Hilberträume und Dirac-Notation

In dieser Lektion definieren wir Hilberträume präzise und zeigen zunächst, wie und wo sie in die großen mathematischen Bereiche Algebra und Topologie eingeordnet sind. Wir gelangen zum Klassifikationssatz für Hilberträume: Zwei Hilberträume sind isometrisch isomorph, wenn sie dieselbe Hilbertdimension besitzen. Diese darf nicht mit der algebraischen Dimension eines Vektorraums verwechselt werden, denn beide stimmen nur im endlichdimensionalen Fall überein. Für jeden Fall, endlichdimensional, abzählbar unendlichdimensional und überabzählbar unendlichdimensional, geben wir die maßgeblichen Modellräume an und skizzieren ihre Anwendungen in der elementaren Quantenmechanik. Abschließend betrachten wir, ob die Physik in durch Isomorphismen verbundenen Hilberträumen unverändert bleibt.

1. Mathematische Strukturen in der Physik

Um zu den Hilberträumen zu gelangen, erinnern wir kurz an die „Landkarte der Mathematik“, die in der theoretischen Physik am häufigsten verwendet wird. Die nächste Seite zeigt eine stark vereinfachte und bei Weitem unvollständige, für diesen Kurs aber ausreichende Version dieser Karte, siehe Abbildung (1).

Geht man vom anschaulichen Begriff einer Punktmenge aus¹, fügt man dieser Menge schrittweise Struktur hinzu. Im Folgenden erläutern wir dieses Schema nach und nach.

1.1. Algebraische Strukturen und Vektorräume

Von Punktmengen aus können wir unmittelbar den linken Zweig unserer Karte (1) betreten: die algebraischen Strukturen, mit denen meist, aber nicht ausschließlich, Zahlenmengen beschrieben werden.

Dazu versieht man die Punktmenge mit einer oder mehreren inneren Verknüpfungen. Erfüllen diese bestimmte Regeln wie Assoziativität, Kommutativität oder die Existenz eines neutralen Elements, erhält man jeweils besondere Strukturen.

Die Abbildung zeigt einige grundlegende Strukturen: Magmen, also Mengen mit einer inneren Verknüpfung ohne weitere Eigenschaften, Gruppen, Ringe und Körper. Daneben gibt es viele weitere, etwa Halbgruppen, Monoide oder nichtkommutative Ringe, die zur besseren Lesbarkeit nicht dargestellt sind. Jede dieser Strukturen spezialisiert die vorherige: Jeder Körper ist ein Ring, jeder Ring bezüglich der Addition eine Gruppe usw. Besonders wichtig ist die Körperstruktur, insbesondere die der reellen oder komplexen Zahlen mit den vier gewöhnlichen Rechenoperationen. Sie erlaubt außerdem den Aufbau von Vektorräumen darüber.

Nun kann man Linearkombinationen bilden und von linear unabhängigen und erzeugenden Familien sowie von Basis und Dimension des Vektorraums sprechen. In diesem Kapitel müssen jedoch zwei Basisbegriffe klar unterschieden werden: algebraische Basen für beliebige Vektorräume und Hilbertbasen, die nur für Hilberträume gelten. Sie stimmen in endlicher, nicht aber in unendlicher Dimension überein. Ebenso sind algebraische Dimension und Hilbertdimension zu unterscheiden. Für das Folgende sind daher einige Erinnerungen sinnvoll.

Dies ist gleichbedeutend mit der üblichen anderen Definition: Eine Familie $(e_i)_{i \in I}$ ist genau dann eine Basis, wenn sie zugleich linear unabhängig ist und $E$ erzeugt. Der Basisbegriff erlaubt es, die Dimension eines Vektorraums zu definieren.

Auch im unendlichdimensionalen Fall verlangt die Definition einer algebraischen Basis, dass jeder Vektor eine endliche Summe von Basisvektoren ist. Eine Darstellung als unendliche Summe ist nicht zulässig, denn dafür müsste man wissen, ob die Summe konvergiert; dies erfordert eine Topologie. In einem Hilbertraum wird dies möglich und begründet den angepassten Begriff der Hilbertbasis, siehe Abschnitt 2.3.

Eine natürliche Frage lautet: Wie viele verschiedene Vektorräume gibt es, und lassen sie sich klassifizieren? Algebraisch ist die Antwort ja. Dazu braucht man eine Äquivalenzrelation: den Vektorraumisomorphismus, eine eineindeutige Zuordnung zwischen zwei Vektorräumen $E$ und $F$, welche die lineare Struktur erhält:

Bemerkung: Diese Definition ist rein algebraisch. Sind $E$ und $F$ mit einer zur Vektorraumstruktur kompatiblen Topologie ausgestattet, unterscheidet man den topologischen Isomorphismus: Zusätzlich müssen $T$ und $T^{-1}$ stetig sein. Darauf kommen wir bei normierten Räumen und Hilberträumen zurück.

Damit erhalten wir den grundlegenden Satz:

Über $\mathbb{K} = \R$ oder $\C$ gibt es somit praktisch nur ein Modell eines endlichdimensionalen Vektorraums der Dimension $n$: $\R^n$ beziehungsweise $\C^n$, die Menge der $n$-Vektoren mit reellen beziehungsweise komplexen Komponenten.

In unendlicher Dimension gilt dasselbe Klassifikationsprinzip. Nimmt man das Auswahlaxiom an, lässt sich zeigen, dass jeder Vektorraum eine sogenannte Hamelbasis besitzt. Der Klassifikationssatz verallgemeinert sich: Zwei Vektorräume über demselben Körper $\mathbb{K}$ sind genau dann isomorph, wenn ihre Basen dieselbe Mächtigkeit haben.

Die Mächtigkeit einer unendlichen Basis beschreibt man durch transfinite Kardinalzahlen. Sie unterscheiden verschiedene „Größen“ des Unendlichen. Die kleinste unendliche Kardinalzahl heißt $\aleph_0$: Sie ist die Mächtigkeit von $\mathbb{N}$, aber auch von $\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Q}$. Rekursiv definiert man anschließend die Hierarchie $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$, wobei $\aleph_{n+1}$ jeweils die kleinste Kardinalzahl ist, die strikt größer als $\aleph_n$ ist; dazwischen liegt keine weitere. In der mathematischen Logik besagt die Kontinuumshypothese, dass es keine unendliche Mächtigkeit zwischen denen von $\mathbb{N}$ und $\mathbb{R}$ gibt. Dann entspricht $\aleph_1$ der Mächtigkeit von $\mathbb{R}$.

Diese Klassifikation ist allerdings praktisch wenig hilfreich, weil eine Hamelbasis im Allgemeinen nicht explizit konstruiert werden kann. Die Klassifikation der Vektorräume bleibt daher vorwiegend theoretisch. In normierten Räumen und Hilberträumen ändert sich die Situation: Orthonormalbasen lassen sich explizit angeben, zumindest bei endlicher oder abzählbar unendlicher Hilbertdimension, siehe Abschnitt 3.

Bevor wir zu Hilberträumen gelangen, müssen wir jedoch dem mittleren Zweig unserer mathematischen Landkarte folgen und metrische sowie normierte Räume betrachten.

1.2. Metrische und normierte Räume

Im mittleren Zweig der Karte (1) versieht man zunächst eine Punktmenge mit einer Topologie. Einzelheiten behandeln wir in einem anderen Kapitel über die Topologie normierter Räume und Hilberträume. Hier genügt: Eine Topologie liefert einen Begriff der Lokalität, mit dem Konvergenz, Grenzwert und Stetigkeit definiert werden können. Insbesondere sind metrische Räume topologische Räume: Punktmengen mit einem Abstand, der einen Begriff der Lokalität festlegt.

Nun können wir den algebraischen und topologischen Zweig der Karte 1 zusammenführen, indem wir metrische Räume betrachten, deren zugrunde liegende Menge $X$ ein Vektorraum ist, also Vektorräume mit einem Abstand. So gelangen wir zu einer für die Quantenmechanik grundlegenden Struktur, deren Spezialfall die Hilberträume sind: normierte Vektorräume.

Dabei wollen wir nicht alle Abstände zulassen. Weil der Raum linear ist, soll der Abstand mit der Vektorraumstruktur verträglich sein:

Diese Bedingungen drücken aus, dass der Abstand die Geometrie des Vektorraums respektiert: Er muss translationsinvariant sein, entsprechend der Homogenität des Raums, und Streckungen müssen Abstandsverhältnisse erhalten^{2  3}. Nun führt uns folgende Aussage zu normierten Räumen: Ist $d$ eine verträgliche Metrik auf dem Vektorraum $E$, so ist der Abstand zum Ursprung, also zum Nullvektor, $\norm{x} = d(x, 0_E)$ eine Norm.

Ein Vektorraum mit einem solchen Abstand ist somit ein normierter Vektorraum:

Jeder normierte Vektorraum $(E, \|\cdot\|)$ bestimmt kanonisch einen metrischen Raum $(E, d)$ durch $d(x,y) = \|x-y\|$, dessen Metrik automatisch mit der Vektorraumstruktur verträglich ist. Normierte Vektorräume entsprechen somit bijektiv einer besonderen Unterklasse metrischer Räume. In diesem Sinn bilden sie eine Teilmenge davon.

2. Hilberträume

Wir sind damit bei den normierten Räumen in Abbildung (1) angekommen. Üblicherweise sagt man kurz normierter Raum statt normierter Vektorraum; häufig verwendet man auch die Abkürzung NVR. Als Nächstes definieren wir Prähilberträume und danach Hilberträume, die den mathematischen Rahmen der Quantenmechanik bilden.

Da die Quantenmechanik auf komplexen Zahlen aufbaut, beschränken wir uns von nun an auf $\mathbb{K} = \C$. Bisher bezeichneten $E$ und $F$ Vektorräume und normierte Räume. Für (Prä-)Hilberträume verwenden wir nun $\mathcal{H}$ und $\mathcal{G}$. Vektoren heißen weiterhin $x, y, z$ usw.

2.1. Prähilbertraum und Skalarprodukt

Ein Prähilbertraum ist ein normierter Vektorraum, dessen Norm von einem Skalarprodukt stammt. Das gilt nicht immer: Manche Normen lassen sich aus keinem Skalarprodukt gewinnen, etwa die Supremumsnorm⁴. Prähilberträume bilden daher eine echte Teilmenge der normierten Vektorräume. Erinnern wir an die Definition eines hermiteschen Skalarprodukts über $\C$:

Aus (1) und (2) folgt die konjugierte Linearität oder Antilinearität im ersten Argument⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. Eine in einem Argument lineare und im anderen konjugiert-lineare Abbildung heißt sesquilinear⁶. Im Folgenden sagen wir nur Skalarprodukt; „hermitesch“ ist stillschweigend mitgemeint.

Ein wichtiges topologisches Ergebnis sei vorweggenommen: Das Skalarprodukt ist in beiden Variablen stetig. Gilt $x_n \to x$ und $y_n \to y$ bezüglich der Norm, also $\|x_n - x\| \to 0$ und $\|y_n - y\| \to 0$, dann

Bei den Postulaten der Quantenmessung werden wir sehen, dass die Wahrscheinlichkeit, die zum Eigenvektor $\phi$ gehörende physikalische Größe zu beobachten, wenn das System im Zustand $\psi$ ist, durch $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$ gegeben wird; siehe Abschnitt 1.2 (Thema 3, Lektion 1, in dieser Sprache nicht verfügbar). Die Stetigkeit des Skalarprodukts gewährleistet somit, dass kleine Änderungen von $\psi$ kleine Änderungen der Wahrscheinlichkeiten bewirken, wie gewünscht.

Das Skalarprodukt erfüllt eine weitere grundlegende Eigenschaft:

Mit dieser Ungleichung zeigt man insbesondere, dass $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ tatsächlich eine Norm ist, wie die Schreibweise nahelegt.

Damit gelangen wir zu folgender Definition:

In einem komplexen Prähilbertraum $\mathcal{H}$ gelten folgende nützliche Formeln.

Die letzten beiden Formeln hängen mit einem wichtigen Satz über hermitesche Skalarprodukte und Normen zusammen. Der Satz von Fréchet-von Neumann-Jordan besagt: Eine Norm $\|\cdot\|$ auf einem normierten Raum $E$ stammt genau dann von einem Skalarprodukt, wenn sie die Parallelogrammidentität erfüllt. Diese ist der Test auf die Existenz eines Skalarprodukts. Ist der Test erfüllt, liefert die Polarisationsformel das Rezept, um das Skalarprodukt aus der Norm zu rekonstruieren.

2.2. Vollständigkeit und Hilbertraum

Für den Übergang von Prähilberträumen zu Hilberträumen ist ein topologischer Begriff unverzichtbar: Vollständigkeit.

Auf diese topologischen Aspekte kommen wir im entsprechenden Kapitel zurück. Hier halten wir nur fest: Vollständigkeit ist für die Quantenphysik wesentlich. Anschaulich besitzt ein vollständiger Raum keine „Löcher“. Eine Folge von Elementen aus $\mathcal{H}$ kann also nicht gegen etwas außerhalb von $\mathcal{H}$ konvergieren. Genau dies fehlt etwa den rationalen Zahlen: Eine passend gewählte rationale Folge kann gegen eine nicht rationale Zahl streben. So lässt sich tatsächlich die Menge der reellen Zahlen konstruieren.

In der Quantenmechanik ist jeder physikalische Zustand des Systems ein Vektor des Hilbertraums und umgekehrt. Dies ist ihr erstes Postulat. Wäre der Zustandsraum nicht vollständig, könnte die Entwicklung einer Wellenfunktion unter der Schrödinger-Gleichung etwa „den Raum verlassen“ und zu einem „unphysikalischen Zustand“ werden, was sinnlos wäre.

Vollständigkeit tritt auch in einem weiteren Grundpostulat auf: Die Ergebnisse von Quantenmessungen müssen zum Spektrum physikalischer Observablen gehören, die als selbstadjungierte lineare Operatoren betrachtet werden. In einem unvollständigen Raum besitzt ein Operator jedoch nicht immer einen adjungierten Operator. Außerdem ist Vollständigkeit für den Spektralsatz notwendig, mit dem die Struktur selbstadjungierter Operatoren untersucht wird.

Schließlich erfordert jeder quantenmechanische Ausdruck mit einer unendlichen Summe, etwa eine Fourierreihe oder eine Entwicklung in Eigenzuständen, Vollständigkeit, um sinnvoll zu sein. Der Ausdruck $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ in Dirac-Notation, siehe Abschnitt 4 (Thema 2, Lektion 2), setzt beispielsweise die Existenz dieser Reihe voraus, die erst durch Vollständigkeit gewährleistet wird.

Es gibt allerdings eine gute Nachricht: Diese Feinheit der Vollständigkeit ist nur in unendlicher Dimension nötig. In endlicher Dimension vereinfacht ein wichtiger Satz die Frage:

Nun können wir zur algebraischen Beschreibung der Hilberträume übergehen.

2.3. Algebraische Basis und Hilbertbasis

Oben erinnerten wir an die algebraische Basis eines Vektorraums, siehe Definition 2. Sie erlaubt die Darstellung von Vektoren als endliche Summe. Die zentrale Idee hinter der norminduzierten Topologie und der Vollständigkeit ist folgende: Nun können wir von Folgenkonvergenz sprechen, insbesondere von der Konvergenz partieller Summen $(x_n)$ mit $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ für gewisse Vektoren $x_k$. Konvergiert diese Summe, erhalten wir eine Reihe, also eine unendliche Summe: $(x_n) \to x$ und $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. Ist der Raum vollständig, gehört dieser Grenzwert sicher zum Raum.

Mit anderen Worten: Bei unendlicher algebraischer Dimension des Hilbertraums dürfen wir Vektoren nun in unendliche Reihen entwickeln. Daraus ergibt sich ein neuer Basisbegriff:

Zum Verständnis benötigen wir den topologischen Begriff der Dichtheit:

Dies gilt auch in einem Hilbertraum, der insbesondere normiert ist. Totalität bedeutet somit, dass jeder Vektor aus $\H$ durch eine endliche Linearkombination von Elementen aus $\H$ beliebig genau approximiert werden kann.

Anders als bei einer algebraischen Basis behaupten wir nicht, jeder Vektor sei eine endliche Linearkombination, sondern er lasse sich durch eine Linearkombination der Hilbertbasis beliebig genau annähern. Aufgrund der Vollständigkeit konvergieren diese Approximationen tatsächlich gegen x. Für eine beliebige Mächtigkeit von $I$ gilt dann:

Der Zusammenhang zwischen der Definition der Hilbertbasis und dem Entwicklungssatz ist nicht unmittelbar offensichtlich.

In unendlicher Dimension ist die Mächtigkeit einer algebraischen Basis stets strikt größer als die einer Hilbertbasis. Anschaulich müssen endliche Linearkombinationen der algebraischen Basis jeden Punkt $x$ genau erreichen, während sie ihn bei einer Hilbertbasis nur annähern müssen. Letztere ist daher „weniger genau“ und benötigt weniger unabhängige Richtungen.⁸. Die endlichen Linearkombinationen einer Hilbertbasis bilden also nur einen winzigen Teil des Raums ($\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$). Im Allgemeinen braucht man konvergente unendliche Reihen, um Vektoren aus $\mathcal{H}$ darzustellen.

Abschließend sei eine weitere für die Mathematik der Quantenphysik sehr nützliche Formel genannt.

2.4. Hilbertdimension und Klassifikation

Fast alle Bausteine für die vollständige Klassifikation der Hilberträume liegen vor. Es fehlt noch eine grundlegende Invariante: die Hilbertdimension.

Für die Klassifikation benötigen wir schließlich eine geeignete Äquivalenzrelation. Dazu erweitern wir den Vektorraumisomorphismus aus Definition 4 zunächst auf normierte Räume und dann auf Hilberträume, wobei ein anschaulicher Stetigkeitsbegriff vorerst genügt:

Erhält $T$ das Skalarprodukt, so erhält $T$ automatisch die Norm ($\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$). Daher spricht man von einer linearen bijektiven Isometrie. Der Eckpfeiler der Klassifikation ist folgender Satz:

Dimension meint nun selbstverständlich die Hilbertdimension. Jeder Hilbertraum ist zu einem dieser Modellräume isometrisch isomorph; die Klassifikation ist vollständig. Im nächsten Abschnitt beschreiben wir sie genauer, abgesehen vom überabzählbar unendlichdimensionalen Fall, auf den wir erst wesentlich später zurückkommen. Sie dienen als Referenzräume für Quantensysteme mit endlich vielen Freiheitsgraden, etwa Spin, abzählbar unendlich vielen, etwa der Quantenmechanik eines Punktteilchens, oder überabzählbar vielen, etwa der Quantenfeldtheorie.

3. Modellräume

3.1. Der Hilbertraum $\C^n$

Explizit handelt es sich um die Menge der $n$-Tupel komplexer Zahlen:

ausgestattet mit:

• dem hermiteschen Skalarprodukt: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$; beachten Sie die komplexe Konjugation,
• der zugehörigen euklidischen Norm: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$.

Dies ist ein normierter Vektorraum der Dimension $n$, dessen Vollständigkeit aus der endlichen Dimension über einem vollständigen Körper folgt. Er ist daher ein Hilbertraum. Seine kanonische Basis lautet in Spaltenvektoren:

Dies ist eine Hilbertbasis der Mächtigkeit $n$ und zugleich eine algebraische Basis: Jeder Vektor $x \in \mathbb{C}^n$ ist exakt die endliche Summe

Dieser Hilbertraum beschreibt jedes Quantensystem mit endlich vielen voneinander unterscheidbaren Zuständen, insbesondere Zweiniveausysteme oder Qubits.

3.2. Der Hilbertraum $\ell^2(\mathbb{N})$

Er ist als Menge der quadratsummierbaren Folgen definiert:

Man kann zeigen, dass dies ein Hilbertraum ist, wenn man ihn ausstattet mit:

• dem Skalarprodukt: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$; beachten Sie diesmal die unendliche Summe,
• der zugehörigen Norm: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$; dieselbe Bemerkung gilt.

Die Abzählbarkeit zeigen wir durch die explizite Konstruktion seiner kanonischen Basis. Sie ähnelt der von $\C^n$. Für jedes $i \in \mathbb{N}$ definieren wir, wiederum als Spaltenvektor:

also den Vektor mit $1$ an der $i$-ten Stelle und sonst $0$. Der einzige Unterschied zum endlichdimensionalen Fall ist die unendliche Zahl seiner Komponenten.

Dieser Hilbertraum wird beispielsweise für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator verwendet. Dessen Energieeigenzustände werden, wie wir sehen werden, durch eine unbeschränkte ganze Zahl $n$ indiziert, sodass jeder Zustand des Oszillators als solche Reihe geschrieben wird.

3.3. Der Hilbertraum $L^2(\R)$

In der eindimensionalen Quantenmechanik eines Punktteilchens ist die Wellenfunktion $\psi(x)$ eine komplexwertige Funktion einer reellen Variablen. Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation verlangt:

Daher definiert man den zugehörigen Raum dieser Quantenmechanik natürlicherweise als Menge quadratintegrierbarer Funktionen:

Die Bedingung „$< \infty$“ zeigt, dass ein Zustand stets normiert werden kann. Das Skalarprodukt lautet:

Es induziert die Norm:

Man kann zeigen, dass dadurch ein Hilbertraum entsteht, doch das ist nicht völlig trivial. Eine Hilbertbasis lässt sich explizit angeben; mehrere sind bekannt, etwa Hermite-, Wavelet-, Laguerre- und Walsh-Basen .... Beispielsweise definiert man zunächst die Hermite-Polynome rekursiv:

Anschließend definiert man die Hermite-Funktionen:

Wir nehmen hier ohne Beweis an, dass diese Funktionen eine orthonormale Familie bilden:

Sie ist außerdem total, also eine Hilbertbasis. Bemerkung: Dies ist zugleich die Eigenbasis des Hamiltonoperators des eindimensionalen harmonischen Oszillators. Weitere Einzelheiten stehen in Wikipedia ^[7]. Praktisch wird diese Basis selten verwendet, weil ihre expliziten Ausdrücke ausgesprochen unhandlich sind. Man hat eine „andere Basis“ eingeführt, die eigentlich keine ist, sondern eine kontinuierliche verallgemeinerte Basis: die bekannten Kets $\ket{x}$, auf die wir zurückkommen.

3.4. Die Hilberträume $L^2(\mathbb{R}^3)$ und $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

In drei Dimensionen betrachtet man entsprechend $L^2(\R^3)$ mit dem Skalarprodukt

Für ein System aus $n$ Teilchen in drei Dimensionen lautet der Zustandsraum

Das Skalarprodukt ist gegeben durch

und die zugehörige Norm durch

All dies sind Hilberträume; wir setzen dies ohne Beweis voraus.

4. Schlussbemerkung

Überraschend mag sein, dass $L^2(\R)$, der Raum für die eindimensionale Quantenmechanik eines Punktteilchens, isomorph zu $L^2(\R^3)$ ist, das dreidimensionale Physik beschreibt. In einer anderen Lektion werden wir ausführlich erklären, warum dies kein Widerspruch ist. Entscheidend ist, dass die Physik nicht allein durch den Hilbertraum bestimmt wird, sondern auch durch eine Menge von Observablen. Kein Isomorphismus von $L^2(\R)$ nach $L^2(\R^3)$ kann jedoch die gesamte eindimensionale Observablenalgebra zugleich in die dreidimensionale überführen, also ein einziges Paar $[\hat{X}, \hat{P}]$ in drei unabhängige Paare $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$.

Der Isomorphismus bedeutet auch keine mathematische Gleichheit: Die beiden Hilberträume sind als Funktionenräume verschieden, aber dennoch bezüglich ihrer Hilbertraumstruktur isomorph. Er besagt lediglich, dass sie strukturell ähnlich sind: gleich groß bezüglich der Mächtigkeit ihrer Hilbertbasen und mit denselben Hilbertraumeigenschaften. Unter diesem Isomorphismus bleiben Normen, Abstände, Orthogonalität und topologische Eigenschaften wie Konvergenz und Stetigkeit erhalten.

Obwohl es bis auf Isometrie zu jeder Kardinalzahl nur einen abstrakten Hilbertraum gibt, existieren somit unendlich viele konkrete Realisierungen.

Die ausführliche Beschäftigung mit der Klassifikation war dennoch sinnvoll. Wie gesehen entspricht sie in der Physik unterschiedlichen Situationen je nach „Dimensionalität“ des Quantensystems. Insbesondere gehen damit unterschiedliche Rechenregeln einher: endliche Summen, unendliche Reihen oder kontinuierliche Integrale, abhängig von der Art der Basis. Auch die zugehörige Theorie linearer Operatoren verändert sich grundlegend zwischen endlicher und unendlicher Dimension.

5. Literatur