Только что определённые объекты удовлетворяют набору фундаментальных свойств, верных при любой размерности гильбертова пространства и независимо от ограниченности операторов. Для неограниченного оператора сопряжённый тоже можно определить, но математически это более тонкий вопрос; мы вернёмся к нему в следующей теме по теории линейных операторов. Поскольку обозначениями Дирака пользуется весь мир, эти свойства фактически составляют алгебраические правила квантовых вычислений, и владеть ими необходимо.

Здесь собраны все полезные формулы, встречавшиеся до сих пор, пусть и с повторениями, а также добавлено несколько новых. Сначала приводятся формулы для любой размерности, затем — формулы конечномерного случая, где обозначения Дирака сводятся к явным матричным вычислениям.

1. Правила вычислений в любой размерности

Свойства скалярного произведения.

Пусть $(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2$ — два вектора гильбертова пространства, а $(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$ — скаляры. Скалярное произведение удовлетворяет следующим свойствам:

1. Эрмитова симметрия:
   $$\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}$$

   (1)
2. Антилинейность слева: бра-вектор, соответствующий $\lambda \ket{\psi}$, равен $\lambda^* \bra{\psi}$, то есть:
   $$\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{и} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }$$

   (2)
3. Линейность справа:
   $$\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}$$

   (3)
4. Линейные комбинации: предыдущие свойства позволяют обычным образом раскрывать сложные выражения, например для любых $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C$ имеем:
   $$\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }$$

   (4)
5. Норма: по определению,
   $$\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}$$

   (5)
   причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $\ket{\psi} = 0$ — нулевой вектор (иногда, но редко, его обозначают $\ket{\varnothing}$).

Свойства сопряжения.

Перепишем две формулы, служащие определением:

и

откуда с помощью эрмитовой симметрии также можно доказать:

Свойства сопряжённых операторов.

Для любых непрерывных линейных операторов $\hat{A}, \hat{B}$ на $\mathcal{H}$ и любого скаляра $\lambda \in \mathbb{C}$ имеем:

Кет-бра-оператор.

Бракет — число, а кет-бра — оператор, называемый внешним произведением (не связанным с внешним произведением дифференциальных форм). Двум векторам $\ket{\phi}$ и $\ket{\psi}$ сопоставляется оператор $\ket{\phi}\bra{\psi}$, определяемый так:

Разложение единичного оператора.

Единичный оператор в $\Hilb$ обозначается $\mathbf{1}$ и очевидным образом определяется условием $\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb$. В счётном гильбертовом базисе $\{\ket{e_i}\}_{i \in I}$, где $I$ конечно либо счётно бесконечно, единичный оператор $\mathbf{1}$ записывается как:

Эта формула чрезвычайно полезна на практике. Её также называют разложением единицы или соотношением полноты. Правая часть — конечная сумма в конечномерном случае либо сходящийся ряд в случае счётной бесконечной размерности. При несчётной размерности формула неверна.

Разложение по гильбертову базису.

Например, предыдущая формула позволяет сразу получить теорему о разложении из урока 1, если обозначить через $\psi_i$ компоненту кет-вектора $\kpsi$ по $\ket{e_i}$:

В зависимости от размерности это сумма или ряд. Разложению кет-вектора соответствует разложение бра-вектора:

Тогда норма записывается так:

Некоторые особые операторы.

Следующая тема подробно посвящена теории линейных операторов в гильбертовом пространстве. Однако для дальнейшего отметим несколько весьма распространённых случаев. Среди операторов $\Hilb \to \Hilb$ нам, в частности, встретятся:

1. $\hat A$ — эрмитов, или самосопряжённый, если $\hat{A}^\dagger = \hat{A}$;
2. $\hat U$ — унитарный, если $\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}$;
3. $\hat P$ — проектор, если $\hat{P}^2 = \hat{P}$;
4. $\hat P$ — ортогональный проектор, то есть самосопряжённый проектор.

Унитарные операторы биективны, линейны и сохраняют скалярное произведение. Мы уже встречали их выше: это изометрические изоморфизмы (в данном случае изометрические автоморфизмы, поскольку речь идёт только о линейных операторах из $\Hilb$ в себя).

2. Формулы конечномерного случая

Если гильбертово пространство имеет конечную размерность $n$, правила квантовых вычислений можно уточнить. Прежде всего все формулы предыдущего раздела остаются верными, а встречающиеся в них суммы нужно записать как конечные: $\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}$.

Кроме того, после выбора ортонормированного базиса $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ обозначения Дирака соответствуют явным матричным вычислениям, которые мы сейчас опишем (внимание: в бесконечномерном случае дальнейшее совершенно не имеет смысла).

Кет-векторы как столбцы.

Канонически представим кет-векторы базиса $\mathcal{B}$ матрицами $(n,1)$, также называемыми столбцами:

где $1$ находится на $i$-м месте. Используя алгебраическое разложение:

получаем запись всех кет-векторов как столбцов: для $\ket{v} \in \mathcal{H}$ пишем:

где без особой необходимости будем опускать указание базиса $\mathcal{B}$, по которому выполнено разложение. Компоненты находятся ортогональным проектированием:

Бра-векторы как сопряжённые строки.

Линейный функционал $\varphi_u$, соответствующий вектору $u$, должен для любого вектора $v$ удовлетворять:

в силу антилинейности эрмитова скалярного произведения слева. Чтобы получить эту сумму как матричное произведение, $\bra{u}$ должен быть строкой комплексно-сопряжённых координат $u$:

тогда скалярное произведение $\braket{u}{v}$ получается как обычное матричное произведение:

Заметим, что бра-вектор $\bra{u}$ — комплексно-сопряжённый транспонированный, или « эрмитово сопряжённый », кет-вектор $\ket{u}$. Следовательно, в конечномерном случае операция dagger сводится к комплексному сопряжению с транспонированием:

В бесконечномерном случае это неверно и даже не имеет смысла, поскольку транспонирование не определено¹.

Матричное представление операторов.

В ортонормированном базисе $\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n$ конечномерного пространства любой линейный оператор $\hat{A}$ раскладывается как:

что приводит в конечномерном случае к естественному отождествлению линейного оператора $\hat{A}$ (с крышкой) и его матрицы $A$ (без крышки). Приведённая формула — аналог матричного разложения $A = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}$ в формализме Дирака, где $E_{ij}$ — элементарная матрица с $1$ на месте $(i,j)$ и нулями на остальных местах. Таким образом, $E_{ij}$ — матрица оператора $\ket{e_i} \bra{e_j}$. Коэффициенты $A_{ij}$ естественным образом называют матричными элементами оператора $\hat{A}$ в базисе $\{\ket{e_i}\}$. Они равны:

но из эстетических соображений чаще пишут:

Единичный оператор, конечно, представляется единичной матрицей, а его матричные элементы равны $\delta_{ij}$ (символ Кронекера).

След оператора.

В дальнейшем нам часто понадобится след оператора $\hat{A}$. В обозначениях Дирака он вычисляется так:

Это выражение не зависит от выбора ортонормированного базиса.

Сопряжённый оператор и комплексное сопряжение с транспонированием.

В конечномерном случае матрица сопряжённого оператора $\hat{A}^\dagger$ является комплексно-сопряжённой транспонированной матрицей оператора $\hat{A}$:

Приведём короткое доказательство, поскольку оно показывает практическое применение описанных выше правил вычисления. Матричные элементы $\hat{A}^\dagger$ по определению равны:

Но по определению сопряжённого оператора имеем:

Используя эрмитову симметрию, получаем $\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*$, а это не что иное, как матричные элементы $A_{ji}^*$. Поэтому:

что и доказывает свойство. В конечномерном случае можно, следовательно, явным матричным вычислением проверить эрмитовость, унитарность и другие свойства оператора.

3. Источники