Espacios de Hilbert y notación de Dirac

Estructura de los espacios de Hilbert, dual topológico y notación de Dirac en dimensión finita e infinita.

Lección n.º 1: Espacios de Hilbert Lección n.º 2: Espacio dual, kets, bras y adjunto

Ficha n.º 1: Notación de Dirac en dimensión finita Ficha n.º 2: Notación de Dirac en dimensión infinita

Notación de Dirac en dimensión finita

Reglas algebraicas del cálculo cuántico válidas en cualquier dimensión, seguidas de un formulario matricial en dimensión finita.

Notación de Dirac Producto escalar hermítico Adjunto Operador ket-bra Resolución de la identidad Dimensión finita Elementos de matriz Traza Transposición conjugada Formulario

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Lección n.º 2: Espacio dual, kets, bras y adjunto

Ficha n.º 2: Notación de Dirac en dimensión infinita

Los objetos definidos obedecen a propiedades fundamentales, válidas en cualquier dimensión del espacio de Hilbert e independientemente de que los operadores sean acotados. En el caso no acotado también puede definirse un adjunto, pero es matemáticamente más sutil; volveremos a ello en el próximo tema sobre teoría de operadores lineales. Puesto que todo el mundo usa Dirac, estas propiedades constituyen de hecho las reglas algebraicas del cálculo cuántico, y es imprescindible dominarlas.

Esta lección reúne todas las fórmulas útiles vistas hasta ahora, aunque se repitan, y añade algunas. Primero damos las válidas en cualquier dimensión; después el formulario de dimensión finita, donde Dirac se reduce a un cálculo matricial explícito.

1. Reglas de cálculo en cualquier dimensión

Propiedades del producto escalar.

Sean $(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2$ dos vectores del espacio de Hilbert y $(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$ escalares. El producto escalar satisface:

Simetría hermítica:
$\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}$
(1)
Antilinealidad por la izquierda: el bra asociado a $\lambda \ket{\psi}$ es $\lambda^* \bra{\psi}$ , es decir:
$\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{y} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }$
(2)
Linealidad por la derecha:
$\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}$
(3)
Combinaciones lineales: las propiedades anteriores permiten desarrollar expresiones complicadas de la forma habitual. Para cualesquiera $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C$ , por ejemplo:
$\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }$
(4)
Norma: por definición,
$\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}$
(5)

con igualdad si y solo si $\ket{\psi} = 0$ es el vector nulo, a veces, aunque raramente, denotado $\ket{\varnothing}$ .

Propiedades del adjunto.

Repetimos las dos fórmulas que sirven de definición:

\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

Esto permite demostrar también, por simetría hermítica:

\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

Propiedades de los operadores adjuntos.

Para cualesquiera operadores lineales continuos $\hat{A}, \hat{B}$ sobre $\mathcal{H}$ y todo escalar $\lambda \in \mathbb{C}$ :

\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(antilinealidad)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(atención al orden)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(involución)}. \end{aligned}

Operador ket-bra.

Un bracket es un número, pero un ket-bra es un operador, llamado producto exterior, sin relación con el producto exterior de formas diferenciales. A dos vectores $\ket{\phi}$ y $\ket{\psi}$ asociamos el operador $\ket{\phi}\bra{\psi}$ definido por:

\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}

Descomposición del operador identidad.

La identidad en $\Hilb$ se denota $\mathbf{1}$ y se define por $\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb$ . En una base hilbertiana numerable $\{\ket{e_i}\}_{i \in I}$ , con $I$ finito o infinito numerable, el operador identidad $\mathbf{1}$ se escribe:

\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

Esta fórmula es extremadamente útil en la práctica. También se llama resolución de la identidad o relación de cierre. El miembro derecho es una suma en dimensión finita o una serie convergente en dimensión infinita numerable. Es falsa en dimensión no numerable.

Descomposición hilbertiana.

La fórmula anterior recupera directamente el teorema de descomposición de la lección 1, definiendo $\psi_i$ como la componente del ket $\kpsi$ sobre $\ket{e_i}$ :

\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

Es una suma o una serie según la dimensión. La descomposición del ket tiene su equivalente para los bras:

\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

La norma es entonces:

\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

Observación 1 (¡Atención al orden!)

Las componentes del ket son

\psi_i = \braket{e_i}{\psi}

, y no

\braket{\psi}{e_i}

, que vale

\psi_i^*

. El producto escalar hermítico no es conmutativo; hay que cuidar el orden. En

\mathbb{R}^n

con el producto escalar euclídeo habitual se recupera la componente

v_i

\vec{v}

mediante

v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i

. Esto podría sugerir la fórmula cuántica

\psi_i = \braket{\psi}{e_i}

, ¡pero es incorrecta!

Algunos operadores particulares.

El próximo tema presenta detalladamente la teoría de operadores lineales sobre un Hilbert. Anotamos ya algunos casos frecuentes. Entre los operadores $\Hilb \to \Hilb$ , tendremos en particular:

$\hat A$ , hermítico o autoadjunto si $\hat{A}^\dagger = \hat{A}$ ,
$\hat U$ , unitario si $\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}$ ,
$\hat P$ , un proyector si $\hat{P}^2 = \hat{P}$ ,
$\hat P$ , un proyector ortogonal: un proyector autoadjunto.

Los operadores unitarios son biyectivos, lineales y preservan el producto escalar. Ya los conocemos: son los isomorfismos isométricos, aquí más precisamente automorfismos isométricos porque solo consideramos operadores lineales de $\Hilb$ en sí mismo.

2. Formulario en dimensión finita

Si el Hilbert tiene dimensión finita $n$ , podemos concretar las reglas. Todas las fórmulas de la sección anterior valen, escribiendo las sumas como finitas: $\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}$ .

Elegida una base ortonormal $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ , Dirac corresponde a un cálculo matricial explícito que detallamos ahora. Atención: lo siguiente carece totalmente de sentido en dimensión infinita.

Kets como vectores columna.

Representamos canónicamente los kets de la base $\mathcal{B}$ mediante matrices $(n,1)$ , o vectores columna:

\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

El $1$ ocupa la posición $i$ -ésima. Mediante la descomposición algebraica

\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

todos los kets se escriben como columnas: para $\ket{v} \in \mathcal{H}$ escribimos:

\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

Omitiremos la base $\mathcal{B}$ de esta expansión salvo cuando sea necesario. Las componentes se obtienen por proyecciones ortogonales:

\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

Bras como vectores fila conjugados.

La forma $\varphi_u$ asociada al vector $u$ debe satisfacer, para todo vector $v$ :

\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

por antilinealidad del producto escalar hermítico por la izquierda. Para obtener esta suma como producto matricial, $\bra{u}$ debe ser la fila de coordenadas conjugadas de $u$ :

\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

Entonces el producto escalar $\braket{u}{v}$ es el producto matricial habitual:

\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

Así, el bra $\bra{u}$ es el transpuesto conjugado del ket $\ket{u}$ . La operación dagger equivale en dimensión finita a tomar la transpuesta conjugada:

\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

Esto es falso en dimensión infinita e incluso carece de sentido, pues la transposición no está definida¹.

Nota 1: A lo sumo, en

\ell^2(\N)

con su base canónica descrita en la Sección 3.2 (Tema 2, Lección 1), todo funciona de manera similar considerando columnas o filas infinitas y sustituyendo sumas finitas por series convergentes. Puede ayudar a la intuición, pero estrictamente no son matrices. En

L^2(\R)

ya no tiene sentido alguno, aunque también existe un análogo integral; véase la próxima lección.

Representación matricial de operadores.

En una base ortonormal $\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n$ en dimensión finita, todo operador lineal $\hat{A}$ se descompone como:

\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

Esto conduce en dimensión finita a identificar naturalmente el operador lineal $\hat{A}$ , con sombrero, y su matriz $A$ , sin sombrero. La fórmula es el equivalente de Dirac del desarrollo matricial $A = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}$ , donde $E_{ij}$ es la matriz elemental con un $1$ en la posición $(i,j)$ y ceros en las demás. Así, $E_{ij}$ representa el operador $\ket{e_i} \bra{e_j}$ . Los coeficientes $A_{ij}$ se llaman elementos de matriz del operador $\hat{A}$ en la base $\{\ket{e_i}\}$ . Valen:

A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

Por razones estéticas, es más habitual escribir:

\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

La identidad está representada, naturalmente, por la matriz identidad; sus elementos son $\delta_{ij}$ , el símbolo de Kronecker.

Traza de un operador.

Más adelante consideraremos a menudo la traza de un operador $\hat{A}$ . En Dirac se calcula mediante:

\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

Esta expresión no depende de la elección de base ortonormal.

Adjunto y transpuesta conjugada.

En dimensión finita, la matriz del adjunto $\hat{A}^\dagger$ es la transpuesta conjugada de la matriz del operador $\hat{A}$ :

\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

Una demostración breve muestra cómo aplicar las reglas anteriores. Los elementos de matriz de $\hat{A}^\dagger$ son por definición:

(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

Por definición del adjunto:

\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

Por simetría hermítica, $\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*$ , que no es sino el elemento de matriz $A_{ji}^*$ . Por tanto:

(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

Queda demostrada la propiedad. En dimensión finita podremos comprobar mediante cálculo matricial explícito si un operador es hermítico, unitario, etc.

3. Referencias

Todavía no se han añadido referencias para esta lección.

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