فضاهای هیلبرت و نمادگذاری دیراک

در این درس فضای هیلبرت را دقیق تعریف می‌کنیم و ابتدا نشان می‌دهیم چگونه و در کجای شاخه‌های بزرگ ریاضیات، یعنی جبر و توپولوژی، قرار می‌گیرد. به قضیهٔ رده‌بندی فضاهای هیلبرت می‌رسیم: دو فضای هیلبرت اگر بُعد هیلبرتی یکسان داشته باشند، به‌طور ایزومتریک یکریخت‌اند. این مفهوم را نباید با بُعد جبری فضای برداری اشتباه گرفت، زیرا این دو فقط در بُعد متناهی یکی‌اند. برای هر حالت، یعنی بُعد متناهی، نامتناهی شمارا و نامتناهی ناشمارا، فضای مدل مرجع را همراه با نگاهی به کاربردش در مکانیک کوانتومی مقدماتی ارائه می‌کنیم. در پایان به این پرسش می‌پردازیم که فیزیک تعریف‌شده با فضاهای هیلبرت مرتبط به‌وسیلهٔ یکریختی، ناوردا می‌ماند یا نه.

1. ساختارهای ریاضی در فیزیک

برای رسیدن به فضای هیلبرت، یادآوری کوتاهی از « نقشهٔ ریاضیات »   پرکاربرد در فیزیک نظری می‌آوریم. صفحهٔ بعد نسخه‌ای بسیار ساده‌شده و تا حد زیادی ناقص از چنین نقشه‌ای را نشان می‌دهد که برای این درس کافی است؛ نگاه کنید به شکل (1).

اگر از مفهوم شهودی مجموعه‌ای از نقاط آغاز کنیم¹، گام‌به‌گام به این مجموعه ساختار می‌افزاییم. در ادامه این نمودار را به‌تدریج توضیح خواهیم داد.

1.1. ساختارهای جبری و فضاهای برداری

از مجموعه‌های نقاط می‌توان مستقیم به شاخهٔ چپ نقشه (1)، یعنی ساختارهای جبری، رفت؛ این ساختارها معمولاً برای توصیف مجموعه‌های اعداد به کار می‌روند، اما نه فقط آن‌ها.

برای این کار یک یا چند عمل ترکیب داخلی به مجموعهٔ نقاط می‌افزاییم؛ با برقرارشدن قواعدی مانند شرکت‌پذیری، جابه‌جایی، وجود عنصر همانی و غیره، ساختارهای مشخصی حاصل می‌شوند.

در شکل چند ساختار بنیادی را نشان می‌دهیم: ماگما (مجموعه‌ای با عمل ترکیب داخلی بدون خاصیت ویژه)، گروه، حلقه و میدان. ساختارهای بسیار دیگری مانند نیم‌گروه، مونوئید و حلقهٔ ناجابه‌جایی نیز وجود دارند که برای خوانایی رسم نشده‌اند. هر ساختار حالت خاص قبلی است: هر میدان حلقه است، هر حلقه نسبت به جمع گروه است و غیره. ساختار میدان مهم‌ترین است، زیرا به‌ویژه ساختار اعداد حقیقی یا مختلط با چهار عمل معمول حساب است. همچنین می‌توان روی آن فضای برداری ساخت.

اکنون می‌توان ترکیب خطی ساخت و از خانواده‌های مستقل خطی، مولد، پایه و بُعد فضای برداری سخن گفت. دقت کنید در این فصل دو مفهوم پایه داریم که باید متمایز شوند: پایه‌های جبری که برای همهٔ فضاهای برداری‌اند، و پایه‌های هیلبرتی که فقط برای فضای هیلبرت‌اند. در بُعد متناهی یکی‌اند، اما در بُعد نامتناهی نه. به همین ترتیب باید بُعد جبری را از بُعد هیلبرتی جدا کرد. بنابراین چند یادآوری برای ادامه لازم است.

این تعریف با تعریف معمول دیگر هم‌ارز است: خانوادهٔ $(e_i)_{i \in I}$ پایه است اگر و تنها اگر هم مستقل خطی باشد و هم $E$ را تولید کند. مفهوم پایه اجازه می‌دهد از بُعد فضای برداری سخن بگوییم.

توجه کنید حتی در بُعد نامتناهی، تعریف پایهٔ جبری می‌خواهد هر بردار به مجموع متناهی بردارهای پایه تجزیه شود. واقعیت این است که نمی‌توان آزادانه تجزیه به مجموع نامتناهی را پذیرفت، زیرا باید دانست مجموع همگراست یا نه، و این به توپولوژی نیاز دارد. این کار در فضای هیلبرت ممکن می‌شود و مفهوم سازگار پایهٔ هیلبرتی را توجیه می‌کند؛ نگاه کنید به بخش 2.3.

پرسش طبیعی این است: چند فضای برداری متفاوت وجود دارد؟ آیا می‌توان رده‌بندی‌شان کرد؟ از دید جبری پاسخ مثبت است. برای این کار رابطهٔ هم‌ارزی لازم است: یکریختی فضای برداری، رابطه‌ای یک‌به‌یک میان دو فضای برداری $E$ و $F$ که ساختار خطی را حفظ می‌کند:

نکته: این تعریف کاملاً جبری است. وقتی $E$ و $F$ توپولوژی سازگار با ساختار برداری داشته باشند، یکریختی توپولوژیک را جدا می‌کنیم: علاوه بر این، هر دو نگاشت $T$ و $T^{-1}$ باید پیوسته باشند. در فضاهای برداری نرم‌دار و هیلبرت به آن بازمی‌گردیم.

آنگاه قضیهٔ مهم زیر را داریم:

پس روی $\mathbb{K} = \R$ یا $\C$، عملاً فقط یک مدل فضای برداری متناهی‌بُعد $n$ وجود دارد: به‌ترتیب $\R^n$ یا $\C^n$، مجموعهٔ بردارهای $n$مؤلفه‌ای با مؤلفه‌های حقیقی یا مختلط.

در بُعد نامتناهی اصل رده‌بندی همان است: اگر اصل انتخاب را بپذیریم، ثابت می‌شود هر فضای برداری پایه‌ای دارد (پایهٔ هامل) و قضیه چنین تعمیم می‌یابد: دو فضای برداری روی میدان یکسان $\mathbb{K}$ اگر و تنها اگر اندازهٔ پایه‌هایشان یکسان باشد یکریخت‌اند.

اندازهٔ پایهٔ نامتناهی با اعداد اصلی ترامتناهی بیان می‌شود. این اعداد «اندازه‌های» متفاوت بی‌نهایت را متمایز می‌کنند. کوچک‌ترین عدد اصلی نامتناهی $\aleph_0$ است: اندازهٔ $\mathbb{N}$، و نیز $\mathbb{Z}$ و $\mathbb{Q}$. سپس سلسلهٔ $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$ را بازگشتی تعریف می‌کنیم؛ هر $\aleph_{n+1}$ کوچک‌ترین عدد اصلی اکیداً بزرگ‌تر از $\aleph_n$ است (هیچ عدد اصلی میانشان نیست). در منطق ریاضی، فرضیهٔ پیوستار می‌گوید بی‌نهایتی با اندازهٔ میان $\mathbb{N}$ و $\mathbb{R}$ وجود ندارد؛ در آن صورت $\aleph_1$ اندازهٔ $\mathbb{R}$ است.

با این حال این رده‌بندی چندان کاربردی نیست، زیرا پایهٔ هامل عموماً به‌صراحت ساختنی نیست. پس رده‌بندی فضاهای برداری عمدتاً نظری می‌ماند. در فضاهای نرم‌دار و هیلبرت وضعیت تغییر می‌کند: دست‌کم در بُعد هیلبرتی متناهی یا نامتناهی شمارا، پایه‌های متعامد یکه را می‌توان صریح نوشت؛ نگاه کنید به بخش 3.

اما پیش از رسیدن به فضای هیلبرت، باید شاخهٔ میانی نقشهٔ ریاضی را دنبال کنیم و از فضاهای متریک و نرم‌دار بگوییم.

1.2. فضاهای متریک و نرم‌دار

اگر شاخهٔ میانی نقشه (1) را دنبال کنیم، نخست باید مجموعهٔ نقاط را به توپولوژی مجهز کنیم؛ جزئیات را در فصل دیگری (توپولوژی فضاهای نرم‌دار و هیلبرت) خواهیم گفت. اینجا کافی است بدانیم توپولوژی مفهوم محلی‌بودن می‌دهد که با آن همگرایی، حد و پیوستگی تعریف می‌شوند. به‌ویژه فضاهای متریک فضای توپولوژیک‌اند: فضاهای نقاط با فاصله، و فاصله برای تعریف محلی‌بودن به کار می‌رود.

اکنون می‌توان شاخه‌های جبری و توپولوژیک نقشه 1 را با بررسی فضاهای متریکی ادغام کرد که مجموعهٔ زیرینشان $X$ فضای برداری است؛ یا به بیان دیگر، فضاهای برداری مجهز به فاصله. این ما را به ساختاری بنیادی در مکانیک کوانتومی می‌رساند که هیلبرت حالت خاص آن است: فضاهای برداری نرم‌دار، یا EVN.

توجه کنید نمی‌خواهیم هر فاصله‌ای را مجاز بدانیم. چون فضا خطی است، فاصله‌ای سازگار با ساختار برداری می‌خواهیم:

این شروط بیان می‌کنند فاصله به هندسهٔ فضای برداری احترام می‌گذارد: باید نسبت به انتقال ناوردا باشد (همگنی فضا)، و تجانس‌ها نسبت فاصله‌ها را حفظ کنند^{2  3}. اکنون گزارهٔ بعدی ما را به فضاهای نرم‌دار می‌رساند: اگر $d$ متریک سازگار روی فضای برداری $E$ باشد، نگاشت فاصله از مبدأ، یعنی از بردار صفر، $\norm{x} = d(x, 0_E)$، یک نرم است.

فضای برداری با چنین فاصله‌ای فضای برداری نرم‌دار است:

هر فضای برداری نرم‌دار $(E, \|\cdot\|)$ به‌طور کانونی فضای متریک $(E, d)$ را با $d(x,y) = \|x-y\|$ تعیین می‌کند که خودبه‌خود با ساختار برداری سازگار است. پس فضاهای برداری نرم‌دار با زیرردهٔ خاصی از فضاهای متریک تناظر دوسویی دارند. به این معنا زیرمجموعهٔ آن‌ها هستند.

2. فضاهای هیلبرت

به این ترتیب به فضاهای نرم‌دار شکل (1) رسیدیم. معمول است به جای فضای برداری نرم‌دار، فقط فضای نرم‌دار گفته شود یا حتی اختصار EVN به کار رود. ادامه، تعریف فضاهای پیش‌هیلبرت و سپس فضاهای هیلبرت است که چارچوب ریاضی مکانیک کوانتومی را می‌سازند.

چون مکانیک کوانتومی روی اعداد مختلط بنا شده، از این پس به حالت $\mathbb{K} = \C$ محدود می‌شویم. تا اینجا حروف $E$ و $F$ را برای فضاهای برداری و نرم‌دار به کار بردیم. از حالا حروف $\mathcal{H}$ و $\mathcal{G}$ برای فضاهای هیلبرت و پیش‌هیلبرت‌اند. بردارها همچنان $x, y, z$ و مانند آن نوشته می‌شوند.

2.1. فضای پیش‌هیلبرت و ضرب داخلی

فضای پیش‌هیلبرت فضای برداری نرم‌داری است که نرمش از ضرب داخلی حاصل می‌شود. همیشه چنین نیست: بعضی نرم‌ها از ضرب داخلی به دست نمی‌آیند، مانند نرم سوپریمم⁴. پس فضاهای پیش‌هیلبرت زیرمجموعهٔ سرهٔ فضاهای برداری نرم‌دارند. تعریف ضرب داخلی هرمیتی روی $\C$ را یادآوری می‌کنیم:

ترکیب ویژگی‌های (1) و (2)، مزدوج‌خطی‌بودن (یا پادخطی‌بودن) در آرگومان نخست را نتیجه می‌دهد⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. نگاشتی که در یک آرگومان خطی و در دیگری مزدوج‌خطی است نیمه‌دوخطی نام دارد⁶. در ادامه فقط ضرب داخلی می‌گوییم و واژهٔ هرمیتی ضمنی است.

پیش از خواص توپولوژیک، نتیجهٔ مهمی را یادآوری کنیم: ضرب داخلی در هر دو متغیر پیوسته است، یعنی اگر $x_n \to x$ و $y_n \to y$ در معنای نرم باشند (یعنی $\|x_n - x\| \to 0$ و $\|y_n - y\| \to 0$)، آنگاه

در اصول اندازه‌گیری کوانتومی خواهیم دید احتمال مشاهدهٔ کمیت فیزیکی مرتبط با بردار ویژهٔ $\phi$ وقتی دستگاه در حالت $\psi$ است، $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$ است (نگاه کنید به بخش 1.2 (موضوع 3, درس 1, به این زبان در دسترس نیست)). پس پیوستگی ضرب داخلی تضمین می‌کند تغییر کوچک حالت $\psi$ به تغییر کوچک احتمال‌ها بینجامد، که مطلوب است.

ضرب داخلی خاصیت بنیادی دیگری دارد:

این نابرابری به‌ویژه ثابت می‌کند نگاشت $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ واقعاً نرم است، چنان‌که نمادگذاری القا می‌کند.

پس به تعریف زیر می‌رسیم:

در فضای پیش‌هیلبرت مختلط $\mathcal{H}$، فرمول‌های مفید زیر را داریم.

دو فرمول آخر به قضیه‌ای مهم دربارهٔ رابطهٔ ضرب داخلی هرمیتی و نرم پیوند دارند. قضیهٔ فرشه-فون نویمان-جردن می‌گوید نرم $\|\cdot\|$ روی فضای نرم‌دار $E$ اگر و تنها اگر اتحاد متوازی‌الأضلاع را برآورده کند، از ضرب داخلی می‌آید. این اتحاد آزمون است: وجود ضرب داخلی را بررسی می‌کند؛ اگر وجود داشته باشد، فرمول قطبش دستور بازسازی ضرب داخلی از نرم است.

2.2. کامل‌بودن و فضای هیلبرت

برای گذر از پیش‌هیلبرت به هیلبرت، مفهومی توپولوژیک ضروری است: کامل‌بودن.

باز هم در فصل ویژه به جنبه‌های توپولوژیک برمی‌گردیم. فعلاً کافی است بگوییم کامل‌بودن برای فیزیک کوانتومی ضروری است. شهودی، فضای کامل « حفره » ندارد. یعنی نمی‌توان دنباله‌ای از عناصر $\mathcal{H}$ داشت که به چیزی بیرون $\mathcal{H}$ همگرا شود. مثلاً اعداد گویا همین را کم دارند: دنبالهٔ مناسبی از گویاها می‌تواند به عددی ناگویا میل کند؛ در واقع مجموعهٔ حقیقی‌ها را همین‌طور می‌سازیم.

در مکانیک کوانتومی هر حالت فیزیکی دستگاه برداری از هیلبرت است و برعکس. این اصل اول مکانیک کوانتومی است. بنابراین اگر فضای حالت کامل نبود، تحول تابع موج می‌توانست مثلاً زیر اثر معادلهٔ شرودینگر « از فضا خارج شود » و به « حالت غیرفیزیکی » تبدیل شود، که بی‌معناست.

کامل‌بودن در اصل بنیادی دیگری هم نقش دارد: نتایج اندازه‌گیری‌های کوانتومی باید متناظر با طیف مشاهده‌پذیرهای فیزیکی باشند که عملگرهای خطی خودالحاق‌اند. اما در فضای ناکامل، عملگر همیشه الحاق ندارد؛ همچنین کامل‌بودن برای قضیهٔ طیفی ضروری است که ساختار عملگرهای خودالحاق را بررسی می‌کند.

سرانجام هر عبارت کوانتومی شامل مجموع نامتناهی (مانند بسط سری فوریه، تجزیه روی پایهٔ حالت‌های ویژه و غیره) برای معنا داشتن به کامل‌بودن نیاز دارد. مثلاً نوشتن $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ در نمادگذاری دیراک (نگاه کنید به بخش 4 (موضوع 2, درس 2)) وجود سری را فرض می‌کند که فقط با کامل‌بودن تضمین می‌شود.

اما خبر خوبی هست: این ظرافت کامل‌بودن تنها در بُعد نامتناهی لازم است. در بُعد متناهی قضیه‌ای مهم مسئله را ساده می‌کند:

اکنون می‌توان به توصیف جبری فضاهای هیلبرت پرداخت.

2.3. پایهٔ جبری و پایهٔ هیلبرت

تعریف پایهٔ جبری فضای برداری را پیش‌تر یادآوری کردیم، نگاه کنید به تعریف 2. دیدیم تجزیهٔ بردار به مجموع متناهی را ممکن می‌کند. ایدهٔ اصلی پشت توپولوژی القاشده از نرم و فضای کامل این است: اکنون می‌توان از همگرایی دنباله‌ها سخن گفت. به‌ویژه همگرایی مجموع‌های جزئی $(x_n)$ که $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ برای بردارهای معین $x_k$ است. اگر این مجموع همگرا باشد، سری، یعنی مجموع نامتناهی، داریم: $(x_n) \to x$ و $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. در فضای کامل تضمین می‌شود حد در فضا باشد.

به بیان دیگر، وقتی بُعد جبری هیلبرت نامتناهی است، اکنون می‌توان بردارها را به سری نامتناهی تجزیه کرد. این مفهوم تازه‌ای از پایه می‌دهد:

برای فهم تعریف، به مفهوم توپولوژیک چگالی نیاز داریم:

این برای فضای هیلبرت، که به‌ویژه نرم‌دار است، نیز صدق می‌کند. پس تام‌بودن یعنی هر بردار $\H$ را می‌توان به هر اندازهٔ دلخواه با ترکیب خطی متناهی عناصر $\H$ تقریب زد.

برخلاف پایهٔ جبری، نمی‌گوییم هر بردار ترکیب خطی متناهی عناصر است، بلکه با ترکیب خطی پایهٔ هیلبرت به هر دقت دلخواه تقریب‌پذیر است. با کامل‌بودن، تقریب‌ها واقعاً به x همگرا می‌شوند. برای هر اندازهٔ $I$ قضیهٔ زیر را داریم:

پیوند تعریف پایهٔ هیلبرت و قضیهٔ تجزیه فوری نیست.

در بُعد نامتناهی، اندازهٔ پایهٔ جبری همیشه اکیداً بزرگ‌تر از اندازهٔ پایهٔ هیلبرت است. شهود ساده است: ترکیب‌های خطی متناهی پایهٔ جبری باید به هر نقطهٔ $x$ برسند، اما برای پایهٔ هیلبرت فقط نزدیک‌شدن کافی است. پس دومی « کم‌دقت‌تر » است و جهت‌های مستقل کمتری لازم دارد.⁸. یعنی ترکیب‌های خطی متناهی پایهٔ هیلبرت تنها بخش بسیار کوچکی از فضا را می‌سازند ($\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$). بنابراین عموماً برای نمایش بردارهای $\mathcal{H}$ به سری‌های نامتناهی همگرا نیاز داریم.

سرانجام فرمول بسیار مفید دیگری در ریاضیات فیزیک کوانتومی را یادآوری کنیم.

2.4. بُعد هیلبرتی و رده‌بندی

تقریباً همهٔ عناصر لازم برای کامل‌کردن رده‌بندی فضاهای هیلبرت را داریم. ناوردای بنیادی بُعد هیلبرتی باقی مانده است:

برای رده‌بندی فضاهای هیلبرت، سرانجام رابطهٔ هم‌ارزی مناسبی میان آن‌ها لازم است. مفهوم یکریختی فضاهای برداری تعریف 4 را ابتدا به فضای نرم‌دار و سپس هیلبرت گسترش می‌دهیم، و فعلاً به مفهوم شهودی پیوستگی اکتفا می‌کنیم:

توجه کنید اگر $T$ ضرب داخلی را حفظ کند، $T$ خودبه‌خود نرم را حفظ می‌کند ($\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$). از این رو از ایزومتری خطی دوسویی سخن می‌گوییم. سنگ‌بنای رده‌بندی قضیهٔ زیر است:

اکنون بدیهی است واژهٔ بُعد به بُعد هیلبرتی اشاره دارد. هر فضای هیلبرت با یکی از این فضاهای مدل به‌طور ایزومتریک یکریخت است و رده‌بندی کامل است. در بخش بعد جزئیات را می‌آوریم و بُعد نامتناهی ناشمارا را برای خیلی بعد می‌گذاریم. این‌ها فضاهای مرجع دستگاه‌های کوانتومی با درجات آزادی متناهی (مثلاً اسپین)، نامتناهی شمارا (مثلاً مکانیک کوانتومی ذرهٔ نقطه‌ای)، یا ناشمارا (مثلاً نظریهٔ میدان کوانتومی) هستند.

3. فضاهای مدل

3.1. هیلبرت $\C^n$

به‌صراحت، مجموعهٔ $n$تایی‌های اعداد مختلط است:

مجهز به:

• ضرب داخلی هرمیتی: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$ (به مزدوج مختلط دقت کنید)
• نرم اقلیدسی متناظر: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$

فضای برداری نرم‌دار بُعد $n$ است که کامل‌بودنش به دلیل بُعد متناهی روی میدان کامل تضمین می‌شود. پس هیلبرت است. پایهٔ کانونی آن به شکل بردار ستونی:

این پایهٔ هیلبرتی با اندازهٔ $n$ و همچنین پایهٔ جبری است؛ یعنی هر بردار $x \in \mathbb{C}^n$ دقیقاً به مجموع متناهی زیر تجزیه می‌شود:

این فضای هیلبرت برای هر دستگاه کوانتومی با تعداد متناهی حالت‌های تمایزپذیر، به‌ویژه دستگاه‌های دوترازی یا کیوبیت‌ها، به کار می‌رود.

3.2. هیلبرت $\ell^2(\mathbb{N})$

با مجموعهٔ دنباله‌های مربع‌جمع‌پذیر تعریف می‌شود:

می‌توان ثابت کرد هیلبرت است اگر مجهز شود به:

• ضرب داخلی: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$ (این بار به مجموع نامتناهی دقت کنید)،
• نرم متناظر: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$ (همان نکته)

اینجا شمارابودن را با ساختن صریح پایهٔ کانونی نشان می‌دهیم. این شبیه پایهٔ $\C^n$ است. برای هر $i \in \mathbb{N}$ تعریف می‌کنیم، باز به شکل بردار ستونی:

یعنی برداری که مختصهٔ $i$ام آن $1$ و بقیه $0$ است. تنها تفاوت با بُعد متناهی این است که بی‌نهایت مؤلفه دارد.

این فضای هیلبرت مثلاً برای توصیف نوسانگر هماهنگ در مکانیک کوانتومی به کار می‌رود؛ زیرا خواهیم دید حالت‌های ویژهٔ انرژی با عدد صحیح نامحدود $n$ شماره‌گذاری می‌شوند، پس هر حالت نوسانگر هماهنگ به چنین سری‌ای نوشته می‌شود.

3.3. هیلبرت $L^2(\R)$

در مکانیک کوانتومی ذرهٔ نقطه‌ای یک‌بُعدی، تابع موج $\psi(x)$ تابع مختلط‌مقدار یک متغیر حقیقی است. تعبیر احتمالاتی می‌خواهد:

پس طبیعی است فضای مرتبط را مجموعهٔ توابع مربع‌انتگرال‌پذیر تعریف کنیم:

«$< \infty$» نشان می‌دهد همیشه می‌توان حالت را بهنجار کرد. آن را به ضرب داخلی زیر مجهز می‌کنیم:

که نرم زیر را القا می‌کند:

می‌توان نشان داد این آن را فضای هیلبرت می‌کند، اما کاملاً بدیهی نیست. پایهٔ هیلبرتی صریح می‌توان داد. چند پایه شناخته شده‌اند: هرمیت، موجک‌ها، لاگر، والش .... مثلاً ابتدا چندجمله‌ای‌های هرمیت را با رابطهٔ بازگشتی تعریف می‌کنیم:

سپس توابع هرمیت را تعریف می‌کنیم:

اینجا می‌پذیریم این توابع خانواده‌ای متعامد یکه می‌سازند:

و تام‌اند؛ پس پایهٔ هیلبرتی‌اند. نکته: این پایهٔ ویژهٔ هامیلتونی نوسانگر هماهنگ یک‌بُعدی نیز هست. برای جزئیات به ویکی‌پدیا ^[7] رجوع کنید. در عمل این پایه کم استفاده می‌شود چون عبارت‌های صریح بسیار پیچیده‌اند. « پایهٔ دیگری » ابداع شده که واقعاً پایه نیست، بلکه پایهٔ تعمیم‌یافتهٔ پیوسته است: کت‌های معروف $\ket{x}$ که به آن‌ها برمی‌گردیم.

3.4. هیلبرت‌های $L^2(\mathbb{R}^3)$ و $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

در سه بُعد به‌طور مشابه $L^2(\R^3)$ را با ضرب داخلی زیر در نظر می‌گیریم:

برای دستگاه $n$ ذره در سه بُعد، فضای حالت‌ها:

ضرب داخلی:

و نرم متناظر:

همگی فضای هیلبرت‌اند؛ این را می‌پذیریم.

4. سخن پایانی

آنچه شاید خواننده را شگفت‌زده کند این است که $L^2(\R)$، برای مکانیک کوانتومی ذرهٔ نقطه‌ای یک‌بُعدی، با $L^2(\R^3)$، برای مدل‌کردن فیزیک سه‌بُعدی، یکریخت است. در درس دیگری دقیق خواهیم دید چرا تناقضی نیست. اندیشهٔ اصلی این است که فیزیک فقط با فضای هیلبرت داده نمی‌شود، بلکه مجموعه‌ای از مشاهده‌پذیرها نیز لازم است. هیچ یکریختی از $L^2(\R)$ به $L^2(\R^3)$ نمی‌تواند تمام جبر مشاهده‌پذیرهای یک‌بُعدی را هم‌زمان به سه‌بُعدی منتقل کند؛ یعنی از یک زوج $[\hat{X}, \hat{P}]$ به سه زوج مستقل $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$.

این یکریختی تساوی ریاضی نیز نیست: دو هیلبرت به‌عنوان فضاهای تابع واقعاً متفاوت‌اند، اما همچنان در ساختار هیلبرتی یکریخت‌اند. یکریختی فقط می‌گوید ساختارشان مشابه است؛ یعنی اندازهٔ یکسان (از نظر اندازهٔ پایه‌های هیلبرتی) و ویژگی‌های یکسان ساختار هیلبرتی دارند: نرم‌ها، فاصله‌ها، تعامد و ویژگی‌های توپولوژیک همگرایی، پیوستگی و غیره زیر این یکریختی حفظ می‌شوند.

بنابراین اگرچه برای هر عدد اصلی تا ایزومتری فقط یک فضای هیلبرت انتزاعی هست، بی‌نهایت تحقق ملموس آن وجود دارد.

با این همه، صرف این زمان برای فهم رده‌بندی فضاهای هیلبرت بیهوده نبود؛ دیدیم در فیزیک، بسته به « بُعد » دستگاه کوانتومی، به وضعیت‌های متفاوت مربوط است. به‌ویژه این رده‌بندی با قواعد محاسباتی متفاوت همراه است: مجموع متناهی، سری نامتناهی یا انتگرال پیوسته، بسته به ماهیت پایه. همچنین نظریهٔ عملگرهای خطی متناظر، میان بُعد متناهی و نامتناهی به‌شدت تغییر می‌کند.

5. منابع