Hilberträume und Dirac-Notation

1. Verallgemeinerte kontinuierliche Basis von $L^2(\mathbb{R})$

Den Modellraum $L^2(\R)$ haben wir bereits in Abschnitt 3.3 (Thema 2, Lektion 1) ausführlich beschrieben und insbesondere eine abzählbare Hilbertbasis angegeben. Jeder physikalische Zustand lässt sich dann als Reihe in der Basis der Hermite-Funktionen entwickeln. Leider sind deren explizite Ausdrücke ziemlich unhandlich.

Deshalb wurde eine andere „Basis“ eingeführt, die keine Hilbertbasis im eigentlichen Sinn ist, sondern eine verallgemeinerte kontinuierliche Basis. Der Übergang zur unendlichen Dimension ist hier heikel; die strenge Konstruktion benötigt die Werkzeuge des nächsten Themas zur Theorie linearer Operatoren. Wir akzeptieren daher vorläufig die folgende Formelsammlung als Gebrauchsanweisung für die Dirac-Notation in dieser „Basis“, nicht als bereits begründete mathematische Konstruktion.

1.1. Verallgemeinerte Basis in der Ortsdarstellung

Versuchen wir dennoch, einige Ideen zu vermitteln. Zunächst führt man einen selbstadjungierten „Ortsoperator“ ein, bezeichnet mit $\hat{X}$, der auf Funktionen des Hilbertraums $L^2(\mathbb{R})$ durch Multiplikation wirkt:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

Den Definitionsbereich beachten. Dieser Ausdruck ist nur sinnvoll, wenn die Funktion $x\,\psi(x)$ in $L^2(\R)$ bleibt. Das gilt nicht immer: Manche quadratintegrierbaren Funktionen werden durch Multiplikation mit $x$ divergent.¹ Der Operator $\hat{X}$ kann daher nicht auf ganz $L^2(\R)$ definiert werden, sondern nur auf einem Unterraum von Funktionen, deren Bild in $L^2$ bleibt.

Um einen wohldefinierten, in $L^2$ dichten und unter den üblichen Operationen stabilen Definitionsbereich zu erhalten (Ableitung, Multiplikation mit $x$, Fourier-Transformation), führt man den Raum der Schwartz-Funktionen ein, bezeichnet mit $\mathcal{S}(\R)$:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

Es handelt sich also um glatte, schnell fallende Funktionen, sodass $f$ und sämtliche Ableitungen schneller gegen null gehen als jede inverse Potenz von $x$.

Der Raum $\mathcal{S}(\R)$ ist:

• dicht in $L^2(\R)$: Jede Funktion aus $L^2$ lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus $\mathcal{S}$ approximieren,
• stabil unter Ableitung, Multiplikation mit $x$ und Fourier-Transformation.

Er ist daher der natürliche Definitionsbereich für eine saubere Definition des Ortsoperators $\hat{X}$ und des Impulsoperators $\hat{P}$, und bildet die Grundlage der strengen Konstruktionen des Dirac-Formalismus und des Gelfand-Tripels.

Mit diesen Vorkehrungen können wir vorläufig rein formal² die Eigenzustände von $\hat{X}$ schreiben:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

Diese Kets $\ket{x}$ bilden eine verallgemeinerte kontinuierliche Basis, da sie Elemente von $L^2(\R)$ als kontinuierliche Überlagerungen darstellen lassen, obwohl die $\ket{x}$ selbst keine Vektoren des Hilbertraums sind.

Es sind nämlich keine Kets im eigentlichen Sinn, da sie nicht normierbar sind. Sehen wir uns den Grund an. Die Familie ist überabzählbar, sodass ihre Orthonormalität nicht mit dem diskreten Kronecker-Symbol $\delta_{ij}$ beschrieben werden kann, sondern mit dessen „kontinuierlicher Version“:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

Insbesondere gilt:

Hier wurde das Dirac-Delta $\delta(x)$ eingeführt, keine gewöhnliche Funktion, sondern eine Distribution der mathematischen Distributionentheorie. Es wird durch seine Wirkung unter dem Integral definiert:

für jede Testfunktion $f$ des Schwartz-Raums. Man muss verstehen, dass $\delta(x)$ für sich keinen Sinn hat und nicht einmal eine Zahl ist. Tatsächlich ist $\delta$ eine Linearform $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ auf Testfunktionen³. Es ist also nur durch seine Wirkung unter dem Integral (2) definiert, nicht durch seine Werte $\delta(x)$.

Will man es unbedingt als Funktion auffassen, kann man es als Grenzwert einer Folge immer stärker um null konzentrierter Funktionen ansehen, etwa immer schmalerer Gauß-Funktionen:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

Oder als um null zentrierte Rechtecke, deren Breite gegen null und Höhe gegen unendlich geht. In dieser Anschauung erscheint das Delta im Grenzwert als „Funktion“, die überall null ist außer bei $x = 0$, wo sie divergiert, während die Gesamtfläche unter der Kurve 1 bleibt.

Deshalb schreibt man in der Physik dennoch $\delta(0) = \infty$, muss sich aber der missbräuchlichen Notation und Bedeutung bewusst sein. Über Gl. (1) zeigt dies jedenfalls, dass der Ket $\ket{x}$ nicht normiert ist. Das Dirac-Delta besitzt auch eine außerordentlich nützliche Integraldarstellung, vermutlich die wichtigste Formel dieses Abschnitts:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

Auch hier ist die Gleichheit distributionell zu verstehen, da das Integral offensichtlich nicht konvergiert und sonst sinnlos wäre.

Die „Matrixelemente“ des Ortsoperators $\hat{X}$ sind $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$. Wir nennen sie weiterhin so, zum Vergleich mit dem vorigen Abschnitt in endlicher Dimension, obwohl $\hat{X}$ keine gewöhnliche Matrixdarstellung besitzt. Man könnte sich eine „Matrix mit kontinuierlichen Indizes“ vorstellen, distributionell diagonal, deren Wert auf der Diagonalen $x = x'$ aber keinen eigentlichen Sinn hat, da $x\,\delta(0)$ keine reelle Zahl ist. Hier zeigt sich wohl der grundlegende Unterschied zwischen linearen Operatoren in endlicher Dimension, also Matrizen, und solchen in unendlicher Dimension.

In der verallgemeinerten Basis lautet die Auflösung der Identität:

Damit wird die Zerlegung jedes Hilbertraum-Kets $\kpsi$ in dieser kontinuierlichen Basis zu einem Integral:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

Hier haben wir die Wellenfunktion definiert:

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

Ebenso entwickelt sich der zu $\kpsi$ konjugierte Bra als:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

Dabei wurde die hermitesche Symmetrie des Skalarprodukts verwendet: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

Die Komponente bei $x$ des Vektors $\hat{X} \psi$, definitionsgemäß $\braket{x}{X\psi}$, wird ebenfalls aus ästhetischen Gründen meist anders geschrieben; vergleiche Gl. (4 (Thema 2, Lektion 2)), nämlich:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. In der Impulsdarstellung

In der Quantenmechanik eines Punktteilchens führt man analog den Impulsoperator über seine Wirkung auf Wellenfunktionen $\psi(x)$ aus $L^2(\mathbb{R})$ ein:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

Auch hier muss man sich auf den Schwartz-Raum beschränken, damit die Wellenfunktion differenzierbar ist und ihre Ableitung weiterhin quadratintegrierbar bleibt.

Eine sehr gute Anwendung dieses Kapitels ist die Überprüfung, dass $\hat{P}$ tatsächlich selbstadjungiert ist. Dazu untersuchen wir zunächst den Ableitungsoperator selbst, bezeichnet durch:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

Er ist linear, denn Ableiten ist linear: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$. Offensichtlich ist er nicht wie in endlicher Dimension durch eine Matrix darstellbar: Er wirkt differentiell auf einem unendlichdimensionalen Funktionenraum. Seinen Adjungierten können wir daher nicht durch konjugierte Transposition berechnen, wohl aber mit dessen Definition. Für zwei Testfunktionen aus $\mathcal{S}(\R)$, $\phi$ und $\psi$, gilt:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

siehe Definition 2 (Thema 2, Lektion 2). Durch Einfügen der Auflösung der Identität ergibt die linke Seite:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

Der Adjungierte von $\hat{D} = d/dx$ ist also $-\hat{D} = -d/dx$. In der ersten Zeile haben wir die Auflösung der Identität zwischen Bra und Ket eingefügt, in der zweiten ausmultipliziert und in der dritten hermitesche Symmetrie verwendet. In der vierten Zeile stehen die Definitionen von $\hat{D}$ und Wellenfunktion; in der fünften wurde über $\R$ partiell integriert. Die Randterme im Unendlichen verschwinden, weil Schwartz-Funktionen schneller als jedes Monom abfallen. In den letzten Zeilen kehren wir von Wellenfunktionen zu Skalarprodukten zurück, klammern die Auflösung der Identität aus und entfernen sie. Der Impulsoperator ist somit selbstadjungiert, denn

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

Die Selbstadjungiertheit von $\hat{P}$ garantiert reelle Eigenwerte, also mögliche Impulse, und eine vollständige Basis des Zustandsraums aus Eigenfunktionen im verallgemeinerten Sinn über Dirac-Distributionen.

Impulseigenzustände. Ganz analog definiert man die verallgemeinerten „Kets“ $\ket{p}$ als Eigenzustände von $\hat{P}$:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

In der Ortsdarstellung erhält man die zugehörige Wellenfunktion durch Projektion auf $\bra{x}$:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

Dies ist eine einfache Differentialgleichung mit der Lösung:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

Der Ausdruck zeigt, dass die Transformation zwischen Orts- und Impulsdarstellung genau die Fourier-Transformation ist.

Orthogonalität und Vollständigkeit. Die Kets $\ket{p}$ erfüllen analoge Beziehungen wie die $\ket{x}$:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

Die Wellenfunktion in der Impulsdarstellung wird definiert durch:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

Die Transformation $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ ist also die Fourier-Transformation; die Umkehrtransformation lautet:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

Grundlegende Vertauschung. Schließlich erfüllen die Operatoren $\hat{X}$ und $\hat{P}$ die kanonische Vertauschungsrelation:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

Diese Beziehung begründet die gesamte Quantenmechanik des Punktteilchens. Tatsächlich folgen alle Formeln dieses Abschnitts allein aus ihr: Man beweist, dass die einzige mögliche Hilbertraumdarstellung dieser Algebra zwischen X und P die gerade beschriebene ist. Insbesondere wirkt $X$ durch Multiplikation auf Wellenfunktionen in x und P durch Ableitung, und umgekehrt. Dieses wichtige Ergebnis, der Satz von Stone–von Neumann, wird später ausführlich behandelt.

1.3. Eigenschaften des Dirac-Deltas

Wir schließen Abschnitt und Kapitel mit einigen nützlichen Formeln zum Dirac-Delta, stets im distributionellen Sinn zu verstehen, also unter einem Integralzeichen:

Symmetrie:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

Homogenität:

Für jede reelle Zahl $a \neq 0$ gilt:

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

Variablentransformation:

Ist $f$ eine reguläre Funktion mit einfachen Nullstellen $\{x_i\}$, sodass $f(x_i) = 0$, dann gilt:

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Ableitung des Deltas:

Die distributionelle Ableitung ist definiert durch

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. Literatur