Hilberträume und Dirac-Notation

Die gerade definierten Objekte erfüllen grundlegende Eigenschaften, unabhängig von der Dimension des Hilbertraums und davon, ob die Operatoren beschränkt sind. Auch im unbeschränkten Fall lässt sich ein Adjungierter definieren, mathematisch jedoch subtiler; darauf kommen wir im nächsten Thema zur Theorie linearer Operatoren zurück. Da die ganze Welt die Dirac-Notation verwendet, bilden diese Eigenschaften faktisch die algebraischen Regeln des Quantenrechnens und müssen daher unbedingt beherrscht werden.

Diese Lektion sammelt alle bisher behandelten nützlichen Formeln, auch auf Kosten von Wiederholungen, und ergänzt einige weitere. Zuerst folgen die dimensionsunabhängigen Regeln, dann die Formelsammlung für endliche Dimension, in der die Dirac-Notation zu expliziter Matrizenrechnung wird.

1. Rechenregeln in beliebiger Dimension

Eigenschaften des Skalarprodukts.

Seien $(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2$ zwei Vektoren des Hilbertraums und $(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$ Skalare. Das Skalarprodukt erfüllt:

1. Hermitesche Symmetrie:

   $$\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}$$

   (1)

2. Antilinearität links: Der zu $\lambda \ket{\psi}$ gehörige Bra ist $\lambda^* \bra{\psi}$, also:

   $$\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{und} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }$$

   (2)

3. Linearität rechts:

   $$\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}$$

   (3)

4. Linearkombinationen: Mit den obigen Eigenschaften lassen sich komplizierte Ausdrücke wie üblich ausmultiplizieren. Für alle $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C$ gilt etwa:

   $$\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }$$

   (4)

5. Norm: Definitionsgemäß gilt

   $$\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}$$

   (5)

   mit Gleichheit genau dann, wenn $\ket{\psi} = 0$ der Nullvektor ist, der gelegentlich, aber selten, mit $\ket{\varnothing}$ bezeichnet wird.

Eigenschaften des Adjungierten.

Wir wiederholen die beiden definierenden Formeln:

und

Daraus folgt mit hermitescher Symmetrie auch:

Eigenschaften adjungierter Operatoren.

Für alle stetigen linearen Operatoren $\hat{A}, \hat{B}$ auf $\mathcal{H}$ und jeden Skalar $\lambda \in \mathbb{C}$ gilt:

Ket-Bra-Operator.

Ein Bracket ist eine Zahl, ein Ket-Bra dagegen ein Operator, das äußere Produkt, ohne Zusammenhang mit dem äußeren Produkt von Differentialformen. Zwei Vektoren $\ket{\phi}$ und $\ket{\psi}$ ordnen wir den Operator $\ket{\phi}\bra{\psi}$ zu, definiert durch:

Zerlegung des Identitätsoperators.

Der Identitätsoperator auf $\Hilb$ wird mit $\mathbf{1}$ bezeichnet und ist durch $\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb$ definiert. In einer abzählbaren Hilbertbasis $\{\ket{e_i}\}_{i \in I}$ mit endlichem oder abzählbar unendlichem $I$ schreibt sich der Identitätsoperator $\mathbf{1}$ als:

Diese Formel ist praktisch außerordentlich nützlich. Man nennt sie auch Auflösung der Identität oder Vollständigkeitsrelation. Rechts steht in endlicher Dimension eine Summe, in abzählbar unendlicher Dimension eine konvergente Reihe. Bei überabzählbarer Dimension ist sie falsch.

Hilbertzerlegung.

Die vorige Formel liefert beispielsweise unmittelbar den Zerlegungssatz aus Lektion 1, wobei $\psi_i$ die Komponente des Kets $\kpsi$ entlang $\ket{e_i}$ bezeichnet:

Je nach Dimension handelt es sich um eine Summe oder Reihe. Zur Ket-Zerlegung gehört die entsprechende Bra-Zerlegung:

Die Norm lautet dann:

Einige besondere Operatoren.

Das nächste Thema behandelt ausführlich die Theorie linearer Operatoren auf einem Hilbertraum. Wir notieren schon einige häufige Fälle. Unter den Operatoren $\Hilb \to \Hilb$ betrachten wir insbesondere:

1. $\hat A$, hermitesch oder selbstadjungiert, falls $\hat{A}^\dagger = \hat{A}$,
2. $\hat U$, unitär, falls $\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}$,
3. $\hat P$, ein Projektor, falls $\hat{P}^2 = \hat{P}$,
4. $\hat P$, ein orthogonaler Projektor: ein selbstadjungierter Projektor.

Unitäre Operatoren sind bijektiv und linear und erhalten das Skalarprodukt. Wir kennen sie daher bereits: Es sind die isometrischen Isomorphismen, hier genauer die isometrischen Automorphismen, da wir nur lineare Operatoren von $\Hilb$ in sich betrachten.

2. Formelsammlung für endliche Dimension

Hat der Hilbertraum endliche Dimension $n$, lassen sich die Rechenregeln weiter konkretisieren. Alle Formeln des vorigen Abschnitts gelten, wobei die auftretenden Summen endlich sind: $\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}$.

Nach Wahl einer Orthonormalbasis $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ entspricht die Dirac-Notation einer expliziten Matrizenrechnung, die wir nun erläutern. Achtung: Das Folgende hat in unendlicher Dimension keinerlei Sinn.

Kets als Spaltenvektoren.

Wir stellen die Kets der Basis $\mathcal{B}$ kanonisch durch $(n,1)$-Matrizen, also Spaltenvektoren, dar:

Dabei steht die $1$ an $i$-ter Stelle. Mit der algebraischen Zerlegung

lassen sich alle Kets als Spaltenvektoren schreiben: Für $\ket{v} \in \mathcal{H}$ gilt:

Die Basis $\mathcal{B}$ dieser Entwicklung wird nur angegeben, wenn nötig. Die Komponenten erhält man durch orthogonale Projektion:

Bras als konjugierte Zeilenvektoren.

Die dem Vektor $u$ zugeordnete Linearform $\varphi_u$ muss für jeden Vektor $v$ erfüllen:

wegen der Antilinearität des hermiteschen Skalarprodukts links. Damit diese Summe als Matrizenprodukt entsteht, muss $\bra{u}$ der Zeilenvektor der konjugierten Koordinaten von $u$ sein:

Dann ergibt sich das Skalarprodukt $\braket{u}{v}$ als gewöhnliches Matrizenprodukt:

Der Bra $\bra{u}$ ist somit der konjugiert transponierte Ket $\ket{u}$. Die Dagger-Operation entspricht in endlicher Dimension also der konjugierten Transposition:

In unendlicher Dimension ist das falsch und sogar sinnlos, da die Transposition nicht definiert ist¹.

Matrixdarstellung von Operatoren.

In einer Orthonormalbasis $\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n$ in endlicher Dimension zerfällt jeder lineare Operator $\hat{A}$ gemäß:

Dies führt in endlicher Dimension zur natürlichen Identifikation des linearen Operators $\hat{A}$ mit Hut und seiner Matrix $A$ ohne Hut. Die Formel ist im Dirac-Formalismus das Gegenstück zur Matrixentwicklung $A = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}$, wobei $E_{ij}$ die Elementarmatrix mit einer $1$ an Position $(i,j)$ und Nullen sonst ist. Somit repräsentiert $E_{ij}$ den Operator $\ket{e_i} \bra{e_j}$. Die Koeffizienten $A_{ij}$ heißen Matrixelemente des Operators $\hat{A}$ in der Basis $\{\ket{e_i}\}$. Sie lauten:

Aus ästhetischen Gründen schreibt man häufiger:

Der Identitätsoperator wird natürlich durch die Einheitsmatrix dargestellt; seine Matrixelemente sind $\delta_{ij}$, das Kronecker-Symbol.

Spur eines Operators.

Später betrachten wir oft die Spur eines Operators $\hat{A}$. In Dirac-Notation berechnet man sie durch:

Dieser Ausdruck ist unabhängig von der gewählten Orthonormalbasis.

Adjungierter und konjugierte Transposition.

In endlicher Dimension ist die Matrix des Adjungierten $\hat{A}^\dagger$ die konjugierte Transponierte der Matrix des Operators $\hat{A}$:

Ein kurzer Beweis zeigt, wie man die obigen Rechenregeln praktisch anwendet. Die Matrixelemente von $\hat{A}^\dagger$ sind definitionsgemäß:

Nach Definition des Adjungierten gilt:

Mit hermitescher Symmetrie gilt $\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*$, also gerade das Matrixelement $A_{ji}^*$. Folglich:

Damit ist die Eigenschaft bewiesen. In endlicher Dimension können wir durch explizite Matrizenrechnung prüfen, ob ein Operator hermitesch, unitär usw. ist.

3. Literatur