Espacios de Hilbert y notación de Dirac

1. La idea de dualidad

La dualidad es el hilo conductor de esta lección. Intentemos interpretarla intuitivamente. En matemáticas abarca muchas situaciones, pero en los espacios de Hilbert expresa una idea sencilla y profunda: un vector puede verse no solo como objeto en sí, sino también como operador que actúa sobre otros vectores para producir números, es decir, como una forma lineal. En mecánica cuántica, ese número es una amplitud de probabilidad.

El formalismo cuántico aprovecha ambas facetas, y la notación de Dirac proporciona un ingenioso sistema para manipularlas. Los kets, denotados $\ket{u}$, representan vectores; los bras, denotados $\bra{u}$, representan formas lineales que actúan sobre ellos. Su combinación $\langle u|v\rangle$ produce un escalar, llamado bracket, mientras expresiones como $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ describen operadores.

Esta notación es el lenguaje habitual de la física cuántica y dominarla por completo resulta indispensable. Tras la lección se proporcionará un formulario de reglas de cálculo. Es posible aprender a manipular los símbolos sin comprender realmente las matemáticas subyacentes. Pero entender su sentido profundo requiere el programa aquí esbozado: cómo construir la identificación completa entre vectores y formas lineales, y por qué conduce naturalmente a otro objeto esencial, el adjunto de un operador.

En la próxima sección intentaremos establecer un isomorfismo entre un espacio vectorial y su dual algebraico, el conjunto de todas sus formas lineales. Veremos que es imposible. Aunque en dimensión finita el espacio sea isomorfo a su dual, el isomorfismo no es canónico: depende de una base arbitraria. En dimensión infinita la situación empeora: dicho isomorfismo simplemente no existe. Estos obstáculos invalidan la identificación automática y justifican recurrir a la estructura más rica de Hilbert.

La Sección 3 muestra cómo usar esa estructura adicional para superar las dificultades. Gracias al producto escalar, restringiéndonos a las formas lineales continuas que constituyen el dual topológico, obtenemos un resultado notable. El teorema de Riesz afirma que, en cualquier dimensión, existe un isomorfismo isométrico antilineal y canónico entre un espacio de Hilbert y su dual topológico.

Esto fundamenta rigurosamente la notación de Dirac, que detallaremos en las Secciones 4 y 5: kets, bras y operadores lineales. Después veremos cómo el isomorfismo de Riesz introduce naturalmente el adjunto, en la Sección 6. La Sección 7 resume la construcción con un esquema completo. Durante toda la lección usaremos la dimensión finita como ejemplo concreto, trabajando siempre sobre el cuerpo $\mathbb{C}$.

2. Formas lineales y dual algebraico

Sea $E$ un espacio vectorial sobre $\C$. Su dual algebraico $E^*$ es el conjunto de formas lineales sobre $E$, es decir, aplicaciones lineales $\varphi : E \to \C.$

En dimensión finita $n$, fijada una base $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$, podemos construir una familia correspondiente de formas lineales $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ en $E^*$ mediante:

Se demuestra que la familia es linealmente independiente y generadora, por tanto una base de $E^*$, llamada base dual. Así, $\dim(E^*) = \dim(E)$, luego $E$ y $E^*$ son isomorfos. Un isomorfismo posible es la aplicación $T$ que asocia a cada $x = \sum x_i e_i$ la forma $w_x = \sum x_i \theta_i$.

Sin embargo, $T$ es en cierto modo artificial porque depende de la elección inicial de base de $E$. Si cambiamos la base, cambia también $T$. No existe, pues, una identificación canónica o natural entre el espacio vectorial y su dual algebraico.

En dimensión infinita, un resultado clásico muestra que $E$ nunca es isomorfo a su dual algebraico, cuya dimensión es estrictamente mayor; véase el teorema de Erdös–Kaplansky. Si $E$ tiene dimensión algebraica numerable, por ejemplo, su dual tiene dimensión algebraica no numerable.

En ambos casos falta una identificación canónica entre vectores y formas lineales.

3. Dual topológico y teorema de Riesz

En un espacio de Hilbert $\H$, la norma del producto escalar distingue una clase particular de formas lineales: las continuas. Se dice que $\varphi : \H \to \C$ es continua en $x_0$ si

Si es continua en un punto, por linealidad lo es en todos¹. Las formas lineales continuas constituyen un subespacio vectorial del dual algebraico, llamado dual topológico y denotado también, abusivamente, $\H^*$.

Observación: esta norma es un caso particular de la norma de operador que veremos después, en la sección 1.5 (Tema 4, Lección 3, no disponible en este idioma). La construcción vale en cualquier espacio normado. Lo específico de Hilbert es el siguiente teorema: el producto escalar identifica biyectivamente cada forma lineal continua con un vector.

La aplicación $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ de $\mathcal{H}$ a $\H^*$ ya es inyectiva en un espacio prehilbertiano. Si $\varphi_u = \varphi_v$, para todo $x$ de $\mathcal{H}$ tenemos $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$; eligiendo $x = u - v$ y usando la definición positiva resulta $u = v$.

Riesz afirma que también es sobreyectiva. No es trivial y solo vale en Hilbert. En un prehilbertiano incompleto, por ejemplo, existen formas lineales continuas que no se expresan como producto escalar con un vector del propio espacio; la aplicación no es sobreyectiva.

Riesz proporciona así la biyección $\Phi$ entre $\mathcal{H}$ y $\mathcal{H}^*$ que buscábamos. Deducimos:

4. Notación de Dirac: bras, kets y brackets

La notación de Dirac es simplemente otra escritura del isomorfismo de Riesz. Definimos kets, bras y brackets y los usamos para reescribir la descomposición en una base de Hilbert de la lección anterior.

1. Los kets. Un vector $u \in \mathcal{H}$ se escribe como un ket: $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$

   La estructura lineal da las reglas:

   $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. Los bras. A cada vector $u \in \H$ asociamos mediante $\Phi$ una forma $\varphi_u$. Se escribe como un bra, con el vector asociado en su interior: $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$

   Así, $\bra{u}$ representa el vector $u$ visto como forma lineal: «tomar el producto escalar con $u$ y devolver un número». Tenemos:

   $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ como consecuencia de la antilinealidad de $\Phi$.
3. El bracket. Las dos escrituras permiten formar un producto escalar, llamado bracket o inner product en inglés, como producto de un bra por un ket: $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$

   La notación expresa la acción de la forma lineal $\bra{u}$ sobre el vector $\ket{x}$:

   $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. Descomposición hilbertiana. En cualquier dimensión vimos la descomposición $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$, donde la suma es finita o converge en $\mathcal{H}$ si $I$ es infinito. En Dirac:

   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)

   Los $u_i$ son las componentes del ket $u$ en la base. Se obtienen proyectando ortogonalmente sobre $e_i$ como $u_i = \braket{e_i}{u}$, no como $\braket{u}{e_i}$, que vale $u_i^*$. Es un error frecuente, probablemente porque en el cálculo vectorial usual sobre $\R^n$ se recupera la componente $v_i$ de $\vec{v}$ mediante $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$. Esto puede sugerir $u_i = \braket{u}{e_i}$ en el caso cuántico, pero ignoraría la sesquilinealidad sobre $\C$ y produciría inmediatamente un error.

   Para los bras:

   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)

   y el cuadrado de la norma es

   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   donde la segunda igualdad es la de Parseval.
5. La operación dagger. El isomorfismo $\Phi$ de kets a bras suele denotarse mediante el superíndice $\dagger$. Elegimos el mismo símbolo para el inverso $\Phi^{-1}$ de bras a kets. Esto hace involutiva la operación dagger. Por convenio: $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(aplicación } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(aplicación } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(involución)} \end{aligned}$$

Ilustremos estos puntos en dimensión finita. Elegimos $\H$ de dimensión $n$ y una base hilbertiana $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ con el producto escalar canónico, véase la sección 3.1 (Tema 2, Lección 1). Representamos los kets de la base como vectores columna, matrices $(n,1)$:

El $1$ está en la posición $i$-ésima. Todos los kets $\ket{u}$ se escriben como columnas

con $u_i = \braket{e_i}{u}$. La forma $\varphi_u$ asociada a $u$ debe satisfacer, para todo vector $v$:

Para obtener esa suma, $\bra{u}$ debe representarse mediante el vector fila $(1, n)$ de coordenadas conjugadas de $u$:

Así, el producto escalar $\braket{u}{v}$ es el producto matricial habitual:

Por ejemplo, en dimensión 2:

Hemos obtenido:

En dimensión infinita esto carece de sentido, pues la transposición no está definida. No obstante, en $\ell^2(\N)$ y su base canónica todo funciona de forma parecida si consideramos filas o columnas infinitas y sustituimos sumas finitas por series convergentes. Puede ayudar a la intuición, pero estrictamente no son matrices ni transposiciones.

5. Operadores, elementos de matriz y descomposición de la identidad

Continuamos con Dirac introduciendo aplicaciones lineales, u operadores lineales, $\hat A$ de $\mathcal{H}$ a $\mathcal{G}$, donde $\mathcal{G}$ es otro espacio de Hilbert.

Escritura de operadores. En física es habitual marcarlos con un sombrero. Un operador $\hat A$ actuando sobre $v$ da $\hat A v$. En Dirac hay dos escrituras equivalentes; la segunda es la más usada:

Asimismo, un producto escalar con operador se escribe:

La segunda forma es más frecuente por razones estéticas.

Elementos de matriz. El caso $\bra{w} = \bra{e_i}$ y $\ket{u} = \ket{e_j}$ es especialmente importante porque define los elementos de matriz de $\hat A$:

En dimensión infinita no siempre tiene sentido: $\ket{e_i}$ debe pertenecer al dominio de $\hat A$; volveremos a ello. En dimensión finita la definición es transparente. Representando los vectores de base como columnas, cada operador lineal corresponde unívocamente a su matriz: $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$, con $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. La ecuación $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ se convierte en el producto usual $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$, y el producto escalar en $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$.

Operadores ket-bra. Un bracket es un número, pero un ket-bra es un operador, llamado producto exterior, sin relación con el producto exterior de formas diferenciales. A dos vectores $\ket{u}$ y $\ket{v}$ del mismo espacio de Hilbert $\H$ asociamos $\ket{u}\bra{v}$ de $\H$ a $\H$, definido por:

También aquí, en dimensión finita, es importante $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$. Sus elementos son todos cero salvo un «1» en la fila $i$ y columna $j$; su matriz es:

Todo operador lineal $\hat{A}$ se descompone en dimensión finita mediante sus elementos de matriz:

con $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. En dimensión infinita no siempre es posible; cuando existe, la descomposición se entiende en convergencia fuerte. Volveremos a ello en próximas lecciones.

Descomposición del operador identidad. La identidad en $\mathcal{H}$, denotada $\mathbf{1}$, se define por $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ para todo $\ket{x} \in \mathcal{H}$. En dimensión finita la representa la matriz identidad. Más generalmente:

también en dimensión infinita numerable, donde la serie converge fuertemente. Se llama resolución de la identidad o relación de cierre. Es extremadamente útil en todos los cálculos cuánticos. Atención: es falsa en espacios no separables²

6. El operador adjunto

Volvamos a Riesz y consideremos un operador lineal continuo³ $\hat{A}$ de $\mathcal{H}$ a $\mathcal{G}$, siendo $\H$ y $\G$ dos Hilbert, posiblemente con $\H = \G$.

Cuando $\hat{A}$ actúa sobre $\ket{u} \in \mathcal{H}$, obtenemos $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$. Es natural preguntar por el bra asociado mediante Riesz a $\ket{v}$, es decir, por la forma en $\G$: $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$. Esto conduce al adjunto de $\hat{A}$, también denotado $\hat{A}^\dagger$, esencial en mecánica cuántica.

Para determinar $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$, fijamos cualquier ket $\ket{w} \in \mathcal{G}$ y consideramos la forma lineal sobre $\H$:

El subíndice $\G$ indica dónde se calcula el producto escalar. Admitimos que $\varphi$ es una forma lineal continua en $\mathcal{H}$ si $\hat{A}$ es continuo. Por Riesz aplicado a $\mathcal{H}$, existe un único $\ket{z} \in \mathcal{H}$ tal que $\varphi = \varphi_z$:

Así asociamos a un vector $\ket{w}$ de $\G$ un único $\ket{z}$ de $\H$. Formalmente es la acción del operador adjunto $\hat{A}^\dagger$: $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$. El operador $\hat A$ actúa de $\H$ a $\G$, mientras el adjunto va de $\G$ a $\H$.

Repitiendo la construcción para cada $\ket{w}$, se comprueba fácilmente que el operador definido es lineal y continuo. Obtenemos:

El adjunto tiene dos utilidades prácticas en el cálculo cuántico formal.

1. La fórmula muestra que, «manteniendo fijas las posiciones de $u$ y $w$, el adjunto permite pasar el operador de izquierda a derecha».
2. Por simetría hermítica, $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$, también:
   $$\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)

   Esto muestra que «el adjunto permite intercambiar bra y ket salvo conjugación compleja».

Ambas identidades equivalen. Hay que atender a los espacios de partida y llegada $\H$ y $\G$, y a si usamos el producto escalar de $\H$ o de $\G$. En la práctica casi siempre $\H = \G$, simplificando la notación.

Ilustremos la construcción en dimensión finita. El resultado principal es:

Todavía falta responder explícitamente: ¿cuál es el bra $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ asociado canónicamente a $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$? La fórmula (6) responde mediante un producto escalar válido para todo $w$, permitiendo escribir:

Dos formas lineales que coinciden sobre todo $w$ son iguales. Es crucial comprender este objeto: un error frecuente consiste en creer que «el adjunto actúa por la izquierda sobre los bras». ¡Es falso! $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ es una composición de operadores, no una acción por la izquierda. Los espacios de partida y llegada son:

Así, $\bra{u} \hat A^\dagger$ es la composición $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$, una forma lineal sobre $\mathcal{G}$. Omitir normalmente $\circ$ puede causar confusión.

Finalmente, de $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$, aplicando dagger, deducimos:

La figura siguiente resume las relaciones entre bras, kets, el operador $\hat A$ y su adjunto.

Terminamos con algunas propiedades importantes de la adjunción:

7. Referencias