Espacios de Hilbert y notación de Dirac

1. Base continua generalizada de $L^2(\mathbb{R})$

Ya describimos el espacio modelo $L^2(\R)$ en la Sección 3.3 (Tema 2, Lección 1), mostrando en particular una base hilbertiana numerable. Todo estado físico se descompone como una serie en la base de funciones de Hermite. Por desgracia, sus expresiones explícitas son bastante engorrosas.

Se inventó por ello otra «base», que no es realmente una base hilbertiana, sino una base continua generalizada. El paso a dimensión infinita es delicado; su construcción rigurosa requiere las herramientas del próximo tema sobre teoría de operadores lineales. Admitimos provisionalmente el formulario siguiente como instrucciones para usar Dirac en esta «base», no como una construcción matemática ya establecida.

1.1. Base generalizada en representación de posición

Intentemos, aun así, dar algunas ideas. Introducimos primero un operador autoadjunto llamado «de posición», denotado $\hat{X}$, que actúa sobre las funciones del espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R})$ por multiplicación:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

Atención al dominio de definición. La expresión solo tiene sentido si la función $x\,\psi(x)$ permanece en $L^2(\R)$. No siempre sucede: ciertas funciones de cuadrado integrable se vuelven divergentes al multiplicarlas por $x$.¹ Así, $\hat{X}$ no puede definirse sobre todo $L^2(\R)$, sino solo sobre un subespacio de funciones cuya imagen permanece en $L^2$.

Para disponer de un dominio bien definido, denso en $L^2$ y estable bajo las operaciones habituales (derivación, multiplicación por $x$, transformada de Fourier), introducimos el espacio de funciones de Schwartz, denotado $\mathcal{S}(\R)$:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

Son, por tanto, funciones suaves de decrecimiento rápido, tales que $f$ y todas sus derivadas tienden a cero más deprisa que cualquier potencia inversa de $x$.

El espacio $\mathcal{S}(\R)$ es:

• denso en $L^2(\R)$: toda función de $L^2$ puede aproximarse arbitrariamente bien mediante funciones de $\mathcal{S}$,
• estable bajo derivación, multiplicación por $x$ y transformada de Fourier.

Es, pues, el dominio natural para definir correctamente los operadores de posición $\hat{X}$ y momento $\hat{P}$, y fundamenta las construcciones rigurosas del formalismo de Dirac y de la terna de Gelfand.

Con estas precauciones podemos escribir, por ahora de forma puramente formal², los estados propios de $\hat{X}$:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

Estos kets $\ket{x}$ constituyen una base continua generalizada, pues representan los elementos de $L^2(\R)$ como superposiciones continuas, aunque los propios $\ket{x}$ no son vectores del Hilbert.

En realidad no son kets en sentido estricto, pues no son normalizables. Veamos por qué. La familia es no numerable, así que su ortonormalidad no se expresa con el símbolo discreto de Kronecker $\delta_{ij}$, sino con su «versión continua»:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

En particular:

Aquí introdujimos la delta de Dirac $\delta(x)$, que no es una función ordinaria, sino una distribución de la teoría de distribuciones matemática. Se define por su acción bajo la integral:

para toda función de prueba $f$ del espacio de Schwartz. Debe comprenderse que $\delta(x)$ por sí sola carece de sentido; ni siquiera es un número. En realidad, $\delta$ es una forma lineal $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ sobre funciones de prueba³. Está definida solo por su acción bajo la integral (2), no por sus valores $\delta(x)$.

Si insistimos en verla como función, podemos considerarla como el límite de una sucesión de funciones cada vez más concentradas alrededor de cero, por ejemplo gaussianas cada vez más estrechas:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

O como rectángulos centrados en cero cuya anchura tiende a cero y altura a infinito. En esta imagen, delta aparece en el límite como una «función» nula salvo en $x = 0$, donde diverge, manteniendo un área total bajo la curva igual a 1.

Por eso en física se escribe aun así $\delta(0) = \infty$, pero hay que entender el abuso de notación y significado. En todo caso, por la ec. (1) esto muestra que el ket $\ket{x}$ no está normalizado. La delta de Dirac también posee una representación integral extremadamente útil, probablemente la fórmula más importante de esta sección:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

También aquí la igualdad se entiende en sentido de distribuciones, pues la integral claramente no converge y carecería de sentido en otro caso.

Los «elementos de matriz» del operador posición $\hat{X}$ son $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$. Seguimos llamándolos así, por comparación con la sección anterior en dimensión finita, aunque $\hat{X}$ no admite una matriz ordinaria. Podríamos imaginar una «matriz de índices continuos», diagonal en sentido distribucional, pero sin valor propiamente definido en la diagonal $x = x'$, pues $x\,\delta(0)$ no es un número real. Aquí se ve probablemente la diferencia fundamental entre operadores lineales en dimensión finita, es decir, matrices, y en dimensión infinita.

En la base generalizada, la resolución de la identidad es:

Permite expresar la descomposición de cualquier ket $\kpsi$ del Hilbert en esta base continua como una integral:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

Hemos definido la función de onda:

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

Análogamente, el bra conjugado de $\kpsi$ se desarrolla como:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

Usamos la simetría hermítica del producto escalar: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

La componente en $x$ del vector $\hat{X} \psi$, que por definición vale $\braket{x}{X\psi}$, suele escribirse, también por razones estéticas y comparando con la ec. (4 (Tema 2, Lección 2)), como:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. En representación de momento

En la mecánica cuántica de una partícula puntual se introduce análogamente el operador de momento, o cantidad de movimiento, por su acción sobre funciones de onda $\psi(x)$ de $L^2(\mathbb{R})$:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

También debemos restringirnos al dominio de Schwartz para que la función de onda sea derivable y su derivada siga siendo de cuadrado integrable.

Un excelente ejercicio de aplicación de este capítulo es comprobar que $\hat{P}$ es realmente autoadjunto. Para ello estudiamos primero el operador de derivación, denotado:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

Es lineal, pues la derivación es lineal: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$. Claramente no puede representarse por una matriz como en dimensión finita: actúa diferencialmente sobre un espacio de funciones de dimensión infinita. No podemos calcular su adjunto por transposición conjugada, pero sí mediante su definición. Para dos funciones de prueba de $\mathcal{S}(\R)$, $\phi$ y $\psi$, satisface:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

véase la definición 2 (Tema 2, Lección 2). Insertando la resolución de la identidad, el miembro izquierdo da:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

Así, el adjunto de $\hat{D} = d/dx$ es $-\hat{D} = -d/dx$. En la primera línea insertamos la resolución de la identidad entre bra y ket; en la segunda distribuimos y en la tercera usamos simetría hermítica. En la cuarta usamos la definición de $\hat{D}$ y de las funciones de onda; en la quinta integramos por partes sobre $\R$. Los términos de contorno en infinito se anulan porque las funciones de Schwartz decrecen más deprisa que cualquier monomio. Finalmente regresamos de funciones de onda a productos escalares, factorizamos y eliminamos la resolución de la identidad. Por tanto, el operador momento es autoadjunto, pues

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

La autoadjunción de $\hat{P}$ garantiza que sus valores propios, los momentos posibles, sean reales y que sus funciones propias formen una base completa del espacio de estados en sentido generalizado, mediante distribuciones de Dirac.

Estados propios del momento. De manera totalmente análoga definimos los «kets» generalizados $\ket{p}$ como estados propios de $\hat{P}$:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

En representación de posición obtenemos la función de onda asociada proyectando sobre $\bra{x}$:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

Es una ecuación diferencial sencilla cuya solución es:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

Esto muestra que la transformación entre las representaciones de posición y momento es precisamente la transformada de Fourier.

Ortogonalidad y completitud. Los kets $\ket{p}$ satisfacen relaciones análogas a las de $\ket{x}$:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

La función de onda en representación de momento se define por:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

La transformación $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ es, por tanto, Fourier; la transformación inversa es:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

Conmutación fundamental. Finalmente, los operadores $\hat{X}$ y $\hat{P}$ satisfacen la relación de conmutación canónica:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

Esta relación fundamenta toda la mecánica cuántica de una partícula puntual. Todas las fórmulas de esta sección se deducen únicamente de ella: se demuestra que la única representación hilbertiana posible de esta álgebra entre X y P es la descrita. En particular, $X$ actúa por multiplicación sobre funciones de onda en x y P por derivación, y viceversa. Este gran resultado, el teorema de Stone–von Neumann, se detallará después.

1.3. Propiedades de la delta de Dirac

Terminamos la sección y el capítulo con algunas fórmulas útiles de la delta de Dirac, siempre en sentido de distribuciones, es decir, bajo un signo integral:

Simetría:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

Homogeneidad:

Para todo real $a \neq 0$:

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

Cambio de variable:

Si $f$ es regular y tiene raíces simples $\{x_i\}$ tales que $f(x_i) = 0$, entonces:

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Derivada de la delta:

La derivada distribucional se define por

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. Referencias