힐베르트 공간과 디랙 표기법

이 강의에서는 힐베르트 공간이 대수학과 위상수학이라는 수학의 큰 분야에서 어디에 어떻게 자리하는지 먼저 보이고, 이를 정확히 정의한다. 이어 힐베르트 공간 분류 정리에 도달한다. 힐베르트 차원이 같은 두 공간은 등거리 동형이다. 힐베르트 차원은 벡터 공간의 대수적 차원과 혼동해서는 안 되며, 둘은 유한 차원에서만 일치한다. 유한 차원, 가산 무한 차원, 비가산 무한 차원 각각의 기준 모형 공간과 초등 양자역학에서의 쓰임을 개괄한다. 끝으로 동형으로 연결된 힐베르트 공간이 정의하는 물리가 불변인지에 관한 문제를 소개한다.

1. 물리학의 수학적 구조

힐베르트 공간으로 가기 위해 이론물리에서 가장 자주 쓰는 ‘수학 지도’를 간단히 복습한다. 다음 쪽은 이를 매우 단순화한, 아주 많은 부분이 빠진 지도지만 이 강의에는 충분하다. 그림 (1) 참조.

점들의 집합이라는 직관적 개념에서 시작하면¹, 집합에 구조를 조금씩 추가해 나간다. 아래에서 이 도식을 차근차근 설명한다.

1.1. 대수적 구조와 벡터 공간

점 집합에서 지도 (1)의 왼쪽 가지인 대수적 구조로 곧장 갈 수 있다. 주로 수의 집합을 설명하는 구조지만 용도가 거기에만 한정되지는 않는다.

이를 위해 점 집합에 하나 이상의 내부 연산을 추가한다. 연산이 결합법칙, 교환법칙, 항등원 존재 등 특정 규칙을 만족하면 구체적인 구조를 얻는다.

그림에는 기본 구조 몇 가지, 마그마(별도 성질을 요구하지 않는 내부 연산 하나를 지닌 집합), 군, 환, 체를 표시했다. 반군, 모노이드, 비가환환 등도 많지만 읽기 쉽게 생략했다. 각 구조는 앞 구조의 특수한 경우다. 모든 체는 환이고, 모든 환은 덧셈에 대해 군이다. 체가 가장 중요한데, 특히 실수나 복소수에 보통의 사칙연산을 갖춘 구조이기 때문이다. 또한 체 위에 벡터 공간을 구성할 수 있다.

그러면 선형결합을 만들고 선형독립인 족, 생성하는 족, 기저와 차원을 논할 수 있다. 이 장에는 구별해야 할 두 기저 개념이 있다. 모든 벡터 공간에서 정의되는 대수적 기저와 힐베르트 공간에만 적용되는 힐베르트 기저다. 유한 차원에서는 일치하지만 무한 차원에서는 그렇지 않다. 대수적 차원과 힐베르트 차원도 구별해야 하므로, 몇 가지를 복습할 필요가 있다.

이는 다른 통상적 정의와 동치다. 족 $(e_i)_{i \in I}$가 기저일 필요충분조건은 선형독립이고 $E$를 생성한다는 것이다. 기저로 벡터 공간의 차원을 정의할 수 있다.

무한 차원에서도 대수적 기저의 정의는 모든 벡터가 기저 벡터의 유한합으로 분해될 것을 요구한다. 실제로 아직 무한합 분해를 허용할 수 없다. 합의 수렴 여부를 알아야 하며, 그러려면 위상이 필요하다. 힐베르트 공간에서는 가능해지고 적절한 힐베르트 기저 개념으로 이어진다. 2.3절 참조.

서로 다른 벡터 공간이 얼마나 있으며 분류할 수 있는지 자연스럽게 묻게 된다. 대수적으로는 가능하다. 이를 위해 동치관계인 벡터 공간 동형이 필요하다. 이는 두 공간 $E$와 $F$ 사이의 선형 구조를 보존하는 일대일 대응이다.

주의: 이 정의는 순수하게 대수적이다. $E$와 $F$에 벡터 구조와 양립하는 위상이 있으면 위상 동형을 따로 구별한다. $T$와 $T^{-1}$가 모두 연속이라는 조건을 추가한다. 노름 공간과 힐베르트 공간에서 다시 다룬다.

그러면 다음 중요한 정리가 있다.

따라서 $\mathbb{K} = \R$ 또는 $\C$ 위에서 유한 차원 $n$의 벡터 공간 모형은 사실상 하나뿐이다. 각각 $\R^n$ 또는 $\C^n$, 곧 실수나 복소수 성분의 $n$차 벡터 집합이다.

무한 차원에서도 분류 원리는 같다. 선택공리를 받아들이면 모든 벡터 공간에 하멜 기저라 부르는 기저가 있음을 보일 수 있다. 분류 정리는 같은 체 $\mathbb{K}$ 위의 두 공간이 동형일 필요충분조건은 기저의 기수가 같다는 것으로 일반화된다.

무한 기저의 기수는 초한 기수로 표현하여 무한의 서로 다른 ‘크기’를 구별한다. 가장 작은 무한 기수 $\aleph_0$는 $\mathbb{N}$뿐 아니라 $\mathbb{Z}$와 $\mathbb{Q}$의 기수이기도 하다. 이어 $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$를 귀납적으로 정의한다. 각 $\aleph_{n+1}$은 $\aleph_n$보다 엄밀히 큰 가장 작은 기수이며 둘 사이 다른 기수는 없다. 수리논리의 연속체 가설은 $\mathbb{N}$과 $\mathbb{R}$ 사이 중간 무한 기수가 없다는 가정이며, 이때 $\aleph_1$이 $\mathbb{R}$의 기수다.

그러나 하멜 기저를 일반적으로 명시적으로 구성할 수 없다는 점에서 이 분류의 실용성은 제한적이다. 벡터 공간 분류는 주로 이론적이다. 노름 공간과 힐베르트 공간에서는 적어도 힐베르트 차원이 유한 또는 가산 무한일 때 정규직교 기저를 명시할 수 있어 상황이 달라진다. 3절 참조.

하지만 힐베르트 공간에 앞서 지도의 가운데 가지를 따라 거리 공간과 노름 공간을 살펴야 한다.

1.2. 거리 공간과 노름 공간

지도 (1)의 가운데 가지에서는 먼저 점 집합에 위상을 주어야 한다. 자세한 내용은 노름 공간과 힐베르트 공간의 위상을 다루는 별도 장에 둔다. 여기서는 위상이 국소성 개념을 주어 수렴, 극한, 연속성을 정의하게 한다는 점만 기억하자. 특히 거리 공간은 위상 공간이다. 점 집합에 거리를 갖춘 공간이며 그 거리로 국소성을 정한다.

이제 지도 1의 대수와 위상 가지를 합칠 수 있다. 바탕 집합 $X$가 벡터 공간인 거리 공간, 다시 말해 거리를 갖춘 벡터 공간을 생각한다. 이는 양자역학에 근본적으로 중요한 구조인 노름 벡터 공간으로 이끌며, 힐베르트 공간은 그 특수한 경우다.

아무 거리나 허용하려는 것은 아니다. 공간이 선형이므로 벡터 구조와 양립하는 거리를 원한다.

이 조건은 거리가 벡터 공간의 기하를 따른다는 뜻이다. 평행이동에 불변이어야 하며 이는 공간의 균질성이고, 닮음변환은 거리의 비를 보존해야 한다^{2  3}. 다음 사실이 노름 공간으로 이어진다. $d$가 벡터 공간 $E$의 양립하는 거리이면 원점, 곧 영벡터까지의 거리 $\norm{x} = d(x, 0_E)$는 노름이다.

증명.

실제로 노름을 정의하는 다음 성질을 만족한다.

1. $\|x\| \geq 0$이고 $\|x\| = 0 \iff x = 0_E$
2. $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$, 모든 $x \in E$와 $\lambda \in \mathbb{K}$에 대해
3. $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$, 모든 $(x,y) \in E^2$에 대해

□

이런 거리를 갖춘 벡터 공간이 노름 벡터 공간이다.

모든 노름 벡터 공간 $(E, \|\cdot\|)$은 $d(x,y) = \|x-y\|$를 통해 자연스럽게 거리 공간 $(E, d)$를 정하며, 이 거리는 자동으로 벡터 구조와 양립한다. 따라서 노름 벡터 공간은 거리 공간의 특정 부분류와 일대일 대응하고, 그런 의미에서 부분집합이다.

2. 힐베르트 공간

이제 그림 (1)의 노름 공간에 도달했다. 보통 노름 벡터 공간을 간단히 노름 공간이라 부르며 프랑스어에서는 약자 EVN도 흔하다. 다음은 준힐베르트 공간, 그리고 양자역학의 수학적 틀인 힐베르트 공간을 정의하는 일이다.

양자역학은 복소수 위에 세워지므로 이제부터 $\mathbb{K} = \C$에 한정한다. 지금까지 벡터 공간과 노름 공간에 $E$, $F$를 썼지만, 앞으로 (준)힐베르트 공간에는 $\mathcal{H}$와 $\mathcal{G}$를 쓴다. 벡터는 계속 $x, y, z$ 등으로 적는다.

2.1. 준힐베르트 공간과 내적

준힐베르트 공간은 노름이 내적에서 나오는 노름 벡터 공간이다. 모든 노름이 그렇지는 않다. 예를 들어 상한 노름은 내적에서 얻을 수 없다⁴. 따라서 준힐베르트 공간은 노름 벡터 공간의 진부분류다. $\C$ 위 에르미트 내적을 복습하자.

(1)과 (2)를 결합하면 첫째 인자에 대한 켤레선형성, 또는 반선형성이 나온다⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. 한 인자에 선형이고 다른 인자에 켤레선형인 사상을 반쌍선형이라 한다⁶. 앞으로는 에르미트라는 말은 암묵적으로 두고 내적이라고만 부른다.

위상적 성질을 앞당겨 중요한 결과를 말하자. 내적은 두 변수에 대해 연속이다. 즉 노름의 의미에서 $x_n \to x$, $y_n \to y$, 곧 $\|x_n - x\| \to 0$, $\|y_n - y\| \to 0$이면

$$\langle x_n, y_n \rangle \to \langle x, y \rangle \text{ 가 } \C$$

에서 성립한다. 양자측정 공준에서는 계가 상태 $\psi$일 때 고유벡터 $\phi$에 대응하는 물리량 결과의 확률이 $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$임을 볼 것이다(제 1.2 (주제 3, 과 1, 이 언어로 제공되지 않음)절 참조). 따라서 내적의 연속성은 상태 $\psi$의 작은 변화가 확률의 작은 변화만 일으키도록 보장한다. 이는 바람직한 성질이다.

내적은 또 다른 기본 성질을 만족한다.

특히 이 부등식으로 사상 $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$가 기호가 암시하듯 실제 노름임을 증명한다.

증명.

노름의 세 조건을 확인한다. $\|x\|^2 = \langle x, x \rangle \geq 0$이며 등호는 $x = 0_{\H}$일 때만 성립한다. 내적 정의에서 바로 나온다. 또한 $\|\lambda x\| = \sqrt{\langle \lambda x, \lambda x \rangle} = \sqrt{|\lambda|^2 \langle x, x \rangle} = |\lambda| \|x\|$다. 마지막으로 $$\begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \langle x+y, x+y \rangle \\ &= \|x\|^2 + 2\,\Re\langle x, y \rangle + \|y\|^2 \\ &\leq \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2. \end{aligned}$$

코시–슈바르츠 $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\|\,\|y\|$를 사용하면,

$$\|x+y\|^2 \leq \|x\|^2 + 2\|x\|\,\|y\| + \|y\|^2 = \bigl(\|x\| + \|y\|\bigr)^2,$$

제곱근을 취해 삼각부등식을 얻는다. □

이제 다음 정의에 도달한다.

복소 준힐베르트 공간 $\mathcal{H}$에서는 다음 공식들이 유용하다.

마지막 두 공식은 에르미트 내적과 노름의 관계를 주는 중요한 정리와 연결된다. 프레셰–폰 노이만–조르당 정리는 노름 공간 $E$의 노름 $\|\cdot\|$가 내적에서 나올 필요충분조건이 평행사변형 항등식을 만족하는 것이라고 말한다. 이 항등식은 내적의 존재를 확인하는 판정법이다. 존재한다면 편극 공식으로 노름에서 내적을 복원한다.

2.2. 완비성과 힐베르트 공간

준힐베르트에서 힐베르트로 넘어가려면 필수적인 위상 개념인 완비성이 필요하다.

이 위상적 내용은 해당 장에서 다시 다룬다. 지금은 완비성이 양자물리에 필수라는 점만 강조한다. 직관적으로 완비 공간에는 ‘구멍’이 없다. $\mathcal{H}$의 원소 수열이 $\mathcal{H}$ 밖의 무언가로 수렴할 수 없다는 뜻이다. 유리수에는 이 성질이 없다. 잘 만든 유리수 수열은 유리수가 아닌 수로 갈 수 있으며, 실제로 실수를 그렇게 구성한다.

양자역학에서 계의 모든 물리 상태는 힐베르트 공간의 벡터이며 역도 성립한다. 이것이 첫 공준이다. 상태 공간이 완비가 아니면, 예를 들어 슈뢰딩거 방정식에 따른 파동함수의 진화가 ‘공간 밖으로’ 나가 ‘비물리적 상태’가 될 수 있는데, 이는 의미가 없다.

완비성은 또 다른 기본 공준에도 관여한다. 양자측정 결과는 자기수반 선형 연산자로 보는 물리적 관측량의 스펙트럼에 대응해야 한다. 완비가 아닌 공간에서는 연산자의 수반이 항상 있는 것이 아니며, 자기수반 연산자의 구조를 연구하는 스펙트럼 정리에도 완비성이 필요하다.

끝으로 푸리에 급수 전개나 고유상태 기저 분해처럼 무한합을 포함하는 모든 양자 표현은 의미를 가지려면 완비성이 필요하다. 예를 들어 디랙 표기로 $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$라 쓰는 것은 해당 급수의 존재를 가정하며, 이는 완비성만이 보장한다(제 4 (주제 2, 과 2)절 참조).

그러나 좋은 소식이 있다. 완비성의 이 미묘한 문제는 무한 차원에서만 필요하다. 유한 차원에서는 중요한 정리가 문제를 단순하게 한다.

이제 힐베르트 공간의 대수적 설명으로 넘어갈 수 있다.

2.3. 대수적 기저와 힐베르트 기저

위에서 벡터 공간의 대수적 기저를 복습했다(정의 2). 벡터를 유한합으로 분해하는 개념이었다. 노름이 유도하는 위상과 완비 공간을 도입한 핵심은 이제 수열의 수렴을 말할 수 있다는 것이다. 특히 어떤 벡터 $x_k$들에 대해 $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$인 부분합 $(x_n)$의 수렴을 볼 수 있다. 합이 수렴하면 급수, 즉 무한합이 된다. $(x_n) \to x$이고 $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$다. 공간이 완비이면 극한이 공간에 속함이 보장된다.

즉 힐베르트 공간의 대수적 차원이 무한이면 이제 벡터의 무한급수 분해를 허용할 수 있다. 새로운 기저 개념을 얻는다.

이 정의를 이해하려면 위상적 조밀성 개념이 필요하다.

힐베르트 공간도 특히 노름 공간이므로 이 정의가 적용된다. 따라서 완전성은 $\H$의 모든 벡터를 $\H$ 원소의 유한 선형결합으로 임의로 가깝게 근사할 수 있다는 뜻이다.

대수적 기저와 달리, 모든 벡터가 유한 선형결합과 같다는 말이 아니다. 힐베르트 기저의 선형결합으로 원하는 만큼 가깝게 근사할 수 있다는 것이다. 완비성으로 이 근사는 실제로 x에 수렴한다. $I$의 임의 기수에 대해 다음 정리가 있다.

힐베르트 기저 정의와 분해 정리의 연결은 바로 자명하지 않다.

증명.

증명에는 두 핵심 생각이 있다. 먼저 완전 정규직교계 $\{e_i\}_{i \in I}$의 완전성으로 힐베르트 공간의 모든 점 $x$에 대한 근사 수열을 구성한다. 조밀성에 따르면 모든 $\epsilon > 0$에 대해 유한 선형결합 $y_\epsilon = \sum_{i \in J} \alpha_i e_i$가 존재한다. 여기서 $J \subset I$는 유한 지표 집합이며 $|x - y_\epsilon| < \epsilon$이다.

둘째, 부분합 $S_J = \sum_{i \in J} \langle e_i, x \rangle e_i$는 $x$를 $V_J = \mathrm{Vect}(e_i, i \in J)$로 정사영한 것이다. 여기서 증명 없이 인정하는 정사영 성질에 따라 $S_J$는 $x$까지 거리를 최소화한다.

$$|x - S_J| = \inf_{y \in V_J} |x - y| \leq |x - y_\epsilon| < \epsilon$$

따라서 $\epsilon_n \to 0$인 수열을 택하면 $\|x - S_{J_n}\| \leq \epsilon_n$인 유한 부분집합의 수열 $J_n$을 얻는다. 그러나 $J_n$이 증가 수열일 필요가 없어 아직 증명이 끝나지 않는다. 가산인 경우 $J_n$을 $J_n' = J_1 \cup \cdots \cup J_n$으로 바꾸면 $\|x - S_{J_n'}\| \to 0$인 유한 부분집합의 증가 수열을 얻어 원하는 수렴을 준다. 자세한 내용은 ^[6] 참조. □

무한 차원에서 대수적 기저의 기수는 항상 힐베르트 기저보다 엄밀히 크다. 직관은 간단하다. 대수적 기저의 유한 선형결합은 모든 점 $x$에 정확히 도달해야 하지만 힐베르트 기저는 가까이 가기만 하면 된다. 후자가 ‘덜 정밀’하므로 독립 방향도 더 적게 필요하다.⁸ 즉 힐베르트 기저의 유한 선형결합은 공간의 아주 작은 부분, $\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$만 이룬다. 일반적으로 $\mathcal{H}$의 벡터를 표현하려면 수렴하는 무한급수가 필요하다.

마지막으로 양자물리의 수학에서 매우 유용한 공식을 하나 더 적는다.

2.4. 힐베르트 차원과 분류

모든 힐베르트 공간의 분류를 마칠 재료가 거의 모였다. 남은 기본 불변량은 힐베르트 차원이다.

끝으로 분류에는 적절한 동치관계가 필요하다. 정의 4의 벡터 공간 동형을 먼저 노름 공간, 다음으로 힐베르트 공간으로 넓힌다. 지금은 직관적인 연속성 개념이면 된다.

$T$가 내적을 보존하면 $T$는 자동으로 노름도 보존한다. 즉 $\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$다. 그래서 선형 전단사 등거리사상이라 부른다. 분류의 토대는 다음 정리다.

이제 차원은 당연히 힐베르트 차원이다. 모든 힐베르트 공간은 이 모형들 중 하나와 등거리 동형이며 분류는 완전하다. 다음 절에서 자세히 보고, 비가산 무한 차원은 훨씬 뒤로 미룬다. 이들은 자유도가 유한(예: 스핀), 가산 무한(예: 질점 양자역학), 비가산(예: 양자장론)인 양자계의 기준 공간이다.

3. 모형 공간

3.1. 힐베르트 공간 $\C^n$

구체적으로 복소수 $n$개로 이루어진 순서 있는 묶음의 집합이다.

$$\mathbb{C}^n = \{x = (x_1, x_2, ..., x_n) : x_i \in \mathbb{C}, i = 1, ..., n\}$$

다음을 갖춘다.

• 에르미트 내적: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$ (복소 켤레에 주의)
• 대응하는 유클리드 노름: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$

이는 $n$차원 노름 공간이며 완비인 체 위의 유한 차원이므로 완비성이 보장된다. 따라서 힐베르트 공간이다. 표준 기저를 열벡터로 쓰면,

$$e_i = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{(1은 i번째 위치).}$$

이는 기수 $n$의 힐베르트 기저이면서 대수적 기저다. 즉 모든 벡터 $x \in \mathbb{C}^n$가 정확히 유한합으로 분해된다.

$$x = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i = \sum_{i=1}^{n} \langle e_i , x \rangle e_i$$

이 힐베르트 공간은 서로 구별 가능한 상태 수가 유한한 모든 양자계, 특히 이준위계나 큐비트에 쓰인다.

3.2. 힐베르트 공간 $\ell^2(\mathbb{N})$

제곱합 가능 수열의 집합으로 정의된다.

$$\ell^2(\mathbb{N}) = \left\{x = (x_n)_{n \geq 1} : x_n \in \mathbb{C}, \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty\right\}$$

다음을 갖추면 힐베르트 공간임을 보일 수 있다.

• 내적: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$ (이번에는 무한합),
• 대응하는 노름: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$ (같은 주의)

표준 기저를 명시적으로 구성하여 가산성을 보인다. 기저는 $\C^n$의 것과 닮았다. 모든 $i \in \mathbb{N}$에 대해 역시 열벡터로 정의한다.

$$e_i = (0,0,\dots,0,1,0,\dots),$$

즉 $i$번째 좌표는 $1$, 나머지는 $0$인 벡터다. 유한 차원과의 유일한 차이는 성분이 무한히 많다는 것이다.

증명.

$\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}}$는 자명하게 정규직교이며 완전하기도 하다. 수열 $(x_1, x_2, ...)$로 주어진 모든 $x \in \ell^2(\mathbb{N})$에 대해 $x$를 유한 부분합으로 근사할 수 있기 때문이다. $$x^{(N)} = \sum_{i=1}^N x_i e_i = (x_1, x_2, \dots, x_N, 0,0,\dots).$$

실제로 차이는 다음을 만족한다 ¹⁰ :

주 10: 여기서는 $\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty$이면 급수의 꼬리가 0으로 간다는 결과, $\lim_{N \to \infty} \sum_{n=N+1}^\infty |x_n|^2 = 0.$를 사용한다. 이는 남은 합이 반드시 음이 아닌 무한 개의 항으로 이루어진다는 사실과 관련된다.

$$\|x - x^{(N)}\|^2 = \sum_{i=N+1}^\infty |x_i|^2 \xrightarrow[N\to\infty]{} 0,$$

이는 $e_k$의 유한결합이 조밀함을 보인다(정의 11). 따라서 $\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}}$는 힐베르트 기저이며 구성상 기수는 $\N$의 기수다. 분해 정리에 따라 모든 벡터 $x \in \ell^2(\mathbb{N})$는 다음과 같이 쓰인다.

$$x = \sum_{i=1}^\infty x_i e_i = \sum_{i=1}^\infty \langle e_i, x \rangle e_i$$

급수는 $\ell^2$의 노름에서 수렴한다. □

예를 들어 이 공간은 양자 조화진동자에 쓰인다. 에너지 고유상태가 상한 없는 정수 $n$으로 번호 매겨지므로, 모든 조화진동자 상태를 이런 급수로 쓸 수 있음을 뒤에서 볼 것이다.

3.3. 힐베르트 공간 $L^2(\R)$

일차원 질점 양자역학에서 파동함수 $\psi(x)$는 실변수의 복소수값 함수다. 확률 해석은 다음을 요구한다.

$$\int_\R \psi^*(x)\, \psi(x)\, dx = 1.$$

따라서 해당 양자역학의 공간을 제곱적분 가능 함수들의 집합으로 정의하는 것이 자연스럽다.

$$\mathcal{H} = L^2(\R) = \big\{\psi : \R \to \mathbb{C} \ \big|\ \int_\R |\psi(x)|^2\, dx < \infty \big\}.$$

‘$< \infty$’는 언제나 상태를 정규화할 수 있음을 뜻한다. 내적을 다음과 같이 둔다.

$$\langle \psi, \phi \rangle = \int_\R \psi^*(x)\, \phi(x)\, dx,$$

이는 다음 노름을 유도한다.

$$\|\psi\| = \sqrt{\langle \psi, \psi \rangle} = \sqrt{\int_\R |\psi(x)|^2 \, dx}.$$

이것이 힐베르트 공간임을 보일 수 있지만 완전히 자명하지는 않다. 힐베르트 기저를 명시할 수 있으며 에르미트, 웨이블릿, 라게르, 월시 등 여러 예가 알려져 있다. 예를 들어 먼저 에르미트 다항식을 점화식으로 정의한다.

$$H_{n+1}(x) = 2\, x\, H_n(x) - 2\, n\, H_{n-1}(x), \quad H_0(x) = 1, \; H_1(x) = 2x,$$

그다음 에르미트 함수를 정의한다.

$$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}\, e^{-x^2/2} H_n(x) ;$$

여기서는 이 함수들이 정규직교계임을 인정한다.

$$\int_\R \psi_n(x) \, \psi_m(x) dx = \delta_{nm} \quad \textrm{여기서$$$\psi_n^* = \psi_n$}

또한 완전하므로 힐베르트 기저다. 주의: 이는 일차원 조화진동자 해밀토니안의 고유기저이기도 하다. 자세한 내용은 위키피디아 ^[7]를 참조한다. 실제로는 명시적 표현이 매우 복잡하여 이 기저를 자주 쓰지 않는다. ‘다른 기저’를 고안했는데, 진짜 기저가 아니라 연속 일반화 기저, 유명한 켓 $\ket{x}$다. 뒤에서 다시 다룬다.

3.4. 힐베르트 공간 $L^2(\mathbb{R}^3)$와 $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

삼차원에서도 비슷하게 $L^2(\R^3)$를 생각하고 내적을 둔다.

$$\langle \psi, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\mathbf{x})\, \phi(\mathbf{x})\, d^3x.$$

삼차원의 $n$입자계에서 상태 공간은

$$L^2(\mathbb{R}^{3n}) = \Bigl\{ \psi : \mathbb{R}^{3n} \to \mathbb{C} \;\Bigm|\; \int_{\mathbb{R}^{3n}} |\psi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)|^2 \, d^3x_1 \dots d^3x_n < \infty \Bigr\}.$$

내적은 다음과 같으며

$$\langle \psi, \phi \rangle = \int_{\mathbb{R}^{3n}} \psi^*(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)\, \phi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)\, d^3x_1 \dots d^3x_n,$$

대응하는 노름은

$$\|\psi\| = \sqrt{\langle \psi, \psi \rangle} = \sqrt{\int_{\mathbb{R}^{3n}} |\psi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)|^2 \, d^3x_1 \dots d^3x_n}.$$

이들은 모두 힐베르트 공간임을 증명 없이 인정한다.

4. 맺음말

지금까지 내용 중 놀라울 수 있는 점은 일차원 질점 양자역학의 $L^2(\R)$가 삼차원 물리를 모형화하는 $L^2(\R^3)$와 동형이라는 것이다. 다른 강의에서 왜 역설이 아닌지 자세히 볼 것이다. 핵심은 물리가 힐베르트 공간뿐 아니라 관측량의 집합으로도 주어진다는 점이다. $L^2(\R)$에서 $L^2(\R^3)$로의 어떤 동형도 일차원 관측량 대수 전체를 삼차원으로 동시에 옮길 수 없다. 즉 한 쌍 $[\hat{X}, \hat{P}]$를 세 독립 쌍 $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$로 옮기지 못한다.

동형은 수학적 같음도 아니다. 두 공간은 함수 공간으로서는 분명 다르지만, 힐베르트 구조에서는 동형이다. 동형은 구조적 유사성, 즉 힐베르트 기저의 기수라는 크기가 같고 힐베르트 구조의 성질이 같다는 사실만 말한다. 노름, 거리, 직교성, 수렴과 연속성 같은 위상적 성질이 보존된다.

따라서 주어진 기수에 대해 등거리를 동일시하면 추상적 힐베르트 공간은 하나지만, 구체적인 실현은 무한히 많다.

그렇다고 분류를 이해하는 데 시간을 쓴 것이 헛되지는 않았다. 보았듯이 양자계의 ‘차원성’에 따른 서로 다른 물리 상황에 대응하며, 기저 성격에 따라 유한합, 무한급수, 연속적분이라는 다른 계산 규칙을 동반한다. 대응하는 선형 연산자 이론 역시 유한 차원과 무한 차원에서 근본적으로 달라진다.

5. 참고문헌