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힐베르트 공간과 디랙 표기법

힐베르트 공간의 구조, 위상적 쌍대, 유한 차원과 무한 차원의 디랙 표기법.

유한 차원의 디랙 표기법

모든 차원에서 성립하는 양자 계산의 대수적 규칙과 유한 차원 행렬 공식 모음.

디랙 표기법에르미트 내적수반켓–브라 연산자항등 연산자의 전개유한 차원행렬 원소대각합켤레 전치공식 모음

방금 정의한 대상들은 힐베르트 공간의 차원이나 연산자의 유계 여부와 관계없이 항상 성립하는 기본 성질들을 따릅니다. 비유계인 경우에도 수반을 정의할 수 있지만 수학적으로 더 섬세한 논의가 필요하며, 다음 주제인 선형 연산자 이론에서 다시 다룹니다. 전 세계에서 디랙 표기법을 사용하므로 이 성질들은 사실상 양자 계산의 대수적 규칙이며 반드시 익혀야 합니다.

이 수업은 반복을 감수하면서 지금까지 본 유용한 공식을 모두 모으고 몇 가지를 추가합니다. 먼저 모든 차원에서 성립하는 공식을 제시하고, 이어서 디랙 표기법이 구체적인 행렬 계산으로 환원되는 유한 차원의 공식표를 제공합니다.

1. 모든 차원에서의 계산 규칙

내적의 성질.

(∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2 를 힐베르트 공간의 두 벡터, (λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 를 스칼라라 합시다. 내적은 다음 성질을 만족합니다.

  1. 에르미트 대칭성:

    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}

    (1)

  2. 왼쪽에 대한 반선형성: λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi} 에 대응하는 브라는 λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi} 입니다. 즉

    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣및⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{및} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }

    (2)

  3. 오른쪽에 대한 선형성:

    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}

    (3)

  4. 선형 결합: 앞의 성질을 이용하면 다음과 같은 복잡한 식을 보통의 방식으로 전개할 수 있습니다. 모든 α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C 에 대해

    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }

    (4)

  5. 노름: 정의에 따라

    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}

    (5)

    이며, 등호는 ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 이 영벡터일 때 그리고 그때에만 성립합니다. 드물게 영벡터를 ∣∅⟩\ket{\varnothing} 로 표시하기도 합니다.

수반의 성질.

정의에 해당하는 두 공식을 다시 적습니다.

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

및

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

이로부터 에르미트 대칭성을 이용하면 다음도 증명됩니다.

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

수반 연산자의 성질.

H\mathcal{H} 위의 임의의 연속 선형 연산자 A^,B^\hat{A}, \hat{B} 와 모든 스칼라 λ∈C\lambda \in \mathbb{C} 에 대해

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (반선형성)(A^B^)†=B^†A^†,(순서에 주의)(A^†)†=A^,    (대합).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(반선형성)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(순서에 주의)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(대합)}. \end{aligned}
켓–브라 연산자.

브라켓은 수이지만 켓–브라는 외적이라고 부르는 연산자입니다. 미분 형식의 외적과는 관계없습니다. 두 벡터 ∣φ⟩\ket{\phi} 와 ∣ψ⟩\ket{\psi} 에 다음과 같이 정의된 연산자 ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} 를 대응시킵니다.

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
항등 연산자의 분해.

H\Hilb 의 항등 연산자는 1\mathbf{1} 로 표시하며 자명한 관계 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb 로 정의합니다. 가산 힐베르트 기저 {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I} 에서 II 가 유한 또는 가산 무한이면 항등 연산자 1\mathbf{1} 는 다음과 같습니다.

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

이 공식은 실제 계산에서 매우 유용합니다. 항등 연산자의 분해 또는 완비성 관계라고도 합니다. 우변은 유한 차원에서 유한 합이고 가산 무한 차원에서는 수렴 급수입니다. 비가산 차원에서는 성립하지 않습니다.

힐베르트 기저 전개.

예를 들어 앞의 공식을 이용하면 제1과의 전개 정리를 바로 얻습니다. ψi\psi_i 를 켓 ∣ψ⟩\kpsi 의 ∣ei⟩\ket{e_i} 에 대한 성분으로 정의하면

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

차원에 따라 유한 합 또는 급수입니다. 켓의 전개에 대응하는 브라의 전개도 있습니다.

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

그러면 노름은

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

참고 1 (순서에 주의하세요!)
켓의 성분은 ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi} 이며, ψi∗\psi_i^* 와 같은 ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i} 가 아닙니다. 에르미트 내적은 교환법칙을 만족하지 않으므로 순서에 주의해야 합니다. 보통의 유클리드 내적을 갖춘 Rn\mathbb{R}^n 에서는 벡터 v⃗\vec{v} 의 성분 viv_i 를 vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i 로 구하므로 양자 공식도 ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i} 일 것이라 생각할 수 있지만, 그렇지 않습니다!
몇 가지 특별한 연산자.

다음 주제에서는 힐베르트 공간 위의 선형 연산자 이론을 자세히 설명합니다. 다만 앞으로 사용할 아주 흔한 경우 몇 가지를 미리 적어 둡니다. H→H\Hilb \to \Hilb 의 연산자 가운데 특히 다음을 고려합니다.

  1. A^\hat A 는 A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A} 이면 에르미트 또는 자기수반 연산자입니다.
  2. U^\hat U 는 U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1} 이면 유니터리 연산자입니다.
  3. P^\hat P 는 P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P} 이면 사영 연산자입니다.
  4. P^\hat P 가 직교 사영이라는 것은 자기수반인 사영이라는 뜻입니다.

유니터리 연산자는 전단사이고 선형이며 내적을 보존합니다. 따라서 앞에서 이미 만났던 등거리 동형사상입니다. 여기서는 H\Hilb 에서 자기 자신으로 가는 선형 연산자만 다루므로 구체적으로는 등거리 자기동형사상입니다.

2. 유한 차원의 공식표

힐베르트 공간의 차원 nn 이 유한이면 양자 계산 규칙을 더 구체화할 수 있습니다. 우선 앞 절의 공식들은 모두 유효하며, 등장한 합을 유한 합으로 쓰면 됩니다. 즉 ∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n} 입니다.

또한 정규직교 기저 B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n 를 선택하면 디랙 표기법은 구체적인 행렬 계산에 대응합니다. 이제 이를 자세히 설명합니다. 주의할 점은 다음 내용이 무한 차원에서는 아무 의미도 없다는 것입니다.

열벡터로서의 켓.

기저 B\mathcal{B} 의 켓을 표준적으로 (n,1)(n,1) 행렬, 즉 열벡터로 나타내면

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

이며 11 은 ii 번째 위치에 있습니다. 대수적 전개

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

를 이용하면 모든 켓을 열벡터로 쓸 수 있습니다. ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H} 에 대해

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

로 씁니다. 필요하지 않은 한 전개에 사용한 기저 B\mathcal{B} 의 표시는 생략합니다. 또한 성분은 직교 사영으로 얻습니다.

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

켤레 행벡터로서의 브라.

벡터 uu 에 대응하는 선형 범함수 φu\varphi_u 는 모든 벡터 vv 에 대해 다음을 만족해야 합니다.

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

이는 에르미트 내적의 왼쪽 반선형성 때문입니다. 이 합을 행렬 곱으로 얻으려면 ⟨u∣\bra{u} 는 uu 의 켤레 좌표로 이루어진 행벡터여야 합니다.

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

그러면 내적 ⟨u|v⟩\braket{u}{v} 가 보통 행렬 곱으로 얻어집니다.

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

따라서 브라 ⟨u∣\bra{u} 는 켓 ∣u⟩\ket{u} 의 전치 켤레, 즉 « 켤레 전치 »입니다. 유한 차원에서는 dagger 연산이 켤레 전치를 취하는 것과 같습니다.

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

무한 차원에서는 전치가 정의되지 않으므로 이 명제는 성립하지 않으며 의미조차 없습니다1.

주 1: 굳이 비슷한 경우를 찾자면, 공간 ℓ2(N)\ell^2(\N) 와 제 3.2 (주제 2, 과 1) 절에서 자세히 다룬 표준 기저에서 무한 열벡터나 행벡터를 생각하고 유한 합을 수렴 급수로 바꾸면 상당히 비슷합니다. 직관을 형성하는 데 도움이 되지만 엄밀히는 행렬이 아닙니다. L2(R)L^2(\R) 에서는 이런 표현이 전혀 의미 없지만, 여기에도 적분에 의한 유사물이 존재합니다. 다음 수업을 참조하세요.
연산자의 행렬 표현.

유한 차원의 정규직교 기저 {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n 에서 모든 선형 연산자 A^\hat{A} 는 다음과 같이 전개됩니다.

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

이로써 유한 차원에서 모자 기호를 쓴 선형 연산자 A^\hat{A} 와 모자 없는 그 행렬 AA 를 자연스럽게 동일시합니다. 위 공식은 행렬 전개 A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij} 에 대응하는 디랙 표현입니다. 여기서 EijE_{ij} 는 (i,j)(i,j) 위치에 11 이 있고 나머지가 0인 기본 행렬입니다. 따라서 EijE_{ij} 는 연산자 ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j} 를 나타내는 행렬입니다. 계수 AijA_{ij} 는 기저 {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\} 에서 연산자 A^\hat{A} 의 행렬 원소라고 부르며 다음과 같습니다.

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

다만 보기 좋은 형식 때문에 보통은 다음과 같이 씁니다.

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

항등 연산자의 행렬은 물론 단위행렬이며, 행렬 원소는 δij\delta_{ij}, 즉 크로네커 기호입니다.

연산자의 대각합.

앞으로 연산자 A^\hat{A} 의 대각합을 자주 고려합니다. 디랙 표기법으로는 다음과 같이 계산합니다.

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

이 표현은 정규직교 기저의 선택과 무관합니다.

수반과 켤레 전치.

유한 차원에서 수반 A^†\hat{A}^\dagger 를 나타내는 행렬은 연산자 A^\hat{A} 를 나타내는 행렬의 켤레 전치입니다.

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

앞서 본 계산 규칙을 실제로 사용하는 방법을 보여 주므로 여기서 짧은 증명을 제시합니다. 정의에 따라 A^†\hat{A}^\dagger 의 행렬 원소는

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

한편 수반의 정의에서

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

에르미트 대칭성을 이용하면 ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^* 이며, 이는 행렬 원소 Aji∗A_{ji}^* 에 불과합니다. 따라서

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

이고 성질이 증명됩니다. 그러므로 유한 차원에서는 구체적인 행렬 계산으로 연산자가 에르미트인지, 유니터리인지 등을 확인할 수 있습니다.

3. 참고문헌

이 강의에는 아직 참고문헌이 추가되지 않았습니다.