Espaços de Hilbert e notação de Dirac

Nesta lição definimos precisamente os espaços de Hilbert, mostrando primeiro como e onde se inserem nos grandes ramos matemáticos da álgebra e da topologia. Chegaremos ao teorema de classificação: dois espaços de Hilbert são isometricamente isomorfos se tiverem a mesma dimensão hilbertiana, que não se deve confundir com a dimensão algébrica de um espaço vetorial, pois só coincidem em dimensão finita. Daremos os espaços modelo de referência para cada caso: dimensão finita, infinita numerável e infinita não numerável, com uma visão das suas aplicações em mecânica quântica elementar. Terminaremos discutindo se a física definida por espaços de Hilbert relacionados por isomorfismos permanece ou não invariante.

1. As estruturas matemáticas em física

Para chegar aos espaços de Hilbert, recordamos brevemente o «mapa da matemática» mais usada em física teórica. A página seguinte mostra uma versão muito simplificada e largamente incompleta desse mapa, mas suficiente para este curso, ver Figura (1).

Se partirmos da noção intuitiva de um conjunto de pontos¹, procedemos acrescentando estrutura ao conjunto pouco a pouco. Explicaremos progressivamente este esquema no que segue.

1.1. Estruturas algébricas e espaços vetoriais

A partir de conjuntos de pontos, podemos passar diretamente ao ramo esquerdo do mapa (1), o das estruturas algébricas, geralmente usadas para descrever conjuntos de números, mas não apenas.

Para isso acrescentamos uma ou várias leis de composição interna ao conjunto; conforme satisfazem regras como associatividade, comutatividade ou existência de elemento neutro, obtemos estruturas específicas.

A figura representa algumas estruturas fundamentais: o magma, conjunto com uma lei de composição interna sem propriedades particulares, os grupos, os anéis e os corpos. Existem muitas outras, como semigrupos, monoides ou anéis não comutativos, omitidas para facilitar a leitura. Cada estrutura especializa a anterior: todo corpo é um anel, todo anel é um grupo para a adição, etc. A estrutura de corpo é a mais importante, sendo em particular a dos números reais ou complexos com as quatro operações aritméticas habituais. Também permite construir espaços vetoriais sobre ela.

Podemos formar combinações lineares e falar de famílias linearmente independentes e geradoras, bem como de base e dimensão. Neste capítulo é essencial distinguir duas noções: as bases algébricas, válidas em qualquer espaço vetorial, e as bases hilbertianas, próprias dos espaços de Hilbert. Coincidem em dimensão finita, mas não infinita. Também distinguiremos dimensão algébrica e hilbertiana. Convém, portanto, recordar alguns conceitos.

Esta definição equivale à habitual: uma família $(e_i)_{i \in I}$ é uma base se e só se for linearmente independente e geradora de $E$. A noção de base permite definir a dimensão.

Mesmo em dimensão infinita, a definição de base algébrica exige que cada vetor se decomponha numa soma finita de vetores da base. Não podemos admitir uma decomposição numa soma infinita, pois seria necessário saber se converge, o que requer uma topologia. Isso será possível num espaço de Hilbert e justificará uma noção adaptada de base hilbertiana, ver Secção 2.3.

Uma questão natural é quantos espaços vetoriais diferentes existem e se podem classificar-se. Algebricamente, sim. Precisamos de uma relação de equivalência: o isomorfismo de espaços vetoriais, uma correspondência um a um entre $E$ e $F$ que respeita a estrutura linear:

Observação: esta definição é puramente algébrica. Quando $E$ e $F$ têm uma topologia compatível com a estrutura vetorial, distingue-se o isomorfismo topológico: exige-se também que $T$ e $T^{-1}$ sejam contínuas. Voltaremos a isso nos espaços normados e de Hilbert.

Temos então o importante teorema:

Sobre $\mathbb{K} = \R$ ou $\C$ existe, na prática, um único modelo de espaço vetorial de dimensão finita $n$: respetivamente $\R^n$ ou $\C^n$, o conjunto dos $n$-vetores de componentes reais ou complexas.

Em dimensão infinita o princípio é idêntico. Aceitando o axioma da escolha, demonstra-se que todo espaço vetorial possui uma base, dita de Hamel. O teorema generaliza-se: dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo $\mathbb{K}$ são isomorfos se e só se as suas bases tiverem a mesma cardinalidade.

A cardinalidade de uma base infinita exprime-se através dos cardinais transfinitos, que distinguem diferentes «tamanhos» de infinito. O menor cardinal infinito é $\aleph_0$: o cardinal de $\mathbb{N}$, mas também de $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$. Define-se recursivamente a hierarquia $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$, onde $\aleph_{n+1}$ é o menor cardinal estritamente superior a $\aleph_n$, sem cardinais intermédios. Em lógica matemática, a hipótese do contínuo supõe que não existe cardinalidade infinita intermédia entre as de $\mathbb{N}$ e $\mathbb{R}$; nesse caso $\aleph_1$ corresponde ao cardinal de $\mathbb{R}$.

Esta classificação é pouco útil na prática, pois a base de Hamel geralmente não pode construir-se explicitamente. A classificação continua, portanto, essencialmente teórica. A situação muda nos espaços normados e de Hilbert, onde se podem explicitar bases ortonormais, pelo menos em dimensão hilbertiana finita ou infinita numerável, ver Secção 3.

Antes de chegar a Hilbert, temos de seguir o ramo central do mapa e falar de espaços métricos e normados.

1.2. Espaços métricos e espaços normados

No ramo central do mapa (1), começamos por munir o conjunto de pontos de uma topologia, que detalharemos no capítulo sobre topologia dos espaços normados e de Hilbert. Por agora basta reter que a topologia fornece uma noção de localidade com a qual se definem convergência, limite e continuidade. Em particular, os espaços métricos são topológicos: conjuntos de pontos com uma distância, que define a localidade.

Podemos agora unir os ramos algébrico e topológico do mapa 1, considerando espaços métricos cujo conjunto subjacente $X$ é vetorial, ou seja, espaços vetoriais com uma distância. Chegamos a uma estrutura fundamental em mecânica quântica, da qual Hilbert é um caso particular: os espaços vetoriais normados, ou EVN.

Não queremos admitir qualquer distância. Como o espaço é linear, desejamos uma distância compatível com a estrutura vetorial:

As condições exprimem que a distância respeita a geometria vetorial: deve ser invariante por translação, refletindo a homogeneidade do espaço, e as homotetias devem preservar razões de distâncias^{2  3}. A proposição seguinte conduz aos espaços normados: se $d$ for uma métrica compatível em $E$, a distância à origem, isto é, ao vetor nulo, $\norm{x} = d(x, 0_E)$ é uma norma.

Um espaço vetorial com tal distância é, portanto, um espaço vetorial normado:

Todo espaço vetorial normado $(E, \|\cdot\|)$ determina canonicamente um espaço métrico $(E, d)$ através de $d(x,y) = \|x-y\|$, automaticamente compatível com a estrutura vetorial. Os espaços normados correspondem assim bijetivamente a uma subclasse particular dos espaços métricos. Nesse sentido, são um subconjunto destes.

2. Os espaços de Hilbert

Chegámos aos espaços normados da Fig. (1). É habitual dizer apenas espaço normado em vez de espaço vetorial normado, e usar a sigla EVN. Definiremos a seguir os espaços pré-hilbertianos e depois os hilbertianos, que constituem o quadro matemático da mecânica quântica.

Como esta se constrói sobre os complexos, limitamo-nos a $\mathbb{K} = \C$. Até aqui usámos $E$ e $F$ para espaços vetoriais e normados; doravante usaremos $\mathcal{H}$ e $\mathcal{G}$ para espaços pré-hilbertianos ou hilbertianos. Os vetores continuam a ser denotados $x, y, z$, etc.

2.1. Espaço pré-hilbertiano e produto interno

Um espaço pré-hilbertiano é um espaço vetorial normado cuja norma deriva de um produto interno. Nem sempre acontece: certas normas não provêm de produto interno algum, como a norma supremo⁴. Os pré-hilbertianos formam, portanto, um subconjunto próprio dos espaços vetoriais normados. Recordemos a definição de produto interno hermitiano sobre $\C$:

As propriedades (1) e (2) implicam a linearidade conjugada, ou antilinearidade, no primeiro argumento⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. Uma aplicação linear num argumento e conjugado-linear no outro chama-se sesquilinear⁶. Diremos apenas produto interno: «hermitiano» ficará implícito.

Antecipemos uma propriedade topológica importante: o produto interno é contínuo nas duas variáveis. Se $x_n \to x$ e $y_n \to y$ em norma, isto é, $\|x_n - x\| \to 0$ e $\|y_n - y\| \to 0$, então

Nos postulados da medição quântica veremos que a probabilidade de observar uma grandeza física associada a um vetor próprio $\phi$, estando o sistema em $\psi$, é $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$, ver secção 1.2 (Tema 3, Lição 1, indisponível neste idioma). A continuidade garante que uma pequena variação de $\psi$ produz uma pequena variação das probabilidades, como era desejável.

O produto interno satisfaz outra propriedade fundamental:

Esta desigualdade permite, em particular, provar que $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ é realmente uma norma, como sugere a notação.

Chegamos à seguinte definição:

Num espaço pré-hilbertiano complexo $\mathcal{H}$ temos as seguintes fórmulas úteis.

As duas últimas fórmulas ligam-se a um teorema importante sobre produto interno hermitiano e norma. O teorema de Fréchet-von Neumann-Jordan afirma que uma norma $\|\cdot\|$ num espaço normado $E$ provém de um produto interno se e só se satisfizer a identidade do paralelogramo. Esta é o teste de existência; se for satisfeito, a fórmula de polarização é a receita para reconstruir o produto interno a partir da norma.

2.2. Completude e espaço de Hilbert

Para passar dos pré-hilbertianos aos hilbertianos, precisamos de uma noção topológica indispensável: a completude.

Voltaremos a estes aspetos no capítulo dedicado. Por agora, assinalemos que a completude é essencial para a física quântica. Intuitivamente, um espaço completo não tem «buracos»: não pode haver uma sucessão de elementos de $\mathcal{H}$ a convergir para algo fora de $\mathcal{H}$. É o que falta aos racionais: uma sucessão bem construída pode tender para um número não racional; aliás, é assim que se constroem os reais.

Em mecânica quântica, todo estado físico do sistema é um vetor do Hilbert e vice-versa. É o primeiro postulado. Se o espaço dos estados não fosse completo, uma função de onda poderia «sair do espaço» ao evoluir segundo Schrödinger e tornar-se um «estado não físico», o que não faria sentido.

A completude intervém noutro postulado fundamental: os resultados de medições devem corresponder ao espectro dos observáveis físicos, considerados operadores lineares autoadjuntos. Um operador nem sempre tem adjunto num espaço incompleto; além disso, a completude é necessária ao teorema espectral, que estuda a estrutura dos operadores autoadjuntos.

Finalmente, qualquer expressão quântica com uma soma infinita, como uma série de Fourier ou uma expansão em estados próprios, requer completude para fazer sentido. Escrever $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ em notação de Dirac, ver secção 4 (Tema 2, Lição 2), pressupõe a existência da série, só garantida pela completude.

Há, contudo, uma boa notícia: esta subtileza só é necessária em dimensão infinita. Em dimensão finita, um teorema importante simplifica a questão:

Podemos passar à descrição algébrica dos espaços de Hilbert.

2.3. Base algébrica e base de Hilbert

Recordámos a base algébrica de espaços vetoriais, ver Definição 2, que permite decompor vetores numa soma finita. A ideia de introduzir uma topologia induzida pela norma e um espaço completo é podermos falar de convergência de sucessões. Em particular, de somas parciais $(x_n)$ com $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ para certos vetores $x_k$. Se convergirem obtemos uma série, uma soma infinita: $(x_n) \to x$ e $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. A completude garante que o limite pertence ao espaço.

Quando a dimensão algébrica do Hilbert é infinita, podemos agora decompor vetores numa série infinita. Surge uma nova noção de base:

Para compreender a definição, precisamos da noção topológica de densidade:

Isto vale também em Hilbert, que é em particular normado. Totalidade significa que todo vetor de $\H$ pode aproximar-se arbitrariamente por uma combinação linear finita de elementos de $\H$.

Ao contrário da base algébrica, não afirmamos que cada vetor é uma combinação linear finita, mas que pode ser aproximado tão bem quanto se queira por combinações da base de Hilbert. Pela completude, as aproximações convergem para x. Para qualquer cardinal de $I$, temos:

A ligação entre a definição da base de Hilbert e o teorema de decomposição não é imediata.

Em dimensão infinita, o cardinal de uma base algébrica é sempre estritamente superior ao de uma base de Hilbert. A intuição é simples: as combinações finitas da primeira têm de atingir exatamente cada ponto $x$; as da segunda apenas o aproximam. Esta é «menos precisa» e exige menos direções independentes.⁸. As combinações finitas da base de Hilbert formam apenas uma parte ínfima do espaço ($\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$). Em geral são necessárias séries infinitas convergentes para representar vetores de $\mathcal{H}$.

Assinalemos por fim outra fórmula muito útil na matemática da física quântica.

2.4. Dimensão hilbertiana e classificação

Temos quase todos os elementos para completar a classificação dos espaços de Hilbert. Falta um invariante fundamental: a dimensão hilbertiana.

Para classificar estes espaços, precisamos de uma relação de equivalência apropriada. Alargamos o isomorfismo vetorial da Definição 4 primeiro ao caso normado e depois ao hilbertiano, usando por agora uma noção intuitiva de continuidade:

Se $T$ preserva o produto interno, então $T$ preserva automaticamente a norma ($\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$). Por isso falamos de isometria linear bijetiva. A pedra angular da classificação é o teorema:

A palavra dimensão refere-se agora, naturalmente, à hilbertiana. Todo Hilbert é isometricamente isomorfo a um destes modelos, e a classificação é completa. Detalharemos os modelos a seguir, deixando de lado a dimensão infinita não numerável, que retomaremos muito mais tarde. Servem de referência para sistemas quânticos com graus de liberdade finitos, como spin; infinitos numeráveis, como a mecânica quântica do ponto; ou não numeráveis, como a teoria quântica dos campos.

3. Espaços modelo

3.1. O espaço de Hilbert $\C^n$

Explicitamente, é o conjunto dos $n$-uplos de números complexos:

munido:

• do produto interno hermitiano: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$, note-se o conjugado complexo;
• da norma euclidiana associada: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$.

É um EVN de dimensão $n$, completo por ter dimensão finita sobre um corpo completo. É, portanto, um Hilbert. A sua base canónica, em vetores coluna, é:

É uma base hilbertiana de cardinal $n$ e também algébrica: cada vetor $x \in \mathbb{C}^n$ decompõe-se exatamente na soma finita

Este espaço de Hilbert usa-se para qualquer sistema quântico com um número finito de estados distinguíveis entre si, em particular sistemas de dois níveis ou qubits.

3.2. O espaço de Hilbert $\ell^2(\mathbb{N})$

Define-se como o conjunto das sucessões de quadrado somável:

Pode demonstrar-se que é um Hilbert quando munido:

• do produto interno: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$, desta vez com soma infinita;
• da norma associada: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$, com a mesma observação.

Mostramos a numerabilidade construindo explicitamente a base canónica, semelhante à de $\C^n$. Para todo $i \in \mathbb{N}$ definimos, também como vetor coluna:

o vetor cuja coordenada $i$-ésima vale $1$ e as restantes $0$. A única diferença face ao caso finito é a infinidade de componentes.

Este espaço de Hilbert descreve, por exemplo, o oscilador harmónico quântico: veremos que os estados próprios de energia são indexados por um inteiro $n$ ilimitado, pelo que todo estado se escreve como uma série deste tipo.

3.3. O espaço de Hilbert $L^2(\R)$

Na mecânica quântica unidimensional do ponto, a função de onda $\psi(x)$ é uma função complexa de uma variável real. A interpretação probabilística requer:

Somos naturalmente conduzidos a definir o espaço associado como o conjunto das funções de quadrado integrável:

A condição «$< \infty$» mostra que podemos sempre normalizar um estado. Dotamo-lo do produto interno:

que induz a norma:

Pode demonstrar-se que isto o torna um Hilbert, mas não é completamente trivial. Podemos dar uma base hilbertiana explícita; conhecem-se várias, Hermite, onduletas, Laguerre, Walsh .... Por exemplo, definimos primeiro os polinómios de Hermite pela recorrência:

e depois as funções de Hermite:

Admitiremos aqui que formam uma família ortonormal:

e total, portanto uma base hilbertiana. É também a base própria do Hamiltoniano do oscilador harmónico 1D. Para mais detalhes, ver a Wikipédia ^[7]. Na prática usa-se pouco porque as expressões explícitas são verdadeiramente horríveis. Inventou-se «outra base», que não é realmente uma base, mas uma base generalizada contínua: os conhecidos kets $\ket{x}$ a que voltaremos.

3.4. Os espaços de Hilbert $L^2(\mathbb{R}^3)$ e $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

Em três dimensões consideramos analogamente $L^2(\R^3)$ com o produto interno

Para um sistema de $n$ partículas em três dimensões, o espaço dos estados é

O produto interno é dado por

e a norma associada é

São todos espaços de Hilbert, como admitimos sem demonstração.

4. Consideração final

Pode surpreender que $L^2(\R)$, usado para a mecânica quântica do ponto em 1D, seja isomorfo a $L^2(\R^3)$, que modela física tridimensional. Noutra lição veremos por que não é paradoxal. A ideia principal é que a física não é definida apenas pelo Hilbert, mas também por um conjunto de observáveis. Nenhum isomorfismo de $L^2(\R)$ para $L^2(\R^3)$ transporta simultaneamente toda a álgebra dos observáveis 1D para a de 3D, isto é, um único par $[\hat{X}, \hat{P}]$ para três pares independentes $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$.

O isomorfismo também não exprime igualdade matemática: estes Hilbert são diferentes como espaços de funções, mas isomorfos na estrutura hilbertiana. Apenas afirma semelhança estrutural: mesmo tamanho, medido pelo cardinal das bases, e mesmas propriedades hilbertianas. Preserva normas, distâncias, ortogonalidade e propriedades topológicas de convergência, continuidade, etc.

Embora para cada cardinal só exista, a menos de isometria, um Hilbert abstrato, existem infinitas realizações concretas.

Não foi inútil dedicar tanto tempo à classificação: em física corresponde a situações diferentes consoante a «dimensionalidade» do sistema quântico. Em particular, acompanha-se de regras de cálculo diferentes: somas finitas, séries infinitas ou integrais contínuos conforme a natureza da base. Corresponde-lhe também uma teoria de operadores lineares que muda radicalmente entre dimensão finita e infinita.

5. Referências