Hilberträume und Dirac-Notation

1. Die Idee der Dualität

Dualität ist der Leitgedanke dieser ganzen Lektion. Versuchen wir, sie anschaulich zu deuten. In der Mathematik umfasst der Begriff viele Situationen; bei Hilberträumen drückt er jedoch eine einfache und tiefgehende Idee aus: Ein Vektor kann nicht nur als eigenständiges Objekt betrachtet werden, sondern auch als Operator, der auf andere Vektoren wirkt und Zahlen erzeugt, also als Linearform. In der Quantenmechanik ist diese Zahl eine Wahrscheinlichkeitsamplitude.

Der Quantenformalismus nutzt beide Seiten vollständig. Die Dirac-Notation bietet eine geschickte Schreibweise, um leicht damit zu rechnen. Kets, geschrieben $\ket{u}$, stellen Vektoren dar; Bras, geschrieben $\bra{u}$, stellen auf diese Vektoren wirkende Linearformen dar. Ihre Kombination $\langle u|v\rangle$ ergibt einen Skalar, einen Bracket, während Ausdrücke wie $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ Operatoren beschreiben.

Diese Notation hat sich als Standardsprache der Quantenphysik durchgesetzt; ihre vollständige Beherrschung ist unerlässlich. Eine Zusammenstellung der Rechenregeln folgt auf diese Lektion. Man kann durchaus lernen, mit den Symbolen zu rechnen, ohne die dahinterliegende Mathematik wirklich zu verstehen. Ihren tieferen Sinn erschließt jedoch erst unser Programm: zu verstehen, wie die vollständige Identifikation zwischen Vektoren und Linearformen entsteht und warum dabei natürlicherweise ein weiteres wesentliches Objekt erscheint, der adjungierte Operator.

Im nächsten Abschnitt versuchen wir einen solchen Isomorphismus zwischen einem Vektorraum und seinem algebraischen Dualraum, der Menge aller Linearformen, herzustellen. Dies wird sich als unmöglich erweisen. Ein endlichdimensionaler Vektorraum ist zwar zu seinem Dualraum isomorph, doch dieser Isomorphismus ist nicht kanonisch: Er hängt von einer willkürlichen Basiswahl ab. In unendlicher Dimension ist die Lage noch schwieriger: Ein solcher Isomorphismus existiert überhaupt nicht. Diese Hindernisse verhindern eine automatische Identifikation von Vektoren und Linearformen und begründen den Rückgriff auf die reichere Hilbertraumstruktur.

Abschnitt 3 zeigt, wie diese zusätzliche Struktur die Schwierigkeiten überwindet. Mithilfe des Skalarprodukts und durch Beschränkung auf stetige Linearformen, die den topologischen Dualraum bilden, erhalten wir ein bemerkenswertes Ergebnis. Der Satz von Riesz besagt, dass für jeden Hilbertraum beliebiger Dimension ein kanonischer antilinearer isometrischer Isomorphismus zwischen dem Raum und seinem topologischen Dualraum existiert.

Dieses Ergebnis begründet die Dirac-Notation streng. Wir erläutern sie in den Abschnitten 4 und 5 für Kets, Bras und lineare Operatoren. Anschließend zeigen wir, wie der Riesz-Isomorphismus den adjungierten Operator hervorbringt, Abschnitt 6. Abschnitt 7 fasst die Konstruktion in einem vollständigen Diagramm zusammen. Als konkretes Beispiel verwenden wir durchgehend den endlichdimensionalen Fall und arbeiten stets über dem Körper $\mathbb{C}$.

2. Linearformen und algebraischer Dualraum

Sei $E$ ein Vektorraum über $\C$. Sein algebraischer Dualraum $E^*$ ist die Menge der Linearformen auf $E$, also der linearen Abbildungen $\varphi : E \to \C.$

In endlicher Dimension $n$ kann man nach Wahl einer Basis $(e_1,\dots,e_n)$ von $E$ eine entsprechende Familie von Linearformen $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ in $E^*$ konstruieren, definiert durch:

Diese Familie ist linear unabhängig und erzeugend, also eine Basis von $E^*$, die duale Basis. Daraus folgt $\dim(E^*) = \dim(E)$, also sind $E$ und $E^*$ isomorph. Ein möglicher Isomorphismus ist die Abbildung $T$, die jedem Vektor $x = \sum x_i e_i$ die Linearform $w_x = \sum x_i \theta_i$ zuordnet.

Dieser Isomorphismus $T$ ist allerdings insofern künstlich, als er von der anfänglichen Basiswahl in $E$ abhängt. Ändert man die Basis, ändert sich auch $T$. Es gibt daher keine kanonische, also natürliche Identifikation eines Vektorraums mit seinem algebraischen Dualraum.

In unendlicher Dimension besagt ein klassisches Ergebnis, dass $E$ niemals zu seinem algebraischen Dualraum isomorph ist, weil dieser eine strikt größere Dimension besitzt; siehe den Satz von Erdös–Kaplansky. Hat $E$ beispielsweise abzählbare algebraische Dimension, ist die algebraische Dimension seines Dualraums überabzählbar.

In beiden Fällen fehlt somit eine kanonische Identifikation zwischen Vektoren und Linearformen.

3. Topologischer Dualraum und Satz von Riesz

In einem Hilbertraum $\H$ zeichnet die zum Skalarprodukt gehörende Norm eine besondere Klasse von Linearformen aus: die stetigen. Die Abbildung $\varphi : \H \to \C$ heißt stetig in $x_0$, wenn

Ist sie in einem Punkt stetig, so aufgrund der Linearität überall¹. Die stetigen Linearformen bilden einen Vektorunterraum des algebraischen Dualraums. Er heißt topologischer Dualraum und wird, etwas missbräuchlich, ebenfalls mit $\H^*$ bezeichnet.

Bemerkung: Diese Norm ist ein Spezialfall der später behandelten Operatornorm; siehe Abschnitt 1.5 (Thema 4, Lektion 3, in dieser Sprache nicht verfügbar). Die Konstruktion gilt für jeden normierten Raum. Das Besondere an Hilberträumen ist folgender Satz: Mit dem Skalarprodukt lässt sich jede stetige Linearform bijektiv mit einem Vektor identifizieren.

Die Abbildung $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ von $\mathcal{H}$ nach $\H^*$ ist bereits in einem Prähilbertraum injektiv. Aus $\varphi_u = \varphi_v$ folgt nämlich für jedes $x$ aus $\mathcal{H}$ die Gleichung $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$. Mit $x = u - v$ und der positiven Definitheit folgt $u = v$.

Der Satz von Riesz besagt, dass diese Abbildung auch surjektiv ist. Das ist nicht trivial und gilt nur in Hilberträumen. In einem unvollständigen Prähilbertraum etwa existieren stetige Linearformen, die sich nicht als Skalarprodukt mit einem Vektor dieses Raums darstellen lassen; die Abbildung ist dann nicht surjektiv.

Der Satz liefert also die gesuchte Bijektion $\Phi$ zwischen $\mathcal{H}$ und $\mathcal{H}^*$. Daraus folgt:

4. Dirac-Notation: Bras, Kets und Brackets

Die Dirac-Notation ist nun lediglich eine Umschreibung des Riesz-Isomorphismus. Zuerst definieren wir Kets, Bras und Brackets und schreiben damit die Entwicklung in einer Hilbertbasis aus der vorherigen Lektion neu.

1. Kets. Ein Vektor $u \in \mathcal{H}$ wird als Ket geschrieben: $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$

   Die lineare Struktur liefert folgende Rechenregeln:

   $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. Bras. Jedem Vektor $u \in \H$ ordnet $\Phi$ eine Form $\varphi_u$ zu. Diese Linearform schreiben wir als Bra, mit dem zugehörigen Vektor im Inneren: $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$

   Damit stellt $\bra{u}$ den Vektor $u$ als Linearform dar: die Operation „Skalarprodukt mit $u$ bilden und eine Zahl ausgeben“. Es gelten die Rechenregeln:

   $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ als Folge der Antilinearität von $\Phi$.
3. Der Bracket. Die beiden Schreibweisen erlauben es, ein Skalarprodukt, englisch Bracket oder inner product, als Produkt eines Bras mit einem Ket zu bilden: $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$

   Dies beschreibt die Wirkung der Linearform $\bra{u}$ auf den Vektor $\ket{x}$:

   $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. Hilbertentwicklung. Unabhängig von der Hilbertraumdimension gilt die bekannte Entwicklung $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$, deren Summe endlich ist oder für unendliches $I$ in $\mathcal{H}$ konvergiert. In Dirac-Notation lautet sie:

   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)

   Dabei sind $u_i$ die Komponenten des Kets $u$ in der Basis. Man erhält sie durch orthogonale Projektion auf $e_i$ als $u_i = \braket{e_i}{u}$ und nicht als $\braket{u}{e_i}$, das gleich $u_i^*$ ist. Dieser häufige Fehler hängt wohl damit zusammen, dass man im gewöhnlichen Vektorkalkül auf $\R^n$ die Komponente $v_i$ eines Vektors $\vec{v}$ durch $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$ erhält. Das könnte im Quantenfall $u_i = \braket{u}{e_i}$ nahelegen, würde aber die Sesquilinearität über $\C$ ignorieren und unmittelbar einen Rechenfehler erzeugen.

   Für Bras gilt:

   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)

   Das Normquadrat lautet

   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   wobei die zweite Gleichheit die Parseval-Identität ist.
5. Die Dagger-Operation. Die Anwendung des Isomorphismus $\Phi$ von Kets auf Bras wird gewöhnlich durch das hochgestellte Zeichen $\dagger$ bezeichnet. Für den inversen Isomorphismus $\Phi^{-1}$ von Bras auf Kets verwenden wir dasselbe Zeichen. Dadurch ist die Dagger-Operation involutiv. Nach dieser Schreibkonvention gilt: $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(Abbildung } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(Abbildung } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(Involution)} \end{aligned}$$

Veranschaulichen wir dies in endlicher Dimension. Wir wählen $\H$ der Dimension $n$ mit einer Hilbertbasis $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ und dem kanonischen Skalarprodukt; siehe Abschnitt 3.1 (Thema 2, Lektion 1). Die Basiskets stellen wir kanonisch als Spaltenvektoren dar, also als $(n,1)$-Matrizen:

Die $1$ steht an der $i$-ten Stelle. Damit werden alle Kets $\ket{u}$ zu Spaltenvektoren

mit $u_i = \braket{e_i}{u}$. Die dem Vektor $u$ zugehörige Linearform $\varphi_u$ muss für jeden Vektor $v$ erfüllen:

Um diese Summe zu erhalten, muss $\bra{u}$ durch den $(1, n)$-Zeilenvektor der konjugierten Koordinaten von $u$ dargestellt werden:

Dann ergibt sich das Skalarprodukt $\braket{u}{v}$ als gewöhnliches Matrixprodukt:

Beispielsweise in Dimension 2:

Wir erhalten das Ergebnis:

In unendlicher Dimension ist dies nicht sinnvoll, weil die Transposition nicht definiert ist. Allerdings funktioniert im Raum $\ell^2(\N)$ bezüglich seiner kanonischen Basis vieles ähnlich, wenn man unendliche Spalten- oder Zeilenvektoren betrachtet und endliche Summen durch konvergente Reihen ersetzt. Das kann der Anschauung helfen; streng genommen handelt es sich jedoch weder um Matrizen noch um Transpositionen.

5. Operatoren, Matrixelemente und Zerlegung der Identität

Wir setzen die Dirac-Notation fort und führen lineare Abbildungen, auch lineare Operatoren genannt, $\hat A$ von $\mathcal{H}$ nach $\mathcal{G}$ ein, wobei $\mathcal{G}$ ein weiterer Hilbertraum ist.

Schreibweise der Operatoren. In der Physik kennzeichnet man sie üblicherweise mit einem Dach. Ein Operator $\hat A$ bildet einen Vektor $v$ auf $\hat A v$ ab. In Dirac-Notation gibt es zwei gleichwertige Schreibweisen; die zweite ist gebräuchlicher:

Ebenso lässt sich ein Skalarprodukt mit einem Operator schreiben als:

Die zweite Schreibweise ist aus ästhetischen Gründen häufiger.

Matrixelemente. Besonders wichtig ist oben der Fall $\bra{w} = \bra{e_i}$ und $\ket{u} = \ket{e_j}$: Er definiert die Matrixelemente des Operators $\hat A$:

In unendlicher Dimension ist dies nicht immer sinnvoll, denn $\ket{e_i}$ muss im Definitionsbereich von $\hat A$ liegen. Darauf kommen wir zurück. In endlicher Dimension ist die Definition klar: Die Darstellung der Basisvektoren als Spaltenvektoren ordnet einem linearen Operator eindeutig seine Matrix zu. Man schreibt $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ mit $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. Die Gleichung $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ wird dann zum gewöhnlichen Matrixprodukt $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$. Ein Skalarprodukt lautet $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$.

Ket-Bra-Operatoren. Ein Bracket ist eine Zahl, ein Ket-Bra dagegen ein Operator, das sogenannte äußere Produkt, ohne Zusammenhang mit dem äußeren Produkt von Differentialformen. Zwei Vektoren $\ket{u}$ und $\ket{v}$ desselben Hilbertraums $\H$ ordnen wir den Operator $\ket{u}\bra{v}$ von $\H$ nach $\H$ zu, definiert durch:

Auch hier ist in endlicher Dimension der Fall $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$ besonders wichtig. Alle Matrixelemente dieses Operators sind null, außer einer „1“ in Zeile $i$ und Spalte $j$. Die zugehörige Matrix lautet:

Jeder lineare Operator $\hat{A}$ lässt sich in endlicher Dimension nach seinen Matrixelementen zerlegen:

mit $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. In unendlicher Dimension ist diese Zerlegung nicht immer möglich; wenn sie existiert, ist sie im Sinn starker Konvergenz zu verstehen. Darauf kommen wir in den nächsten Lektionen zurück.

Zerlegung des Identitätsoperators. Der Identitätsoperator auf $\mathcal{H}$, geschrieben $\mathbf{1}$, ist durch $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ für jedes $\ket{x} \in \mathcal{H}$ definiert. In endlicher Dimension stellt ihn offensichtlich die Einheitsmatrix dar. Allgemeiner gilt

auch in abzählbar unendlicher Dimension, wobei die Reihe stark konvergiert. Man nennt dies Auflösung der Identität oder Vollständigkeitsrelation. Die Formel ist für quantenmechanische Rechnungen äußerst nützlich. Achtung: In nichtseparablen Räumen ist sie falsch²

6. Der adjungierte Operator

Kehren wir zum Riesz-Isomorphismus zurück und betrachten einen stetigen linearen Operator³ $\hat{A}$ von $\mathcal{H}$ nach $\mathcal{G}$, wobei $\H$ und $\G$ Hilberträume sind, gegebenenfalls mit $\H = \G$.

Wirkt $\hat{A}$ auf ein Ket $\ket{u} \in \mathcal{H}$, entsteht das neue Ket $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$. Natürlich fragt man nach dem Bra, das der Riesz-Isomorphismus dem Vektor $\ket{v}$ zuordnet, also nach der Linearform auf $\G$: $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$. So gelangen wir zu einem neuen Operator, dem Adjungierten von $\hat{A}$, ebenfalls geschrieben $\hat{A}^\dagger$. Er ist für die Quantenmechanik wesentlich.

Um $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ zu bestimmen, wählen wir ein beliebiges festes Ket $\ket{w} \in \mathcal{G}$ und betrachten die Linearform auf $\H$:

Der Index $\G$ bezeichnet den Raum, in dem das Skalarprodukt zu bilden ist. Wir setzen hier voraus, dass $\varphi$ für einen stetigen Operator $\hat{A}$ eine stetige Linearform auf $\mathcal{H}$ ist. Nach Riesz, angewandt auf $\mathcal{H}$, gibt es genau einen Vektor $\ket{z} \in \mathcal{H}$ mit $\varphi = \varphi_z$, also:

Die Konstruktion ordnet somit einem Vektor $\ket{w}$ aus $\G$ genau einen Vektor $\ket{z}$ aus $\H$ zu. Formal lässt sich dies als Wirkung eines adjungierten Operators $\hat{A}^\dagger$ schreiben: $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$. Der Operator $\hat A$ wirkt also von $\H$ nach $\G$, sein Adjungierter von $\G$ nach $\H$.

Führt man die Konstruktion für jedes $\ket{w}$ aus, prüft man leicht, dass der so definierte Operator selbst linear und stetig ist. Wir erhalten das grundlegende Ergebnis:

Der Adjungierte hat zwei praktische Anwendungen im formalen Quantenkalkül.

1. Die Formel zeigt gewissermaßen: „Bei festen Positionen von $u$ und $w$ lässt sich der Operator mithilfe des Adjungierten von links nach rechts verschieben.“ 
2. Mit der hermiteschen Symmetrie $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$ folgt außerdem:
   $$\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)

   Dies zeigt nun: „Mit dem Adjungierten lassen sich Bra und Ket bis auf komplexe Konjugation vertauschen.“

Beide Identitäten sind gleichwertig. Man muss auf Ausgangs- und Zielraum $\H$ und $\G$ sowie darauf achten, ob das Skalarprodukt von $\H$ oder von $\G$ verwendet wird. Praktisch gilt fast immer $\H = \G$, was die Notation entsprechend vereinfacht.

Veranschaulichen wir die Konstruktion in endlicher Dimension. Das Hauptergebnis lautet:

Die ursprüngliche Frage ist noch nicht ausdrücklich beantwortet: Wie lautet das Bra $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$, das kanonisch zum Ket $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$ gehört? Formel (6) beantwortet sie durch ein für jeden Vektor $w$ gültiges Skalarprodukt und erlaubt den Schluss:

Zwei Linearformen, die auf jedem Vektor $w$ übereinstimmen, sind gleich. Entscheidend ist jedoch, dieses Objekt richtig zu verstehen. Eine häufige Fehlinterpretation lautet: „Der Adjungierte wirkt von links auf Bras.“ Das ist falsch! $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ ist eine Komposition von Operatoren, keine Linkswirkung. Die Ausgangs- und Zielräume sind:

Also ist $\bra{u} \hat A^\dagger$ die Komposition $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$, tatsächlich eine Linearform auf $\mathcal{G}$. Das gewöhnliche Weglassen von $\circ$ kann verwirren.

Aus $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$ folgen schließlich durch Dagger die nützlichen Formeln:

Die folgende Abbildung fasst die Beziehungen zwischen Bras, Kets, dem Operator $\hat A$ und seinem Adjungierten zusammen.

Wir schließen mit einigen wichtigen Eigenschaften der Adjungierung:

7. Literatur