প্রচ্ছদ/বিষয়সমূহ/বিষয় 2

হিলবার্ট স্থান ও ডিরাকের প্রতীকরীতি

হিলবার্ট স্থানের গঠন, টপোলজিক্যাল দ্বৈত স্থান এবং সসীম ও অসীম মাত্রায় ডিরাকের প্রতীকরীতি।

হিলবার্ট স্থান

গাণিতিক গঠন: ভেক্টর স্থান, মেট্রিক স্থান, নর্ম, নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থান, অন্তর্গুণন, প্রাক্‌হিলবার্ট স্থান, হিলবার্ট স্থান, বীজগাণিতিক ভিত্তি, হিলবার্ট ভিত্তি, মাত্রা, শ্রেণিবিন্যাস, আদর্শ স্থান, সমরূপতা

হিলবার্ট স্থাননর্মযুক্ত স্থানহার্মিশীয় অন্তর্গুণনবীজগাণিতিক মাত্রাহিলবার্ট মাত্রাহিলবার্ট ভিত্তিপূর্ণতাহিলবার্ট স্থানের শ্রেণিবিন্যাস

এই পাঠে আমরা হিলবার্ট স্থানকে নির্ভুলভাবে সংজ্ঞায়িত করব। প্রথমে দেখাব, গণিতের প্রধান দুই শাখা বীজগণিত ও টপোলজির মধ্যে এই স্থানগুলি কোথায় ও কীভাবে অবস্থান করে। আমরা হিলবার্ট স্থানের শ্রেণিবিন্যাস উপপাদ্যে পৌঁছব: দুটি হিলবার্ট স্থান সমদূরত্ব-সংরক্ষকভাবে সমরূপ হয় যদি তাদের হিলবার্ট মাত্রা একই হয়। এই ধারণাকে ভেক্টর স্থানের বীজগাণিতিক মাত্রার সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা চলবে না, কারণ কেবল সসীম মাত্রাতেই তারা মিলে যায়। প্রতিটি ক্ষেত্রের জন্য (সসীম মাত্রা, গণনাযোগ্য অসীম মাত্রা ও অগণনাযোগ্য অসীম মাত্রা) আদর্শ স্থানগুলি দেব এবং প্রাথমিক কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় তাদের ব্যবহারের সংক্ষিপ্ত পরিচয় তুলে ধরব। শেষে সমরূপতা দ্বারা সম্পর্কিত হিলবার্ট স্থানগুলি যে পদার্থবিজ্ঞান সংজ্ঞায়িত করে, তা অপরিবর্তিত থাকে কি না, সেই প্রশ্নের দিকে এগোব।

1. পদার্থবিজ্ঞানে গাণিতিক গঠন

হিলবার্ট স্থানে পৌঁছনোর জন্য তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত « গণিতের মানচিত্র »   সংক্ষেপে স্মরণ করিয়ে দিই। পরের পাতায় এমন একটি মানচিত্রের অত্যন্ত সরলীকৃত ও বহুলাংশে অসম্পূর্ণ সংস্করণ দেখানো হয়েছে, তবে এই পাঠক্রমের জন্য সেটুকুই যথেষ্ট; চিত্র (1) দেখুন।

যদি আমরা বিন্দুর একটি সেটের স্বজ্ঞাত ধারণা থেকে শুরু করি1, তবে সেই সেটে ধাপে ধাপে গঠন যোগ করতে হয়। পরবর্তী আলোচনায় আমরা এই ছকটি ক্রমে ব্যাখ্যা করব।

টীকা 1: এই প্রশ্ন নিয়ে আরও অনেক কথা বলা যায়, কিন্তু তা এখানে আলোচ্য নয়—আনুষ্ঠানিক যুক্তিবিদ্যা ও বিধেয় গণনা দেখুন।
মৌলিক পদার্থবিজ্ঞানে ব্যবহৃত কয়েকটি গাণিতিক গঠনের সচিত্র নির্দেশিকা। A B-এর মধ্যে কালো অখণ্ড রেখা বোঝায় যে B হল A-এর উপগঠন বা উপসেট, ক্ষেত্রবিশেষে। বিন্দুযুক্ত রেখা বোঝায় যে B নির্মাণের জন্য A-এর ধারণাগুলি প্রয়োজন। বেগুনি তির ও লেখা পদার্থবিজ্ঞানের প্রয়োগের জন্য সংরক্ষিত। ডান দিকের অন্তরকলনীয় জ্যামিতির শাখা প্রাথমিক কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় অবিলম্বে কাজে লাগে না।
চিত্র 1. মৌলিক পদার্থবিজ্ঞানে ব্যবহৃত কয়েকটি গাণিতিক গঠনের সচিত্র নির্দেশিকা। A →\to B-এর মধ্যে কালো অখণ্ড রেখা বোঝায় যে B হল A-এর উপগঠন বা উপসেট, ক্ষেত্রবিশেষে। বিন্দুযুক্ত রেখা বোঝায় যে B নির্মাণের জন্য A-এর ধারণাগুলি প্রয়োজন। বেগুনি তির ও লেখা পদার্থবিজ্ঞানের প্রয়োগের জন্য সংরক্ষিত। ডান দিকের অন্তরকলনীয় জ্যামিতির শাখা প্রাথমিক কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় অবিলম্বে কাজে লাগে না।

1.1. বীজগাণিতিক গঠন ও ভেক্টর স্থান

বিন্দুর সেট থেকে আমাদের মানচিত্রের (1) বাঁ দিকের শাখায় সরাসরি যাওয়া যায়: সেটি বীজগাণিতিক গঠনের শাখা, যা সাধারণত সংখ্যার সেট বর্ণনায় ব্যবহৃত হয়, যদিও শুধু সেখানেই নয়।

এর জন্য বিন্দুর সেটে এক বা একাধিক অভ্যন্তরীণ সংযোজন বিধি যোগ করা হয়; এই বিধিগুলি যখন নির্দিষ্ট নিয়ম (সংযোগশীলতা, বিনিময়শীলতা, অভেদ উপাদানের অস্তিত্ব ইত্যাদি) মানে, তখন বিশেষ বিশেষ গঠন পাওয়া যায়।

এই চিত্রে কয়েকটি মৌলিক গঠন দেখানো হয়েছে: ম্যাগমা (বিশেষ কোনো বৈশিষ্ট্য ছাড়াই একটি অভ্যন্তরীণ সংযোজন বিধিযুক্ত সেট), গ্রুপ, রিং ও ক্ষেত্র। আরও অনেক গঠন রয়েছে, যেমন সেমিগ্রুপ, মনয়েড বা অবিনিময়ী রিং; তবে পাঠ সহজ রাখার জন্য সেগুলি এখানে দেখানো হয়নি। প্রতিটি গঠন আগেরটির একটি বিশেষ রূপ: প্রত্যেক ক্ষেত্র একটি রিং, প্রত্যেক রিং যোগের সাপেক্ষে একটি গ্রুপ, ইত্যাদি। ক্ষেত্রের গঠন সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, কারণ সাধারণ চারটি গাণিতিক প্রক্রিয়াসহ বাস্তব বা জটিল সংখ্যার গঠন বিশেষভাবে এটিই। এর উপরেই ভেক্টর স্থান নির্মাণ করা যায়।

সংজ্ঞা 1 (ভেক্টর স্থান)
একটি ক্ষেত্র K\mathbb{K}-এর উপর ভেক্টর স্থান EE হল দুটি প্রক্রিয়াযুক্ত একটি সেট:
  1. যোগ: +:E×E→E+: E \times E \to E, (x,y)↦x+y(x,y) \mapsto x+y,
  2. স্কেলার দিয়ে গুণ: K×E→E\mathbb{K} \times E \to E, (α,x)↦αx(\alpha,x) \mapsto \alpha x,

যেগুলি প্রচলিত স্বীকার্যগুলি মেনে চলে: বিনিময়শীলতা, সংযোগশীলতা, শূন্য ভেক্টর ও বিপরীত ভেক্টরের অস্তিত্ব, বণ্টনশীলতা ইত্যাদি।

তখন রৈখিক সমন্বয় গঠন করা যায় এবং রৈখিক স্বাধীন ও উৎপাদক পরিবার, এমনকি ভেক্টর স্থানের ভিত্তি ও মাত্রা নিয়েও কথা বলা যায়। সতর্ক থাকতে হবে: এই অধ্যায়ে ভিত্তির দুটি ধারণা থাকবে, যেগুলিকে আলাদা করতে হবে—সব ভেক্টর স্থানের জন্য প্রযোজ্য বীজগাণিতিক ভিত্তি, এবং কেবল হিলবার্ট স্থানের জন্য প্রযোজ্য হিলবার্ট ভিত্তি। সসীম মাত্রায় তারা মিলে যায়, কিন্তু অসীম মাত্রায় নয়। একইভাবে বীজগাণিতিক মাত্রা ও হিলবার্ট মাত্রাকে আলাদা করা দরকার। তাই পরবর্তী আলোচনার জন্য কয়েকটি বিষয় স্মরণ করা প্রয়োজন।

সংজ্ঞা 2 (বীজগাণিতিক ভিত্তি)
ধরা যাক, EE হল একটি ক্ষেত্র K\mathbb{K}-এর উপর ভেক্টর স্থান। একটি পরিবার (ei)i∈I(e_i)_{i \in I}-কে EE-এর বীজগাণিতিক ভিত্তি বলা হয় যদি প্রত্যেক ভেক্টর x∈Ex \in E-কে পরিবারের উপাদানগুলির সসীম রৈখিক সমন্বয় হিসেবে একটিমাত্র উপায়ে লেখা যায় (এখানে II-এর কার্ডিনালিটি সসীম হওয়া আবশ্যক নয়): x=∑i∈Fαiei,F⊂I,F সসীম, αi∈K.x = \sum_{i \in F} \alpha_i e_i, \quad F \subset I, F \text{ সসীম}, \ \alpha_i \in \mathbb{K}.

এই সংজ্ঞা অন্য প্রচলিত সংজ্ঞাটির সমতুল্য: একটি পরিবার (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} ভিত্তি হবে যদি এবং কেবল যদি সেটি একই সঙ্গে রৈখিক স্বাধীন ও EE-এর উৎপাদক হয়। ভিত্তির ধারণা ভেক্টর স্থানের মাত্রা নিয়ে কথা বলতে দেয়।

সংজ্ঞা 3 (ভেক্টর স্থানের বীজগাণিতিক মাত্রা)
মাত্রার অপরিবর্তনীয়তা উপপাদ্য অনুযায়ী, একই ভেক্টর স্থান EE-এর সব বীজগাণিতিক ভিত্তির কার্ডিনালিটি সমান। EE-এর সব ভিত্তির এই অভিন্ন কার্ডিনালিটিকে EE-এর মাত্রা বলা হয়।
  • যদি EE-এর nnটি ভেক্টরের একটি সসীম ভিত্তি থাকে, তবে বলা হয় EE-এর মাত্রা nn।
  • যদি EE-এর কোনো সসীম ভিত্তি না থাকে, তবে বলা হয় EE অসীমমাত্রিক।

লক্ষ করুন, অসীম মাত্রার ক্ষেত্রেও বীজগাণিতিক ভিত্তির সংজ্ঞা দাবি করে যে প্রতিটি ভেক্টরকে ভিত্তির ভেক্টরগুলির একটি সসীম যোগফল হিসেবে ভাঙা যাবে। আসলে অসীম যোগফলে বিভাজন করার অনুমতি আমাদের নেই, কারণ তার জন্য যোগফলটি অভিসারী কি না জানতে হবে, আর তার জন্য টপোলজি প্রয়োজন। হিলবার্ট স্থানে এটি সম্ভব হবে এবং তার উপযোগী হিলবার্ট ভিত্তির ধারণা সার্থক হবে; অনুচ্ছেদ 2.3 দেখুন।

স্বাভাবিক প্রশ্ন হল: কত রকম আলাদা ভেক্টর স্থান আছে? সেগুলিকে কি শ্রেণিবদ্ধ করা যায়? বীজগাণিতিক দৃষ্টিতে উত্তর হ্যাঁ। এর জন্য একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক প্রয়োজন: ভেক্টর স্থানের সমরূপতা, যা দুটি ভেক্টর স্থান EE ও FF-এর মধ্যে এক-এক সম্পর্ক এবং রৈখিক গঠন সংরক্ষণ করে:

সংজ্ঞা 4 (ভেক্টর স্থানের সমরূপতা)
ধরা যাক, EE ও FF একই ক্ষেত্র K\mathbb{K}-এর উপর দুটি ভেক্টর স্থান। একটি মানচিত্র T:E→FT : E \to F সমরূপতা হবে যদি:
  1. TT রৈখিক হয়: যেকোনো (x,y)∈E2(x,y) \in E^2 ও α∈K\alpha \in \mathbb{K}-এর জন্য, T(x+y)=T(x)+T(y),T(αx)=αT(x),T(x+y) = T(x) + T(y), \quad T(\alpha x) = \alpha T(x),
  2. TT এক-এক ও সর্বব্যাপী হয়।

এই ক্ষেত্রে আমরা E≃FE \simeq F লিখি, এবং T−1:F→ET^{-1} : F \to E বিদ্যমান ও রৈখিক।

মন্তব্য: এই সংজ্ঞাটি সম্পূর্ণ বীজগাণিতিক। EE ও FF-এ তাদের ভেক্টর গঠনের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ টপোলজি থাকলে টপোলজিক্যাল সমরূপতার ধারণাকে আলাদা করা হয়: অতিরিক্তভাবে TT এবং T−1T^{-1} উভয়কেই অবিচ্ছিন্ন হতে হয়। নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থান ও হিলবার্ট স্থানের ক্ষেত্রে আমরা আবার এতে ফিরব।

তখন নিম্নলিখিত গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যটি পাওয়া যায়:

উপপাদ্য 1 (সসীম মাত্রায় শ্রেণিবিন্যাস)
K\mathbb{K}-এর উপর দুটি সসীমমাত্রিক ভেক্টর স্থান সমরূপ হয় যদি এবং কেবল যদি তাদের মাত্রা সমান হয়। বিশেষত, K\mathbb{K}-এর উপর nn মাত্রার প্রত্যেক ভেক্টর স্থান Kn\mathbb{K}^n-এর সমরূপ।

তাই K=R\mathbb{K} = \R বা C\C-এর উপর সসীম মাত্রা nn-এর ভেক্টর স্থানের কার্যত একটিই আদর্শ রূপ রয়েছে: যথাক্রমে Rn\R^n বা Cn\C^n, অর্থাৎ বাস্তব বা জটিল উপাংশবিশিষ্ট nn-ভেক্টরের সেট।

অসীম মাত্রাতেও শ্রেণিবিন্যাসের নীতি একই: নির্বাচনের স্বীকার্য মেনে নিলে প্রমাণ করা যায় যে প্রত্যেক ভেক্টর স্থানের একটি ভিত্তি আছে (যাকে হামেল ভিত্তি বলে), এবং শ্রেণিবিন্যাস উপপাদ্যটি এভাবে সাধারণীকৃত হয়: একই ক্ষেত্র K\mathbb{K}-এর উপর দুটি ভেক্টর স্থান সমরূপ হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের ভিত্তির কার্ডিনালিটি সমান হয়।

অসীম ভিত্তির কার্ডিনালিটি ট্রান্সফাইনাইট কার্ডিনাল দিয়ে প্রকাশ করা হয়। এগুলি অসীমের বিভিন্ন « আকার » আলাদা করতে সাহায্য করে। ক্ষুদ্রতম অসীম কার্ডিনালকে ℵ0\aleph_0 লেখা হয়: এটি N\mathbb{N}-এর কার্ডিনালিটি, আবার Z\mathbb{Z} ও Q\mathbb{Q}-এরও। এরপর পুনরাবৃত্তভাবে ℵ0<ℵ1<ℵ2<⋯\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots ক্রম সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে প্রত্যেক ℵn+1\aleph_{n+1} হল ℵn\aleph_n-এর চেয়ে কঠোরভাবে বড় ক্ষুদ্রতম কার্ডিনাল (দুটির মাঝে আর কোনো কার্ডিনাল নেই)। গাণিতিক যুক্তিবিদ্যায় ধারাবাহিকতা অনুমান বলে যে N\mathbb{N} ও R\mathbb{R}-এর মধ্যবর্তী কার্ডিনালিটিসম্পন্ন কোনো অসীম নেই; সে ক্ষেত্রে ℵ1\aleph_1 হল R\mathbb{R}-এর কার্ডিনালিটি।

তবে এই শ্রেণিবিন্যাস খুব একটা ব্যবহারিক নয়, কারণ সাধারণভাবে হামেল ভিত্তি স্পষ্টভাবে নির্মাণ করা যায় না। তাই ভেক্টর স্থানের শ্রেণিবিন্যাস মূলত তাত্ত্বিকই থেকে যায়। নর্মযুক্ত ও হিলবার্ট স্থানে পরিস্থিতি বদলে যায়, যেখানে লম্ব-স্বাভাবিক ভিত্তি স্পষ্টভাবে দেওয়া যায়, অন্তত সসীম বা গণনাযোগ্য অসীম হিলবার্ট মাত্রার ক্ষেত্রে; অনুচ্ছেদ 3 দেখুন।

কিন্তু হিলবার্ট স্থানে পৌঁছনোর আগে আমাদের গণিতের মানচিত্রের মাঝের শাখা ধরে মেট্রিক স্থান ও নর্মযুক্ত স্থান নিয়ে আলোচনা করতে হবে।

1.2. মেট্রিক স্থান ও নর্মযুক্ত স্থান

আমাদের মানচিত্রের (1) মাঝের শাখা অনুসরণ করলে প্রথমে বিন্দুর একটি সেটে টপোলজি যোগ করতে হয়, তবে অন্য অধ্যায়ে (নর্মযুক্ত ও হিলবার্ট স্থানের টপোলজি) আমরা সেটি বিশদে আলোচনা করব। এখানে শুধু মনে রাখা যায় যে টপোলজি স্থানীয়তার একটি ধারণা দেয়, যার সাহায্যে অভিসরণ, সীমা ও অবিচ্ছিন্নতার ধারণা সংজ্ঞায়িত করা যায়। বিশেষত, মেট্রিক স্থান হল টপোলজিক্যাল স্থান। এগুলি দূরত্বযুক্ত বিন্দুর স্থান, যেখানে দূরত্ব স্থানীয়তার ধারণা নির্ধারণ করে।

সংজ্ঞা 5 (মেট্রিক স্থান)
একটি মেট্রিক স্থান হল একটি যুগল (X,d)(X,d), যেখানে XX একটি সেট এবং d:X×X→R+d : X \times X \to \mathbb{R^+} একটি দূরত্ব, যা যেকোনো (x,y,z)∈X3(x,y,z) \in X^3-এর জন্য মেনে চলে: d(x,y)≥0,d(x,y)=0  ⟺  x=y,d(x,y)=d(y,x),(প্রতিসমতা)d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).(ত্রিভুজ অসমতা)\begin{aligned} & d(x,y) \geq 0, \quad d(x,y) = 0 \iff x=y, \\[0.5em] & d(x,y) = d(y,x), \quad \textrm{(প্রতিসমতা)}\\[0.5em] & d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z). \quad \textrm{(ত্রিভুজ অসমতা)} \end{aligned}

এটি প্রতিষ্ঠার পরে আমরা মানচিত্রের 1 বীজগাণিতিক ও টপোলজিক্যাল শাখা একত্র করতে পারি: এমন মেট্রিক স্থান বিবেচনা করব যার অন্তর্নিহিত সেট XX একটি ভেক্টর স্থান, অর্থাৎ দূরত্বযুক্ত ভেক্টর স্থান। এর ফলে কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় মৌলিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ একটি গঠনে পৌঁছব, যার বিশেষ ক্ষেত্র হল হিলবার্ট স্থান: নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থান, সংক্ষেপে EVN।

লক্ষ করুন, আমরা সব ধরনের দূরত্ব অনুমোদন করতে চাই না। স্থানটি রৈখিক বলে ভেক্টর গঠনের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ দূরত্ব চাই:

সংজ্ঞা 6 (ভেক্টর গঠনের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ দূরত্ব)
ধরা যাক, EE হল K\mathbb{K}-এর উপর একটি ভেক্টর স্থান এবং dd হল EE-এর একটি মেট্রিক। dd-কে ভেক্টর গঠনের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলা হয় যদি তা মেনে চলে:
  1. স্থানান্তরে অপরিবর্তনীয়তা: d(x+z,y+z)=d(x,y)d(x+z, y+z) = d(x,y), যেকোনো (x,y,z)∈E3(x,y,z) \in E^3-এর জন্য
  2. সমঘাতিতা: d(λx,λy)=∣λ∣d(x,y)d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda| d(x,y), যেকোনো (x,y)∈E2(x,y) \in E^2 ও λ∈K\lambda \in \mathbb{K}-এর জন্য

এই শর্তগুলি প্রকাশ করে যে দূরত্ব ভেক্টর স্থানের জ্যামিতিকে মেনে চলে: এটি স্থানান্তরে অপরিবর্তিত থাকতে হবে (স্থানের সমসত্ত্বতা), এবং সমানুপাতিক প্রসারণে দূরত্বের অনুপাত সংরক্ষিত হতে হবে2  3। এবার নিম্নলিখিত প্রস্তাবনা আমাদের নর্মযুক্ত স্থানে নিয়ে যায়: ভেক্টর স্থান EE-এ dd একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ মেট্রিক হলে মূলবিন্দু, অর্থাৎ শূন্য ভেক্টর থেকে দূরত্বের মানচিত্র ∥x∥=d(x,0E)\norm{x} = d(x, 0_E) একটি নর্ম।

টীকা 2: মনে হতে পারে ঘূর্ণনেও অপরিবর্তনীয়তা চাই, কিন্তু তাতে কেবল ইউক্লিডীয় নর্মের মতো সমদিকীয় নর্মই অনুমোদিত হবে; যেমন সমতলে ∥x∥=x12+4x22\norm{x} = \sqrt{x_1^2 + 4 x_2^2} নিষিদ্ধ হবে, যদিও অসমদিকীয় হওয়া সত্ত্বেও সেটি একটি নর্ম।
টীকা 3: লক্ষ করুন, এর জন্য K\mathbb{K}-এ পরম মানও প্রয়োজন (একে মূল্যায়িত ক্ষেত্র বলা হয়)। পরবর্তী আলোচনায় আমরা বাস্তবে R\R-এ প্রচলিত পরম মান এবং C\C-এ মডুলাস ব্যবহার করব।
প্রমাণ.
কারণ এটি নর্ম সংজ্ঞায়িতকারী নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি পূরণ করে:
  1. ∥x∥≥0\|x\| \geq 0 এবং ∥x∥=0  ⟺  x=0E\|x\| = 0 \iff x = 0_E
  2. ∥λx∥=∣λ∣∥x∥\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|, যেকোনো x∈Ex \in E ও λ∈K\lambda \in \mathbb{K}-এর জন্য
  3. ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|, যেকোনো (x,y)∈E2(x,y) \in E^2-এর জন্য

এমন দূরত্বযুক্ত ভেক্টর স্থান তাই একটি নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থান:

সংজ্ঞা 7 (নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থান)
একটি নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থান হল যুগল (E,∥⋅∥)(E, \|\cdot\|), যেখানে EE একটি ভেক্টর স্থান এবং ∥⋅∥\|\cdot\| হল EE-এর উপর একটি নর্ম। এই নর্মের সাহায্যে এগুলি টপোলজিক্যাল স্থান হয়।

প্রত্যেক নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থান (E,∥⋅∥)(E, \|\cdot\|) স্বাভাবিকভাবে d(x,y)=∥x−y∥d(x,y) = \|x-y\| দ্বারা একটি মেট্রিক স্থান (E,d)(E, d) নির্ধারণ করে, যা তখন স্বয়ংক্রিয়ভাবে ভেক্টর গঠনের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। সুতরাং নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থানগুলি মেট্রিক স্থানের একটি বিশেষ উপশ্রেণির সঙ্গে এক-এক ও সর্বব্যাপী সম্পর্কে যুক্ত। এই অর্থে এগুলি তাদের একটি উপসেট।

2. হিলবার্ট স্থান

এভাবে আমরা চিত্র (1)-এর নর্মযুক্ত স্থানে পৌঁছেছি। নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থানকে সংক্ষেপে নর্মযুক্ত স্থান বলা প্রচলিত, এবং আরও বেশি ব্যবহৃত হয় EVN সংক্ষিপ্ত রূপটি। এরপর আমরা প্রাক্‌হিলবার্ট স্থান এবং তারপর হিলবার্ট স্থান সংজ্ঞায়িত করব, যেগুলি কোয়ান্টাম বলবিদ্যার গাণিতিক কাঠামো গঠন করে।

কোয়ান্টাম বলবিদ্যা জটিল সংখ্যার উপর নির্মিত বলে এখন থেকে আমরা K=C\mathbb{K} = \C ক্ষেত্রেই সীমাবদ্ধ থাকব। এতক্ষণ ভেক্টর স্থান ও নর্মযুক্ত স্থান বোঝাতে EE এবং FF অক্ষর ব্যবহার করেছি। এখন থেকে (প্রাক্‌)হিলবার্ট স্থানের জন্য H\mathcal{H} ও G\mathcal{G} ব্যবহার করব। ভেক্টরগুলিকে আগের মতোই x,y,zx, y, z ইত্যাদি দিয়ে বোঝানো হবে।

2.1. প্রাক্‌হিলবার্ট স্থান ও অন্তর্গুণন

একটি প্রাক্‌হিলবার্ট স্থান হল এমন নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থান যার নর্ম একটি অন্তর্গুণন থেকে আসে। সব সময় এমন হয় না: কিছু নর্ম কোনো অন্তর্গুণন থেকে পাওয়া যায় না, যেমন সুপ নর্ম4। তাই প্রাক্‌হিলবার্ট স্থানগুলি নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থানগুলির একটি প্রকৃত উপসেট। C\C-এর উপর হার্মিশীয় অন্তর্গুণনের সংজ্ঞা স্মরণ করা যাক:

টীকা 4: উদাহরণস্বরূপ, Cn\C^n-এ সুপ নর্মের সংজ্ঞা হল ∥x∥∞=max⁡i∣xi∣\|x\|_\infty = \max_i |x_i|। প্রমাণ করা যায় যে এটি সামান্তরিক অভেদটি মেনে চলে না ∥x+y∥2+∥x−y∥2=2(∥x∥2+∥y∥2)\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2), অথচ অন্তর্গুণন থেকে আসা নর্মের জন্য এটি সর্বদা সত্য হতে হবে। আরও দেখুন [5]
সংজ্ঞা 8 (C\C-ভেক্টর স্থানে হার্মিশীয় অন্তর্গুণন)
একটি জটিল ভেক্টর স্থান H\mathcal{H}-এ হার্মিশীয় অন্তর্গুণন হল একটি মানচিত্র ⟨⋅,⋅⟩:H×H→C\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathcal{H} \times \mathcal{H} \to \mathbb{C}, যা মেনে চলে:
  1. দ্বিতীয় চলকে রৈখিকতা: ∀(x,y,z)∈H3,∀(λ,μ)∈C2\forall (x, y, z) \in \mathcal{H}^3, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2,

    ⟨x,λy+μz⟩=λ⟨x,y⟩+μ⟨x,z⟩\langle x, \lambda y + \mu z \rangle = \lambda \langle x, y \rangle + \mu \langle x, z \rangle

    (1)

  2. হার্মিশীয় প্রতিসমতা: ∀(x,y)∈H2\forall (x, y) \in \mathcal{H}^2,

    ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩∗\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle^*

    (2)

  3. ধনাত্মক নির্দিষ্টতা: ∀x∈H\forall x \in \mathcal{H},

    ⟨x,x⟩≥0এবং⟨x,x⟩=0⇔x=0H\langle x, x \rangle \geq 0 \quad \text{এবং} \quad \langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0_{\H}

    (3)

বৈশিষ্ট্য (1) ও (2) একত্রে প্রথম চলকে অনুবন্ধী রৈখিকতা (বা বিপরীত রৈখিকতা) নির্দেশ করে5: ⟨λx+μy,z⟩=λ∗⟨x,z⟩+μ∗⟨y,z⟩\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle। এক চলকে রৈখিক এবং অন্য চলকে অনুবন্ধী রৈখিক মানচিত্রকে সেস্কুইলিনিয়ার বলা হয়6। এরপর আমরা হার্মিশীয় শব্দটি না বলে শুধু অন্তর্গুণন বলব; বৈশিষ্ট্যটি নিহিত থাকবে।

টীকা 5: গণিতবিদেরা সাধারণত বিপরীত রীতি নেন (প্রথম চলকে রৈখিক, দ্বিতীয় চলকে অনুবন্ধী রৈখিক), তবে তাতে মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলির কোনো পরিবর্তন হয় না।
টীকা 6: R\mathbb{R}-ভেক্টর স্থানে অনুবন্ধী নেওয়ার প্রয়োজন নেই এবং অন্তর্গুণন কেবল দ্বিরৈখিক হয়।

টপোলজিক্যাল বৈশিষ্ট্যের আগাম উল্লেখ করে একটি গুরুত্বপূর্ণ ফল জানাই: অন্তর্গুণন দুই চলকেই অবিচ্ছিন্ন, অর্থাৎ নর্মের অর্থে যদি xn→xx_n \to x এবং yn→yy_n \to y হয় (অর্থাৎ ∥xn−x∥→0\|x_n - x\| \to 0 এবং ∥yn−y∥→0\|y_n - y\| \to 0), তবে

⟨xn,yn⟩→⟨x,y⟩ যেখানে ক্ষেত্র C\langle x_n, y_n \rangle \to \langle x, y \rangle \text{ যেখানে ক্ষেত্র } \C

কোয়ান্টাম পরিমাপের স্বীকার্যে আমরা দেখব যে ব্যবস্থা ψ\psi অবস্থায় থাকলে নিজস্ব ভেক্টর φ\phi-এর সঙ্গে যুক্ত ভৌত রাশি পর্যবেক্ষণের সম্ভাবনা হল ∣⟨φ,ψ⟩∣2|\langle \phi , \psi \rangle|^2 (অনুচ্ছেদ 1.2 (বিষয় 3, পাঠ 1, এই ভাষায় উপলব্ধ নয়) দেখুন)। তাই অন্তর্গুণনের অবিচ্ছিন্নতা নিশ্চিত করে যে অবস্থা ψ\psi-এর ক্ষুদ্র পরিবর্তনে সম্ভাবনাগুলিরও ক্ষুদ্র পরিবর্তন হবে, যা প্রত্যাশিত।

অন্তর্গুণন আরেকটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য মেনে চলে:

উপপাদ্য 2 (কোশি–শোয়ারৎস অসমতা)
H2\mathcal{H}^2-এর যেকোনো ভেক্টর xx ও yy-এর জন্য,

∣⟨x,y⟩∣⩽∥x∥ ∥y∥|\langle x,y\rangle |\leqslant \|x\|\ \|y\|

(4)

যেখানে ∥x∥  =def  ⟨x,x⟩\|x\| \equiv \sqrt{\langle x, x \rangle}।

বিশেষত এই অসমতা দিয়ে প্রমাণ করা হয় যে x↦∥x∥=⟨x,x⟩x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} মানচিত্রটি সত্যিই একটি নর্ম, যেমন প্রতীকটি ইঙ্গিত করে।

প্রমাণ.
নর্মের তিনটি শর্ত পরীক্ষা করি। আমাদের ∥x∥2=⟨x,x⟩≥0\|x\|^2 = \langle x, x \rangle \geq 0, এবং সমতা হয় যদি এবং কেবল যদি x=0Hx = 0_{\H}। এটি সরাসরি অন্তর্গুণনের সংজ্ঞা থেকে আসে। তাছাড়া ∥λx∥=⟨λx,λx⟩=∣λ∣2⟨x,x⟩=∣λ∣∥x∥\|\lambda x\| = \sqrt{\langle \lambda x, \lambda x \rangle} = \sqrt{|\lambda|^2 \langle x, x \rangle} = |\lambda| \|x\|। শেষে লিখি, ∥x+y∥2=⟨x+y,x+y⟩=∥x∥2+2 ℜ⟨x,y⟩+∥y∥2≤∥x∥2+2∣⟨x,y⟩∣+∥y∥2.\begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \langle x+y, x+y \rangle \\ &= \|x\|^2 + 2\,\Re\langle x, y \rangle + \|y\|^2 \\ &\leq \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2. \end{aligned}

কোশি–শোয়ারৎস অসমতা ∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥ ∥y∥|\langle x, y \rangle| \leq \|x\|\,\|y\| ব্যবহার করে পাই:

∥x+y∥2≤∥x∥2+2∥x∥ ∥y∥+∥y∥2=(∥x∥+∥y∥)2,\|x+y\|^2 \leq \|x\|^2 + 2\|x\|\,\|y\| + \|y\|^2 = \bigl(\|x\| + \|y\|\bigr)^2,

এবং বর্গমূল নিলে ত্রিভুজ অসমতা পাওয়া যায়।

তখন নিম্নলিখিত সংজ্ঞায় পৌঁছই:

সংজ্ঞা 9 (জটিল প্রাক্‌হিলবার্ট স্থান)
একটি জটিল প্রাক্‌হিলবার্ট স্থান হল হার্মিশীয় অন্তর্গুণনযুক্ত ভেক্টর স্থান। ∥x∥=⟨x,x⟩\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} মানচিত্রটি একটি নর্ম, ফলে এটি নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থান হয়।

একটি জটিল প্রাক্‌হিলবার্ট স্থান H\mathcal{H}-এ নিম্নলিখিত কার্যকর সূত্রগুলি রয়েছে।

প্রস্তাবনা 1 (সূত্রসংকলন)
ধরা যাক, (x,y)∈H2(x, y) \in \mathcal{H}^2 এবং (x1,…,xn)(x_1, \dots, x_n) হল H\mathcal{H}-এর ভেক্টরের একটি পরিবার।
  1. পিথাগোরাসের উপপাদ্য: ⟨x,y⟩=0  ⟺  ∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2\langle x, y \rangle = 0 \iff \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2। আরও সাধারণভাবে, (xi)1≤i≤n(x_i)_{1 \le i \le n} জোড়ায় জোড়ায় লম্ব হলে:

    ∥∑i=1nxi∥2=∑i=1n∥xi∥2\left\| \sum_{i=1}^n x_i \right\|^2 = \sum_{i=1}^n \|x_i\|^2

    (5)

  2. সামান্তরিক অভেদ:

    ∥x+y∥2+∥x−y∥2=2(∥x∥2+∥y∥2).\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2 \left( \|x\|^2 + \|y\|^2 \right).

    (6)

  3. পোলারাইজেশন সূত্র:

    ⟨x,y⟩=14(∥x+y∥2−∥x−y∥2+i∥x+iy∥2−i∥x−iy∥2)\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left( \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i \|x + iy\|^2 - i \|x - iy\|^2 \right)

    (7)

শেষের দুটি সূত্র একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যের সঙ্গে যুক্ত, যা হার্মিশীয় অন্তর্গুণন ও নর্মের সম্পর্ক দেয়। ফ্রেশে–ভন নিউম্যান–জর্ডান উপপাদ্য বলে যে নর্মযুক্ত স্থান EE-এর একটি নর্ম ∥⋅∥\|\cdot\| অন্তর্গুণন থেকে আসে যদি এবং কেবল যদি সেটি সামান্তরিক অভেদ মেনে চলে। সামান্তরিক অভেদ হল পরীক্ষার উপায়: এর সাহায্যে অন্তর্গুণন আছে কি না বোঝা যায়, এবং থাকলে পোলারাইজেশন সূত্র নর্ম থেকে অন্তর্গুণন পুনর্গঠনের পদ্ধতি দেয়।

2.2. পূর্ণতা ও হিলবার্ট স্থান

প্রাক্‌হিলবার্ট থেকে হিলবার্ট স্থানে যেতে টপোলজির একটি অপরিহার্য ধারণা লাগে: পূর্ণতা।

সংজ্ঞা 10 (হিলবার্ট স্থান)
একটি হিলবার্ট স্থান H\mathcal{H} হল এমন প্রাক্‌হিলবার্ট স্থান, যা অন্তর্গুণন দ্বারা নির্ধারিত নর্মের সাপেক্ষে পূর্ণ; অর্থাৎ H\mathcal{H}-এর সব কোশি অনুক্রম H\mathcal{H}-এর মধ্যেই অভিসারী। এই অনুক্রমগুলি মেনে চলে:

∀ε>0,∃N∈Nযাতে∀p≥N∀q≥Nd(xp,xq)<ε,\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \N \quad \textrm{যাতে} \quad \forall p\geq N\quad \forall q\geq N\quad d(x_{p},x_{q})<\varepsilon ,

(8)

যেখানে দূরত্বটি নর্ম দিয়ে সংজ্ঞায়িত। এমন অনুক্রমের পদগুলি nn বাড়লে পরস্পরের যত ইচ্ছা কাছে আসে।

এই টপোলজিক্যাল দিকগুলিতে নির্দিষ্ট অধ্যায়ে আবার ফিরব। আপাতত শুধু বলি, কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে পূর্ণতা অপরিহার্য। স্বজ্ঞাতভাবে, পূর্ণ স্থানে কোনো « ছিদ্র » নেই। অর্থাৎ H\mathcal{H}-এর উপাদানের এমন অনুক্রম হতে পারে না, যা H\mathcal{H}-এর বাইরে কোনো কিছুর দিকে অভিসারী। মূলদ সংখ্যায় এই বৈশিষ্ট্যটিই নেই: যথাযথভাবে নির্মিত মূলদ সংখ্যার অনুক্রম এমন সংখ্যার দিকে যেতে পারে যা মূলদ নয়; বাস্তব সংখ্যার সেট আসলে এভাবেই নির্মাণ করা হয়।

কিন্তু কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় ব্যবস্থার প্রতিটি ভৌত অবস্থা হিলবার্ট স্থানের একটি ভেক্টর, এবং বিপরীতটিও সত্য। এটি কোয়ান্টাম বলবিদ্যার প্রথম স্বীকার্য। তাই অবস্থার স্থান পূর্ণ না হলে, উদাহরণস্বরূপ, শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের অধীনে তরঙ্গ ফাংশনের বিবর্তন « স্থান থেকে বেরিয়ে » একটি « অভৌত অবস্থা » হয়ে যেতে পারত, যা অর্থহীন।

আরেকটি মৌলিক স্বীকার্যেও পূর্ণতা আসে: কোয়ান্টাম পরিমাপের ফলগুলি স্ব-অ্যাডজয়েন্ট রৈখিক অপারেটর হিসেবে বিবেচিত ভৌত পর্যবেক্ষণীয় রাশির বর্ণালীর সঙ্গে মিলতে হবে। অথচ অপূর্ণ স্থানে কোনো অপারেটরের অ্যাডজয়েন্ট সব সময় থাকে না; তাছাড়া স্ব-অ্যাডজয়েন্ট অপারেটরের গঠন বিশ্লেষণকারী বর্ণালী উপপাদ্যের জন্য স্থানের পূর্ণতা প্রয়োজন।

শেষত, অসীম যোগফলযুক্ত যেকোনো কোয়ান্টাম রাশি (যেমন ফুরিয়ে শ্রেণিতে প্রসারণ, নিজস্ব অবস্থার ভিত্তিতে বিভাজন ইত্যাদি) অর্থবহ হতে পূর্ণতা চায়। যেমন ডিরাকের প্রতীকরীতিতে ∣ψ⟩=∑n=1∞cn∣n⟩|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle লেখা (অনুচ্ছেদ 4 (বিষয় 2, পাঠ 2) দেখুন) ধরে নেয় যে এই শ্রেণির অস্তিত্ব আছে, যা কেবল পূর্ণতাই নিশ্চিত করে।

তবে একটি সুখবর রয়েছে: পূর্ণতার এই সূক্ষ্মতা কেবল অসীম মাত্রাতেই প্রয়োজন। সসীম মাত্রায় একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য বিষয়টিকে সহজ করে:

উপপাদ্য 3 (সসীমমাত্রিক নর্মযুক্ত স্থানের পূর্ণতা)
একটি পূর্ণ মূল্যায়িত ক্ষেত্রের7 (যেমন R\mathbb{R} বা C\mathbb{C}) উপর প্রত্যেক সসীমমাত্রিক নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থান পূর্ণ। বিশেষত, R\R বা C\C-এর উপর প্রত্যেক সসীমমাত্রিক প্রাক্‌হিলবার্ট স্থান স্বয়ংক্রিয়ভাবে হিলবার্ট স্থান।
টীকা 7: এটি এমন পরম মানযুক্ত ক্ষেত্র, যা সেই পরম মানের সাপেক্ষে নিজেই পূর্ণ।

এখন আমরা হিলবার্ট স্থানের বীজগাণিতিক বর্ণনায় যেতে পারি।

2.3. বীজগাণিতিক ভিত্তি ও হিলবার্ট ভিত্তি

আগে ভেক্টর স্থানের বীজগাণিতিক ভিত্তির সংজ্ঞা স্মরণ করেছি; সংজ্ঞা 2 দেখুন। দেখেছি, তার সাহায্যে ভেক্টরকে সসীম যোগফলে ভাঙা যায়। নর্ম-নির্ধারিত টপোলজি ও পূর্ণ স্থান প্রবর্তনের মূল ধারণাটি হল এই। এখন অনুক্রমের অভিসরণ নিয়ে কথা বলা যায়। বিশেষত আংশিক যোগফল (xn)(x_n)-এর অভিসরণ দেখা যায়, যেখানে কিছু ভেক্টর xkx_k-এর জন্য xn=∑k=1nxkx_n = \sum_{k=1}^{n} x_k। এই যোগফল অভিসারী হলে একটি শ্রেণি, অর্থাৎ অসীম যোগফল পাওয়া যায়: (xn)→x(x_n) \to x এবং x=∑k=1∞xkx = \sum_{k=1}^{\infty} x_k। স্থান পূর্ণ হলে সীমাটি সেই স্থানেই থাকবে, তা নিশ্চিত।

অর্থাৎ, হিলবার্ট স্থানের বীজগাণিতিক মাত্রা অসীম হলে, এখন আমরা ভেক্টরকে একটি অসীম শ্রেণিতে বিভক্ত করার অনুমতি পাব। এতে ভিত্তির নতুন ধারণা আসে:

সংজ্ঞা 11 (হিলবার্ট ভিত্তি)
ধরা যাক, H\mathcal{H} একটি হিলবার্ট স্থান। একটি পরিবার (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} হিলবার্ট ভিত্তি হবে যদি সেটি একটি টোটাল লম্ব-স্বাভাবিক পরিবার হয়, অর্থাৎ:
  1. এটি লম্ব-স্বাভাবিক: ⟨ei,ej⟩=δij\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}
  2. এটি টোটাল: সসীম রৈখিক সমন্বয়গুলি H\mathcal{H}-এ ঘন: Vect(ei,i∈I)‾=H,\overline{\mathrm{Vect}(e_i, i \in I)} = \mathcal{H},

    যেখানে উপরের রেখা ক্লোজার বোঝায়। বিস্তারিত জানতে টপোলজির অধ্যায় দেখুন।

এই সংজ্ঞা বুঝতে টপোলজিক্যাল ঘনত্বের ধারণা প্রয়োজন:

সংজ্ঞা 12 (নর্মযুক্ত স্থানে ঘনত্ব)
ধরা যাক, (X,∥⋅∥X)(X, \|\cdot\|_X) একটি নর্মযুক্ত স্থান এবং A⊆XA \subseteq X। AA-কে XX-এ ঘন বলা হয় যদি XX-এর প্রত্যেক বিন্দুকে AA-এর বিন্দু দিয়ে যত ইচ্ছা ভালোভাবে আসন্ন করা যায়; অন্যভাবে, যেকোনো x∈Xx \in X ও যেকোনো ε>0\varepsilon > 0-এর জন্য এমন a∈Aa \in A থাকে যাতে ∥x−a∥<ε\norm{x -a} < \varepsilon।

এই সংজ্ঞা হিলবার্ট স্থানেও প্রযোজ্য, কারণ সেটি বিশেষত নর্মযুক্ত। তাই টোটাল হওয়ার অর্থ, H\H-এর প্রত্যেক ভেক্টরকে H\H-এর উপাদানগুলির সসীম রৈখিক সমন্বয় দিয়ে যত ইচ্ছা কাছাকাছি আসন্ন করা যায়।

লক্ষ করুন, বীজগাণিতিক ভিত্তির বিপরীতে এখানে বলা হচ্ছে না যে প্রত্যেক ভেক্টর সসীম রৈখিক সমন্বয়ে বিভক্ত হয়; বরং হিলবার্ট ভিত্তির রৈখিক সমন্বয় দিয়ে তাকে যত ইচ্ছা কাছে আসন্ন করা যায়। পূর্ণতার কারণে এই আসন্নীকরণগুলি সত্যিই x-এর দিকে অভিসারী হয়। তখন II-এর যেকোনো কার্ডিনালিটির জন্য নিম্নলিখিত উপপাদ্য পাই:

উপপাদ্য 4 (বিভাজন উপপাদ্য)
যদি (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} হল H\mathcal{H}-এর একটি হিলবার্ট ভিত্তি, তবে প্রত্যেক x∈Hx \in \mathcal{H}-কে লেখা যায়:

x=∑i∈I⟨ei,x⟩eix = \sum_{i \in I} \langle e_i, x \rangle e_i

(9)

এছাড়াও পার্সেভালের অভেদ রয়েছে:

∥x∥2=∑i∈I∣⟨ei,x⟩∣2\|x\|^2 = \sum_{i \in I} |\langle e_i, x \rangle|^2

(10)

যেখানে II অগণনাযোগ্য হলে যোগফল কেবল xx-নির্ভর সর্বাধিক গণনাযোগ্য সূচকের সেটের উপর নেওয়া হয়।

হিলবার্ট ভিত্তির সংজ্ঞা ও বিভাজন উপপাদ্যের সম্পর্ক তাৎক্ষণিকভাবে স্পষ্ট নয়।

প্রমাণ.
প্রমাণের দুটি মূল ধারণা রয়েছে। প্রথমত, টোটাল লম্ব-স্বাভাবিক পরিবার {ei}i∈I\{e_i\}_{i \in I}-এর টোটাল বৈশিষ্ট্য হিলবার্ট স্থানের যেকোনো বিন্দু xx-এর জন্য আসন্নীকরণের একটি অনুক্রম নির্মাণ করতে দেয়। প্রকৃতপক্ষে ঘনত্ব বলে, যেকোনো ε>0\epsilon > 0-এর জন্য একটি সসীম রৈখিক সমন্বয় yε=∑i∈Jαieiy_\epsilon = \sum_{i \in J} \alpha_i e_i থাকে (যেখানে J⊂IJ \subset I সূচকের একটি সসীম সেট), যাতে ∣x−yε∣<ε|x - y_\epsilon| < \epsilon।

দ্বিতীয় ধারণাটি হল লক্ষ করা যে আংশিক যোগফল SJ=∑i∈J⟨ei,x⟩eiS_J = \sum_{i \in J} \langle e_i, x \rangle e_i হল VJ=Vect(ei,i∈J)V_J = \mathrm{Vect}(e_i, i \in J)-এর উপর xx-এর লম্ব অভিক্ষেপ। লম্ব অভিক্ষেপের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী (এখানে প্রমাণ ছাড়া গ্রহণ করা হল), SJS_J থেকে xx-এর দূরত্ব সর্বনিম্ন:

∣x−SJ∣=inf⁡y∈VJ∣x−y∣≤∣x−yε∣<ε|x - S_J| = \inf_{y \in V_J} |x - y| \leq |x - y_\epsilon| < \epsilon

তাই εn→0\epsilon_n \to 0 অনুক্রম নিলে সসীম উপসেটের একটি অনুক্রম JnJ_n পাওয়া যায়, যাতে ∥x−SJn∥≤εn\|x - S_{J_n}\| \leq \epsilon_n। শুধু এটুকু দিয়ে প্রমাণ শেষ হয় না, কারণ JnJ_n-গুলির অনুক্রম অবশ্যই ক্রমবর্ধমান নয়। গণনাযোগ্য ক্ষেত্রে JnJ_n-এর বদলে Jn′=J1∪⋯∪JnJ_n' = J_1 \cup \cdots \cup J_n নিলেই যথেষ্ট, যাতে সসীম উপসেটের একটি ক্রমবর্ধমান অনুক্রম পাওয়া যায় এবং ∥x−SJn′∥→0\|x - S_{J_n'}\| \to 0 হয়; এটাই কাঙ্ক্ষিত অভিসরণ। আরও বিস্তারিত জানতে [6] দেখুন।

লক্ষ করি, অসীম মাত্রায় বীজগাণিতিক ভিত্তির কার্ডিনালিটি সব সময় হিলবার্ট ভিত্তির কার্ডিনালিটির চেয়ে কঠোরভাবে বড়। এর স্বজ্ঞাত কারণ সহজ: বীজগাণিতিক ভিত্তির সসীম রৈখিক সমন্বয়কে প্রতিটি বিন্দু xx-এ ঠিক পৌঁছতে হয়, কিন্তু হিলবার্ট ভিত্তির ক্ষেত্রে কেবল তার কাছাকাছি পৌঁছলেই চলে। তাই শেষেরটি « কম নির্ভুল », এবং কম সংখ্যক স্বাধীন দিক প্রয়োজন।8। অন্যভাবে, হিলবার্ট ভিত্তির সসীম রৈখিক সমন্বয়গুলি স্থানের একটি অতি ক্ষুদ্র অংশমাত্র গঠন করে (Vect(ei)⊊H\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H})। তাই সাধারণভাবে H\mathcal{H}-এর ভেক্টর প্রকাশ করতে অভিসারী অসীম শ্রেণি প্রয়োজন।

টীকা 8: আরও নির্দিষ্টভাবে, H\mathcal{H}-এর গণনাযোগ্য হিলবার্ট ভিত্তি থাকলে (কার্ডিনালিটি ℵ0\aleph_0), বেয়ারের উপপাদ্য থেকে বোঝা যায় যে এই স্থানের বীজগাণিতিক ভিত্তি অবশ্যই অগণনাযোগ্য (কার্ডিনালিটি অন্তত 2ℵ02^{\aleph_0})।
মন্তব্য 1 (সসীম মাত্রায় ভিত্তির সমতুল্যতা)
এতক্ষণ যা বলা হল তা অসীম মাত্রায় প্রযোজ্য। অন্যদিকে সসীম মাত্রা nn-এ ভিত্তির দুই ধারণা মিলে যায়। প্রত্যেক হিলবার্ট ভিত্তি বীজগাণিতিক ভিত্তি, এবং « প্রায় বিপরীতভাবেও », গ্রাম–শ্মিট লম্ব-স্বাভাবিকীকরণ প্রক্রিয়া যেকোনো বীজগাণিতিক ভিত্তিকে হিলবার্ট ভিত্তিতে রূপান্তর করতে দেয়। এভাবে পাওয়া nn কার্ডিনালিটির পরিবারটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে টোটাল, কারণ সসীম সমন্বয়েই সেটি পুরো স্থান উৎপন্ন করে। তাই সসীম মাত্রায় বিভাজন উপপাদ্য তুচ্ছ; তার আসল গুরুত্ব কেবল অসীম মাত্রায়।

শেষে কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের গণিতে অত্যন্ত কার্যকর আরেকটি সূত্র উল্লেখ করি।

প্রস্তাবনা 2 (বেসেলের অসমতা)
ধরা যাক, (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} একটি লম্ব-স্বাভাবিক পরিবার। তবে প্রত্যেক ভেক্টর x∈Hx \in \mathcal{H}-এর জন্য:

∑i∈I∣⟨x,ei⟩∣2≤∥x∥2\sum_{i \in I} |\langle x, e_i \rangle|^2 \leq \|x\|^2

(11)

এখানে সমতা (পার্সেভালের) হয় যদি এবং কেবল যদি পরিবারটি টোটালও হয়।

2.4. হিলবার্ট মাত্রা ও শ্রেণিবিন্যাস

সব হিলবার্ট স্থানের শ্রেণিবিন্যাস সম্পূর্ণ করার প্রায় সব উপকরণ আমাদের হাতে এসেছে। একটি মৌলিক অপরিবর্তক বাকি: হিলবার্ট মাত্রা।

উপপাদ্য 5 (হিলবার্ট মাত্রা)
ধরা যাক, H\mathcal{H} একটি হিলবার্ট স্থান। নিচের বক্তব্যগুলি সত্য:
  1. প্রত্যেক হিলবার্ট স্থানের অন্তত একটি হিলবার্ট ভিত্তি আছে।
  2. H\mathcal{H}-এর সব হিলবার্ট ভিত্তির কার্ডিনালিটি একই।

তাই H\mathcal{H}-এর হিলবার্ট মাত্রা বলা যায়, যা dim⁡(H)\dim(\mathcal{H}) দিয়ে লেখা হয়। এটি সসীম, গণনাযোগ্য অসীম বা অগণনাযোগ্য অসীম হতে পারে।

হিলবার্ট স্থানগুলির শ্রেণিবিন্যাসের জন্য শেষ পর্যন্ত তাদের মধ্যে উপযুক্ত সমতুল্যতা সম্পর্ক দরকার। তাই সংজ্ঞা 4-এ দেখা ভেক্টর স্থানের সমরূপতার ধারণাকে প্রথমে নর্মযুক্ত স্থানে, তারপর হিলবার্ট স্থানে প্রসারিত করব; আপাতত অবিচ্ছিন্নতার স্বজ্ঞাত ধারণাতেই সন্তুষ্ট থাকব:

সংজ্ঞা 13 (নর্মযুক্ত ও হিলবার্ট স্থানের সমরূপতা)
ধরা যাক, EE ও FF নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থান এবং T:E→FT : E \to F একটি রৈখিক মানচিত্র।
  • TT-কে নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থানের সমরূপতা (বা টপোলজিক্যাল সমরূপতা) বলা হয় যদি TT রৈখিক, এক-এক ও সর্বব্যাপী হয় এবং TT ও T−1T^{-1} উভয়ই অবিচ্ছিন্ন হয়।
  • হিলবার্ট স্থান H\H ও G\mathcal{G}-এর ক্ষেত্রে TT-কে হিলবার্ট সমরূপতা (বা সমদূরত্ব-সংরক্ষক সমরূপতা) বলা হয় যদি TT অতিরিক্তভাবে অন্তর্গুণনও সংরক্ষণ করে: ⟨T(x),T(y)⟩G=⟨x,y⟩H,∀(x,y)∈H2.\langle T(x), T(y) \rangle_\mathcal{G} = \langle x, y \rangle_{\H}, \quad \forall (x,y) \in \H^2.

    TT-কে ইউনিটারি অপারেটরও বলা হয়।

লক্ষ করুন, TT অন্তর্গুণন সংরক্ষণ করলে TT স্বয়ংক্রিয়ভাবে নর্মও সংরক্ষণ করে (∥T(x)∥G=∥x∥H\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H})। তাই একে (রৈখিক, এক-এক ও সর্বব্যাপী) সমদূরত্ব-সংরক্ষক মানচিত্র বলা হয়। শ্রেণিবিন্যাসের মূল ভিত্তি তখন নিম্নলিখিত উপপাদ্য:

উপপাদ্য 6 (মাত্রা দ্বারা চরিত্রায়ণ)
দুটি হিলবার্ট স্থান H1\mathcal{H}_1 ও H2\mathcal{H}_2 সমদূরত্ব-সংরক্ষকভাবে সমরূপ হয় যদি এবং কেবল যদি তাদের হিলবার্ট মাত্রা একই হয়: dim⁡(H1)=dim⁡(H2)\dim(\mathcal{H}_1) = \dim(\mathcal{H}_2)।
অনুসিদ্ধান্ত 1 (হিলবার্ট স্থানের শ্রেণিবিন্যাস।)
সমদূরত্ব-সংরক্ষক সমরূপতা পর্যন্ত, রয়েছে:
  1. প্রত্যেক পূর্ণসংখ্যা n≥1n \geq 1-এর জন্য সসীম মাত্রা nn-এর একটিমাত্র হিলবার্ট স্থান, যার স্বাভাবিক প্রতিনিধি Cn\mathbb{C}^n (বা R\mathbb{R}-এর উপর Rn\mathbb{R}^n)।
  2. গণনাযোগ্য অসীম মাত্রার একটিমাত্র হিলবার্ট স্থান, যার স্বাভাবিক প্রতিনিধি ℓ2(N)\ell^2(\mathbb{N}), অর্থাৎ বর্গসমষ্টিযোগ্য অনুক্রমের স্থান: ℓ2(N)={(xn)n∈N:∑n=1∞∣xn∣2<∞}\ell^2(\mathbb{N}) = \left\{(x_n)_{n \in \mathbb{N}} : \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty\right\}
  3. প্রত্যেক অগণনাযোগ্য অসীম কার্ডিনাল κ≥ℵ1\kappa \geq \aleph_1-এর জন্য κ\kappa মাত্রার একটিমাত্র হিলবার্ট স্থান, যার একটি প্রতিনিধি ℓ2(κ)\ell^2(\kappa)9।
    টীকা 9: κ\kappa কার্ডিনালিটির সূচকসেট II-এর জন্য ℓ2(I)={(xi)i∈I:∑i∈I∣xi∣2<∞}\ell^2(I) = \{(x_i)_{i \in I} : \sum_{i \in I} |x_i|^2 < \infty\} সংজ্ঞায়িত করা হয়; এখানে যোগফলের অর্থ হল সর্বাধিক গণনাযোগ্য সংখ্যক পদই অশূন্য।

লক্ষ করুন, মাত্রা শব্দটি এখন অবশ্যই হিলবার্ট মাত্রা বোঝায়। প্রত্যেক হিলবার্ট স্থান এই আদর্শ স্থানগুলির একটির সঙ্গে সমদূরত্ব-সংরক্ষকভাবে সমরূপ, এবং শ্রেণিবিন্যাসটি সম্পূর্ণ। পরের অনুচ্ছেদে এগুলি বিশদে আলোচনা করব, তবে অগণনাযোগ্য অসীম মাত্রা আপাতত বাদ রাখব; অনেক পরে তাতে ফিরব। এগুলি সসীম স্বাধীনতার মাত্রাযুক্ত (যেমন স্পিন), গণনাযোগ্য অসীম স্বাধীনতার মাত্রাযুক্ত (যেমন বিন্দুকণার কোয়ান্টাম বলবিদ্যা) বা অগণনাযোগ্য স্বাধীনতার মাত্রাযুক্ত (যেমন কোয়ান্টাম ক্ষেত্রতত্ত্ব) কোয়ান্টাম ব্যবস্থার নির্দেশক স্থান হিসেবে কাজ করে।

মন্তব্য 2 (বিচ্ছেদ্যতা ও কার্ডিনালিটি)
একটি হিলবার্ট স্থান H\mathcal{H}-কে বিচ্ছেদ্য বলা হয় যদি তার একটি গণনাযোগ্য ঘন উপসেট থাকে। দেখানো যায় যে একটি হিলবার্ট স্থান বিচ্ছেদ্য হবে যদি এবং কেবল যদি তার হিলবার্ট মাত্রা সর্বাধিক গণনাযোগ্য হয় (অর্থাৎ সসীম বা গণনাযোগ্য অসীম)।

তাই উপরের শ্রেণিবিন্যাস এভাবেও বলা যায়: সসীমমাত্রিক হিলবার্ট স্থান, অসীমমাত্রিক বিচ্ছেদ্য হিলবার্ট স্থান, অথবা অবিচ্ছেদ্য হিলবার্ট স্থান—যেমন মানচিত্রের চিত্র (1)-এ লেখা হয়েছে।

উপরের শ্রেণিবিন্যাসের জন্য এই ধারণা অপরিহার্য না হলেও ব্যবহারিক দিক থেকে উপকারী: একটি হিলবার্ট ভিত্তি স্পষ্টভাবে নির্মাণ করার চেয়ে স্থানটি বিচ্ছেদ্য কি না প্রমাণ করা প্রায়ই সহজ।

3. আদর্শ স্থান

3.1. হিলবার্ট স্থান Cn\C^n

স্পষ্টভাবে, এটি জটিল সংখ্যার nn-টুপলের সেট:

Cn={x=(x1,x2,...,xn):xi∈C,i=1,...,n}\mathbb{C}^n = \{x = (x_1, x_2, ..., x_n) : x_i \in \mathbb{C}, i = 1, ..., n\}

যেখানে রয়েছে:

  • হার্মিশীয় অন্তর্গুণন: ⟨x,y⟩=∑i=1nxi∗yi\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i (জটিল অনুবন্ধীটি লক্ষ করুন)
  • সংশ্লিষ্ট ইউক্লিডীয় নর্ম: ∥x∥=∑i=1n∣xi∣2\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}

এটি nn মাত্রার নর্মযুক্ত ভেক্টর স্থান, এবং পূর্ণ ক্ষেত্রের উপর সসীমমাত্রিক বলে এর পূর্ণতা নিশ্চিত। তাই এটি হিলবার্ট স্থান। স্তম্ভ ভেক্টর হিসেবে এর স্বাভাবিক ভিত্তি হল:

ei=(0⋮010⋮0)(1 রয়েছে i-তম অবস্থানে)।e_i = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{(1 রয়েছে i-তম অবস্থানে)।}

এটি nn কার্ডিনালিটির হিলবার্ট ভিত্তি এবং বীজগাণিতিক ভিত্তিও; অর্থাৎ প্রত্যেক ভেক্টর x∈Cnx \in \mathbb{C}^n ঠিক নিচের সসীম যোগফলে বিভক্ত হয়:

x=∑i=1nxiei=∑i=1n⟨ei,x⟩eix = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i = \sum_{i=1}^{n} \langle e_i , x \rangle e_i

এই হিলবার্ট স্থান এমন সব কোয়ান্টাম ব্যবস্থার জন্য ব্যবহৃত হয় যাদের পরস্পর পৃথকভাবে শনাক্তযোগ্য অবস্থার সংখ্যা সসীম, বিশেষত দুই-স্তরীয় ব্যবস্থা বা কিউবিটের জন্য।

3.2. হিলবার্ট স্থান ℓ2(N)\ell^2(\mathbb{N})

এটি বর্গসমষ্টিযোগ্য অনুক্রমের সেট দিয়ে সংজ্ঞায়িত:

ℓ2(N)={x=(xn)n≥1:xn∈C,∑n=1∞∣xn∣2<∞}\ell^2(\mathbb{N}) = \left\{x = (x_n)_{n \geq 1} : x_n \in \mathbb{C}, \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty\right\}

প্রমাণ করা যায় যে নিম্নলিখিতগুলি যোগ করলে এটি হিলবার্ট স্থান হয়:

  • অন্তর্গুণন: ⟨x,y⟩=∑i=1∞xi∗yi\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i (এবার অসীম যোগফলটি লক্ষ করুন),
  • সংশ্লিষ্ট নর্ম: ∥x∥=∑i=1∞∣xi∣2\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2} (একই মন্তব্য)

এখানে স্বাভাবিক ভিত্তি স্পষ্টভাবে নির্মাণ করে দেখাব যে এটি গণনাযোগ্য। ভিত্তিটি Cn\C^n-এর ভিত্তির মতো। প্রত্যেক i∈Ni \in \mathbb{N}-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করি (এটিও স্তম্ভ ভেক্টর):

ei=(0,0,…,0,1,0,… ),e_i = (0,0,\dots,0,1,0,\dots),

অর্থাৎ এমন ভেক্টর, যার ii-তম স্থানাঙ্ক 11 এবং বাকিগুলি 00। তাই সসীমমাত্রিক ক্ষেত্রের সঙ্গে একমাত্র পার্থক্য হল, এতে অসীম সংখ্যক উপাংশ রয়েছে।

প্রমাণ.
তখন {ei}i∈N\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}} স্পষ্টত লম্ব-স্বাভাবিক, এবং এটি টোটাল পরিবারও; কারণ (x1,x2,...)(x_1, x_2, ...) অনুক্রম দিয়ে দেওয়া যেকোনো x∈ℓ2(N)x \in \ell^2(\mathbb{N})-এর জন্য xx-কে সসীম আংশিক যোগফল দিয়ে আসন্ন করা যায়: x(N)=∑i=1Nxiei=(x1,x2,…,xN,0,0,… ).x^{(N)} = \sum_{i=1}^N x_i e_i = (x_1, x_2, \dots, x_N, 0,0,\dots).

কারণ পার্থক্যটি মেনে চলে 10 :

টীকা 10: এখানে আমরা এই ফলটি ব্যবহার করি: যদি ∑n=1∞∣xn∣2<∞\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty হয়, তবে শ্রেণির লেজ শূন্যের দিকে যায়: lim⁡N→∞∑n=N+1∞∣xn∣2=0.\lim_{N \to \infty} \sum_{n=N+1}^\infty |x_n|^2 = 0. এটি এই সত্যের সঙ্গে যুক্ত যে যোগ করার জন্য এখনও অসীম সংখ্যক, অবশ্যই অঋণাত্মক পদ বাকি থাকে।
∥x−x(N)∥2=∑i=N+1∞∣xi∣2→N→∞0,\|x - x^{(N)}\|^2 = \sum_{i=N+1}^\infty |x_i|^2 \xrightarrow[N\to\infty]{} 0,

এটি দেখায় যে eke_k-গুলির সসীম সমন্বয় ঘন; সংজ্ঞা 11 দেখুন। তাই {ei}i∈N\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}} একটি হিলবার্ট ভিত্তি গঠন করে, যার কার্ডিনালিটি নির্মাণ অনুসারে N\N-এর সমান। বিভাজন উপপাদ্য তখন বলে যে প্রত্যেক ভেক্টর x∈ℓ2(N)x \in \ell^2(\mathbb{N})-কে লেখা যায়

x=∑i=1∞xiei=∑i=1∞⟨ei,x⟩eix = \sum_{i=1}^\infty x_i e_i = \sum_{i=1}^\infty \langle e_i, x \rangle e_i

যেখানে শ্রেণিটি ℓ2\ell^2-এর নর্মে অভিসারী।

উদাহরণস্বরূপ, কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় হার্মোনিক দোলক বর্ণনার জন্য এই হিলবার্ট স্থান ব্যবহৃত হয়; কারণ আমরা দেখব যে শক্তির নিজস্ব অবস্থাগুলির সূচক একটি সীমাহীন পূর্ণসংখ্যা nn, ফলে হার্মোনিক দোলকের যেকোনো অবস্থা এমন একটি শ্রেণি হিসেবে লেখা যায়।

3.3. হিলবার্ট স্থান L2(R)L^2(\R)

এক মাত্রায় বিন্দুকণার কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় তরঙ্গ ফাংশন ψ(x)\psi(x) হল একটি বাস্তব চলকের জটিলমান ফাংশন। সম্ভাবনাভিত্তিক ব্যাখ্যা দাবি করে:

∫Rψ∗(x) ψ(x) dx=1.\int_\R \psi^*(x)\, \psi(x)\, dx = 1.

তাই স্বাভাবিকভাবেই এই কোয়ান্টাম বলবিদ্যার সংশ্লিষ্ট স্থানকে বর্গসমাকলনযোগ্য ফাংশনের সেট হিসেবে সংজ্ঞায়িত করি:

H=L2(R)={ψ:R→C ∣ ∫R∣ψ(x)∣2 dx<∞}.\mathcal{H} = L^2(\R) = \big\{\psi : \R \to \mathbb{C} \ \big|\ \int_\R |\psi(x)|^2\, dx < \infty \big\}.

« <∞< \infty » দেখায় যে একটি অবস্থাকে সব সময় স্বাভাবিকীকরণ করা যায়। এতে অন্তর্গুণন যোগ করি:

⟨ψ,φ⟩=∫Rψ∗(x) φ(x) dx,\langle \psi, \phi \rangle = \int_\R \psi^*(x)\, \phi(x)\, dx,

যা নর্ম নির্ধারণ করে:

∥ψ∥=⟨ψ,ψ⟩=∫R∣ψ(x)∣2 dx.\|\psi\| = \sqrt{\langle \psi, \psi \rangle} = \sqrt{\int_\R |\psi(x)|^2 \, dx}.

এবং দেখানো যায় যে এতে এটি হিলবার্ট স্থান হয়, যদিও তা পুরোপুরি সরল নয়। এর একটি হিলবার্ট ভিত্তি স্পষ্টভাবে দেওয়া যায়। একাধিক ভিত্তি জানা আছে (হার্মিট, ওয়েভলেট, লাগের, ওয়ালশ ...)। যেমন, প্রথমে হার্মিট বহুপদীগুলি পুনরাবৃত্ত সম্পর্ক দিয়ে সংজ্ঞায়িত করি:

Hn+1(x)=2 x Hn(x)−2 n Hn−1(x),H0(x)=1,  H1(x)=2x,H_{n+1}(x) = 2\, x\, H_n(x) - 2\, n\, H_{n-1}(x), \quad H_0(x) = 1, \; H_1(x) = 2x,

তারপর হার্মিট ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করি:

ψn(x)=12nn!π e−x2/2Hn(x);\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}\, e^{-x^2/2} H_n(x) ;

এখন এখানে প্রমাণ ছাড়া গ্রহণ করব যে এই ফাংশনগুলি একটি লম্ব-স্বাভাবিক পরিবার গঠন করে:

∫Rψn(x) ψm(x)dx=δnmযেখানে ψn∗=ψn\int_\R \psi_n(x) \, \psi_m(x) dx = \delta_{nm} \quad \textrm{যেখানে ψn∗=ψn\psi_n^* = \psi_n}

এবং পরিবারটি টোটাল; তাই এটি হিলবার্ট ভিত্তি। মন্তব্য: ঘটনাচক্রে এটি একমাত্রিক হার্মোনিক দোলকের হ্যামিলটনীয়ের নিজস্ব ভিত্তিও। আরও বিস্তারিত জানতে উইকিপিডিয়া [7] দেখুন। বাস্তবে এই ভিত্তি কম ব্যবহৃত হয়, কারণ এর স্পষ্ট রাশিগুলি অত্যন্ত জটিল। একটি « অন্য ভিত্তি » উদ্ভাবন করা হয়েছে (যা প্রকৃত অর্থে ভিত্তি নয়), বরং একটি সাধারণীকৃত অবিচ্ছিন্ন ভিত্তি—সেই সুপরিচিত কেট ∣x⟩\ket{x}, যার আলোচনায় আমরা পরে ফিরব।

3.4. হিলবার্ট স্থান L2(R3)L^2(\mathbb{R}^3) ও L2(R3n)L^2(\mathbb{R}^{3n})

তিন মাত্রায় একইভাবে L2(R3)L^2(\R^3) বিবেচনা করি, যার অন্তর্গুণন

⟨ψ,φ⟩=∫R3ψ∗(x) φ(x) d3x.\langle \psi, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\mathbf{x})\, \phi(\mathbf{x})\, d^3x.

তিন মাত্রায় nnটি কণার একটি ব্যবস্থার অবস্থার স্থান হল

L2(R3n)={ψ:R3n→C  ∣  ∫R3n∣ψ(x1,…,xn)∣2 d3x1…d3xn<∞}.L^2(\mathbb{R}^{3n}) = \Bigl\{ \psi : \mathbb{R}^{3n} \to \mathbb{C} \;\Bigm|\; \int_{\mathbb{R}^{3n}} |\psi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)|^2 \, d^3x_1 \dots d^3x_n < \infty \Bigr\}.

অন্তর্গুণন দেওয়া হয়

⟨ψ,φ⟩=∫R3nψ∗(x1,…,xn) φ(x1,…,xn) d3x1…d3xn,\langle \psi, \phi \rangle = \int_{\mathbb{R}^{3n}} \psi^*(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)\, \phi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)\, d^3x_1 \dots d^3x_n,

এবং সংশ্লিষ্ট নর্ম হল

∥ψ∥=⟨ψ,ψ⟩=∫R3n∣ψ(x1,…,xn)∣2 d3x1…d3xn.\|\psi\| = \sqrt{\langle \psi, \psi \rangle} = \sqrt{\int_{\mathbb{R}^{3n}} |\psi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)|^2 \, d^3x_1 \dots d^3x_n}.

এগুলি সবই হিলবার্ট স্থান (প্রমাণ ছাড়া গ্রহণ করা হল)।

4. শেষ কথা

এতক্ষণ যা দেখেছি, তাতে পাঠক অবাক হতে পারেন যে একমাত্রিক বিন্দুকণার কোয়ান্টাম বলবিদ্যা বর্ণনায় ব্যবহৃত L2(R)L^2(\R), তিনমাত্রিক পদার্থবিজ্ঞান মডেল করতে ব্যবহৃত L2(R3)L^2(\R^3)-এর সমরূপ। অন্য একটি পাঠে আমরা বিশদে দেখব কেন এটি আপাতবিরোধ নয়। মূল কথা হল, পদার্থবিজ্ঞান শুধু হিলবার্ট স্থান দিয়ে নির্ধারিত হয় না; পর্যবেক্ষণীয় রাশির একটি সেটও লাগে। কিন্তু L2(R)L^2(\R) থেকে L2(R3)L^2(\R^3)-এর কোনো সমরূপতাই একমাত্রিক পর্যবেক্ষণীয় রাশির পুরো বীজগণিতকে একযোগে তিনমাত্রিকটির মধ্যে নিয়ে যেতে পারে না (অর্থাৎ একটি যুগল [X^,P^][\hat{X}, \hat{P}] থেকে তিনটি স্বাধীন যুগল [X^i,P^j]=iℏδij[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}-এ)।

এই সমরূপতা গাণিতিক সমতাও বোঝায় না: দুটি হিলবার্ট স্থান ফাংশনের স্থান হিসেবে সত্যিই আলাদা, কিন্তু তবুও তারা হিলবার্ট গঠনে সমরূপ। সমরূপতা শুধু বলে যে দুটি স্থান গঠনগতভাবে সদৃশ, অর্থাৎ তাদের আকার একই (হিলবার্ট ভিত্তির কার্ডিনালিটির অর্থে) এবং হিলবার্ট গঠনের বৈশিষ্ট্যও একই: এই সমরূপতার অধীনে নর্ম, দূরত্ব, লম্বতা এবং অভিসরণ, অবিচ্ছিন্নতা ইত্যাদি টপোলজিক্যাল বৈশিষ্ট্য সংরক্ষিত হয়।

তাই নির্দিষ্ট কার্ডিনালের জন্য সমদূরত্ব-সংরক্ষক মানচিত্র পর্যন্ত একটিমাত্র বিমূর্ত হিলবার্ট স্থান থাকলেও, তার অসীম সংখ্যক নির্দিষ্ট বাস্তবায়ন রয়েছে।

তবু হিলবার্ট স্থানের শ্রেণিবিন্যাস বুঝতে এত সময় দেওয়া অর্থহীন ছিল না। কারণ যেমন দেখেছি, বিবেচিত কোয়ান্টাম ব্যবস্থার « মাত্রিকতা » অনুযায়ী এই শ্রেণিবিন্যাস ভিন্ন ভৌত পরিস্থিতির সঙ্গে মিলে যায়; বিশেষত এর সঙ্গে ভিন্ন গণনার নিয়মও আসে (ভিত্তির প্রকৃতি অনুযায়ী সসীম যোগফল, অসীম শ্রেণি বা অবিচ্ছিন্ন সমাকলন)। এর সঙ্গে রৈখিক অপারেটরের এমন তত্ত্বও যুক্ত, যা সসীম ও অসীম মাত্রার ক্ষেত্রে আমূল বদলে যায়।

5. তথ্যসূত্র