Introduction générale et expériences fondatrices

1. Introduction

Il faut bien commencer quelque part. Beaucoup de présentations de la mécanique quantique commencent par l'expérience des fentes de Young, ou par l'étude historique du rayonnement du corps noir et de l'hypothèse introduite par Planck pour en rendre compte (Planck, 1900).

Planck introduit l'idée que l'énergie ne peut être échangée que par quantités discrètes, les quanta qui donneront leur nom à la théorie. Mais pour comprendre sa démarche, il faut connaître la physique statistique, ce qui n'est pas toujours le cas de l'étudiant débutant.

L'expérience des fentes de Young est, quant à elle, spectaculaire. Dans sa version quantique, avec des particules envoyées une par une, elle montre des comportements simplement incompréhensibles en termes classiques. Mais, de l'avis de l'auteur, cette expérience est beaucoup plus simple à saisir après coup, une fois connus les principes de la théorie quantique. En quelque sorte, elle résume à elle seule plusieurs des aspects les plus étranges de la théorie.

Nous allons donc commencer autrement, avec l'expérience de Stern et Gerlach (1922), qui porte sur un objet en apparence plus simple et bien compris classiquement : une particule possédant un moment magnétique. Dans l'expérience historique, cette particule est un atome d'argent, et la seule chose qu'il faut temporairement admettre est qu'un tel atome possède effectivement un moment magnétique. Lorsqu'on l'envoie dans une zone où règne un champ magnétique inhomogène, les lois de la mécanique et de l'électromagnétisme prédisent facilement sa trajectoire.

Les résultats obtenus sont, eux aussi, spectaculaires : ils diffèrent radicalement des prédictions classiques. En enchaînant des expériences de plus en plus élaborées, la description classique s'effondre et l'on voit apparaître successivement le phénomène de quantification (cf. section 4), la superposition quantique (cf. section 7.2), ainsi qu'un autre phénomène purement quantique que les fentes de Young ne mettent pas directement en évidence : l'incompatibilité entre certaines mesures (cf. section 6.1).

Nous commencerons par rappeler ce qu'est un moment magnétique. Nous décrirons ensuite l'expérience et ce que l'on devrait observer si l'atome se comportait comme un petit aimant ordinaire, puis nous présenterons les résultats effectivement obtenus et discuterons de ce qu'ils impliquent.

2. Rappels sur le moment magnétique classique

2.1. Le moment magnétique

Un moment magnétique $\vec{\mu}$, ou dipôle magnétique, est un vecteur. Un aimant naturel possède un moment magnétique, qui par définition est dirigé du pôle Sud vers le pôle Nord de l'aimant. C'est aussi la direction des lignes de champ magnétique à l'intérieur de l'aimant, celles-ci sortant du pôle Nord et revenant au pôle Sud à l'extérieur, cf. Figure 1.

Ce moment est la quantité fondamentale qui permet de quantifier l'intensité d'un aimant. Par exemple, la répulsion entre deux aimants orientés Sud-Sud dépend du produit des moments magnétiques et de la distance.

Mais les aimants naturels ne sont pas très commodes pour continuer la discussion, car il n'est pas immédiatement évident de savoir ce qui engendre leur champ magnétique. Bien plus pratiques sont les électro-aimants, c'est-à-dire les boucles de courant. Pour une spire plane, parcourue par un courant d'intensité $I$ et délimitant une surface $S$, on démontre que le moment magnétique vaut $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$, où $\vec{n}$ est le vecteur unitaire normal à la spire, orienté par la règle de la main droite.

C'est la seule expression dont nous aurons besoin ici. La théorie des moments magnétiques est bien sûr plus générale. Elle définit le moment magnétique d'une distribution de courant quelconque par une intégrale sur cette distribution. La formule de la spire en est un cas particulier. Nous renvoyons aux cours usuels pour plus de détails (par exemple, chapitre 5 de ^[1]) sur cette construction.

2.2. Couplage au champ magnétique

La mécanique classique dérive trois propriétés pour un dipôle magnétique plongé dans un champ magnétique extérieur $\vec B$.

La troisième formule découle directement de la seconde via $\vec{F} = -\grad E_p$. Elle montre qu'un système portant un moment magnétique placé dans un champ inhomogène subit une force nette déviant sa trajectoire. Les deux premières résultent d'un calcul explicite de la force de Laplace subie par la distribution de courant (pour le couple), et du travail de cette force (pour l'énergie potentielle) ; nous ne le reproduisons pas ici et renvoyons en particulier aux sections 5.2 et 5.7 de ^[1] pour la démonstration complète¹.

Au-delà des détails techniques, retenons surtout ceci. L'énergie potentielle Eq. (2) est minimale lorsque $\vec\mu$ est parallèle à $\vec B$, et maximale lorsqu'il lui est antiparallèle : un dipôle magnétique a tendance à s'aligner sur le champ, via le couple Eq. (1). C'est le principe de fonctionnement d'une boussole. Notez cependant qu'en l'absence de dissipation, l'aiguille de la boussole ne ferait qu'osciller indéfiniment autour de la direction du Nord, du fait du couple de force et du théorème du moment cinétique. Si elle finit par s'immobiliser, c'est que les frottements sur son axe de rotation dissipent l'énergie de cette oscillation.

2.3. Rapport gyromagnétique et précession

Cette évolution prend une forme particulière lorsque le moment magnétique est proportionnel à un moment cinétique interne associé au dipôle. Dans ce cas, on introduit le rapport gyromagnétique $\gamma$ via la proportionnalité :

Une telle relation Eq. (4) apparaît par exemple pour le moment magnétique d'une charge classique en orbite circulaire. En effet, une charge $q$, de masse $m$, décrivant un cercle de rayon $R$ à la vitesse $v$, équivaut à un courant $I=qv/(2\pi R)$. Elle produit donc le moment magnétique

Dans ce modèle orbital classique, on a : $\gamma=q/(2m)$. Le théorème du moment cinétique et l'équation Eq. (1) donnent alors ensemble $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$, puis, si $\gamma$ est constant, l'équation de précession :

Dans un champ uniforme, la solution de cette équation montre que le vecteur $\vec\mu$ décrit un cône autour de la direction du champ, i.e. précesse, à la pulsation de Larmor $\omega_L=|\gamma|B$, cf. Figure 2.

3. L'expérience de Stern et Gerlach

Le principe de l'expérience est résumé par la Figure 3. On envoie depuis une source des particules neutres dans un champ magnétique inhomogène créé par deux aimants en regard l'un de l'autre. Un écran situé plus loin collecte les impacts et permet de mesurer une déviation, s'il y en a.

3.1. Le dispositif

Les aimants.

La force Eq. (3) est identiquement nulle si le champ extérieur est uniforme. Un dipôle placé dans un champ homogène ne subit qu'un couple, et son centre de masse continue tout droit. C'est donc l'inhomogénéité du champ qui rend l'expérience intéressante.

Pour le générer, un Stern et Gerlach (nom communément donné au dispositif, ou aussi en abrégé un SG), utilise deux aimants taillés, l'un en pointe, l'autre en pointe inversée ou à fond légèrement courbé, cf. Figure 3. Cette géométrie concentre les lignes de champ vers le rebord pointu de l'aimant du haut. Puisque les lignes de champ se resserrent, la conservation du flux magnétique $\mathrm{div} \vec B = 0$ sur un tube de champ nous dit que le champ augmente vers ce rebord, c'est-à-dire ici avec $z$.

Au premier ordre, on aimerait écrire le champ à l'intérieur du dispositif sous la forme $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$ avec $k>0$, mais cela ne satisferait pas la condition de divergence nulle $\mathrm{div} \vec B = 0$. Il est donc nécessaire que le champ possède aussi une composante transverse. En négligeant les effets de bord et en supposant l'invariance selon $\vec e_x$, on trouve :

En ordre de grandeur, les dispositifs usuels ont $B_0 \sim 0{,}1$ T, avec $k\Delta z \ll B_0$ sur toute la séparation verticale entre les aimants, typiquement quelques millimètres. Les aimants sont longs de quelques centimètres.

La source.

C'est un petit four placé sous vide et contenant de l'argent solide. À haute température, des atomes vaporisés quittent le four par un orifice, et plusieurs fentes étroites sélectionnent ceux dont la vitesse est presque parallèle à $\vec e_x$ : on obtient ainsi un faisceau atomique collimaté, de vitesse typique quelques centaines de mètres par seconde, avec la dispersion héritée de la distribution de Maxwell-Boltzmann.

Notez que l'on envoie des particules électriquement neutres afin de ne sonder que les effets magnétiques dipolaires. Si l'on envoyait des particules chargées, elles subiraient aussi la force de Lorentz $q\,\vec v\wedge\vec B$, de norme $qvB_0$, et qui dominerait très largement la force $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$ qui nous intéresse ici.

L'écran.

Dans l'expérience historique, les atomes d'argent se déposaient progressivement sur l'écran et finissaient par former une trace visible. Dans une expérience moderne, on peut réduire suffisamment le flux pour enregistrer les impacts un par un. Cette possibilité sera importante pour la suite, et nous y reviendrons.

3.2. Prédiction de la mécanique classique

Envoyons dans la zone de champ Eq. (7) une particule neutre de moment magnétique $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$. L'équation 3 donne

Le dipôle est donc dévié non seulement selon $z$, mais aussi selon $y$. Le lecteur ayant déjà rencontré l'expérience de Stern et Gerlach ailleurs sera peut-être surpris de cela, car de nombreux polycopiés se limitent à parler de ce qu"il se passe sur l'axe $z$. En réalité, les deux termes de Eq. (8) jouent a priori le même rôle.

La raison pour laquelle on peut négliger ce qu'il se passe sur l'axe $y$ tient à la précession, et c'est ici que nous devons faire une hypothèse cruciale que nous justifierons a posteriori. Nous supposerons que le moment magnétique de l'atome est proportionnel à un moment cinétique interne $\vec L$ porté par celui-ci.

Sous cette hypothèse, et puisque le champ constant $B_0\vec e_z$ domine très largement les corrections $kz\,\vec e_z$ et $-ky\,\vec e_y$, le moment magnétique précesse au premier ordre autour de $\vec e_z$ à la pulsation $\omega_p = |\gamma| B_0$, où $\gamma$ son rapport gyromagnétique. Pendant cette précession, la composante $\mu_z$ reste donc constante tandis que $\mu_y$ oscille autour de zéro.

Or cette précession est rapide. Les formules vues ci-dessus nous fournissent des ordres de grandeurs a priori corrects dans le monde atomique. Ainsi $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ devient $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$ en utilisant la charge élémentaire et la masse de l'électron². Avec $B_0\approx0{,}1$ T, on obtient $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. De l'autre côté, le temps de vol dans l'aimant vaut $T=\ell/v_x$, soit environ $10^{-4}$ s pour $\ell$ de quelques centimètres et $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Le moment magnétique effectue ainsi quelques centaines de milliers de tours pendant la traversée. La force selon $y$ voit donc sa moyenne s'annuler avec une excellente précision.

La seule force pertinente est donc, dans ce modèle, et en moyenne, $\langle F_z\rangle=k\mu_z$. Cela implique trivialement que la déviation finale sur l'écran doit être proportionnelle à $\mu_z$. Il ne reste plus qu'à se demander quelles sont les conditions initiales. Les atomes sortent d'un four, c'est-à-dire d'un bain thermique, et aucune direction de l'espace n'y est privilégiée. A l'entrée du SG, les moments magnétiques doivent donc être orientés au hasard, et leur composante verticale $\mu_z$ prendre continûment toutes les valeurs entre $-\mu$ et $+\mu$, avec une distribution uniforme.

La prédiction classique est alors sans ambiguïté : on doit observer une bande d'impacts continue le long de l'axe $z$ (mais pas nécessairement uniforme du fait de la dispersion en vitesse).

4. Les résultats expérimentaux

Ce n'est pas ce que l'on observe. La déviation a bien lieu selon $z$ seulement, ce qui est cohérent avec l'annulation moyenne de la force selon $y$, mais l'écran ne porte pas une bande continue : on y trouve deux taches symétriques par rapport à l'axe initial, séparées par une région vide.

4.1. La mesure de $\mu_0$

La position précise des deux taches permet d'estimer la valeur de $\mu_0$. En supposant approximativement constants le gradient $k=\partial B_z/\partial z$ et la vitesse longitudinale $v_x$ dans l'aimant, l'atome subit pendant la durée $T=\ell/v_x$ l'accélération transverse

que l'on intègre de façon élémentaire avant de propager la trajectoire en ligne droite jusqu'à l'écran. En tenant compte des paramètres géométriques de l'expérience, Otto Stern et Walther Gerlach ont ainsi pu mesurer sa valeur pour les atomes d'argent, et ont trouvé la valeur du magnéton de Bohr

Cette mesure permet de revenir sur l'hypothèse 4. Elle ne donne cependant pas $\gamma$ directement, puisqu'elle porte sur le moment magnétique et non sur le moment cinétique $L$ qui lui serait associé. On peut seulement vérifier un ordre de grandeur : l'échelle naturelle d'un moment cinétique atomique est $\hbar$, et si l'on écrit $L\sim\hbar$, alors $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$. On retrouve ainsi l'ordre de grandeur postulé plus haut et une pulsation de précession de l'ordre de $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, cohérente avec l'absence observée de déviation selon $y$.

4.2. Le problème de la mécanique classique

L'expérience met en évidence un phénomène étranger à la mécanique classique : la composante d'un moment magnétique selon un axe donné ne varie pas continûment, mais est quantifiée.

Même en admettant que l'atome d'argent possède un moment magnétique, il reste à expliquer comment des orientations initiales quelconques, issues d'un bain thermique, conduisent à exactement deux faisceaux. Examinons deux mécanismes classiques qui pourraient expliquer ce résultat.

Le champ dans l'aimant pourrait-il aligner les moments ? Sans dissipation, nous avons vu que le couple magnétique fait précesser le dipôle en conservant son angle avec le champ. Il ne l'aligne donc ni sur $+\vec B$, ni sur $-\vec B$. Mais peut-on négliger toute dissipation ? La théorie électromagnétique prédit en effet qu'un moment en précession rayonne³. Cette dissipation est cependant négligeable : peu après la publication des résultats, Einstein la calcule et estime que la relaxation demanderait plus d'un siècle, contre environ $10^{-4}$ s de temps de transit dans l'aimant ^[3]. Et même si elle était assez rapide, elle conduirait les moments vers l'orientation de plus basse énergie, parallèle au champ : on observerait alors une seule tache, et non deux.

Les champs de bord pourraient-ils expliquer les deux taches ? À l'entrée et à la sortie de l'aimant, la direction et l'intensité du champ varient et peuvent compliquer la précession. Ces effets dépendent cela dit de la géométrie précise des aimants et de l'expérience en général, et devraient donc varier d'une expérience à l'autre. Mais la séparation en deux faisceaux n'en dépend pas. Et par ailleurs, dans ce modèle classique, l'évolution, via les lois de la mécanique et les équations de Maxwell, est une fonction continue de l'orientation initiale : elle ne peut pas transformer le continuum des orientations initiales en deux seules valeurs de sortie.

4.3. L'apparition du hasard

Dans une version moderne de l'expérience, on peut réduire le flux au point que les atomes traversent l'appareil un par un. Chaque atome produit un seul impact, dans l'une ou l'autre des deux taches. Celles-ci se dessinent progressivement à mesure que les impacts s'accumulent.

Ce caractère aléatoire ne suffit pas encore à établir l'existence d'un hasard fondamental : les atomes sortent d'un four et leurs conditions initiales varient d'un atome à l'autre. L'imprévisibilité pourrait donc encore être attribuée à notre ignorance de ces conditions. La question deviendra plus pressante lorsque nous aurons mieux contrôlé la préparation du faisceau.

5. Plusieurs Stern et Gerlach en série

Les expériences combinant plusieurs SG en série vont préciser le rôle de la préparation et des probabilités, puis faire apparaître l'incompatibilité entre certaines mesures.

5.1. Préparation d'un faisceau

À la sortie d'un appareil $\mathrm{SG}_z$, le faisceau se sépare en deux voies. Nous noterons $z+$ la voie correspondant au résultat positif et $z-$ celle correspondant au résultat négatif.

On peut placer un obstacle sur l'une des voies et ne conserver que l'autre. Si l'on bloque $z-$, tous les atomes qui poursuivent l'expérience ont donné le résultat $z+$ dans le premier appareil. Le dispositif ne sert donc plus seulement à mesurer : il sert à préparer un faisceau bien défini pour l'expérience suivante.

Nous noterons $\ket{z+}$ la préparation ainsi obtenue. À ce stade, cette notation signifie simplement « un atome qui vient de sortir par la voie $z+$ d'un analyseur $\mathrm{SG}_z$ ». Nous découvrirons progressivement la structure mathématique associée à ce symbole.

5.2. Reproductibilité sur un même axe

Plaçons un second $\mathrm{SG}_z$ après le premier, en ne conservant que la voie $z+$ du premier appareil, cf. Figure 5. On observe expérimentalement que le second appareil ne produit alors qu'une seule tache, située dans la voie $z+$. La voie $z-$ est vide.

L'image classique ne pose ici aucun problème. Si le premier appareil sélectionnait une valeur de $\mu_z$ ou alignait les moments selon $z$, et si rien ne modifiait ensuite leur composante $\mu_z$, le second appareil devrait redonner la même déviation pour tous les atomes sélectionnés. Ce résultat est donc compatible avec l'image d'un simple tri.

5.3. Deux axes différents

Mais remplaçons maintenant le second appareil par un $\mathrm{SG}_x$, dont l'axe d'analyse est perpendiculaire à celui du premier, cf. Figure 6. On observe de nouveau deux taches, en proportions égales.

Deux interprétations classiques sont possibles. Si le premier appareil a complètement orienté $\vec\mu$ selon $z$, alors $\mu_x=0$ : le second appareil devrait produire une tache centrale. S'il a seulement sélectionné les valeurs positives de $\mu_z$, sans fixer les autres composantes, alors $\mu_x$ reste distribué continûment : on devrait observer une bande continue. Aucune de ces deux interprétations ne prédit les deux taches observées.

Revenons au cas où les atomes sont envoyés un par un. Chaque atome produit un impact dans la voie $x+$ ou dans la voie $x-$ ; sur un grand nombre d'atomes, les deux résultats apparaissent en proportions égales. Le faisceau qui entre dans $\mathrm{SG}_x$ bénéficie pourtant d'une préparation mieux contrôlée que celui qui sort directement du four : tous ses atomes ont été sélectionnés dans la voie $z+$ du premier appareil. Leur préparation $\ket{z+}$ garantit même, comme nous venons de le voir, un résultat certain lors d'une nouvelle mesure selon $z$.

Malgré tout, cette préparation ne permet pas de prévoir dans quelle voie l'impact aura lieu lors de la mesure selon $x$. L'argument du simple désordre à la sortie du four ne suffit donc plus : une même préparation, qui rend une mesure certaine, laisse l'autre aléatoire. Le rôle des probabilités en mécanique quantique se précise.

6. Trois appareils SG en série

6.1. ZXZ : le filtrage change la préparation

Considérons maintenant la séquence $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$, cf. Figure 7. Après le premier appareil, nous gardons seulement $z+$. Après le deuxième, nous gardons seulement $x+$. Nous analysons enfin ce nouveau faisceau selon $z$.

Classiquement, on a déjà écarté l'hypothèse d'un alignement complet du moment magnétique le long de l'axe du SG, car celle-ci prédirait une tache centrale dans le deuxième appareil, donc aucune voie $x+$ à sélectionner. Si l'on conserve alors l'image d'un simple tri, le premier appareil sélectionne une valeur positive de $\mu_z$, puis le deuxième trie les atomes selon $\mu_x$ sans modifier $\mu_z$. Le troisième appareil devrait alors retrouver uniquement la voie $z+$. Or la voie $z-$ réapparaît.

Le filtrage selon $x$ a donc changé la préparation. Après avoir sélectionné $x+$, le résultat antérieur $z+$ ne permet plus de prédire avec certitude la nouvelle mesure de $z$. Il semble que l'état lui-même ait été modifié par le second appareil.

On résume parfois ce fait en disant que « mesurer $x$ détruit l'information sur $z$ ». La formule est utile, à condition de se souvenir que rien ici ne dépend de ce que l'expérimentateur sait ou regarde. Le filtre $x+$ a physiquement préparé un nouvel état, $\ket{x+}$, et cet état donne les deux résultats $z+$ et $z-$ avec probabilités égales.

6.2. ZYZ : mêmes probabilités, autre préparation

Remplaçons enfin l'analyseur intermédiaire selon $x$ par un analyseur selon $y$, en ne conservant toujours que sa voie positive. La séquence $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ donne encore deux résultats équiprobables lors de la dernière mesure. Ce résultat se généralise à tout axe intermédiaire perpendiculaire à $z$ : pour une direction $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ dans le plan $(x,y)$, la sélection de la voie $u+$ conduit encore à deux résultats équiprobables lors de la dernière mesure selon $z$.

Cela ne signifie pourtant pas que les préparations $\ket{x+}$, $\ket{y+}$, ou $\ket{u+}$ soient toutes identiques. Une analyse selon $x$ les distinguerait : elle donnerait certainement $x+$ pour la première, mais $x+$ ou $x-$ à parts égales pour la seconde, et l'expérience montre que les probabilités des deux résultats dépendent de $\varphi$ pour la troisième. Deux préparations peuvent donc donner les mêmes probabilités pour une mesure, tout en étant physiquement différentes.

7. Le formalisme qui se dessine

Nous ne prétendrons pas déduire de ces seules expériences tout le formalisme quantique. L'échec de la description classique nous oblige néanmoins à revoir notre vocabulaire et suggère une nouvelle façon de représenter les états.

7.1. Un état n'est pas une liste de valeurs

La préparation $\ket{z+}$ ne peut pas se réduire à la donnée « $\mu_z=+\mu_0$, avec des valeurs inconnues mais déjà fixées de $\mu_x$ et $\mu_y$ », que les appareils se contenteraient de révéler. Dans cette image d'un simple tri, la séquence $Z\!X\!Z$ redonnerait $100\,\%$ de $z+$, ce qui n'est pas le cas. Comment représenter un état, alors, si ce n'est par une liste de valeurs préexistantes ?

7.2. Vers la superposition quantique

La nouveauté majeure du formalisme quantique est que l'état rassemble lui-même les données permettant de calculer les probabilités des résultats de mesure.

La préparation $\ket{x+}$ donne un résultat certain selon $x$, mais deux résultats équiprobables selon $z$. Pour décrire cette situation, le formalisme quantique représente alors $\ket{x+}$ comme une superposition des deux états $\ket{z+}$ et $\ket{z-}$ :

Les coefficients (ici $1/\sqrt{2}$ devant chaque terme) sont appelés des amplitudes : le carré de leur module donne les probabilités des résultats selon $z$, ici $1/2$ pour chacun. Tous les atomes préparés dans $\ket{x+}$ ont le même état, représenté par cette combinaison linéaire. Il ne s'agit pas d'un mélange statistique dans lequel certains atomes seraient dans $\ket{z+}$ et les autres dans $\ket{z-}$.

Nous ne pouvons pas déduire entièrement cette structure des seuls résultats présentés ici. Les expériences d'interférences présentées dans la leçon suivante la justifieront davantage. Au final, il faudra la postuler.

7.3. Un espace vectoriel complexe

Les variantes ZYZ et plus généralement ZUZ posent la question suivante : les préparations $\ket{y+}$ ou $\ket{u+}$ donnent elles aussi $50/50$ selon $z$, tout en étant différentes de $\ket{x+}$ lorsque $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$. Leurs deux amplitudes dans la base $\ket{z+},\ket{z-}$ doivent donc avoir un module $1/\sqrt2$. Si les amplitudes étaient réelles, il ne resterait que les quatre choix de signes $\pm1/\sqrt2$ : ce nombre fini de possibilités ne suffirait pas à représenter la diversité continue des préparations $\ket{u+}$.

Le formalisme quantique utilise donc des amplitudes complexes, dont les phases peuvent varier sans modifier les modules. Nous serons par exemple amenés à écrire :

et plus généralement $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$ pour tout angle $\varphi$. Les états sont alors distincts, mais les probabilités selon $z$ valent toujours $1/2$. Prendre au sérieux ces combinaisons linéaires conduit à représenter les états par des vecteurs dans un espace vectoriel complexe abstrait. Le mot « abstrait » rappelle que leurs coefficients sont des amplitudes de probabilité, et non les composantes spatiales d'un moment magnétique classique. Une préparation de l'état pourra s'écrire plus généralement comme

Pour accéder aux amplitudes, puis au carré de leur module, il faudra projeter l'état sur les états associés aux résultats possibles. Le moyen le plus simple de récupérer ces composantes sera d'utiliser un produit scalaire. Celui-ci définira aussi une norme, avec ici

Le carré de la norme correspond ainsi à la somme des probabilités des résultats possibles : cette somme doit valoir un, et l'état sera donc représenté par un vecteur de norme un.

Dans le formalisme qui se dessine, les états seront donc des vecteurs d'un espace de Hilbert complexe, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire permettant de calculer les probabilités. Sa structure linéaire permet d'additionner les amplitudes et traduit le principe de superposition quantique. Tout cela sera étudié en détail dans le thème 2.

8. Pour aller plus loin

Un siècle après ces expériences, nous pouvons préciser ce qu'elles mesurent réellement. On a progressivement compris, après Stern et Gerlach, que le moment magnétique mesuré dans l'atome d'argent est essentiellement lié au spin d'un électron non apparié. Ce spin est un moment cinétique intrinsèque, distinct du moment cinétique orbital de l'électron. L'électron est une particule de spin $1/2$ : la mesure de la projection de son spin selon un axe donne deux valeurs possibles, $S_z=\pm\hbar/2$.

À ce moment cinétique de spin est associé un moment magnétique, proportionnel au spin :

où $e$ désigne la valeur positive de la charge élémentaire, et $\gamma_s$ le rapport gyromagnétique de l'électron. Le signe moins est lié à la charge négative de l'électron : son moment magnétique est opposé à son spin. Les deux valeurs mesurables de sa composante sont donc $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$, avec $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$. Le spin et le moment magnétique sont deux grandeurs distinctes, proportionnelles l'une à l'autre.

Dans un atome, il faut aussi tenir compte du moment cinétique orbital de l'électron, auquel est associé un autre moment magnétique. L'hydrogène fournit un exemple simple : son unique électron possède à la fois un spin et un état orbital. Dans l'état fondamental $1s$, le moment cinétique orbital est nul ; la contribution électronique au moment magnétique de l'atome vient donc du spin. L'expérience de Stern et Gerlach sur l'hydrogène a été réalisée par Phipps et Taylor en 1927.

L'atome d'argent, lui, contient davantage d'électrons, mais sa configuration électronique, $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$, ramène la situation au même principe. On peut montrer que dans les couches complètes, les contributions orbitales et de spin se compensent. Il reste alors l'électron $5s$, dont le moment cinétique orbital est, il se trouve, nul dans l'état fondamental, et le spin vaut $1/2$. C'est donc son moment magnétique de spin que l'expérience historique a mis en évidence.

9. Références