힐베르트 공간과 디랙 표기법

1. $L^2(\mathbb{R})$ 의 일반화된 연속 기저

모형 공간 $L^2(\R)$ 는 제 3.3 (주제 2, 과 1) 절에서 이미 자세히 설명했습니다. 특히 가산 힐베르트 기저를 제시했습니다. 따라서 모든 물리 상태는 에르미트 함수 기저에 대한 급수로 전개됩니다. 하지만 이 함수들의 구체적인 식은 상당히 복잡합니다.

그래서 다른 “기저”를 도입했습니다. 이는 힐베르트 기저의 의미에서 실제 기저가 아니라, 이른바 일반화된 연속 기저입니다. 여기서 무한 차원으로 넘어가는 과정은 섬세하며, 엄밀한 구성에는 다음 주제인 선형 연산자 이론의 도구가 필요합니다. 따라서 당장은 아래 공식들을 받아들이되, 이것이 이 “기저”에서 디랙 표기법을 사용하는 방법이지 완성된 수학적 구성은 아니라는 점을 기억해야 합니다.

1.1. 위치 표현의 일반화된 기저

그래도 몇 가지 생각을 설명해 봅시다. 먼저 “위치”라고 부르는 자기수반 연산자를 도입하고 $\hat{X}$ 로 표시합니다. 이 연산자는 힐베르트 공간 $L^2(\mathbb{R})$ 의 함수에 곱셈으로 작용합니다.

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

정의역에 주의하세요. 이 식은 함수 $x\,\psi(x)$ 가 여전히 $L^2(\R)$ 에 있을 때만 의미가 있습니다. 하지만 항상 그렇지는 않습니다. 제곱적분 가능한 함수 중에는 $x$ 를 곱하면 제곱의 적분이 발산하는 것이 있습니다.¹ 따라서 연산자 $\hat{X}$ 는 $L^2(\R)$ 전체에서 정의할 수 없고, 작용 결과가 $L^2$ 에 머무르는 함수 부분공간에서만 정의할 수 있습니다.

명확하게 정의되고 $L^2$ 에서 조밀하며 보통의 연산에 대해 닫힌 정의역을 얻기 위해 여기서 연산은 미분, $x$ 의 곱셈, 푸리에 변환을 뜻하며, 슈바르츠 함수 공간 $\mathcal{S}(\R)$ 를 도입합니다.

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

다시 말해 빠르게 감소하는 매끄러운 함수의 공간입니다. 함수 $f$ 와 그 모든 차수의 도함수가 $x$ 의 어떤 역거듭제곱보다도 빠르게 0으로 갑니다.

공간 $\mathcal{S}(\R)$ 는 다음 성질을 갖습니다.

• $L^2(\R)$ 에서 조밀합니다. $L^2$ 의 모든 함수를 $\mathcal{S}$ 의 함수로 원하는 만큼 잘 근사할 수 있습니다.
• 미분, $x$ 의 곱셈, 푸리에 변환에 대해 닫혀 있습니다.

따라서 위치 연산자 $\hat{X}$ 와 운동량 연산자 $\hat{P}$ 를 올바르게 정의하는 자연스러운 정의역입니다. 디랙 형식 체계와 겔판트 삼중항의 엄밀한 구성도 이 공간에 기초합니다.

이 점들을 주의하면, 당장은 순전히 형식적으로² $\hat{X}$ 의 고유상태를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

이 켓 $\ket{x}$ 들은 이른바 일반화된 연속 기저를 이룹니다. $L^2(\R)$ 의 원소를 연속 중첩으로 나타낼 수 있다는 뜻이며, $\ket{x}$ 자체는 힐베르트 공간의 벡터가 아닙니다.

실제로 이들은 정규화할 수 없으므로 엄밀한 의미의 켓이 아닙니다. 그 이유를 살펴봅시다. 이 족은 비가산이므로 정규직교성을 이산 크로네커 기호 $\delta_{ij}$ 로 쓸 수 없고, 그 « 연속판 »을 사용합니다.

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

특히

입니다. 여기서 도입한 디랙 델타 $\delta(x)$ 는 보통 함수가 아니라 수학의 분포 이론에 나오는 분포입니다. 적분 안에서의 작용으로 정의합니다.

여기서 $f$ 는 슈바르츠 공간의 임의의 시험 함수입니다. $\delta(x)$ 를 단독으로 쓰면 의미가 없으며 수조차 아니라는 점을 이해해야 합니다. 실제로 $\delta$ 는 시험 함수에 작용하는 선형 범함수 $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ 입니다³. 따라서 그 값 $\delta(x)$ 이 아니라, 적분 (2) 안에서의 작용만으로 정의됩니다.

그래도 꼭 함수로 생각하고 싶다면, 0 주위에 점점 더 집중되는 함수열의 극한, 예를 들어 점점 더 뾰족해지는 가우스 함수의 극한으로 볼 수 있습니다.

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

또는 0을 중심으로 폭이 0으로 가고 높이가 무한대로 가는 직사각형을 생각할 수 있습니다. 어느 경우든 이 관점에서 델타는 극한에서 $x = 0$ 을 제외한 곳에서는 0이고 그 점에서는 발산하는 “함수”처럼 보이면서도, 곡선 아래 전체 넓이는 1을 유지합니다.

그래서 물리학에서는 $\delta(0) = \infty$ 라고 쓰기도 하지만, 이 표기와 의미의 비엄밀한 사용을 잘 이해해야 합니다. 어쨌든 식 (1) 에서 켓 $\ket{x}$ 가 정규화되지 않음을 알 수 있습니다. 디랙 델타에는 매우 유용한 적분 표현도 있으며, 아마 이 절에서 가장 중요한 공식일 것입니다.

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

여기서도 등식은 분포 이론의 의미로 이해해야 합니다. 이 적분은 분명 수렴하지 않으므로 그렇지 않으면 아무 의미가 없기 때문입니다.

위치 연산자 $\hat{X}$ 의 “행렬 원소”는 $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$ 입니다. 앞 절의 유한 차원과 비교하여 이 이름을 계속 사용하지만, $\hat{X}$ 를 보통 행렬로 표현할 수는 없습니다. 분포의 의미에서 대각인 “연속 지표 행렬”을 상상할 수는 있지만, 대각선 $x = x'$ 위의 값 자체는 의미가 없습니다. $x\,\delta(0)$ 가 실수가 아니기 때문입니다. 아마 여기서 유한 차원 선형 연산자, 즉 행렬과 무한 차원 선형 연산자의 근본적인 차이가 드러납니다.

일반화된 기저에서 항등 연산자의 분해는 다음과 같습니다.

이를 통해 힐베르트 공간의 모든 켓 $\kpsi$ 를 이 연속 기저 위에서 적분으로 전개할 수 있습니다.

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

여기서 파동함수를 다음과 같이 정의했습니다.

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

마찬가지로 $\kpsi$ 의 켤레 브라는 다음과 같이 전개됩니다.

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

여기서는 내적의 에르미트 대칭성 $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$ 를 사용했습니다.

벡터 $\hat{X} \psi$ 의 $x$ 에서의 성분은 정의에 따라 $\braket{x}{X\psi}$ 이지만, 역시 보기 좋은 형식 때문에 식 (4 (주제 2, 과 2)) 과 비교하여 보통 다음과 같이 씁니다.

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. 운동량 표현

점입자의 양자역학에서는 같은 방식으로 $L^2(\mathbb{R})$ 에 속하는 파동함수 $\psi(x)$ 에 대한 작용을 통해 운동량 연산자를 도입합니다.

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

여기서도 슈바르츠 정의역으로 제한해야 파동함수가 미분 가능하고 그 도함수도 제곱적분 가능하도록 보장할 수 있습니다.

$\hat{P}$ 가 정말 자기수반 연산자임을 확인하는 것은 이 장의 좋은 응용 연습입니다. 이를 위해 먼저 미분 연산자 자체를 다음과 같이 정의하여 살펴봅시다.

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

이는 선형 연산자입니다. 미분이 선형이므로 $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$ 입니다. 이 연산자는 무한 차원 함수 공간에서 미분으로 작용하므로 유한 차원처럼 행렬로 표현할 수 없음이 명백합니다. 따라서 켤레 전치로 수반을 계산할 수는 없지만, 수반의 정의를 사용하면 여전히 계산할 수 있습니다. $\mathcal{S}(\R)$ 의 두 시험 함수 $\phi$ 와 $\psi$ 에 대해

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

가 성립합니다. 정의 2 (주제 2, 과 2) 를 참조하세요. 좌변에 항등 연산자의 분해를 넣으면

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

이므로 연산자 $\hat{D} = d/dx$ 의 수반은 $-\hat{D} = -d/dx$ 입니다. 위 계산에서는 첫째 줄에서 브라와 켓 사이에 항등 연산자의 분해를 넣고, 둘째 줄에서 전개하고, 셋째 줄에서 에르미트 대칭성을 사용했습니다. 넷째 줄은 $\hat{D}$ 와 파동함수의 정의를 사용했고, 다섯째 줄은 $\R$ 에서 부분적분했습니다. 슈바르츠 공간의 함수는 어떤 거듭제곱보다도 빠르게 감소하므로 무한대의 경계항이 사라집니다. 마지막 줄들에서는 파동함수에서 내적으로 돌아가 항등 연산자의 분해를 묶은 뒤 제거했습니다. 따라서 운동량 연산자는 자기수반입니다. 실제로

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

$\hat{P}$ 의 자기수반성은 그 고윳값, 즉 가능한 운동량이 실수이며, 고유함수들이 디랙 분포를 통한 일반화된 의미에서 상태 공간의 완비 기저를 이룸을 보장합니다.

운동량 고유상태. 완전히 같은 방식으로 일반화된 “켓” $\ket{p}$ 를 $\hat{P}$ 의 고유상태로 정의합니다.

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

위치 표현에서 대응하는 파동함수는 $\bra{x}$ 로 사영하여 얻습니다.

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

이는 간단한 미분방정식이며 해는 다음과 같습니다.

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

이 식은 위치 표현과 운동량 표현을 연결하는 변환이 정확히 푸리에 변환임을 보여 줍니다.

직교성과 완비성. 켓 $\ket{p}$ 는 $\ket{x}$ 와 유사한 관계를 만족합니다.

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

운동량 표현의 파동함수를 다음과 같이 정의합니다.

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

따라서 변환 $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ 는 푸리에 변환이고 역변환은 다음과 같습니다.

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

기본 교환 관계. 마지막으로 연산자 $\hat{X}$ 와 $\hat{P}$ 는 정준 교환 관계를 만족합니다.

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

이 관계가 점입자 양자역학 전체의 기초입니다. 실제로 이 절의 모든 공식은 이 정준 관계 하나에서 나옵니다. X와 P 사이의 이 대수에 가능한 힐베르트 공간 표현은 방금 쓴 것뿐임을 증명합니다. 특히 $X$ 는 x의 파동함수에 곱셈으로 작용하고 P는 미분으로 작용하며, 반대 표현에서는 그 역할이 바뀝니다. 이 중요한 결과는 스톤–폰 노이만 정리이며, 뒤에서 자세히 설명합니다.

1.3. 디랙 델타의 성질

이 절과 이 장을 디랙 델타의 유용한 공식 몇 가지로 마무리합니다. 항상 분포의 의미, 즉 델타가 적분 기호 안에 있을 때로 이해해야 합니다.

대칭성:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

동차성:

모든 실수 $a \neq 0$ 에 대해

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

변수 변환:

$f$ 가 매끄러운 함수이고 단순근 $\{x_i\}$ 가 $f(x_i) = 0$ 을 만족하면

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

델타의 도함수:

분포 도함수는 다음으로 정의합니다.

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. 참고문헌