Espaces de Hilbert et opérateurs linéaires

Dans cette leçon nous définissons précisément les espaces de Hilbert en montrant d'abord comment et où ils s'insèrent dans les grandes branches des mathématiques que sont l'algèbre et la topologie. On arrivera au théorème de classification des espaces de Hilbert : deux Hilbert sont isométriquement isomorphes s'ils ont la même dimension hilbertienne, une notion qu'il ne faut pas confondre avec la dimension algébrique d'un espace vectoriel, car elles ne coïncident qu'en dimension finie. On donnera les espaces modèles de référence pour chaque cas (dimension finie, infinie dénombrable, et infinie indénombrable), avec un aperçu de leurs emplois en mécanique quantique élémentaire. On terminera par une ouverture sur l'invariance ou non de la physique définis par des Hilberts reliés par des isomorphismes.

1. Les structures mathématiques en physique

Afin d'arriver aux espaces de Hilbert, nous présentons un court rappel de la « carte des mathématiques » \, les plus souvent utilisées en physique théorique. La page suivante montre une version très simplifiée et très largement incomplète d'une telle carte mais qui suffit à ce cours, cf Figure (1).

Si on choisit de partir de la notion intuitive d'un ensemble de points¹, alors on procède en ajoutant petit-à-petit de la structure à cet ensemble. Nous allons progressivement expliquer ce schéma dans la suite.

1.1. Structures algébriques et espaces vectoriels

A partir des ensembles de points, on peut aller directement dans la branche de gauche de notre carte (1), celle des structures algébriques, en général utilisées pour décrire des ensembles de nombres (mais pas seulement).

Pour ce faire, on ajoute une ou plusieurs lois de composition internes à l’ensemble de points ; à mesure que ces lois satisfont certaines règles (associativité, commutativité, existence d’un élément neutre, etc.), on obtient des structures spécifiques.

Dans cette figure, nous représentons quelques structures fondamentales : le magma (ensemble muni d’une loi de composition interne sans propriété particulière), les groupes, anneaux et corps. Il en existe bien d’autres, comme les semi-groupes, monoïdes ou anneaux non commutatifs — mais elles ne sont pas représentées ici pour simplifier la lecture. Chacune de ces structures se spécialise de la précédente : tout corps est un anneau, tout anneau est un groupe pour l’addition, etc. La structure de corps est la plus importante, puisque c'est en particulier celle des nombres réels ou complexes munie des quatre opérations ordinaires du calcul. C'est aussi celle qui permet de construire des espace-vectoriels par-dessus.

On peut alors former des combinaisons linéaires et parler de familles libres, génératrices, mais aussi de base et de dimension de l'espace vectoriel. Attention il y aura dans ce chapitre deux notions de base qu'il faut bien distinguer : les bases algébriques qui valent pour tous espaces vectoriels, et les bases Hilbertiennes, qui ne valent que pour les Hilbert. Elles coïncident en dimension finie mais pas en dimension infinie. De la même façon, il convient de distinguer la dimension algébrique de la dimension Hilbertienne. Quelques rappels semblent donc nécessaires pour la suite.

Cette définition est équivalente à l'autre définition habituelle : une famille $(e_i)_{i \in I}$ est une base si et seulement si elle est à la fois libre et génératrice de $E$. La notion de base permet de parler de la dimension d'un espace vectoriel.

Remarquez que même dans le cas d’une dimension infinie, la définition d’une base algébrique exige que tout vecteur se décompose en une somme finie de vecteurs de la base. Le fait est qu'on ne peut pas se permettre une décomposition en somme infinie car pour cela il faut savoir si la somme converge, ce qui nécessite une topologie. Cela sera possible dans un espace de Hilbert et justifiera une notion adaptée de base Hilbertienne, cf Section 2.3.

Une question naturelle est : combien y a t-il d'espaces vectoriels différents? Peut-on les classer? La réponse est oui, algébriquement parlant. Pour ce faire il faut disposer d'une relation d’équivalence : l'isomorphisme d'espace vectoriel, qui est une relation one-to-one entre deux espaces vectoriels $E$ et $F$ et qui respecte la structure linéaire :

Remarque : cette définition est purement algébrique. Lorsque $E$ et $F$ sont munis d'une topologie compatible avec leur structure vectorielle, on distingue la notion d'isomorphisme topologique : on demande de plus que $T$ et $T^{-1}$ soient toutes deux continues. On y reviendra dans le cas des espaces vectoriels normés et de Hilbert.

On a alors le théorème majeur :

Ainsi, sur $\mathbb{K} = \R$ ou $\C$, il n’existe en pratique qu’un seul modèle d’espace vectoriel de dimension finie $n$ : respectivement $\R^n$ ou $\C^n$, l’ensemble des $n$-vecteurs à composantes réelles ou complexes.

En dimension infinie, le principe de classification est identique : si l'on accepte l'axiome du choix, alors on démontre que tout espace vectoriel possède une base (dite base de Hamel), et le théorème de classification se généralise ainsi : deux espaces vectoriels sur un même corps $\mathbb{K}$ sont isomorphes si et seulement si leurs bases ont la même cardinalité.

La cardinalité de la base infinie s'exprime grâce aux cardinaux transfinis. Ils permettent de distinguer différentes « tailles » d'infini. Le plus petit cardinal infini est noté $\aleph_0$ : c'est le cardinal de $\mathbb{N}$, mais aussi de $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$. On définit ensuite par récurrence la hiérarchie $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$, où chaque $\aleph_{n+1}$ est le plus petit cardinal strictement supérieur à $\aleph_n$ (il n'existe aucun cardinal entre les deux). En logique mathématique, l'hypothèse du continu consiste à supposer qu'il n'existe pas d'infini de cardinalité intermédiaire entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}$, auquel cas $\aleph_1$ correspond à la cardinalité de $\mathbb{R}$.

Cette classification est cependant peu utile dans le sens où la base de Hamel n'est en général pas constructible explicitement. La classification des espaces vectoriels reste donc essentiellement théorique. La situation change dans les espaces normés et de Hilbert, où les bases orthonormales peuvent être explicitées, au moins dans le cas de dimension Hilbertienne finie ou infinie dénombrable, cf. Section 3.

Mais avant d'arriver aux espaces de Hilbert, il faut d'abord suivre la branche du milieu de notre carte des mathématiques et parler d'espaces métrique et d'espaces normés.

1.2. Espaces métriques et espaces normés

Si l'on suit notre carte (1) dans sa branche du milieu, on doit d'abord munir un ensemble de points d'une topologie, mais nous détaillerons cela dans un autre chapitre (topologie des espaces normés et de Hilbert). Ici on peut simplement retenir que la topologie donne une notion de localité grâce à laquelle on peut définir les notions de convergence, de limite, et de continuité. En particulier, les espaces métriques sont des espaces topologiques. Ce sont des espaces de points munis d'une distance, la distance servant à définir une notion de localité.

Ayant posé cela, on peut maintenant fusionner les branches algébriques et topologiques de la carte 1 en s'intéressant aux espaces métriques dont l'ensemble sous-jacent $X$ est un espace vectoriel, ou dit autrement, aux espaces vectoriels munis d'une distance. Cela va nous amener à une structure fondamentalement importante en mécanique quantique, dont les Hilbert sont un cas particulier : les espaces vectoriels normés, ou EVN.

A noter qu'on ne souhaite pas s'autoriser toutes les distances. En effet l'espace étant linéaire, on veut une distance compatible avec la structure vectorielle :

Ces conditions expriment le fait que la distance respecte la géométrie de l'espace vectoriel : elle doit être invariante par translation (homogénéité de l'espace), et les homothéties doivent préserver les rapports de distances²\, ³. Maintenant, la proposition suivante nous amène aux espaces normés : si $d$ est une métrique compatible sur l'espace vectoriel $E$, alors l'application distance par rapport à l'origine, c'est-à-dire par rapport au vecteur nul : $\norm{x} = d(x, 0_E)$, est une norme.

Un espace vectoriel muni d'une d'une telle distance est alors un espace vectoriel normé :

Tout espace vectoriel normé $(E, \|\cdot\|)$ détermine canoniquement un espace métrique $(E, d)$ via $d(x,y) = \|x-y\|$, qui est alors automatiquement compatible avec la structure vectorielle. Ainsi, les espaces vectoriels normés correspondent bijectivement à une sous-classe particulière des espaces métriques. En ce sens, ils en sont un sous-ensemble.

2. Les espaces de Hilbert

Nous sommes ainsi arrivés aux espaces normés de la Fig. (1). A noter qu'il est d'usage de dire simplement espace normé pour espace vectoriel normé, et encore plus d'utiliser l'acronyme EVN. La suite consiste à définir les espaces préhilbertiens, puis les espaces hilbertiens qui constituent le cadre mathématique de la mécanique quantique.

Comme celle-ci est construite sur les nombres complexes, on se limitera dorénavant au cas $\mathbb{K} = \C$. Jusqu’ici, nous avons utilisé les lettres $E$ et $F$ pour désigner les espaces vectoriels et les espaces normés. A partir de maintenant, les lettres $\mathcal{H}$ et $\mathcal{G}$ seront employées pour les espaces (pré)hilbertiens. Les vecteurs continueront d’être notés par $x, y, z$, etc.

2.1. Espace préhilbertien et produit scalaire

Un espace préhilbertien est un espace vectoriel normé dont la norme découle d'un produit scalaire. Ce n'est pas toujours le cas : certaines normes ne peuvent pas être obtenues à partir d’un produit scalaire, par exemple, la norme sup⁴. Les préhilbertiens sont donc un sous-ensemble strict des espaces vectoriels normés. On rappelle la définition d'un produit scalaire hermitien sur $\C$ :

La combinaison des propriétés (1) et (2) implique la conjugué-linéarité (ou antilinéarité) dans le premier argument⁵ : $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. Une application vérifiant la linéarité dans un argument et la conjugué-linéarité dans l'autre est appelée sesquilinéaire⁶. Dans la suite on dira simplement produit scalaire sans rappeler le mot hermitien : il est implicite.

Anticipons sur les propriétés topologiques pour signaler un résultat important : le produit scalaire est continu en les deux variables, c'est-à-dire que si $x_n \to x$ et $y_n \to y$ au sens de la norme (c'est-à-dire $\|x_n - x\| \to 0$ et $\|y_n - y\| \to 0$), alors

Nous verrons dans les postulats de la mesure quantique que la probabilité d'observer une grandeur physique associée à un vecteur propre $\phi$ lorsque le système est dans l'état $\psi$ est donnée par $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$ (cf. Chapitre Postulats). La continuité du produit scalaire garantit donc qu'une petite variation de l'état $\psi$ entraîne une petite variation des probabilités, ce qui était souhaitable.

Le produit scalaire satisfait une autre propriété fondamentale :

Cette inégalité sert en particulier à prouver que l'application $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ est bien une norme, comme la notation le suggère.

On arrive alors à la définition suivante :

Dans un préhilbertien complexe $\mathcal{H}$, nous avons les formules utiles suivantes.

Ces deux dernières formules sont liées à un théorème important donnant un lien entre produit scalaire hermitien et norme. Le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan stipule qu'une norme $\|\cdot\|$ sur un espace normé $E$ provient d'un produit scalaire si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme. L'identité du parallélogramme est le test : elle permet de vérifier si un produit scalaire existe, et si oui, alors la formule de polarisation est la recette qui permet de reconstruire le produit scalaire à partir de la norme.

2.2. Complétude et espace de Hilbert

Pour passer des préhilbertiens aux Hilbertiens, il y a une notion de topologie indispensable : la complétude.

Là encore, nous reviendrons sur ces aspects topologiques dans le chapitre dédié. Pour le moment, contentons-nous de signaler que la complétude est essentielle pour la physique quantique. Intuitivement, un espace complet n'a pas de « trous ». Autrement dit, on ne peut pas avoir une suite d'éléments de $\mathcal{H}$ qui converge vers quelque chose qui ne serait pas dans $\mathcal{H}$. C'est ce qui manque aux rationnels par exemple : une suite bien construite de rationnels peut tendre vers un nombre qui n'appartient pas aux rationnels ; c'est d'ailleurs comme cela qu'on construit l'ensemble des réels.

Or en mécanique quantique, tout état physique du système est un vecteur du Hilbert et inversement. C'est le premier postulat de la mécanique quantique. Par conséquent, si l'espace des états n'était pas complet, l'évolution d'une fonction d'onde pourrait par exemple « sortir de l'espace » sous l'action de l'équation de Schrödinger et devenir un « état non physique », ce qui n'aurait aucun sens.

La complétude intervient également dans un autre postulat fondamental : les résultats de mesures quantiques doivent correspondre au spectre des observables physiques considérées comme des opérateurs linéaires autoadjoints. Or un opérateur n'a pas toujours d'adjoint dans un espace qui n'est pas complet et par ailleurs, la complétude de l'espace est nécessaire au théorème spectral qui permet d'étudier la structure des opérateurs auto-adjoints.

Enfin toute expression quantique impliquant une somme infinie (par exemple : développement en série de Fourier, décomposition sur une base d'états propres, etc) requiert la complétude pour avoir un sens. Par exemple, écrire $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ en notations de Dirac (cf chapitre dédié) suppose que cette série existe, ce qui n'est garanti que par la complétude.

Il convient toutefois de noter une bonne nouvelle : cette subtilité de la complétude n'est nécessaire qu'en dimension infinie. En dimension finie, un théorème important simplifie la question :

Nous pouvons maintenant passer à la description algébrique des espaces de Hilbert.

2.3. Base algébrique et base de Hilbert

On a rappelé plus haut la définition d'une base algébrique dans les espaces vectoriels, cf Définition 2. On a vu qu'elle permettait la décomposition des vecteurs en une somme finie. L'idée principale derrière l'introduction d'une topologie induite par la norme et d'un espace complet est la suivante. On peut maintenant parler de convergence de suites. En particulier, on peut regarder la convergence de somme partielles $(x_n)$, où $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ pour certains vecteurs $x_k$. Si cette somme converge, on obtient alors une série, c'est-à-dire une somme infinie : $(x_n) \to x$ et $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. Quand l'espace est complet, cette limite est garantie appartenir à l'espace.

Autrement dit, quand la dimension algébrique du Hilbert est infinie, on va maintenant pouvoir se permettre de décomposer des vecteurs en une série infinie. Cela nous donne une nouvelle notion de base :

Pour comprendre cette définition, nous avons besoin de la notion topologique de densité :

qui vaut aussi pour un espace de Hilbert qui est en particulier normé. Ainsi, la totalité signifie que tout vecteur de $\H$ peut être approché arbitrairement près par un combinaison linéaire finie d'éléments de $\H$.

Notez qu'à la différence de la base algébrique, on ne dit pas que tout vecteur se décompose comme une combinaison linéaire finie d'éléments, mais peut être approché d'aussi près qu'on le veut par une combinaison linéaire de la base de Hilbert. Par complétude, ces approximations convergent effectivement vers x. On a alors le théorème suivant, pour un cardinal de $I$ quelconque :

Le lien entre la définition de la base de Hilbert et le théorème de décomposition n'est pas immédiat.

On note qu'en dimension infinie, le cardinal d'une base algébrique est toujours strictement supérieur au cardinal d'une base de Hilbert. L'intuition en est simple : les combinaisons linéaires finies de la base algébrique doivent atteindre tout point $x$, tandis qu'elles ne doivent que l'approcher pour une base Hilbertienne. Cette dernière est donc « moins précise », et nécessite moins de directions indépendantes.⁸. Autrement dit les combinaisons linéaires finies de la base de Hilbert ne forment qu'une infime partie de l'espace ($\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$). Il faut donc en général des séries infinies convergentes pour représenter les vecteurs de $\mathcal{H}$.

Notons enfin une autre formule très utile en mathématiques de la physique quantique.

2.4. Dimension hilbertienne et classification

Nous avons presque tous les éléments en main pour compléter la classification de tous les espaces de Hilbert. Il nous manque un invariant fondamental, la dimension hilbertienne :

Pour classifier les espaces de Hilbert, il nous faut finalement une relation d'équivalence appropriée entre ces espaces. On va donc élargir la notion d'isomorphisme d'espaces vectoriels vue en Définition 4 au cas espace normé d'abord, puis hilbertien, en se contentant pour le moment d'une notion intuitive de continuité :

Notez que si $T$ préserve le produit scalaire, alors $T$ préserve automatiquement la norme ($\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$). C'est pourquoi on parle d'isométrie (linéaire bijective). La pierre angulaire de la classification est alors le théorème suivant :

A noter que le mot de dimension réfère maintenant, évidemment, à la dimension Hilbertienne. Tout espace de Hilbert est isométriquement isomorphe à l'un de ces espaces modèles, et cette classification est complète. Nous les détaillons dans la section suivante en laissant de côté la dimension infinie indénombrable que l'on reverra nettement plus tard. Ils servent d'espaces de référence pour les systèmes quantiques à degrés de libertés finis (ex. le spin), infinis dénombrables (ex. mécanique quantique du point), ou indénombrables (ex. théorie quantique des champs).

3. Espaces modèles

3.1. Le Hilbert $\C^n$

De façon explicite, c'est l'ensemble des $n$-uplets de nombres complexes :

muni :

• Du produit scalaire hermitien : $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$ (notez le complexe conjugué)
• De la norme euclidienne associée : $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$

C'est un EVN de dimension $n$ qui est garanti complet car il est de dimension finie sur un corps complet. C'est donc un Hilbert. Sa base canonique est, en vecteur colonne :

C'est une base hilbertienne de cardinal $n$, et c'est aussi une base algébrique, c'est-à-dire que tout vecteur $x \in \mathbb{C}^n$ se décompose exactement comme la somme finie :

Cet espace de Hilbert est utilisé pour tout système quantique à nombre fini d'états distinguables entres eux, en particulier les systèmes à deux niveaux, ou qubits.

3.2. Le Hilbert $\ell^2(\mathbb{N})$

Il est défini par l'ensemble des suites de carré sommable :

On peut démontrer que c'est un Hilbert lorsque muni :

• Du produit scalaire : $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$ (notez la somme infinie cette fois),
• De la norme associée : $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$ (même remarque)

On montre ici qu'il est dénombrable via une construction explicite de sa base canonique. Elle ressemble à celle de $\C^n$. Pour tout $i \in \mathbb{N}$, on définit (en vecteur colonne aussi) :

c’est-à-dire le vecteur dont la $i$-ième coordonnée vaut $1$ et les autres $0$. La seule différence avec le cas de dimension finie est donc qu'il a une infinité de composantes.

Cet espace de Hilbert est par exemple utilisé pour décrire l'oscillateur harmonique en mécanique quantique, puisqu'on verra que les états propres d'énergie sont indexés par un entier $n$ non borné, de sorte que tout état de l'oscillateur harmonique s'écrit comme une telle série.

3.3. Le Hilbert $L^2(\R)$

En mécanique quantique du point à une dimension, la fonction d'onde $\psi(x)$ est une fonction à valeur complexe d'une variable réelle. L'interprétation probabiliste requiert que :

On est donc naturellement amené à définir l'espace associé à cette mécanique quantique comme l'ensemble des fonctions de carré sommable :

Le " $< \infty$" montre qu'on peut toujours normer un état. On le munit du produit scalaire :

ce qui induit la norme :

et on peut montrer que cela fait de lui un espace de Hilbert, mais ce n'est pas complètement trivial. On peut en fournir une base Hilbertienne explicite. Il y en a plusieurs de connues (Hermite, ondelettes, Laguerre, Walsh ...). Par exemple, on définit d'abord les polynômes de Hermite par la relation de récurrence :

puis on définit les fonctions de Hermite :

alors, on admettra ici que ces fonctions forment une famille orthonormale :

et totale ; c'est donc une base Hilbertienne. Remarque : il se trouve que c'est aussi la base propre du Hamiltonien de l'oscillateur harmonique 1D. Pour plus de détails, on se reportera à Wikipédia ^[4]. En pratique cette base est peu utilisée car les expressions explicites sont parfaitement horribles. On a inventé « une autre base » (qui n'en est pas réellement une), mais une base généralisée continue, les fameux kets $\ket{x}$ sur lesquels on reviendra.

3.4. Les Hilberts $L^2(\mathbb{R}^3)$ et $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

En trois dimensions, on considère de manière analogue $L^2(\R^3)$ avec le produit scalaire

Pour un système à $n$ particules en trois dimensions, l'espace des états est

Le produit scalaire est donné par

et la norme associée est

Ce sont tous des espaces de Hilbert (admis).

4. Le mot de la fin

Ce qui peut choquer le lecteur dans ce que nous avons vu jusqu'ici est que $L^2(\R)$ qui sert à décrire la mécanique quantique du point en un 1D soit isomorphe à $L^2(\R^3)$ qui sert à modéliser de la physique en trois dimensions. Dans une autre leçon, nous verrons en détail pourquoi ce n'est pas paradoxal. L'idée principale est que la physique n'est pas seulement donnée par l'espace de Hilbert mais aussi par un ensemble d'observable. Or aucun isomorphisme de $L^2(\R)$ vers $L^2(\R^3)$ n'est capable transporter simultanément toute l'algèbre des observables 1D vers celle en 3D (ie. d'un seul couple $[\hat{X}, \hat{P}]$ vers trois couples indépendants $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$).

Cet isomorphisme ne décrit pas non plus une égalité mathématique : ces deux Hilbert sont bien différents en tant qu'espaces de fonctions mais ils sont quand même isomorphes en structure Hilbertienne. L'isomorphisme ne fait qu'affirmer que ces deux espaces sont structurellement similaires, ie. qu'ils ont la même taille (en cardinal de leurs bases Hilbertiennes) et qu'ils ont les mêmes propriétés de structure hilbertienne : sous cet isomorphisme, on préserve les normes, les distances, l'orthogonalité et les propriétés topologiques de convergence, de continuité, etc.

Ainsi, même s'il n'existe à une isométrie près qu'un seul espace de Hilbert abstrait pour un cardinal donné, il en existe une infinité de réalisations concrètes.

Ce n'était pourtant pas inutile de passer autant de temps à comprendre la classification des espaces de Hilbert, puisque, on l'a vu, elle correspond en physique à des situations distinctes selon la « dimensionnalité » du système quantique considéré, et en particulier cette classification s'accompagne de règles de calcul différentes (sommes finies, séries infinies ou intégrales continues selon la nature de la base). Il y correspond aussi une théorie des opérateurs linéaires qui change radicalement entre le cas de dimension finie et infinie.