Spazi di Hilbert e notazione di Dirac

In questa lezione definiamo precisamente gli spazi di Hilbert, mostrando prima come e dove si inseriscono nelle grandi branche matematiche dell'algebra e della topologia. Arriveremo al teorema di classificazione: due spazi di Hilbert sono isometricamente isomorfi se hanno la stessa dimensione hilbertiana, da non confondere con la dimensione algebrica di uno spazio vettoriale, poiché coincidono solo in dimensione finita. Daremo gli spazi modello di riferimento per ogni caso: dimensione finita, infinita numerabile e infinita non numerabile, illustrandone gli usi in meccanica quantistica elementare. Concluderemo discutendo se la fisica definita da spazi di Hilbert collegati da isomorfismi sia o meno invariante.

1. Le strutture matematiche in fisica

Per arrivare agli spazi di Hilbert, richiamiamo brevemente la «mappa della matematica» più usata in fisica teorica. La pagina seguente ne mostra una versione molto semplificata e ampiamente incompleta, ma sufficiente per questo corso, si veda la Figura (1).

Partendo dalla nozione intuitiva di insieme di punti¹, si procede aggiungendo gradualmente struttura all'insieme. Spiegheremo progressivamente questo schema nel seguito.

1.1. Strutture algebriche e spazi vettoriali

Dagli insiemi di punti possiamo passare direttamente al ramo sinistro della mappa (1), quello delle strutture algebriche, usate generalmente, ma non soltanto, per descrivere insiemi di numeri.

Aggiungiamo una o più leggi di composizione interna all'insieme; secondo le regole che soddisfano, come associatività, commutatività o esistenza di un elemento neutro, otteniamo strutture specifiche.

La figura rappresenta alcune strutture fondamentali: il magma, un insieme con una legge di composizione interna senza proprietà particolari, i gruppi, gli anelli e i campi. Ne esistono molte altre, come semigruppi, monoidi o anelli non commutativi, omesse per semplificare la lettura. Ogni struttura specializza la precedente: ogni campo è un anello, ogni anello è un gruppo rispetto all'addizione, ecc. La struttura di campo è la più importante, essendo in particolare quella dei reali o dei complessi con le quattro operazioni aritmetiche ordinarie. Permette inoltre di costruire spazi vettoriali sopra di essa.

Possiamo così formare combinazioni lineari e parlare di famiglie linearmente indipendenti e generatrici, nonché di base e dimensione. In questo capitolo distingueremo due nozioni di base: le basi algebriche, valide in ogni spazio vettoriale, e le basi hilbertiane, proprie degli spazi di Hilbert. Coincidono in dimensione finita, ma non infinita. Analogamente, occorre distinguere dimensione algebrica e hilbertiana. Alcuni richiami sono quindi opportuni.

La definizione equivale a quella usuale: una famiglia $(e_i)_{i \in I}$ è una base se e solo se è linearmente indipendente e genera $E$. La nozione di base permette di definire la dimensione.

Anche in dimensione infinita, la definizione di base algebrica richiede che ogni vettore si decomponga in una somma finita di vettori della base. Non possiamo ammettere una decomposizione in somma infinita, perché dovremmo sapere se converge, e ciò richiede una topologia. Questo sarà possibile in uno spazio di Hilbert e giustificherà la nozione adattata di base hilbertiana, si veda la Sezione 2.3.

Una domanda naturale è quanti spazi vettoriali diversi esistano e se sia possibile classificarli. Dal punto di vista algebrico sì. Serve una relazione di equivalenza: l'isomorfismo di spazi vettoriali, una corrispondenza uno a uno fra $E$ e $F$ che rispetta la struttura lineare:

Osservazione: la definizione è puramente algebrica. Quando $E$ e $F$ hanno una topologia compatibile con la struttura vettoriale, si distingue l'isomorfismo topologico: si richiede anche la continuità di $T$ e $T^{-1}$. Ci torneremo per gli spazi normati e di Hilbert.

Abbiamo quindi il fondamentale teorema:

Su $\mathbb{K} = \R$ oppure $\C$ esiste dunque in pratica un solo modello di spazio vettoriale di dimensione finita $n$: rispettivamente $\R^n$ o $\C^n$, l'insieme degli $n$-vettori a componenti reali o complesse.

In dimensione infinita il principio è identico. Accettando l'assioma della scelta, si dimostra che ogni spazio vettoriale possiede una base, detta base di Hamel. Il teorema si generalizza: due spazi vettoriali sullo stesso campo $\mathbb{K}$ sono isomorfi se e solo se le loro basi hanno uguale cardinalità.

La cardinalità di una base infinita si esprime mediante i cardinali transfiniti, che distinguono diverse «grandezze» dell'infinito. Il più piccolo cardinale infinito è $\aleph_0$: la cardinalità di $\mathbb{N}$, ma anche di $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$. Si definisce poi ricorsivamente la gerarchia $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$, dove $\aleph_{n+1}$ è il più piccolo cardinale strettamente maggiore di $\aleph_n$, senza cardinali intermedi. In logica matematica, l'ipotesi del continuo suppone che non esista una cardinalità infinita intermedia fra quelle di $\mathbb{N}$ e $\mathbb{R}$; in tal caso $\aleph_1$ è la cardinalità di $\mathbb{R}$.

Questa classificazione è però poco utile in pratica, perché in generale non si può costruire esplicitamente una base di Hamel. La classificazione rimane dunque essenzialmente teorica. La situazione cambia negli spazi normati e di Hilbert, dove si possono esplicitare basi ortonormali, almeno in dimensione hilbertiana finita o infinita numerabile, si veda la Sezione 3.

Prima di arrivare a Hilbert dobbiamo però seguire il ramo centrale della mappa e parlare di spazi metrici e normati.

1.2. Spazi metrici e spazi normati

Nel ramo centrale della mappa (1) dobbiamo prima dotare l'insieme di punti di una topologia, che approfondiremo nel capitolo sulla topologia degli spazi normati e di Hilbert. Qui basta ricordare che la topologia fornisce una nozione di località con cui definire convergenza, limite e continuità. In particolare, gli spazi metrici sono topologici: insiemi di punti con una distanza, che definisce la località.

Possiamo ora unire i rami algebrico e topologico della mappa 1, considerando spazi metrici il cui insieme sottostante $X$ è vettoriale, cioè spazi vettoriali con una distanza. Arriviamo così a una struttura fondamentale in meccanica quantistica, di cui Hilbert è un caso particolare: gli spazi vettoriali normati, o SVN.

Non vogliamo ammettere qualsiasi distanza. Poiché lo spazio è lineare, occorre una distanza compatibile con la struttura vettoriale:

Le condizioni esprimono che la distanza rispetta la geometria vettoriale: deve essere invariante per traslazioni, cioè omogenea nello spazio, e le omotetie devono preservare i rapporti fra distanze^{2  3}. La proposizione seguente conduce agli spazi normati: se $d$ è una metrica compatibile su $E$, la distanza dall'origine, cioè dal vettore nullo, $\norm{x} = d(x, 0_E)$ è una norma.

Uno spazio vettoriale dotato di tale distanza è quindi uno spazio vettoriale normato:

Ogni spazio vettoriale normato $(E, \|\cdot\|)$ determina canonicamente uno spazio metrico $(E, d)$ mediante $d(x,y) = \|x-y\|$, automaticamente compatibile con la struttura vettoriale. Gli spazi normati corrispondono quindi biiettivamente a una sottoclasse particolare degli spazi metrici: in questo senso ne costituiscono un sottoinsieme.

2. Gli spazi di Hilbert

Siamo arrivati agli spazi normati della Fig. (1). È comune dire semplicemente spazio normato anziché spazio vettoriale normato e usare la sigla SVN. Definiremo ora gli spazi prehilbertiani, poi gli spazi hilbertiani, che costituiscono il quadro matematico della meccanica quantistica.

Poiché questa si costruisce sui numeri complessi, ci limiteremo a $\mathbb{K} = \C$. Finora abbiamo usato $E$ e $F$ per spazi vettoriali e normati; d'ora in poi useremo $\mathcal{H}$ e $\mathcal{G}$ per quelli prehilbertiani o hilbertiani. I vettori continueranno a essere indicati con $x, y, z$, ecc.

2.1. Spazio prehilbertiano e prodotto scalare

Uno spazio prehilbertiano è uno spazio vettoriale normato la cui norma deriva da un prodotto scalare. Non accade sempre: alcune norme non provengono da alcun prodotto scalare, per esempio la norma sup⁴. I prehilbertiani sono quindi un sottoinsieme proprio degli spazi vettoriali normati. Ricordiamo la definizione di prodotto scalare hermitiano su $\C$:

Le proprietà (1) e (2) implicano la linearità coniugata, o antilinearità, nel primo argomento⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. Un'applicazione lineare in un argomento e coniugato-lineare nell'altro è detta sesquilineare⁶. Diremo in seguito soltanto prodotto scalare: «hermitiano» sarà implicito.

Anticipiamo un risultato topologico importante: il prodotto scalare è continuo nelle due variabili. Se $x_n \to x$ e $y_n \to y$ in norma, cioè $\|x_n - x\| \to 0$ e $\|y_n - y\| \to 0$, allora

Nei postulati della misura quantistica vedremo che la probabilità di osservare una grandezza fisica associata a un autovettore $\phi$, quando il sistema è nello stato $\psi$, è $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$, si veda la sezione 1.2 (Tema 3, Lezione 1, non disponibile in questa lingua). La continuità garantisce quindi che una piccola variazione di $\psi$ produca una piccola variazione delle probabilità, come desiderato.

Il prodotto scalare soddisfa un'altra proprietà fondamentale:

Questa disuguaglianza serve in particolare a dimostrare che $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ è davvero una norma, come suggerisce la notazione.

Arriviamo alla seguente definizione:

In uno spazio prehilbertiano complesso $\mathcal{H}$ valgono le seguenti formule utili.

Le ultime due formule sono legate a un teorema che collega prodotto scalare hermitiano e norma. Il teorema di Fréchet-von Neumann-Jordan afferma che una norma $\|\cdot\|$ su uno spazio normato $E$ proviene da un prodotto scalare se e solo se soddisfa l'identità del parallelogramma. Questa è il test di esistenza; se è soddisfatta, la formula di polarizzazione fornisce la ricetta per ricostruire il prodotto scalare dalla norma.

2.2. Completezza e spazio di Hilbert

Per passare dai prehilbertiani agli hilbertiani occorre una nozione topologica indispensabile: la completezza.

Torneremo su questi aspetti nel capitolo dedicato. Per ora segnaliamo che la completezza è essenziale per la fisica quantistica. Intuitivamente, uno spazio completo non ha «buchi»: non può esserci una successione di elementi di $\mathcal{H}$ che converga a qualcosa fuori da $\mathcal{H}$. È ciò che manca ai razionali: una successione opportuna può tendere a un numero non razionale; proprio così si costruiscono i reali.

In meccanica quantistica ogni stato fisico è un vettore dello spazio di Hilbert e viceversa. È il primo postulato. Se lo spazio degli stati non fosse completo, l'evoluzione di una funzione d'onda secondo Schrödinger potrebbe «uscire dallo spazio» e diventare uno «stato non fisico», il che sarebbe privo di senso.

La completezza interviene anche in un altro postulato: i risultati delle misure devono corrispondere allo spettro delle osservabili fisiche, considerate operatori lineari autoaggiunti. Un operatore non ha sempre un aggiunto in uno spazio non completo; inoltre la completezza è necessaria al teorema spettrale, che studia la struttura degli operatori autoaggiunti.

Infine, ogni espressione quantistica con una somma infinita, per esempio una serie di Fourier o uno sviluppo in autostati, richiede completezza per avere senso. Scrivere $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ in notazione di Dirac, si veda la sezione 4 (Tema 2, Lezione 2), presuppone l'esistenza della serie, garantita soltanto dalla completezza.

C'è però una buona notizia: questa sottigliezza serve soltanto in dimensione infinita. In dimensione finita un teorema importante semplifica la questione:

Possiamo passare alla descrizione algebrica degli spazi di Hilbert.

2.3. Base algebrica e base di Hilbert

Abbiamo ricordato la base algebrica di uno spazio vettoriale, si veda la Definizione 2, che permette la decomposizione in una somma finita. L'idea principale della topologia indotta dalla norma e dello spazio completo è poter parlare di convergenza di successioni. Possiamo in particolare considerare somme parziali $(x_n)$, con $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ per certi vettori $x_k$. Se convergono otteniamo una serie, una somma infinita: $(x_n) \to x$ e $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. La completezza garantisce che il limite appartenga allo spazio.

Quando la dimensione algebrica dello spazio di Hilbert è infinita, possiamo quindi decomporre i vettori in una serie infinita. Otteniamo una nuova nozione di base:

Per capirlo serve la nozione topologica di densità:

Questo vale anche in uno spazio di Hilbert, che è in particolare normato. Totalità significa quindi che ogni vettore di $\H$ può essere approssimato arbitrariamente bene da una combinazione lineare finita di elementi di $\H$.

A differenza della base algebrica, non diciamo che ogni vettore è una combinazione lineare finita, ma che può essere approssimato quanto si vuole da una combinazione della base di Hilbert. Per completezza, queste approssimazioni convergono a x. Per una cardinalità qualsiasi di $I$ vale:

Il legame tra definizione di base di Hilbert e teorema di decomposizione non è immediato.

In dimensione infinita, la cardinalità di una base algebrica è sempre strettamente maggiore di quella di una base di Hilbert. L'intuizione è semplice: le combinazioni finite della prima devono raggiungere esattamente ogni punto $x$, quelle della seconda soltanto approssimarlo. Quest'ultima è quindi «meno precisa» e richiede meno direzioni indipendenti.⁸. Le combinazioni finite della base di Hilbert costituiscono solo una minima parte dello spazio ($\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$). In generale servono serie infinite convergenti per rappresentare i vettori di $\mathcal{H}$.

Ricordiamo infine un'altra formula molto utile nella matematica della fisica quantistica.

2.4. Dimensione hilbertiana e classificazione

Abbiamo quasi tutti gli elementi per completare la classificazione degli spazi di Hilbert. Manca un invariante fondamentale: la dimensione hilbertiana.

Per classificare questi spazi serve infine una relazione di equivalenza adatta. Estendiamo l'isomorfismo vettoriale della Definizione 4 prima al caso normato e poi a quello hilbertiano, usando per ora una nozione intuitiva di continuità:

Se $T$ preserva il prodotto scalare, $T$ preserva automaticamente la norma ($\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$). Per questo si parla di isometria lineare biiettiva. Il cardine della classificazione è il teorema seguente:

La parola dimensione si riferisce ormai, naturalmente, a quella hilbertiana. Ogni spazio di Hilbert è isometricamente isomorfo a uno di questi modelli e la classificazione è completa. Li descriveremo nella prossima sezione, tralasciando la dimensione infinita non numerabile, che riprenderemo molto più avanti. Sono spazi di riferimento per sistemi quantistici con gradi di libertà finiti, come lo spin; infiniti numerabili, come la meccanica quantistica del punto; o non numerabili, come la teoria quantistica dei campi.

3. Spazi modello

3.1. Lo spazio di Hilbert $\C^n$

Esplicitamente, è l'insieme delle $n$-uple di numeri complessi:

munito:

• del prodotto scalare hermitiano: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$, si noti il complesso coniugato;
• della norma euclidea associata: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$.

È uno SVN di dimensione $n$, completo perché di dimensione finita su un campo completo. È quindi un Hilbert. La sua base canonica, come vettori colonna, è:

È una base hilbertiana di cardinalità $n$ e anche algebrica: ogni vettore $x \in \mathbb{C}^n$ si decompone esattamente nella somma finita

Questo spazio di Hilbert si usa per ogni sistema quantistico con un numero finito di stati distinguibili, in particolare sistemi a due livelli o qubit.

3.2. Lo spazio di Hilbert $\ell^2(\mathbb{N})$

È definito come insieme delle successioni a quadrato sommabile:

Si può dimostrare che è un Hilbert quando è munito:

• del prodotto scalare: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$, questa volta con una somma infinita;
• della norma associata: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$, con la stessa osservazione.

Ne mostriamo la numerabilità costruendo esplicitamente la base canonica, simile a quella di $\C^n$. Per ogni $i \in \mathbb{N}$ definiamo, ancora come vettore colonna:

il vettore la cui coordinata $i$-esima vale $1$ e le altre $0$. L'unica differenza dal caso finito è l'infinità delle componenti.

Questo spazio di Hilbert descrive, per esempio, l'oscillatore armonico quantistico: vedremo che gli autostati di energia sono indicizzati da un intero $n$ illimitato, così ogni stato si scrive come una serie di questo tipo.

3.3. Lo spazio di Hilbert $L^2(\R)$

Nella meccanica quantistica del punto in una dimensione, la funzione d'onda $\psi(x)$ è una funzione complessa di una variabile reale. L'interpretazione probabilistica richiede:

Siamo quindi portati a definire lo spazio associato come l'insieme delle funzioni a quadrato integrabile:

La condizione «$< \infty$» mostra che si può sempre normalizzare uno stato. Lo dotiamo del prodotto scalare:

che induce la norma:

Si può dimostrare che questo ne fa uno spazio di Hilbert, ma non è completamente banale. Possiamo darne una base hilbertiana esplicita; ne sono note diverse, Hermite, wavelet, Laguerre, Walsh .... Per esempio, definiamo prima i polinomi di Hermite mediante la ricorrenza:

poi le funzioni di Hermite:

Ammettiamo qui che queste funzioni formino una famiglia ortonormale:

e totale, quindi una base hilbertiana. È anche la base propria dell'Hamiltoniano dell'oscillatore armonico 1D. Per maggiori dettagli si veda Wikipedia ^[7]. In pratica questa base è poco usata, perché le espressioni esplicite sono davvero orribili. Si è inventata «un'altra base», che in realtà non lo è: una base generalizzata continua, i noti ket $\ket{x}$ su cui torneremo.

3.4. Gli spazi di Hilbert $L^2(\mathbb{R}^3)$ e $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

In tre dimensioni consideriamo analogamente $L^2(\R^3)$ con il prodotto scalare

Per un sistema di $n$ particelle in tre dimensioni, lo spazio degli stati è

Il prodotto scalare è dato da

e la norma associata è

Sono tutti spazi di Hilbert, come ammettiamo senza dimostrazione.

4. Considerazione finale

Può stupire che $L^2(\R)$, usato per la meccanica quantistica del punto in 1D, sia isomorfo a $L^2(\R^3)$, che descrive fisica tridimensionale. In un'altra lezione vedremo perché non è un paradosso. L'idea principale è che la fisica non è data solo dal Hilbert, ma anche da un insieme di osservabili. Nessun isomorfismo da $L^2(\R)$ a $L^2(\R^3)$ può trasportare simultaneamente tutta l'algebra delle osservabili 1D in quella 3D, cioè una sola coppia $[\hat{X}, \hat{P}]$ in tre coppie indipendenti $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$.

L'isomorfismo non esprime neppure un'uguaglianza matematica: i due Hilbert sono diversi come spazi di funzioni, ma isomorfi nella struttura hilbertiana. Afferma solo che sono strutturalmente simili: hanno la stessa grandezza, misurata dalla cardinalità delle basi hilbertiane, e le stesse proprietà strutturali. Preserva norme, distanze, ortogonalità e proprietà topologiche di convergenza, continuità, ecc.

Sebbene per ogni cardinale esista, a meno di isometria, un solo spazio di Hilbert astratto, ne esistono infinite realizzazioni concrete.

Non è stato inutile dedicare tanto tempo alla classificazione: in fisica corrisponde a situazioni diverse secondo la «dimensionalità» del sistema quantistico. In particolare comporta regole di calcolo diverse: somme finite, serie infinite o integrali continui secondo la natura della base. Le corrisponde inoltre una teoria degli operatori lineari che cambia radicalmente fra dimensione finita e infinita.

5. Riferimenti