Espacios de Hilbert y notación de Dirac

En esta lección definimos con precisión los espacios de Hilbert, mostrando primero cómo y dónde encajan en las grandes ramas matemáticas del álgebra y la topología. Llegaremos al teorema de clasificación: dos espacios de Hilbert son isométricamente isomorfos si tienen la misma dimensión hilbertiana, que no debe confundirse con la dimensión algebraica de un espacio vectorial, pues solo coinciden en dimensión finita. Daremos los espacios modelo de referencia para cada caso: dimensión finita, infinita numerable e infinita no numerable, con una visión de sus usos en mecánica cuántica elemental. Terminaremos planteando si la física definida por espacios de Hilbert relacionados mediante isomorfismos permanece o no invariante.

1. Las estructuras matemáticas en física

Para llegar a los espacios de Hilbert, recordamos brevemente el «mapa de las matemáticas» más utilizadas en física teórica. La página siguiente muestra una versión muy simplificada y sumamente incompleta de ese mapa, pero suficiente para este curso, véase la Figura (1).

Si partimos de la noción intuitiva de un conjunto de puntos¹, procedemos añadiendo estructura a ese conjunto poco a poco. Explicaremos progresivamente este esquema en lo que sigue.

1.1. Estructuras algebraicas y espacios vectoriales

A partir de conjuntos de puntos podemos pasar directamente a la rama izquierda del mapa (1), la de las estructuras algebraicas, generalmente utilizadas para describir conjuntos de números, aunque no exclusivamente.

Para ello añadimos una o varias leyes de composición interna al conjunto. Según estas leyes satisfagan determinadas reglas, como asociatividad, conmutatividad o existencia de un elemento neutro, obtenemos estructuras específicas.

La figura representa algunas estructuras fundamentales: el magma, un conjunto con una ley de composición interna sin propiedades particulares, los grupos, los anillos y los cuerpos. Existen muchas otras, como semigrupos, monoides o anillos no conmutativos, omitidas para facilitar la lectura. Cada estructura especializa la anterior: todo cuerpo es un anillo, todo anillo es un grupo para la suma, etc. La estructura de cuerpo es la más importante, pues es en particular la de los números reales o complejos con las cuatro operaciones aritméticas habituales. También permite construir espacios vectoriales sobre ella.

Podemos formar combinaciones lineales y hablar de familias linealmente independientes y generadoras, así como de base y dimensión. En este capítulo habrá dos nociones de base que deben distinguirse: las bases algebraicas, válidas en cualquier espacio vectorial, y las bases hilbertianas, propias de los espacios de Hilbert. Coinciden en dimensión finita, pero no en infinita. Igualmente, debemos distinguir la dimensión algebraica de la hilbertiana. Conviene, por tanto, recordar algunos conceptos.

Esta definición equivale a la habitual: una familia $(e_i)_{i \in I}$ es base si y solo si es linealmente independiente y generadora de $E$. La noción de base permite hablar de dimensión.

Incluso en dimensión infinita, la definición de base algebraica exige que cada vector se descomponga en una suma finita de vectores de la base. No podemos permitir una descomposición en suma infinita, porque habría que saber si converge, lo que requiere una topología. Esto será posible en un espacio de Hilbert y justificará una noción adaptada de base hilbertiana, véase la Sección 2.3.

Una pregunta natural es cuántos espacios vectoriales diferentes existen y si pueden clasificarse. Algebraicamente, sí. Necesitamos una relación de equivalencia: el isomorfismo de espacios vectoriales, una correspondencia uno a uno entre $E$ y $F$ que respeta la estructura lineal:

Observación: la definición es puramente algebraica. Cuando $E$ y $F$ tienen una topología compatible con su estructura vectorial, distinguimos el isomorfismo topológico: exigimos además que $T$ y $T^{-1}$ sean continuas. Volveremos a ello en espacios normados y de Hilbert.

Tenemos entonces el importante teorema:

Así, sobre $\mathbb{K} = \R$ o $\C$ existe en la práctica un único modelo de espacio vectorial de dimensión finita $n$: respectivamente $\R^n$ o $\C^n$, el conjunto de $n$-vectores con componentes reales o complejas.

En dimensión infinita, el principio de clasificación es idéntico. Aceptando el axioma de elección se demuestra que todo espacio vectorial posee una base, llamada base de Hamel. El teorema se generaliza: dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $\mathbb{K}$ son isomorfos si y solo si sus bases tienen la misma cardinalidad.

La cardinalidad de una base infinita se expresa mediante cardinales transfinitos, que distinguen diferentes «tamaños» de infinito. El menor cardinal infinito se denota $\aleph_0$: es el cardinal de $\mathbb{N}$, pero también de $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$. Se define recursivamente la jerarquía $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$, donde cada $\aleph_{n+1}$ es el menor cardinal estrictamente mayor que $\aleph_n$, sin cardinales intermedios. En lógica matemática, la hipótesis del continuo supone que no existe una cardinalidad infinita intermedia entre las de $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$; en ese caso $\aleph_1$ corresponde al cardinal de $\mathbb{R}$.

Esta clasificación tiene poca utilidad práctica porque, en general, la base de Hamel no puede construirse explícitamente. La clasificación de espacios vectoriales sigue siendo esencialmente teórica. La situación cambia en espacios normados y de Hilbert, donde pueden explicitarse bases ortonormales, al menos en dimensión hilbertiana finita o infinita numerable, véase la Sección 3.

Antes de llegar a Hilbert debemos seguir la rama central del mapa y hablar de espacios métricos y normados.

1.2. Espacios métricos y espacios normados

En la rama central del mapa (1), primero hay que dotar al conjunto de puntos de una topología, que detallaremos en otro capítulo sobre topología de espacios normados y de Hilbert. Por ahora basta recordar que la topología proporciona una noción de localidad con la que definir convergencia, límite y continuidad. En particular, los espacios métricos son topológicos: conjuntos de puntos con una distancia, que permite definir la localidad.

Podemos ahora unir las ramas algebraica y topológica del mapa 1, considerando espacios métricos cuyo conjunto subyacente $X$ es vectorial, es decir, espacios vectoriales con una distancia. Llegamos así a una estructura fundamental en mecánica cuántica, de la que Hilbert es un caso particular: los espacios vectoriales normados, o EVN.

No queremos admitir cualquier distancia. Como el espacio es lineal, buscamos una distancia compatible con la estructura vectorial:

Estas condiciones expresan que la distancia respeta la geometría vectorial: debe ser invariante por traslaciones, reflejando la homogeneidad del espacio, y las homotecias deben preservar las razones de distancias^{2  3}. La siguiente proposición nos lleva a los espacios normados: si $d$ es una métrica compatible en $E$, la distancia al origen, es decir, al vector cero, $\norm{x} = d(x, 0_E)$, es una norma.

Un espacio vectorial con esa distancia es, por tanto, un espacio vectorial normado:

Todo espacio vectorial normado $(E, \|\cdot\|)$ determina canónicamente un espacio métrico $(E, d)$ mediante $d(x,y) = \|x-y\|$, compatible automáticamente con la estructura vectorial. Los espacios vectoriales normados corresponden, pues, biyectivamente a una subclase particular de los métricos. En ese sentido son un subconjunto suyo.

2. Los espacios de Hilbert

Hemos llegado a los espacios normados de la Fig. (1). Es habitual decir simplemente espacio normado por espacio vectorial normado, y utilizar la sigla EVN. Ahora definiremos los espacios prehilbertianos y después los hilbertianos, que constituyen el marco matemático de la mecánica cuántica.

Como esta se construye sobre los complejos, nos restringimos desde ahora a $\mathbb{K} = \C$. Hasta aquí usamos $E$ y $F$ para espacios vectoriales y normados. A partir de ahora emplearemos $\mathcal{H}$ y $\mathcal{G}$ para espacios prehilbertianos o hilbertianos. Los vectores seguirán denotándose $x, y, z$, etc.

2.1. Espacio prehilbertiano y producto escalar

Un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial normado cuya norma procede de un producto escalar. No siempre ocurre: algunas normas no provienen de ningún producto escalar, por ejemplo la norma supremo⁴. Los prehilbertianos forman, por tanto, un subconjunto estricto de los espacios vectoriales normados. Recordemos la definición de producto escalar hermítico sobre $\C$:

Las propiedades (1) y (2) implican la linealidad conjugada, o antilinealidad, en el primer argumento⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. Una aplicación lineal en un argumento y conjugado-lineal en el otro se llama sesquilineal⁶. En adelante diremos solo producto escalar; «hermítico» queda implícito.

Anticipemos una propiedad topológica importante: el producto escalar es continuo en ambas variables. Si $x_n \to x$ e $y_n \to y$ en norma, es decir, $\|x_n - x\| \to 0$ y $\|y_n - y\| \to 0$, entonces

En los postulados de la medida cuántica veremos que la probabilidad de observar una magnitud física asociada a un vector propio $\phi$, cuando el sistema está en $\psi$, es $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$, véase la sección 1.2 (Tema 3, Lección 1, no disponible en este idioma). La continuidad garantiza que una pequeña variación del estado $\psi$ produzca una pequeña variación de probabilidades, como era deseable.

El producto escalar cumple otra propiedad fundamental:

Esta desigualdad permite, en particular, demostrar que $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ es efectivamente una norma, como sugiere la notación.

Llegamos así a la definición:

En un espacio prehilbertiano complejo $\mathcal{H}$ tenemos las siguientes fórmulas útiles.

Las dos últimas fórmulas están ligadas a un teorema que relaciona producto escalar hermítico y norma. El teorema de Fréchet-von Neumann-Jordan afirma que una norma $\|\cdot\|$ en un espacio normado $E$ procede de un producto escalar si y solo si satisface la identidad del paralelogramo. Esta identidad es la prueba de existencia; cuando se cumple, la fórmula de polarización proporciona la receta para reconstruir el producto escalar a partir de la norma.

2.2. Completitud y espacio de Hilbert

Para pasar de prehilbertianos a hilbertianos necesitamos una noción topológica indispensable: la completitud.

Volveremos a estos aspectos topológicos en el capítulo correspondiente. Por ahora, señalemos que la completitud es esencial para la física cuántica. Intuitivamente, un espacio completo no tiene «agujeros»: no podemos tener una sucesión de elementos de $\mathcal{H}$ que converja a algo fuera de $\mathcal{H}$. Eso les falta, por ejemplo, a los racionales: una sucesión racional bien construida puede tender a un número no racional; de hecho, así se construyen los reales.

En mecánica cuántica, todo estado físico del sistema es un vector del espacio de Hilbert, y viceversa. Es el primer postulado. Por tanto, si el espacio de estados no fuese completo, una función de onda podría «salir del espacio» al evolucionar con la ecuación de Schrödinger y convertirse en un «estado no físico», lo que carecería de sentido.

La completitud interviene en otro postulado fundamental: los resultados de medidas cuánticas deben corresponder al espectro de los observables físicos, considerados como operadores lineales autoadjuntos. Un operador no siempre tiene adjunto en un espacio incompleto y, además, la completitud es necesaria para el teorema espectral, que estudia la estructura de los operadores autoadjuntos.

Por último, toda expresión cuántica con una suma infinita, como una serie de Fourier o una expansión en estados propios, requiere completitud para tener sentido. Escribir $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ en notación de Dirac, véase la sección 4 (Tema 2, Lección 2), presupone que la serie existe, algo garantizado únicamente por la completitud.

Hay, no obstante, una buena noticia: esta sutileza solo es necesaria en dimensión infinita. En dimensión finita, un teorema importante simplifica la cuestión:

Podemos pasar ahora a la descripción algebraica de los espacios de Hilbert.

2.3. Base algebraica y base de Hilbert

Recordamos antes la base algebraica de un espacio vectorial, véase la Definición 2, que permite descomponer vectores en una suma finita. La idea principal de introducir una topología inducida por la norma y un espacio completo es que ahora podemos hablar de convergencia de sucesiones. En particular, de sumas parciales $(x_n)$, donde $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ para ciertos vectores $x_k$. Si convergen obtenemos una serie, una suma infinita: $(x_n) \to x$ y $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. La completitud garantiza que ese límite pertenece al espacio.

Cuando la dimensión algebraica del espacio de Hilbert es infinita, podemos permitirnos descomponer vectores en una serie infinita. Esto da una nueva noción de base:

Para comprenderlo necesitamos la noción topológica de densidad:

Esto también se aplica a Hilbert, que es en particular normado. La totalidad significa, pues, que todo vector de $\H$ puede aproximarse tanto como se quiera mediante una combinación lineal finita de elementos de $\H$.

A diferencia de la base algebraica, no afirmamos que todo vector se descomponga en una combinación lineal finita, sino que puede aproximarse arbitrariamente mediante combinaciones de la base de Hilbert. Por completitud, esas aproximaciones convergen a x. Para cualquier cardinal de $I$ tenemos el siguiente teorema:

La relación entre la definición de base de Hilbert y el teorema de descomposición no es inmediata.

En dimensión infinita, el cardinal de una base algebraica es siempre estrictamente mayor que el de una base de Hilbert. La intuición es sencilla: las combinaciones finitas de la base algebraica deben alcanzar exactamente cada punto $x$, mientras que las de Hilbert solo deben aproximarlo. Esta última es «menos precisa» y necesita menos direcciones independientes.⁸. Las combinaciones finitas de una base de Hilbert forman solo una parte ínfima del espacio ($\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$). En general necesitamos series infinitas convergentes para representar vectores de $\mathcal{H}$.

Señalemos por último otra fórmula muy útil en las matemáticas de la física cuántica.

2.4. Dimensión hilbertiana y clasificación

Ya tenemos casi todos los elementos para completar la clasificación de los espacios de Hilbert. Falta un invariante fundamental: la dimensión hilbertiana.

Para clasificar estos espacios necesitamos una relación de equivalencia apropiada. Extendemos el isomorfismo vectorial de la Definición 4 primero al caso normado y después al hilbertiano, utilizando por ahora una noción intuitiva de continuidad:

Si $T$ preserva el producto escalar, $T$ preserva automáticamente la norma ($\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$). Por eso se habla de isometría lineal biyectiva. La piedra angular de la clasificación es el teorema:

La palabra dimensión se refiere ahora, naturalmente, a la hilbertiana. Todo espacio de Hilbert es isométricamente isomorfo a uno de estos modelos y la clasificación es completa. Los detallamos a continuación, dejando de lado la dimensión infinita no numerable, que retomaremos mucho después. Sirven de referencia para sistemas cuánticos con grados de libertad finitos, como el espín; infinitos numerables, como la mecánica cuántica de una partícula puntual; o no numerables, como la teoría cuántica de campos.

3. Espacios modelo

3.1. El espacio de Hilbert $\C^n$

Explícitamente, es el conjunto de las $n$-tuplas de números complejos:

provisto de:

• el producto escalar hermítico: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$, nótese el conjugado complejo;
• la norma euclídea asociada: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$.

Es un EVN de dimensión $n$, completo porque tiene dimensión finita sobre un cuerpo completo. Es, por tanto, un espacio de Hilbert. Su base canónica, en vectores columna, es:

Es una base hilbertiana de cardinal $n$ y también algebraica: todo vector $x \in \mathbb{C}^n$ se descompone exactamente en la suma finita

Este espacio de Hilbert se utiliza para cualquier sistema cuántico con un número finito de estados distinguibles entre sí, en particular los sistemas de dos niveles o cúbits.

3.2. El espacio de Hilbert $\ell^2(\mathbb{N})$

Se define como el conjunto de sucesiones de cuadrado sumable:

Puede demostrarse que es un espacio de Hilbert si se dota de:

• el producto escalar: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$, ahora con suma infinita;
• la norma asociada: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$, con la misma observación.

Mostramos su carácter numerable construyendo explícitamente la base canónica, semejante a la de $\C^n$. Para todo $i \in \mathbb{N}$ definimos, también como vector columna:

el vector cuya coordenada $i$-ésima vale $1$ y las restantes $0$. La única diferencia con el caso finito es que tiene infinitas componentes.

Este espacio de Hilbert describe, por ejemplo, el oscilador armónico cuántico: veremos que los estados propios de energía se indexan por un entero $n$ no acotado, de modo que cualquier estado se expresa como una serie de este tipo.

3.3. El espacio de Hilbert $L^2(\R)$

En mecánica cuántica unidimensional de una partícula puntual, la función de onda $\psi(x)$ es una función compleja de una variable real. La interpretación probabilística exige:

Esto conduce a definir el espacio asociado como el conjunto de funciones de cuadrado integrable:

La condición «$< \infty$» indica que siempre podemos normalizar un estado. Lo dotamos del producto escalar:

que induce la norma:

Puede demostrarse que esto lo convierte en Hilbert, aunque no es completamente trivial. Podemos dar una base hilbertiana explícita; se conocen varias, de Hermite, ondículas, Laguerre, Walsh .... Por ejemplo, primero definimos los polinomios de Hermite mediante la recurrencia:

y después las funciones de Hermite:

Admitiremos aquí que forman una familia ortonormal:

y total; por tanto es una base hilbertiana. También resulta ser la base propia del hamiltoniano del oscilador armónico 1D. Para más detalles, véase Wikipedia ^[7]. En la práctica se usa poco porque sus expresiones explícitas son verdaderamente horribles. Se inventó «otra base», que no lo es realmente, sino una base generalizada continua: los conocidos kets $\ket{x}$ que retomaremos.

3.4. Los espacios de Hilbert $L^2(\mathbb{R}^3)$ y $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

En tres dimensiones consideramos análogamente $L^2(\R^3)$ con producto escalar

Para un sistema de $n$ partículas en tres dimensiones, el espacio de estados es

El producto escalar viene dado por

y la norma asociada es

Todos son espacios de Hilbert; lo admitimos sin demostración.

4. Comentario final

Puede sorprender que $L^2(\R)$, usado para la mecánica cuántica puntual 1D, sea isomorfo a $L^2(\R^3)$, que modeliza física tridimensional. En otra lección veremos por qué no es paradójico. La idea central es que la física no viene dada solo por Hilbert, sino también por un conjunto de observables. Ningún isomorfismo de $L^2(\R)$ a $L^2(\R^3)$ transporta simultáneamente toda el álgebra de observables 1D a la de 3D, es decir, un único par $[\hat{X}, \hat{P}]$ a tres pares independientes $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$.

Ese isomorfismo tampoco expresa igualdad matemática: ambos Hilbert son distintos como espacios de funciones, pero isomorfos en su estructura hilbertiana. Solo afirma su semejanza estructural: tienen el mismo tamaño, medido por el cardinal de sus bases hilbertianas, y las mismas propiedades de estructura. El isomorfismo preserva normas, distancias, ortogonalidad y propiedades topológicas de convergencia, continuidad, etc.

Aunque para cada cardinal solo exista un espacio de Hilbert abstracto salvo isometría, hay infinitas realizaciones concretas.

No ha sido inútil dedicar tanto tiempo a la clasificación: corresponde en física a situaciones diferentes según la «dimensionalidad» del sistema cuántico. En particular, conlleva reglas de cálculo distintas: sumas finitas, series infinitas o integrales continuas según la naturaleza de la base. También lleva asociada una teoría de operadores lineales que cambia radicalmente entre dimensión finita e infinita.

5. Referencias