি কেবল সমাকলন (2)-এর মধ্যে তার ক্রিয়া দিয়ে সংজ্ঞায়িত, তার মান $\delta(x)$ দিয়ে নয়।

কিন্তু একে ফাংশন হিসেবে ভাবতেই হলে, শূন্যের চারপাশে ক্রমে আরও কেন্দ্রীভূত ফাংশনের অনুক্রমের সীমা হিসেবে ভাবা যায়; যেমন ক্রমে আরও সূচালো গাউসীয় ফাংশনের সীমা:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

অথবা শূন্যে কেন্দ্রীভূত এমন আয়তক্ষেত্র, যার প্রস্থ শূন্যের দিকে এবং উচ্চতা অসীমের দিকে যায়। প্রতিটি ক্ষেত্রেই এই দৃষ্টিতে ডেল্টা সীমায় এমন একটি « ফাংশন » মনে হয় যা $x = 0$ ছাড়া সর্বত্র শূন্য, সেখানে অপসারী, অথচ বক্ররেখার নিচে মোট ক্ষেত্রফল 1 রাখে।

এই কারণে পদার্থবিদ্যায় তবু লেখা হয় $\delta(0) = \infty$, কিন্তু এখানে লিখন ও অর্থের অপপ্রয়োগটি ভালোভাবে বুঝতে হবে। যাই হোক, সমীকরণ (1) থেকে এটি দেখায় যে কেট $\ket{x}$ স্বাভাবিকীকৃত নয়। ডিরাক ডেল্টার একটি সমাকলন উপস্থাপনও আছে, যা অত্যন্ত উপযোগী এবং সম্ভবত এই অনুচ্ছেদের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্র:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

এখানেও সমতাটিকে ডিস্ট্রিবিউশন তত্ত্বের অর্থে বুঝতে হবে, কারণ সমাকলনটি স্পষ্টতই অভিসারী নয় এবং অন্যথায় তার কোনো অর্থ থাকবে না।

অবস্থান অপারেটর $\hat{X}$-এর « ম্যাট্রিক্স উপাদান » হল $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$। এগুলিকে এখনও এই নামেই ডাকি (সসীম মাত্রার আগের অনুচ্ছেদের সঙ্গে তুলনা করুন), যদিও $\hat{X}$-কে সাধারণ ম্যাট্রিক্স দিয়ে প্রকাশ করা যায় না। একটি « অবিচ্ছিন্ন সূচকযুক্ত ম্যাট্রিক্স » কল্পনা করা যেতে পারে, যা ডিস্ট্রিবিউশনের অর্থে কর্ণীয়, কিন্তু যার কর্ণ $x = x'$-এ মানের যথার্থ অর্থ নেই ($x\,\delta(0)$ বাস্তব সংখ্যা নয়)। সম্ভবত এখানেই সসীম মাত্রার রৈখিক অপারেটর (= ম্যাট্রিক্স) এবং অসীম মাত্রার রৈখিক অপারেটরের মৌলিক পার্থক্য দেখা যায়।

সাধারণীকৃত ভিত্তিতে অভেদের রেজোলিউশন লেখা হয়:

এর সাহায্যে হিলবার্ট স্থানের যেকোনো কেট $\kpsi$-এর এই অবিচ্ছিন্ন ভিত্তিতে বিভাজনকে একটি সমাকলন হিসেবে দেখা যায়:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

এখানে আমরা তরঙ্গ ফাংশন সংজ্ঞায়িত করেছি

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

একইভাবে $\kpsi$-এর অনুবন্ধী ব্রা বিস্তৃত হয়:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

এখানে অন্তর্গুণের হার্মিটীয় প্রতিসাম্য ব্যবহার করেছি: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$।

লক্ষ করুন, ভেক্টর $\hat{X} \psi$-এর $x$ উপাংশ, যার মান সংজ্ঞা অনুসারে $\braket{x}{X\psi}$, সাধারণত এখানেও লিখনকে সুন্দর রাখতে (সমীকরণ (4 (বিষয় 2, পাঠ 2))-এর সঙ্গে তুলনা করুন), এভাবে লেখা হবে:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. ভরবেগ উপস্থাপনে

বিন্দু কণার কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় একইভাবে ভরবেগ অপারেটর প্রবর্তন করা হয় $L^2(\mathbb{R})$-এর তরঙ্গ ফাংশন $\psi(x)$-এর ওপর তার ক্রিয়া দিয়ে:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

এখানেও শোয়ার্টজ ডোমেইনে সীমাবদ্ধ থাকতে হবে, যাতে একদিকে তরঙ্গ ফাংশন অন্তরীকরণযোগ্য হয়, অন্যদিকে তার অন্তরজও বর্গ-সমাকলনযোগ্য থাকে।

$\hat{P}$ সত্যিই একটি স্বসংযুক্ত অপারেটর, তা যাচাই করা এই অধ্যায়ের একটি চমৎকার প্রয়োগমূলক অনুশীলন। এজন্য প্রথমে অন্তরীকরণ অপারেটরটিই বিবেচনা করি, যাকে লিখি:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

এটি একটি রৈখিক অপারেটর (অন্তরীকরণ রৈখিক: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$)। স্পষ্টতই সসীম মাত্রার মতো এই অপারেটরকে ম্যাট্রিক্স দিয়ে প্রকাশ করা যায় না: এটি ফাংশনের অসীম মাত্রিক স্থানে অন্তরীকরণের মাধ্যমে ক্রিয়া করে। তাই ট্রান্সপোজ-অনুবন্ধী ক্রিয়া দিয়ে তার সংযুক্ত গণনা করা যায় না। তবে সংযুক্তের সংজ্ঞা ব্যবহার করে তা গণনা করা যায়; $\mathcal{S}(\R)$-এর দুটি পরীক্ষা ফাংশন $\phi$ ও $\psi$-এর জন্য তা মেনে চলে:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

সংজ্ঞা 2 (বিষয় 2, পাঠ 2) দেখুন। অভেদের রেজোলিউশন বসালে বাঁ দিকের মান:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

এতে দেখা যায়, অপারেটর $\hat{D} = d/dx$-এর সংযুক্ত হল $-\hat{D} = -d/dx$। উপরের গণনায় প্রথম লাইনে ব্রা ও কেটের মধ্যে অভেদের রেজোলিউশন বসিয়েছি; দ্বিতীয় লাইনে তা বণ্টন করেছি; তৃতীয় লাইনে হার্মিটীয় প্রতিসাম্য ব্যবহার করেছি। চতুর্থ লাইনে $\hat{D}$ এবং তরঙ্গ ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করেছি, পঞ্চম লাইনে $\R$-এ অংশে অংশে সমাকলন করেছি: অসীমে সীমানা পদগুলি শূন্য হয়, কারণ শোয়ার্টজ স্থানের ফাংশন যেকোনো একপদীর চেয়ে দ্রুত ক্ষয় পায়। শেষে আবার তরঙ্গ ফাংশন থেকে অন্তর্গুণে ফিরেছি, অভেদের রেজোলিউশন বাইরে এনে তা সরিয়েছি। ফলে ভরবেগ অপারেটর সত্যিই স্বসংযুক্ত, কারণ

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

$\hat{P}$-এর স্বসংযুক্ততা নিশ্চিত করে যে তার নিজস্ব মানগুলি (সম্ভাব্য ভরবেগ) বাস্তব এবং তার নিজস্ব ফাংশনগুলি অবস্থাস্থানের একটি সম্পূর্ণ ভিত্তি গঠন করে, সাধারণীকৃত অর্থে (ডিরাক ডিস্ট্রিবিউশনের মাধ্যমে)।

ভরবেগের নিজস্ব অবস্থা। — সম্পূর্ণ একইভাবে সাধারণীকৃত « কেট » $\ket{p}$-কে $\hat{P}$-এর নিজস্ব অবস্থা হিসেবে সংজ্ঞায়িত করি:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

অবস্থান উপস্থাপনে সংশ্লিষ্ট তরঙ্গ ফাংশন পাওয়া যায় $\bra{x}$-এ প্রক্ষেপণ করে:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

এটি একটি সরল অন্তরকলনীয় সমীকরণ, যার সমাধান:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

এই রাশি দেখায়, অবস্থান ও ভরবেগ উপস্থাপনকে যুক্ত করা রূপান্তরটি ঠিক ফুরিয়ার রূপান্তর।

লম্বতা ও পূর্ণতা। — কেটগুলি $\ket{p}$, $\ket{x}$-গুলির মতো অনুরূপ সম্পর্ক মেনে চলে:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

ভরবেগ উপস্থাপনে তরঙ্গ ফাংশনের সংজ্ঞা:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

সুতরাং রূপান্তর $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ হল ফুরিয়ার রূপান্তর, এবং বিপরীত রূপান্তর লেখা হয়:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

মৌলিক বিনিময় সম্পর্ক। — শেষে, অপারেটর $\hat{X}$ ও $\hat{P}$ ক্যানোনিক্যাল বিনিময় সম্পর্ক মেনে চলে:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

এই সম্পর্কের ওপরই বিন্দু কণার সমগ্র কোয়ান্টাম বলবিদ্যা দাঁড়িয়ে আছে। আসলে এই অনুচ্ছেদের সব সূত্র কেবল এই ক্যানোনিক্যাল সম্পর্ক থেকেই আসে: প্রমাণ করা যায়, X ও P-এর এই বীজগণিতের একমাত্র সম্ভাব্য হিলবার্টীয় উপস্থাপন হল আমরা এইমাত্র যা লিখেছি। বিশেষত, দেখানো যায় যে $X$ অবস্থান x-এর তরঙ্গ ফাংশনের ওপর গুণনের মাধ্যমে ক্রিয়া করে এবং P অন্তরীকরণের মাধ্যমে, আর বিপরীত উপস্থাপনে উল্টোটি ঘটে। এই প্রধান ফলটি পরে বিশদে আলোচনা করা হবে; এটি স্টোন–ফন নয়মান উপপাদ্য।

1.3. ডিরাক ডেল্টার ধর্ম

ডিরাক ডেল্টার কয়েকটি দরকারি সূত্র দিয়ে এই অনুচ্ছেদ ও অধ্যায় শেষ করি। এগুলিকে সর্বদা ডিস্ট্রিবিউশনের অর্থে বুঝতে হবে, অর্থাৎ যখন ডেল্টা সমাকলন চিহ্নের অধীনে থাকে:

প্রতিসাম্য:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

সমসত্ত্বতা:

যেকোনো বাস্তব $a \neq 0$-এর জন্য,

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

চলক পরিবর্তন:

যদি $f$ একটি নিয়মিত ফাংশন হয় যার সরল মূলগুলি $\{x_i\}$, এবং $f(x_i) = 0$, তবে

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

ডেল্টার অন্তরজ:

ডিস্ট্রিবিউশনের অর্থে অন্তরজের সংজ্ঞা

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. তথ্যসূত্র