1. দ্বৈততার ধারণা

এই পুরো পাঠের মূল সূত্র হল দ্বৈততা। তার একটি স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা দেওয়ার চেষ্টা করি। গণিতে দ্বৈততা নানা পরিস্থিতিকে বোঝায়, কিন্তু হিলবার্ট স্থানের ক্ষেত্রে এটি একটি সহজ ও গভীর ধারণা প্রকাশ করে: একটি ভেক্টরকে শুধু স্বতন্ত্র বস্তু হিসেবেই নয়, অন্য ভেক্টরের উপর ক্রিয়া করে সংখ্যা উৎপন্নকারী অপারেটর হিসেবেও দেখা যায় (অর্থাৎ রৈখিক ফর্ম হিসেবে)। কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় এভাবে উৎপন্ন সংখ্যাটি সম্ভাবনা বিস্তার।

তাই কোয়ান্টাম আনুষ্ঠানিকতা এই দুই দিকই সম্পূর্ণভাবে কাজে লাগায়, এবং ডিরাকের প্রতীকরীতি এগুলি সহজে ব্যবহারের একটি চতুর লিখনপদ্ধতি। এতে কেট $\ket{u}$ স্থানের ভেক্টর বোঝায়, এবং ব্রা $\bra{u}$ সেই ভেক্টরগুলির উপর ক্রিয়াশীল রৈখিক ফর্ম বোঝায়। তাদের সমন্বয় $\langle u|v\rangle$ একটি স্কেলার উৎপন্ন করে, যাকে ব্র্যাকেট বলে; অন্যদিকে $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ ধরনের রাশি অপারেটর বর্ণনা করে।

এই প্রতীকরীতি কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের মান্য ভাষা হয়ে উঠেছে এবং তাতে সম্পূর্ণ দক্ষতা অপরিহার্য। এই পাঠের পরে গণনার নিয়মগুলির একটি সংক্ষিপ্ত সূত্রসংকলন দেওয়া হবে। আসলে অন্তর্নিহিত গণিত সত্যিকারভাবে না বুঝেও এই প্রতীকগুলি ব্যবহার শেখা সম্ভব। কিন্তু তাদের গভীর অর্থ বুঝতে এখানে বর্ণিত কর্মসূচি অনুসরণ করতে হবে: ভেক্টর ও রৈখিক ফর্মের মধ্যে পূর্ণ শনাক্তকরণ কীভাবে নির্মাণ করা হয় তা বোঝা, এবং কেন সেই প্রক্রিয়া স্বাভাবিকভাবেই আরেকটি অপরিহার্য বস্তু—অপারেটরের অ্যাডজয়েন্ট—সংজ্ঞায়িত করতে নিয়ে যায় তা দেখা।

পরের অনুচ্ছেদে একটি ভেক্টর স্থান ও তার বীজগাণিতিক দ্বৈতের মধ্যে এমন সমরূপতা প্রতিষ্ঠার চেষ্টা করব; বীজগাণিতিক দ্বৈত হল তার সব রৈখিক ফর্মের সেট। দেখব যে এটি অসম্ভব। সসীমমাত্রিক ভেক্টর স্থান তার দ্বৈতের সমরূপ হলেও সেই সমরূপতা স্বাভাবিক নয় (এটি ভিত্তির একটি ইচ্ছামতো নির্বাচনের উপর নির্ভর করে)। অসীম মাত্রায় পরিস্থিতি আরও খারাপ: এমন সমরূপতার অস্তিত্বই নেই। এই বাধাগুলি ভেক্টর ও রৈখিক ফর্মের স্বয়ংক্রিয় শনাক্তকরণকে অকার্যকর করে এবং হিলবার্ট স্থানের অধিক সমৃদ্ধ গঠন ব্যবহার করার প্রয়োজন দেখায়।

অনুচ্ছেদ 3 দেখায়, এই অতিরিক্ত গঠন কাজে লাগিয়ে কীভাবে সমস্যাগুলি অতিক্রম করা যায়। অন্তর্গুণন ব্যবহার করে এবং কেবল অবিচ্ছিন্ন রৈখিক ফর্মে সীমাবদ্ধ থেকে—যেগুলি তথাকথিত টপোলজিক্যাল দ্বৈত গঠন করে—একটি অসাধারণ ফলে পৌঁছই। রিসের উপপাদ্য বলে, যেকোনো মাত্রার হিলবার্ট স্থান ও তার টপোলজিক্যাল দ্বৈতের মধ্যে একটি স্বাভাবিক, বিপরীত রৈখিক, সমদূরত্ব-সংরক্ষক সমরূপতা রয়েছে।

এই ফল ডিরাকের প্রতীকরীতির কঠোর ভিত্তি দেয়। আমরা অনুচ্ছেদ 4 ও 5-এ তা বিশদে আলোচনা করব (কেট, ব্রা ও রৈখিক অপারেটর), তারপর দেখাব রিস সমরূপতা থেকে কীভাবে স্বাভাবিকভাবে অপারেটরের অ্যাডজয়েন্টের ধারণা আসে (অনুচ্ছেদ 6)। অনুচ্ছেদ 7 একটি পূর্ণ ছকের মাধ্যমে নির্মাণটি সংক্ষেপে তুলে ধরে। এই পাঠ জুড়ে তত্ত্বকে বোঝাতে সসীমমাত্রিক ক্ষেত্রকে নির্দিষ্ট উদাহরণ হিসেবে ব্যবহার করব এবং সর্বদা $\mathbb{C}$ ক্ষেত্রের উপর কাজ করব।

2. রৈখিক ফর্ম ও বীজগাণিতিক দ্বৈত

ধরা যাক, $E$ হল $\C$-এর উপর ভেক্টর স্থান। তার বীজগাণিতিক দ্বৈত $E^*$ সংজ্ঞায়িত করি $E$-এর উপর রৈখিক ফর্মগুলির সেট হিসেবে, অর্থাৎ রৈখিক মানচিত্র $\varphi : E \to \C.$

সসীম মাত্রা $n$-এ, $E$-এর একটি ভিত্তি $(e_1,\dots,e_n)$ নির্দিষ্ট করলে $E^*$-এ রৈখিক ফর্মের একটি সংশ্লিষ্ট পরিবার $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ নির্মাণ করা যায়, যা সম্পর্কটি দিয়ে সংজ্ঞায়িত:

তখন প্রমাণ করা যায় যে পরিবারটি রৈখিক স্বাধীন ও উৎপাদক, তাই $E^*$-এর ভিত্তি (যাকে দ্বৈত ভিত্তি বলে)। এতে পাই $\dim(E^*) = \dim(E)$, ফলে $E$ ও $E^*$ সমরূপ। একটি সম্ভাব্য সমরূপতা হল মানচিত্র $T$, যা প্রত্যেক ভেক্টর $x = \sum x_i e_i$-এর সঙ্গে রৈখিক ফর্ম $w_x = \sum x_i \theta_i$ যুক্ত করে।

তবে সমরূপতা $T$ এক অর্থে কৃত্রিম, কারণ এটি শুরুতে $E$-এর ভিত্তি বেছে নেওয়ার উপর নির্ভর করে। ভিত্তি বদলালে মানচিত্র $T$-ও বদলে যায়। তাই একটি ভেক্টর স্থান ও তার বীজগাণিতিক দ্বৈতের মধ্যে স্বাভাবিক শনাক্তকরণ নেই।

অসীম মাত্রায় একটি ধ্রুপদি ফল দেখায় যে $E$ কখনোই তার বীজগাণিতিক দ্বৈতের সমরূপ নয়, কারণ শেষেরটির মাত্রা কঠোরভাবে বেশি (এর্দশ–কাপলানস্কি উপপাদ্য দেখুন)। যেমন, $E$-এর বীজগাণিতিক মাত্রা গণনাযোগ্য হলে তার বীজগাণিতিক দ্বৈতের বীজগাণিতিক মাত্রা অগণনাযোগ্য।

তাই দুই ক্ষেত্রেই ভেক্টর ও রৈখিক ফর্মের মধ্যে স্বাভাবিক শনাক্তকরণ নেই।

3. টপোলজিক্যাল দ্বৈত ও রিসের উপপাদ্য

একটি হিলবার্ট স্থান $\H$-এ অন্তর্গুণনের সংশ্লিষ্ট নর্ম রৈখিক ফর্মের একটি বিশেষ শ্রেণি আলাদা করতে দেয়: যেগুলি অবিচ্ছিন্ন। $\varphi : \H \to \C$-কে $x_0$-এ অবিচ্ছিন্ন বলা হয় যদি

এবং একটি বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে রৈখিকতার কারণে সর্বত্র অবিচ্ছিন্ন হয়¹। অবিচ্ছিন্ন রৈখিক ফর্মগুলির সেট বীজগাণিতিক দ্বৈতের একটি ভেক্টর উপস্থান গঠন করে। একে টপোলজিক্যাল দ্বৈত বলা হয় এবং আবারও (কিছুটা শিথিলভাবে) $\H^*$ লেখা হয়।

মন্তব্য: এই নর্ম অপারেটর নর্মের একটি বিশেষ ক্ষেত্র, যা পরে আবার পাব (অনুচ্ছেদ 1.5 (বিষয় 4, পাঠ 3, এই ভাষায় উপলব্ধ নয়) দেখুন)। উপরের নির্মাণ আসলে যেকোনো নর্মযুক্ত স্থানেই প্রযোজ্য। হিলবার্ট ক্ষেত্রের বিশেষত্ব নিম্নলিখিত উপপাদ্য: অন্তর্গুণন ব্যবহার করে প্রত্যেক অবিচ্ছিন্ন রৈখিক ফর্ম ও একটি ভেক্টরের মধ্যে এক-এক ও সর্বব্যাপী শনাক্তকরণ নির্মাণ করা যায়:

লক্ষ করি, $\mathcal{H}$ থেকে $\H^*$-এ মানচিত্র $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ কেবল প্রাক্‌হিলবার্ট স্থানেও এক-এক। কারণ $\varphi_u = \varphi_v$ হলে $\mathcal{H}$-এর যেকোনো $x$-এর জন্য $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$; তাই $x = u - v$ বেছে নিলে অন্তর্গুণনের ধনাত্মক নির্দিষ্টতা থেকে $u = v$।

রিসের উপপাদ্য তখন বলে যে এই মানচিত্র সর্বব্যাপীও। এটি তুচ্ছ নয় এবং কেবল হিলবার্ট স্থানেই সত্য। যেমন, অপূর্ণ প্রাক্‌হিলবার্ট স্থানে এটি সর্বব্যাপী নয়, কারণ সেখানে এমন অবিচ্ছিন্ন রৈখিক ফর্ম থাকে যেগুলিকে ওই অপূর্ণ স্থানের কোনো ভেক্টরের সঙ্গে অন্তর্গুণন হিসেবে লেখা যায় না।

তাই রিসের উপপাদ্য $\mathcal{H}$ ও $\mathcal{H}^*$-এর মধ্যে কাঙ্ক্ষিত এক-এক ও সর্বব্যাপী মানচিত্র $\Phi$ দেয়। তা থেকে নিম্নলিখিত অনুসিদ্ধান্ত পাই:

4. ডিরাকের প্রতীকরীতি: ব্রা, কেট, ব্র্যাকেট

তখন ডিরাকের প্রতীকরীতি রিস সমরূপতার পুনর্লিখনমাত্র। প্রথমে কেট, ব্রা ও ব্র্যাকেট সংজ্ঞায়িত করি। এগুলি দিয়ে আগের পাঠে দেখা হিলবার্ট ভিত্তিতে বিভাজন পুনর্লিখন করব।

1. কেট। একটি ভেক্টর $u \in \mathcal{H}$-কে কেট আকারে এভাবে লেখা হয়: $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$ রৈখিক গঠন থেকে নিচের গণনার নিয়মগুলি পাওয়া যায়: $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. ব্রা। প্রত্যেক ভেক্টর $u \in \H$-এর সঙ্গে $\Phi$ দিয়ে একটি ফর্ম $\varphi_u$ যুক্ত করি। এই রৈখিক ফর্মকে ব্রা হিসেবে লিখি, যার ভিতরে সংশ্লিষ্ট ভেক্টরটি লেখা থাকে: $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$ তাই $\bra{u}$ হল রৈখিক ফর্ম হিসেবে দেখা ভেক্টর $u$; অর্থাৎ « $u$-এর সঙ্গে অন্তর্গুণন নিয়ে একটি সংখ্যা ফেরত দেওয়া » ক্রিয়া। আমাদের নিচের গণনার নিয়মগুলি রয়েছে: $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ যা $\Phi$-এর বিপরীত রৈখিকতার ফল।
3. ব্র্যাকেট। আগের দুটি লিখনকৌশল ব্রা ও কেটের গুণফল হিসেবে অন্তর্গুণন গঠন করতে দেয়; ইংরেজিতে একে bracket (বা inner product) বলে: $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$ এই প্রতীকরীতি আসলে ভেক্টর $\ket{x}$-এর উপর রৈখিক ফর্ম $\bra{u}$-এর ক্রিয়া প্রকাশ করে: $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. হিলবার্ট বিভাজন। হিলবার্ট স্থানের মাত্রা যাই হোক, আমরা বিভাজন সূত্র $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$ দেখেছি; যোগফল সসীম, অথবা $I$ অসীম হলে $\mathcal{H}$-এ অভিসারী। ডিরাক প্রতীকরীতিতে তা হয়:
   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)
   যেখানে $u_i$-গুলি ভিত্তিতে কেট $u$-এর উপাংশ। লক্ষ করুন, $e_i$-এর উপর লম্ব অভিক্ষেপে এগুলি $u_i = \braket{e_i}{u}$ আকারে পাওয়া যায়, কখনোই $\braket{u}{e_i}$ আকারে নয়; শেষেরটির মান $u_i^*$। এটি প্রচলিত ভুল, সম্ভবত কারণ $\R^n$-এর সাধারণ ভেক্টর গণনায় ভেক্টর $\vec{v}$-এর উপাংশ $v_i$ পাওয়া যায় $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$ দিয়ে, যা কোয়ান্টাম ক্ষেত্রে $u_i = \braket{u}{e_i}$ মনে করাতে পারে। কিন্তু তাতে $\C$-এর অন্তর্গুণনের সেস্কুইলিনিয়ারতা উপেক্ষিত হয় এবং সঙ্গে সঙ্গেই গণনায় ভুল আসে। ব্রা-র জন্য রয়েছে:
   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)
   এবং নর্মের বর্গ লেখা হয়
   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   যেখানে দ্বিতীয় সমতাটি পার্সেভালের।
5. « ড্যাগার » ক্রিয়া। সমরূপতা $\Phi$-এর প্রয়োগ (কেট থেকে ব্রা) সাধারণত ঊর্ধ্বলিপিতে $\dagger$ চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়। ব্রা থেকে কেটে বিপরীত সমরূপতা $\Phi^{-1}$-কেও একই চিহ্নে লেখার রীতি নিই। ফলে ড্যাগার ক্রিয়া স্ববিপরীত হয়। লিখনরীতি অনুযায়ী তাই: $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(মানচিত্র } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(মানচিত্র } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(স্ববিপরীততা)} \end{aligned}$$

সসীম মাত্রায় এই বিষয়গুলি উদাহরণ দিয়ে বোঝাই। $n$ মাত্রার $\H$ এবং তার স্বাভাবিক অন্তর্গুণনসহ একটি হিলবার্ট ভিত্তি $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ নিই (অনুচ্ছেদ 3.1 (বিষয় 2, পাঠ 1) দেখুন)। ভিত্তির কেটগুলিকে স্বাভাবিকভাবে স্তম্ভ ভেক্টর, অর্থাৎ $(n,1)$ ম্যাট্রিক্স হিসেবে প্রকাশ করি:

যেখানে $1$ রয়েছে $i$-তম অবস্থানে। তখন সব কেট $\ket{u}$-কে স্তম্ভ ভেক্টর হিসেবে লেখা যায়

যেখানে $u_i = \braket{e_i}{u}$। ভেক্টর $u$-এর সংশ্লিষ্ট রৈখিক ফর্ম $\varphi_u$-কে যেকোনো ভেক্টর $v$-এর জন্য মেনে চলতে হবে:

তাই এই যোগফল পেতে $\bra{u}$-কে $u$-এর অনুবন্ধী স্থানাঙ্কের $(1, n)$ আকারের সারি ভেক্টর দিয়ে প্রকাশ করতে হবে:

কারণ তখন অন্তর্গুণন $\braket{u}{v}$ সাধারণ ম্যাট্রিক্স গুণফল থেকে পাওয়া যায়:

যেমন, 2 মাত্রায়:

আমরা এই ফল পেলাম:

সতর্ক থাকুন, অসীম মাত্রায় এর অর্থ নেই, কারণ ট্রান্সপোজ সংজ্ঞায়িত নয়। তবে $\ell^2(\N)$ স্থানে তার স্বাভাবিক ভিত্তিতে অসীম স্তম্ভ বা সারি ভেক্টর বিবেচনা করে এবং সসীম যোগফলের বদলে অভিসারী শ্রেণি নিলে অনেকটা একই রকম ঘটে। স্বজ্ঞা গড়ে তুলতে এটি উপকারী হতে পারে, কিন্তু কঠোর অর্থে এখানে ম্যাট্রিক্স বা ট্রান্সপোজ নিয়ে কাজ হচ্ছে না।

5. অপারেটর, ম্যাট্রিক্সের উপাদান ও অভেদের বিভাজন

ডিরাকের প্রতীকরীতির আলোচনা চালিয়ে এবার $\mathcal{H}$ থেকে $\mathcal{G}$-এ রৈখিক মানচিত্র (যাকে রৈখিক অপারেটরও বলে) $\hat A$ প্রবর্তন করি, যেখানে $\mathcal{G}$ আরেকটি হিলবার্ট স্থান।

অপারেটরের প্রতীকরীতি। প্রথমে লক্ষ করুন, পদার্থবিজ্ঞানে অপারেটরের মাথায় হ্যাট চিহ্ন দেওয়া মান্য রীতি। একটি অপারেটর $\hat A$ ভেক্টর $v$-এর উপর ক্রিয়া করে ভেক্টর $\hat A v$ দেয়। তাই ডিরাক প্রতীকরীতিতে দুটি সমতুল্য লিখনরীতি আছে, যার দ্বিতীয়টি বেশি ব্যবহৃত হয়:

একইভাবে, অপারেটরযুক্ত অন্তর্গুণন লেখা যায়:

যেখানে নান্দনিক কারণে দ্বিতীয় লিখনটি বেশি প্রচলিত।

ম্যাট্রিক্সের উপাদান। উপরের সূত্রে $\bra{w} = \bra{e_i}$ ও $\ket{u} = \ket{e_j}$ ক্ষেত্রটি বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ, কারণ সেটিই অপারেটর $\hat A$-এর তথাকথিত ম্যাট্রিক্সের উপাদান সংজ্ঞায়িত করে:

অসীম মাত্রায় এই রাশি সব সময় অর্থবহ নয়, কারণ $\ket{e_i}$-কে অপারেটর $\hat A$-এর সংজ্ঞা-ডোমেনে থাকতে হবে। পরে এতে ফিরব। অন্যদিকে সসীম মাত্রায় সংজ্ঞাটি স্পষ্ট: ভিত্তি ভেক্টরকে স্তম্ভ ভেক্টর হিসেবে লেখার মাধ্যমে রৈখিক অপারেটর ও তার প্রতিনিধিত্বকারী ম্যাট্রিক্সের মধ্যে একার্থক সম্পর্ক হয়; তাই লিখি $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$, যেখানে $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$। তখন উপরের সমীকরণ $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ সাধারণ ম্যাট্রিক্স গুণফল $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$ হিসেবে লেখা হয়, আর অন্তর্গুণন হয় $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$।

কেট-ব্রা অপারেটর। ব্র্যাকেট একটি সংখ্যা, কিন্তু কেট-ব্রা একটি অপারেটর, যাকে বহির্গুণন বলে (ডিফারেনশিয়াল ফর্মের বহির্গুণনের সঙ্গে এর সম্পর্ক নেই)। একই হিলবার্ট স্থান $\H$-এর দুটি ভেক্টর $\ket{u}$ ও $\ket{v}$-এর সঙ্গে $\H$ থেকে $\H$-এ অপারেটর $\ket{u}\bra{v}$ যুক্ত করা হয়, যার সংজ্ঞা:

এখানেও সসীম মাত্রায় $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$ ক্ষেত্রটি বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ। এই অপারেটরের ম্যাট্রিক্সের সব উপাদান শূন্য, শুধু $i$ সারি ও $j$ স্তম্ভে একটি « 1 » রয়েছে; তাই সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্স:

সসীম মাত্রায় প্রত্যেক রৈখিক অপারেটর $\hat{A}$ তার ম্যাট্রিক্সের উপাদান অনুযায়ী বিভক্ত হয়:

যেখানে $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$। সতর্ক থাকুন, অসীম মাত্রায় এই বিভাজন সব সময় সম্ভব নয়; আর যখন সম্ভব হয়, তখন তাকে সবল অভিসরণের অর্থে বুঝতে হয়। পরের পাঠগুলিতে এতে ফিরব।

অভেদ অপারেটরের বিভাজন। $\mathcal{H}$-এ অভেদ অপারেটর $\mathbf{1}$ সংজ্ঞায়িত হয় $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ দিয়ে, যা যেকোনো $\ket{x} \in \mathcal{H}$-এর জন্য তুচ্ছভাবে সত্য। সসীম মাত্রায় এর প্রতিনিধি অবশ্যই অভেদ ম্যাট্রিক্স। আরও সাধারণভাবে সূত্রটি হল

এটি গণনাযোগ্য অসীম মাত্রাতেও প্রযোজ্য; সে ক্ষেত্রে শ্রেণিটি সবলভাবে অভিসারী। একে অভেদের বিস্তার বা ক্লোজার সম্পর্কও বলা হয়। কোয়ান্টাম বলবিদ্যার সব ধরনের গণনায় সূত্রটি অত্যন্ত কার্যকর। তবে সতর্ক থাকুন, অবিচ্ছেদ্য স্থানে এটি ভুল²

6. অ্যাডজয়েন্ট অপারেটর

রিস সমরূপতায় ফিরে আসি এবং $\mathcal{H}$ থেকে $\mathcal{G}$-এ একটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক অপারেটর³ $\hat{A}$ বিবেচনা করি, যেখানে $\H$ ও $\G$ দুটি হিলবার্ট স্থান এবং সম্ভবত $\H = \G$।

$\hat{A}$ একটি কেট $\ket{u} \in \mathcal{H}$-এর উপর ক্রিয়া করলে নতুন কেট $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$ পাই। স্বাভাবিক প্রশ্ন হল, রিস সমরূপতা দ্বারা ভেক্টর $\ket{v}$-এর সঙ্গে যুক্ত ব্রা কোনটি, অর্থাৎ $\G$-এর উপর রৈখিক ফর্ম $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ কী? এতে স্বাভাবিকভাবে নতুন একটি অপারেটর আসে, যাকে $\hat{A}$-এর অ্যাডজয়েন্ট বলে এবং আবারও $\hat{A}^\dagger$ লেখা হয়। কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় এই অপারেটরের অপরিহার্য ভূমিকা রয়েছে।

$\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ কী তা জানতে একটি যেকোনো কেট $\ket{w} \in \mathcal{G}$ নির্দিষ্ট করি এবং $\H$-এর উপর এই রৈখিক ফর্ম বিবেচনা করি:

(উপরে, $\G$ সূচকটি বলে কোন স্থানে অন্তর্গুণ নিতে হবে।) এখানে আমরা মেনে নেব যে $\hat{A}$ একটি অবিচ্ছিন্ন অপারেটর হলে $\varphi$ হল $\mathcal{H}$-এর একটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক ফর্ম। $\mathcal{H}$-এ রিসের উপপাদ্য প্রয়োগ করলে একটি অনন্য ভেক্টর $\ket{z} \in \mathcal{H}$ পাওয়া যায়, যাতে $\varphi = \varphi_z$, অর্থাৎ:

সুতরাং এই নির্মাণে $\G$-এর একটি ভেক্টর $\ket{w}$-এর সঙ্গে $\H$-এর একটি অনন্য ভেক্টর $\ket{z}$ যুক্ত করা হয়েছে। আনুষ্ঠানিকভাবে এই ক্রিয়াকে একটি অপারেটরের ক্রিয়া হিসেবে লেখা যায়। একে সংযুক্ত অপারেটর বলে, $\hat{A}^\dagger$ দিয়ে বোঝায়, এবং লেখা হয় $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$। লক্ষ্য করুন, অপারেটর $\hat A$ ক্রিয়া করে $\H$ থেকে $\G$-এ, আর সংযুক্ত অপারেটর ক্রিয়া করে $\G$ থেকে $\H$-এ।

প্রত্যেক $\ket{w}$-এর জন্য এই নির্মাণ সম্পন্ন করলে সহজেই যাচাই করা যায় যে সংজ্ঞায়িত অপারেটরটি নিজেও অবিচ্ছিন্ন ও রৈখিক। তাই নিচের মৌলিক ফলটি পাওয়া যায়:

আনুষ্ঠানিক কোয়ান্টাম গণনায় সংযুক্ত অপারেটরের দুটি ব্যবহারিক সুবিধা আছে।

1. আগের সূত্রটি দেখায় যে, বলা যায়, « $u$ ও $w$-এর অবস্থান স্থির রেখে সংযুক্ত অপারেটর ব্যবহার করে অপারেটরটিকে বাঁ দিক থেকে ডান দিকে সরানো যায় »।
2. অন্তর্গুণের হার্মিটীয় প্রতিসাম্য ব্যবহার করে: $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$, আরও পাই:
   $$\boxed{\forall\, \ket{u} \in \mathcal{H},\ \forall\,\ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)
   এটি দেখায় যে এবার « জটিল অনুবন্ধী নেওয়া সাপেক্ষে সংযুক্ত অপারেটর ব্রা ও কেট অদলবদল করতে দেয় »।

এই দুটি অভেদ সমতুল্য। অবশ্যই সূচনা ও গন্তব্য স্থান $\H$ ও $\G$, এবং $\H$-এর না $\G$-এর অন্তর্গুণ ব্যবহার হচ্ছে, সেদিকে খেয়াল রাখতে হবে। তবে বাস্তবে প্রায় সর্বদাই $\H = \G$ হবে, ফলে লিখনরীতিও সরল হবে।

এখন সসীম মাত্রায় আগের নির্মাণটি দেখানো যাক। প্রধান ফলটি হল:

একটি প্রশ্নের সরাসরি উত্তর এখনও দিইনি: কেট $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$-এর সঙ্গে স্বাভাবিকভাবে যুক্ত ব্রা $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ কী? সূত্র (6) যেকোনো ভেক্টর $w$-এর জন্য প্রযোজ্য একটি অন্তর্গুণের মাধ্যমে উত্তর দেয়, তাই লিখতে পারি:

এখানে সিদ্ধান্তটি আসে এই তথ্য থেকে যে প্রত্যেক ভেক্টর $w$-এ একই মান দেওয়া দুটি রৈখিক ফর্ম অবশ্যই সমান। তবে এই বস্তুটি কী, তা ঠিকমতো বোঝা অত্যন্ত জরুরি। এই লিখন দেখে প্রায়ই ভুল করে মনে করা হয় যে « সংযুক্ত অপারেটর বাঁ দিকে ব্রাগুলির ওপর ক্রিয়া করে »। এটি ভুল! $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ বস্তুটি আসলে একটি অপারেটরের সংযোজন, বাঁ দিকে ক্রিয়া নয়। সূচনা ও গন্তব্য স্থানগুলি হল:

ফলে $\bra{u} \hat A^\dagger$ হল সংযোজন $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$, যা সত্যিই $\mathcal{G}$-এর একটি রৈখিক ফর্ম। সাধারণত $\circ$ চিহ্নটি বাদ দেওয়া হয়, যা বিভ্রান্তির কারণ হতে পারে।

শেষে, $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$ থেকে ড্যাগার নিয়ে দরকারি সূত্রগুলি পাই:

পরের চিত্রে এই পাঠে দেখা ব্রা, কেট, অপারেটর $\hat A$ ও তার সংযুক্তের পারস্পরিক সম্পর্ক সংক্ষেপে দেখানো হয়েছে।

সংযুক্ত গ্রহণের কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম দিয়ে এই অনুচ্ছেদ শেষ করি:

7. তথ্যসূত্র