1. 쌍대성의 생각

쌍대성은 이 수업 전체를 관통하는 주제입니다. 먼저 직관적으로 해석해 봅시다. 수학에서 쌍대성은 여러 상황을 아우르지만, 힐베르트 공간에서는 단순하면서도 깊은 생각을 표현합니다. 벡터는 그 자체로 하나의 대상일 뿐 아니라, 다른 벡터에 작용하여 수를 만들어 내는 연산자로도 볼 수 있다는 것입니다. 즉 선형 범함수로 볼 수 있습니다. 양자역학에서 이렇게 얻은 수는 확률 진폭입니다.

양자 형식 체계는 이 두 측면을 모두 활용하며, 디랙 표기법은 이를 쉽게 다루도록 고안된 영리한 표기 체계입니다. $\ket{u}$ 로 쓰는 켓은 공간의 벡터를 나타내고, $\bra{u}$ 로 쓰는 브라는 그 벡터들에 작용하는 선형 범함수를 나타냅니다. 둘을 결합한 $\langle u|v\rangle$ 는 브라켓이라는 스칼라를 만들며, $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ 형태의 식은 연산자를 기술합니다.

이 표기법은 양자물리학의 표준 언어로 자리 잡았으므로 완전히 익혀야 합니다. 이 수업 뒤에는 계산 규칙을 정리한 공식표를 제공합니다. 실제로 기호 뒤에 있는 수학을 제대로 이해하지 않고도 기호를 다루는 법을 배울 수 있습니다. 하지만 깊은 의미를 이해하려면 여기서 제시하는 과정을 따라가야 합니다. 벡터와 선형 범함수를 완전히 대응시키는 구성을 이해하고, 그 과정이 왜 또 하나의 핵심 대상인 연산자의 수반을 자연스럽게 정의하게 하는지 알아야 합니다.

다음 절에서는 벡터 공간과 그 대수적 쌍대 공간 사이에 그러한 동형사상을 만들려고 합니다. 대수적 쌍대 공간은 그 공간의 모든 선형 범함수의 집합으로 정의합니다. 이것이 불가능함을 보게 됩니다. 유한 차원 벡터 공간은 실제로 자신의 쌍대와 동형이지만, 그 동형사상은 표준적이지 않습니다. 임의로 고른 기저에 의존하기 때문입니다. 무한 차원에서는 더 나빠져 그러한 동형사상 자체가 없습니다. 이런 장애 때문에 벡터와 선형 범함수를 자동으로 동일시할 수 없으며, 힐베르트 공간의 더 풍부한 구조가 필요합니다.

제3절에서는 이 추가 구조로 어려움을 극복하는 방법을 보여 줍니다. 내적을 이용하고, 이른바 위상적 쌍대를 이루는 연속 선형 범함수로 범위를 제한하면 놀라운 결과를 얻습니다. 리스 정리는 차원에 관계없이 모든 힐베르트 공간과 그 위상적 쌍대 사이에 표준적인 반선형 등거리 동형사상이 존재한다고 말합니다.

이 결과는 디랙 표기법에 엄밀한 기초를 제공합니다. 제4절과 제5절에서 켓, 브라, 선형 연산자의 표기법을 자세히 설명하고, 제6절에서는 리스 동형사상에서 연산자의 수반이 자연스럽게 나타나는 과정을 보입니다. 제7절은 전체 구성을 하나의 도식으로 정리합니다. 이 수업에서는 항상 체 $\mathbb{C}$ 위에서 논의하며, 이론을 설명하는 구체적 예로 유한 차원인 경우를 사용합니다.

2. 선형 범함수와 대수적 쌍대

$E$ 를 $\C$ 위의 벡터 공간이라 합시다. 그 대수적 쌍대 $E^*$ 를 $E$ 위의 선형 범함수, 즉 선형 사상 $\varphi : E \to \C.$ 전체의 집합으로 정의합니다.

유한 차원 $n$ 에서 $E$ 의 기저 $(e_1,\dots,e_n)$ 을 고정하면, $E^*$ 안에 대응하는 선형 범함수의 족 $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ 을 다음 관계로 정의할 수 있습니다.

$$\theta_j(e_i)=\delta_{ij}$$

이 족은 선형 독립이고 공간 전체를 생성하므로 $E^*$ 의 기저임을 증명할 수 있습니다. 이를 쌍대 기저라고 합니다. 따라서 $\dim(E^*) = \dim(E)$ 이며 $E$ 와 $E^*$ 는 동형입니다. 가능한 동형사상 하나는 각 벡터 $x = \sum x_i e_i$ 에 선형 범함수 $w_x = \sum x_i \theta_i$ 을 대응시키는 사상 $T$ 입니다.

하지만 동형사상 $T$ 는 처음에 선택한 $E$ 의 기저에 의존한다는 점에서 인위적입니다. 기저를 바꾸면 사상 $T$ 도 달라집니다. 따라서 벡터 공간과 그 대수적 쌍대 사이에는 표준적인, 즉 자연스러운 동일시가 없습니다.

무한 차원에서는 대수적 쌍대의 차원이 엄밀히 더 크기 때문에 $E$ 가 자신의 대수적 쌍대와 동형일 수 없다는 고전적 결과가 있습니다(에르되시–카플란스키 정리 참조). 예를 들어 $E$ 의 대수적 차원이 가산이면 그 대수적 쌍대의 대수적 차원은 비가산입니다.

따라서 두 경우 모두 벡터와 선형 범함수 사이에 표준적인 동일시는 없습니다.

3. 위상적 쌍대와 리스 정리

힐베르트 공간 $\H$ 에서는 내적에 대응하는 노름으로 특별한 선형 범함수, 즉 연속인 것들을 구별할 수 있습니다. $\varphi : \H \to \C$ 가 $x_0$ 에서 연속이라는 것은

$$\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 : \|x - x_0\|_\H < \delta \implies |\varphi(x) - \varphi(x_0)| < \varepsilon,$$

을 뜻합니다. 또한 한 점에서 연속이면 선형성에 의해 모든 점에서 연속입니다¹. 연속 선형 범함수의 집합은 대수적 쌍대의 벡터 부분공간을 이룹니다. 이를 위상적 쌍대라 하고, 여전히 표기를 다소 느슨하게 사용하여 $\H^*$ 로 씁니다.

참고: 이 노름은 나중에 만날 연산자 노름의 특수한 경우입니다(제 1.5 (주제 4, 과 3, 이 언어로 제공되지 않음)절 참조). 앞의 구성 자체는 모든 노름 공간에 적용됩니다. 힐베르트 공간에 고유한 점은 다음 정리입니다. 내적을 이용하면 모든 연속 선형 범함수와 벡터 사이의 일대일 대응을 만들 수 있습니다.

$\mathcal{H}$ 에서 $\H^*$ 로 가는 사상 $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ 는 단지 내적 공간만 가정해도 단사임에 주목합시다. 실제로 $\varphi_u = \varphi_v$ 이면 $\mathcal{H}$ 의 모든 $x$ 에 대해 $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$ 입니다. $x = u - v$ 를 택하면 내적의 양의 정부호성으로 $u = v$ 를 얻습니다.

리스 정리는 이 사상이 전사이기도 하다고 말합니다. 이는 자명하지 않으며 힐베르트 공간에서만 성립합니다. 예를 들어 완비가 아닌 내적 공간에는 그 공간의 벡터와의 내적으로 표현할 수 없는 연속 선형 범함수가 있으므로, 이 사상은 전사가 아닙니다.

따라서 리스 정리는 우리가 찾던 $\mathcal{H}$ 와 $\mathcal{H}^*$ 사이의 전단사 $\Phi$ 를 제공합니다. 다음 따름정리를 얻습니다.

증명.

1. 반선형성은 $\H$ 의 내적이 갖는 반선형성에서 나옵니다. $\Phi(\lambda u) = \varphi_{\lambda u} = \langle \lambda u, . \rangle = \lambda^* \langle u, . \rangle = \lambda^* \, \varphi_u = \lambda^* \, \Phi(u)$.
2. 등거리성, 즉 $\|\Phi(u)\|_{\H^*} = \|u\|_\H$ 를 보입시다. 먼저 $$\|\varphi_u\|_{\H^*} = \sup_{\|x\|=1} |\langle u,x\rangle| \leq \|u\|_\H$$ 이며 이는 코시–슈바르츠 부등식에 따릅니다. $u \neq 0$ 이면 $x = u/\|u\|$ 에서 등호가 성립합니다. $u = 0$ 일 때는 자명합니다.
3. 등거리 전단사 $\Phi$ 를 이용해 $\H$ 의 내적을 $\H^*$ 로 옮기며 다음과 같이 정의합니다. $$\langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} \equiv \langle \Phi^{-1}(\varphi_v), \Phi^{-1}(\varphi_u) \rangle_{\mathcal{H}} = \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}}.$$ $\Phi$ 의 반선형성을 보상하려고 순서를 뒤집어 u, v 대신 v, u를 사용했음에 주목하세요. 실제로 $\H^*$ 위에서 이 내적의 반쌍선형성을 확인하면, $\langle \lambda \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle \varphi_{\lambda^*u}, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle v, \lambda^*u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*}$ 입니다. 내적의 다른 공리들도 쉽게 증명됩니다.
4. 이 내적이 유도하는 노름은 $$\sqrt{\langle \varphi_u, \varphi_u \rangle_{\H^*}} = \sqrt{\langle u,u \rangle_{\H}} = \|u\|_\H = \|\varphi_u\|_{\H^*},$$ 을 만족하므로 쌍대 노름과 같습니다.
5. 마지막으로, 완비 공간에서 출발하는 등거리 전단사는 완비성을 보존하므로 $\H^*$ 의 완비성, 따라서 힐베르트 공간이라는 성질이 보장됩니다. 이 사실은 여기서 증명 없이 받아들입니다.

이렇게 $\H^*$ 는 힐베르트 공간 구조를 물려받으며, $\Phi$ 는 힐베르트 공간 사이의 반선형 동형사상이 됩니다. □

4. 디랙 표기법: 브라, 켓, 브라켓

디랙 표기법은 결국 리스 동형사상을 다시 쓰는 것에 불과합니다. 먼저 켓, 브라, 브라켓을 정의한 다음, 이들로 앞 수업의 힐베르트 기저 전개를 다시 씁니다.

1. 켓. 벡터 $u \in \mathcal{H}$ 를 켓 형태로 다음과 같이 씁니다. $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$ 선형 구조에서 다음 계산 규칙을 얻습니다. $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. 브라. 각 벡터 $u \in \H$ 에는 $\Phi$ 를 통해 범함수 $\varphi_u$ 가 대응합니다. 이 선형 범함수를 브라로 나타내고, 그 안에는 대응하는 벡터를 적습니다. $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$ 따라서 $\bra{u}$ 는 벡터 $u$ 를 선형 범함수로 본 것, 즉 « $u$ 와 내적을 취해 수를 반환하는 » 작용을 나타냅니다. 다음 계산 규칙이 있습니다. $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ 이는 $\Phi$ 의 반선형성에서 따릅니다.
3. 브라켓. 앞의 두 표기법을 이용하면 내적, 영어로 bracket 또는 inner product를 브라와 켓의 곱으로 나타낼 수 있습니다. $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$ 이 표기는 실제로 선형 범함수 $\bra{u}$ 가 벡터 $\ket{x}$ 에 작용함을 반영합니다. $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. 힐베르트 기저 전개. 힐베르트 공간의 차원에 관계없이 전개 공식 $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$ 를 보았습니다. 합이 유한하거나, $I$ 가 무한이면 $\mathcal{H}$ 에서 수렴합니다. 디랙 표기법으로는 다음과 같습니다.
   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)
   여기서 $u_i$ 는 이 기저에서 켓 $u$ 의 성분입니다. $e_i$ 로의 직교 사영으로 $u_i = \braket{e_i}{u}$ 을 얻는 것이며, $u_i^*$ 와 같은 $\braket{u}{e_i}$ 가 아니라는 점에 주의하세요. 이는 흔한 실수입니다. 아마 $\R^n$ 위의 보통 벡터 계산에서 벡터 $\vec{v}$ 의 성분 $v_i$ 을 $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$ 로 구하므로 양자 경우에도 $u_i = \braket{u}{e_i}$ 라고 생각하기 때문일 것입니다. 그러나 이는 $\C$ 위 내적의 반쌍선형성을 무시하여 즉시 계산 오류를 일으킵니다. 브라에 대해서는
   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)
   이고, 노름의 제곱은
   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   으로 씁니다. 두 번째 등식은 파르세발 등식입니다.
5. « dagger » 연산. 동형사상 $\Phi$ 의 적용, 즉 켓에서 브라로 가는 연산은 보통 위첨자 $\dagger$ 로 표시합니다. 브라에서 켓으로 가는 역동형사상 $\Phi^{-1}$ 도 같은 기호로 쓰기로 합니다. 따라서 dagger 연산은 대합이 됩니다. 이 표기 약속에 의해 $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(사상 } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(사상 } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(대합)} \end{aligned}$$

유한 차원에서 이 내용을 구체적으로 살펴봅시다. 차원이 $n$ 인 $\H$ 와 힐베르트 기저 $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ 를 택하고 표준 내적을 갖춘다고 합시다(제 3.1 (주제 2, 과 1)절 참조). 기저의 켓을 표준적으로 열벡터, 즉 $(n,1)$ 행렬로 나타내면

$$\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}$$

입니다. $1$ 은 $i$ 번째 위치에 있습니다. 따라서 모든 켓 $\ket{u}$ 를 열벡터로 쓸 수 있습니다.

$$\ket{u} = \sum_{i=1}^n u_i \ket{e_i} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,$$

여기서 $u_i = \braket{e_i}{u}$ 입니다. 벡터 $u$ 에 대응하는 선형 범함수 $\varphi_u$ 는 모든 벡터 $v$ 에 대해 다음을 만족해야 합니다.

$$\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i, \quad \text{(표준 내적, 공간은 } \C^n)$$

이 합을 얻으려면 $\bra{u}$ 를 $u$ 의 켤레 좌표로 이루어진 크기 $(1, n)$ 의 행벡터로 나타내야 합니다.

$$\bra{u} = \left(u_1^*, u_2^*, \cdots, u_n^*\right),$$

그러면 내적 $\braket{u}{v}$ 가 보통의 행렬 곱으로 얻어지기 때문입니다.

$$\begin{aligned} \braket{u}{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}$$

예를 들어 2차원에서는

$$\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \bra{u} = (1, -i)$$

다음 결과를 얻었습니다.

무한 차원에서는 전치가 정의되지 않으므로 이 표현이 의미 없다는 점에 주의하세요. 다만 공간 $\ell^2(\N)$ 의 표준 기저에서 무한 열벡터나 행벡터를 생각하고 유한 합을 수렴 급수로 바꾸면 꽤 비슷하게 작동합니다. 직관을 만드는 데는 유용하지만, 엄밀히 말해 행렬이나 전치는 아닙니다.

5. 연산자, 행렬 원소, 항등 연산자의 분해

디랙 표기법의 설명을 이어 가며, 이번에는 $\mathcal{H}$ 에서 $\mathcal{G}$ 로 가는 선형 사상, 즉 선형 연산자 $\hat A$ 를 도입합니다. $\mathcal{G}$ 는 또 다른 힐베르트 공간입니다.

연산자의 표기. 먼저 물리학에서는 연산자를 보통 모자 기호로 표시합니다. 연산자 $\hat A$ 가 벡터 $v$ 에 작용하면 벡터 $\hat A v$ 를 얻습니다. 디랙 표기법에는 두 가지 동등한 표현이 있으며, 두 번째를 더 자주 사용합니다.

$$\boxed{v = \hat A \, u \quad \longleftrightarrow \quad \ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u} \equiv \hat A \ket{u}}.$$

마찬가지로 연산자가 들어간 내적은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\boxed{\langle w, \hat A \, u \rangle \quad \longleftrightarrow \quad \braket{w}{\smash{\hat{A}} u} \equiv \bra{w} \hat A \ket{u} }$$

보기 좋은 형식 때문에 두 번째 표기가 더 흔합니다.

행렬 원소. 위 식에서 $\bra{w} = \bra{e_i}$ 이고 $\ket{u} = \ket{e_j}$ 인 경우는 특히 중요합니다. 연산자 $\hat A$ 의 행렬 원소라 부르는 것을 정의하기 때문입니다.

무한 차원에서는 $\ket{e_i}$ 가 연산자 $\hat A$ 의 정의역에 속해야 하므로 이 식이 항상 의미 있는 것은 아닙니다. 이 점은 나중에 다시 다룹니다. 반면 유한 차원에서는 정의가 명확합니다. 기저 벡터를 열벡터로 나타내면 선형 연산자는 이를 표현하는 행렬과 일대일 대응하므로 $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ 로 쓰며 $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$ 입니다. 위 등식 $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ 는 보통의 행렬 곱 $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$ 로 나타나고, 내적은 $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$ 으로 씁니다.

켓–브라 연산자. 브라켓은 수이지만, 켓–브라는 외적이라 부르는 연산자입니다. 여기서 외적은 미분 형식의 외적과는 관계없습니다. 실제로 같은 힐베르트 공간 $\H$ 의 두 벡터 $\ket{u}$ 와 $\ket{v}$ 에 $\H$ 에서 $\H$ 로 가는 연산자 $\ket{u}\bra{v}$ 를 다음과 같이 대응시킵니다.

$$\begin{aligned} \ket{u}\bra{v} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{x} \mapsto \ket{u} \underbrace{\braket{v}{x}}_{\in \mathbb{C}} = \braket{v}{x} \, \ket{u}. \end{aligned}$$

여기서도 유한 차원에서는 $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$ 가 특히 중요합니다. 이 연산자의 행렬 원소는 $i$ 행 $j$ 열의 “1” 하나를 제외하면 모두 0입니다. 따라서 대응하는 행렬은

$$\begin{aligned} E_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}, \end{aligned}$$

유한 차원에서 모든 선형 연산자 $\hat{A}$ 는 행렬 원소에 따라 다음과 같이 전개됩니다.

$$\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\hat E_{ij} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }$$

여기서 $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$ 입니다. 무한 차원에서는 이 전개가 항상 가능한 것은 아니며, 존재하더라도 강수렴의 의미로 이해해야 합니다. 이후 수업에서 다시 다룹니다.

항등 연산자의 분해. $\mathcal{H}$ 의 항등 연산자는 $\mathbf{1}$ 로 나타내며, 모든 $\ket{x} \in \mathcal{H}$ 에 대해 자명한 관계 $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ 로 정의합니다. 유한 차원에서는 당연히 단위행렬로 표현됩니다. 더 일반적으로 다음 공식이 있습니다.

이는 가산 무한 차원에서도 성립하며 그때 급수는 강수렴합니다. 항등 연산자의 분해 또는 완비성 관계라고도 합니다. 이 공식은 양자역학의 모든 계산에서 매우 유용합니다. 비가분 공간에서는 성립하지 않음에 주의하세요²

6. 수반 연산자

리스 동형사상으로 돌아가, $\mathcal{H}$ 에서 $\mathcal{G}$ 로 가는 연속 선형 연산자³ $\hat{A}$ 를 생각합시다. $\H$ 와 $\G$ 는 두 힐베르트 공간이며 $\H = \G$ 일 수도 있습니다.

$\hat{A}$ 가 켓 $\ket{u} \in \mathcal{H}$ 에 작용하면 새로운 켓 $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$ 를 얻습니다. 리스 동형사상을 통해 벡터 $\ket{v}$ 에 대응하는 브라는 무엇인지, 즉 $\G$ 위의 선형 범함수 $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ 가 무엇인지 묻게 되는 것은 자연스럽습니다. 이는 자연스럽게 새로운 연산자인 $\hat{A}$ 의 수반으로 이어지며, 이 역시 $\hat{A}^\dagger$ 로 표시합니다. 이 연산자는 양자역학에서 핵심 역할을 합니다.

$\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ 를 구하기 위해 임의의 켓 $\ket{w} \in \mathcal{G}$ 를 고정하고 $\H$ 위의 선형 범함수를 생각합시다.

$$\begin{aligned} \varphi : \begin{array}{rcl} \mathcal{H} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\[4pt] \ket{u} & \longmapsto & \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} \end{array} \end{aligned}$$

위에서 첨자 $\G$ 는 내적을 취할 공간을 나타냅니다. 여기서는 $\hat{A}$ 가 연속 연산자일 때 $\varphi$ 가 $\mathcal{H}$ 위의 연속 선형 범함수임을 받아들입니다. $\mathcal{H}$ 에 리스 정리를 적용하면 $\varphi = \varphi_z$ 를 만족하는 유일한 벡터 $\ket{z} \in \mathcal{H}$ 가 존재합니다. 즉

$$\forall\, \ket{u} \in \mathcal{H}, \quad \varphi(u) = \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} = \varphi_z(u) = \langle u, z \rangle_{\mathcal{H}}.$$

앞의 구성은 $\G$ 의 벡터 $\ket{w}$ 에 $\H$ 의 유일한 벡터 $\ket{z}$ 를 대응시킵니다. 형식적으로 이 연산은 수반 연산자라 부르는 $\hat{A}^\dagger$ 의 작용을 통해 $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$ 로 쓸 수 있습니다. 따라서 연산자 $\hat A$ 는 $\H$ 에서 $\G$ 로 작용하고, 수반은 $\G$ 에서 $\H$ 로 작용합니다.

모든 $\ket{w}$ 에 대해 이 구성을 하면, 이렇게 정의된 연산자가 연속 선형 연산자임을 쉽게 확인할 수 있습니다. 다음 기본 결과를 얻습니다.

수반은 형식적인 양자 계산에서 두 가지 실용적인 용도가 있습니다.

1. 위 공식은 말하자면 « $u$ 와 $w$ 의 위치를 고정한 채, 수반을 취하여 연산자를 왼쪽에서 오른쪽으로 옮길 수 있다 »는 뜻입니다.
2. 내적의 에르미트 대칭성 $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$ 를 이용하면 다음도 얻습니다.
   $$\boxed{\forall\, \ket{u} \in \mathcal{H},\ \forall\,\ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)
   이번에는 « 수반을 취하면 복소 켤레를 동반하여 브라와 켓을 교환할 수 있다 »는 뜻입니다.

두 항등식은 동등합니다. 물론 출발 공간과 도착 공간 $\H$ 와 $\G$, 그리고 $\H$ 와 $\G$ 중 어느 내적을 사용하는지 주의해야 합니다. 하지만 실제로는 거의 항상 $\H = \G$ 이므로 표기가 그만큼 간단해집니다.

앞의 구성을 유한 차원에서 살펴봅시다. 다음 주요 결과가 있습니다.

증명.

정의에 따라 $\hat{A}^\dagger$ 의 행렬 원소는 $$(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}^\dagger \ket{e_j} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.$$

수반의 정의에서

$$\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}$$

또 에르미트 대칭성에서

$$\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^* = \bra{e_j}\hat{A} \ket{e_i}^* = A_{ji}^*$$

따라서 다음이 증명됩니다.

$$(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}$$

□

켓 $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$ 에 표준적으로 대응하는 브라 $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ 는 무엇인가라는 질문에는 아직 명시적으로 답하지 않았습니다. 공식 (6) 은 모든 벡터 $w$ 에 대해 성립하는 내적을 통해 답을 주므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\forall w \in \mathcal{G}, \quad \braket{\hat{A} u}{w}_{\mathcal{G}} = \bra{u} \hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}} \;\Rightarrow\; \boxed{\bra{\hat{A} u} = \bra{u} \hat{A}^\dagger}$$

이 결론은 모든 벡터 $w$ 에서 일치하는 두 선형 범함수가 같다는 사실에서 나옵니다. 하지만 이 대상의 의미를 정확히 이해하는 것이 중요합니다. 이 표기 때문에 « 수반이 브라에 왼쪽으로 작용한다 »고 생각하는 경우가 흔합니다. 이는 틀렸습니다! $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ 는 실제로 연산자의 합성이며 왼쪽 작용이 아닙니다. 실제 출발 공간과 도착 공간은

$$\begin{aligned} \hat A^\dagger &: \mathcal G \to \mathcal H, \\ \bra{u} &: \mathcal H \to \mathbb{C}, \end{aligned}$$

이므로 $\bra{u} \hat A^\dagger$ 는 합성 $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$ 이며, 분명 $\mathcal{G}$ 위의 선형 범함수입니다. 보통 기호 $\circ$ 를 생략하기 때문에 혼동이 생길 수 있습니다.

마지막으로 $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$ 에서 dagger를 취하면 유용한 공식을 얻습니다.

다음 그림은 이 수업에서 본 브라, 켓, 연산자 $\hat A$ 와 그 수반 사이의 관계를 정리합니다.

수반 연산의 중요한 성질 몇 가지로 이 절을 마무리합니다.

증명.

(합성의 경우): 모든 $\ket{u} \in \mathcal{H}$ 와 $\ket{w} \in \mathcal{G}$ 에 대해 기본 항등식 (6) 을 두 번 사용합니다. $$\braket{(\hat{A}\hat{B})u}{w} = \braket{\hat{A}(\smash{\hat{B}}u)}{w} = \braket{\smash{\hat{B}}u}{\smash{\hat{A}}^\dagger w} = \braket{u}{\smash{\hat{B}}^\dagger(\smash{\hat{A}}^\dagger w)} = \braket{u}{(\smash{\hat{B}}^\dagger \smash{\hat{A}}^\dagger) w}.$$

수반의 유일성으로 결론이 따릅니다. □

7. 참고문헌