В этом уроке мы точно определим гильбертовы пространства, сначала показав, как и где они возникают в двух больших разделах математики — алгебре и топологии. Мы придём к теореме классификации: два гильбертовых пространства изометрически изоморфны, если имеют одинаковую гильбертову размерность. Её нельзя путать с алгебраической размерностью векторного пространства: они совпадают только в конечномерном случае. Для конечной, счётно-бесконечной и несчётно-бесконечной размерностей дадим эталонные модельные пространства и обзор их применения в элементарной квантовой механике. В завершение поставим вопрос о том, сохраняется ли физика, определяемая гильбертовыми пространствами, связанными изоморфизмами.

1. Математические структуры в физике

Чтобы подойти к гильбертовым пространствам, кратко напомним «карту математики», чаще всего используемой в теоретической физике. На следующей странице приведён очень упрощённый и далеко не полный вариант такой карты, достаточный для нашего курса, см. рисунок (1).

Если начать с интуитивного понятия множества точек¹, дальнейшее состоит в постепенном добавлении структуры к множеству. Ниже мы последовательно объясним схему.

1.1. Алгебраические структуры и векторные пространства

От множеств точек можно сразу перейти к левой ветви карты (1) — алгебраическим структурам, обычно описывающим множества чисел, хотя и не только их.

Для этого на множестве вводят одну или несколько внутренних операций. Когда операции удовлетворяют определённым правилам — ассоциативности, коммутативности, существованию нейтрального элемента и т. д. — получаются конкретные структуры.

На рисунке показаны основные примеры: магма (множество с одной внутренней операцией без дополнительных свойств), группы, кольца и поля. Есть много других — полугруппы, моноиды, некоммутативные кольца, — но для наглядности они опущены. Каждая структура уточняет предыдущую: всякое поле есть кольцо, всякое кольцо есть группа по сложению и т. д. Важнее всего поле: такую структуру имеют, в частности, действительные и комплексные числа с четырьмя обычными арифметическими действиями. Именно над полем строят векторные пространства.

Теперь можно составлять линейные комбинации, говорить о линейно независимых и порождающих семействах, базисе и размерности. В этой главе необходимо различать два понятия базиса: алгебраические базисы, определённые для всех векторных пространств, и гильбертовы базисы, применимые лишь к гильбертовым пространствам. В конечной размерности они совпадают, в бесконечной — нет. Аналогично следует различать алгебраическую и гильбертову размерности. Поэтому полезно кое-что напомнить.

Это эквивалентно другому обычному определению: семейство $(e_i)_{i \in I}$ является базисом тогда и только тогда, когда оно линейно независимо и порождает $E$. Базис позволяет говорить о размерности векторного пространства.

Даже при бесконечной размерности определение алгебраического базиса требует представлять каждый вектор конечной суммой базисных векторов. Дело в том, что бесконечную сумму пока нельзя допустить: необходимо знать, сходится ли она, а это требует топологии. В гильбертовом пространстве это станет возможно и обоснует подходящее понятие гильбертова базиса, см. раздел 2.3.

Возникает естественный вопрос: сколько существует различных векторных пространств и можно ли их классифицировать? Алгебраически — да. Для этого нужно отношение эквивалентности: изоморфизм векторных пространств, то есть взаимно однозначное соответствие между $E$ и $F$, сохраняющее линейную структуру:

Замечание: определение чисто алгебраическое. Если у $E$ и $F$ есть топология, согласованная с векторной структурой, выделяют топологический изоморфизм: дополнительно требуют непрерывности и $T$, и $T^{-1}$. К этому вернёмся для нормированных и гильбертовых пространств.

Имеется важнейшая теорема:

Таким образом, над $\mathbb{K} = \R$ или $\C$ практически есть лишь одна модель векторного пространства конечной размерности $n$: соответственно $\R^n$ или $\C^n$, множество $n$-компонентных векторов с действительными или комплексными координатами.

В бесконечной размерности принцип тот же: приняв аксиому выбора, можно доказать существование у любого векторного пространства базиса, называемого базисом Гамеля. Теорема обобщается так: пространства над одним полем $\mathbb{K}$ изоморфны тогда и только тогда, когда их базисы имеют одинаковую мощность.

Мощность бесконечного базиса выражается трансфинитными кардиналами, различающими «размеры» бесконечности. Наименьший бесконечный кардинал $\aleph_0$ — мощность $\mathbb{N}$, а также $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Q}$. Затем рекурсивно задаётся иерархия $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$, где каждый $\aleph_{n+1}$ — наименьший кардинал, строго больший $\aleph_n$; между ними кардиналов нет. В математической логике континуум-гипотеза предполагает отсутствие промежуточной бесконечной мощности между $\mathbb{N}$ и $\mathbb{R}$, и тогда $\aleph_1$ равен мощности $\mathbb{R}$.

Однако практическая польза этой классификации ограниченна: базис Гамеля обычно нельзя построить явно. Поэтому классификация векторных пространств остаётся главным образом теоретической. В нормированных и гильбертовых пространствах положение меняется: ортонормированные базисы можно предъявить явно, хотя бы при конечной или счётно-бесконечной гильбертовой размерности, см. раздел 3.

Но прежде чем перейти к гильбертовым пространствам, нужно пройти по средней ветви карты и обсудить метрические и нормированные пространства.

1.2. Метрические и нормированные пространства

На средней ветви карты (1) сначала следует наделить множество точек топологией. Подробности будут в другой главе, о топологии нормированных и гильбертовых пространств. Пока достаточно помнить, что топология даёт понятие локальности, позволяющее определить сходимость, предел и непрерывность. В частности, метрические пространства топологические: это множества точек с расстоянием, которое определяет локальность.

Теперь можно объединить алгебраическую и топологическую ветви карты 1, рассмотрев метрические пространства, чьё исходное множество $X$ — векторное пространство, иначе говоря, векторные пространства с расстоянием. Это приведёт к фундаментальной для квантовой механики структуре, частным случаем которой являются гильбертовы пространства: нормированным векторным пространствам.

Мы не хотим допускать любые расстояния. Поскольку пространство линейно, расстояние должно быть согласовано с векторной структурой:

Условия означают, что расстояние согласуется с геометрией векторного пространства: сдвиги его не меняют, выражая однородность пространства, а гомотетии сохраняют отношения расстояний^{2  3}. Следующее утверждение приводит к нормированным пространствам: если $d$ — согласованная метрика на векторном пространстве $E$, то расстояние до начала координат, то есть нулевого вектора, $\norm{x} = d(x, 0_E)$ является нормой.

Векторное пространство с таким расстоянием становится нормированным:

Каждое нормированное пространство $(E, \|\cdot\|)$ канонически задаёт метрическое пространство $(E, d)$ формулой $d(x,y) = \|x-y\|$; эта метрика автоматически согласована с векторной структурой. Значит, нормированные пространства взаимно однозначно соответствуют особому подклассу метрических и в этом смысле являются их подмножеством.

2. Гильбертовы пространства

Мы добрались до нормированных пространств на рисунке (1). Обычно слова «векторное пространство» опускают и говорят просто «нормированное пространство»; во французском также часто используют сокращение EVN. Далее определим предгильбертовы, затем гильбертовы пространства, образующие математическую основу квантовой механики.

Поскольку квантовая механика строится на комплексных числах, далее ограничимся $\mathbb{K} = \C$. До сих пор векторные и нормированные пространства обозначались $E$ и $F$. Теперь для (пред)гильбертовых пространств используем $\mathcal{H}$ и $\mathcal{G}$. Векторы по-прежнему обозначаем $x, y, z$ и т. д.

2.1. Предгильбертово пространство и скалярное произведение

Предгильбертово пространство — нормированное векторное пространство, норма которого порождена скалярным произведением. Не все нормы таковы: например, супремум-норма не получается из скалярного произведения⁴. Предгильбертовы пространства поэтому образуют собственный подкласс нормированных. Напомним определение эрмитова скалярного произведения над $\C$:

Из свойств (1) и (2) следует сопряжённая линейность, или антилинейность, по первому аргументу⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. Линейное по одному аргументу и сопряжённо-линейное по другому отображение называется полуторалинейным⁶. Далее говорим просто «скалярное произведение», подразумевая эрмитовость.

Заранее отметим важное топологическое свойство: скалярное произведение непрерывно по двум переменным. Если $x_n \to x$ и $y_n \to y$ по норме, то есть $\|x_n - x\| \to 0$ и $\|y_n - y\| \to 0$, то

В постулатах квантового измерения мы увидим, что вероятность результата физической величины, связанного с собственным вектором $\phi$, для системы в состоянии $\psi$ равна $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$ (см. раздел 1.3 (Тема 3, Урок 1, недоступно на этом языке)). Поэтому непрерывность гарантирует, что малое изменение состояния $\psi$ вызывает малое изменение вероятностей, как и желательно.

Скалярное произведение обладает ещё одним фундаментальным свойством:

В частности, это неравенство доказывает, что отображение $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ действительно норма, как подсказывает обозначение.

Теперь получаем определение:

В комплексном предгильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ полезны следующие формулы.

Последние две формулы связаны с важной теоремой о норме и эрмитовом скалярном произведении. Теорема Фреше — фон Неймана — Жордана утверждает: норма $\|\cdot\|$ в нормированном пространстве $E$ порождена скалярным произведением тогда и только тогда, когда удовлетворяет тождеству параллелограмма. Это тождество — критерий существования скалярного произведения; если оно существует, поляризационная формула позволяет восстановить его по норме.

2.2. Полнота и гильбертово пространство

Для перехода от предгильбертова пространства к гильбертову необходимо топологическое понятие полноты.

Топологические вопросы вновь будут рассмотрены в отдельной главе. Пока отметим: полнота необходима квантовой физике. Интуитивно в полном пространстве нет «дыр». Иначе говоря, последовательность элементов $\mathcal{H}$ не может сходиться к чему-то вне $\mathcal{H}$. Именно этого не хватает рациональным числам: подходящая последовательность рациональных чисел может стремиться к нерациональному числу; так, собственно, и строят действительные числа.

В квантовой механике всякое физическое состояние системы — вектор гильбертова пространства, и наоборот. Это первый постулат. Если бы пространство состояний не было полным, эволюция волновой функции под действием уравнения Шрёдингера могла бы «выйти из пространства» и привести к бессмысленному «нефизическому состоянию».

Полнота участвует и в другом основном постулате: результаты квантовых измерений должны соответствовать спектру физических наблюдаемых, рассматриваемых как самосопряжённые линейные операторы. В неполном пространстве оператор не всегда имеет сопряжённый; кроме того, полнота нужна спектральной теореме, исследующей структуру самосопряжённых операторов.

Наконец, любое квантовое выражение с бесконечной суммой — ряд Фурье, разложение по собственным состояниям и т. п. — требует полноты, чтобы иметь смысл. Например, запись $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ в обозначениях Дирака (см. раздел 4 (Тема 2, Урок 2)) предполагает существование ряда, гарантируемое только полнотой.

Есть, однако, хорошая новость: эта тонкость с полнотой существенна только в бесконечной размерности. В конечной размерности вопрос упрощает важная теорема:

Теперь перейдём к алгебраическому описанию гильбертовых пространств.

2.3. Алгебраический и гильбертов базисы

Выше мы напомнили алгебраический базис, см. определение 2: он даёт разложение векторов в конечную сумму. Основной смысл введения топологии от нормы и полного пространства таков. Теперь можно говорить о сходимости последовательностей, в частности частичных сумм $(x_n)$, где $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ для некоторых векторов $x_k$. Если сумма сходится, получается ряд, то есть бесконечная сумма: $(x_n) \to x$ и $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. В полном пространстве этот предел гарантированно принадлежит пространству.

Иначе говоря, при бесконечной алгебраической размерности гильбертова пространства теперь можно разлагать векторы в бесконечный ряд. Это даёт новое понятие базиса:

Для понимания определения нужно топологическое понятие плотности:

Это определение применимо и к гильбертову пространству, которое, в частности, нормировано. Полнота семейства означает, что любой вектор $\H$ можно сколь угодно близко приблизить конечной линейной комбинацией элементов $\H$.

В отличие от алгебраического базиса, речь не о точном равенстве конечной линейной комбинации, а о возможности сколь угодно хорошо приблизить вектор комбинацией гильбертова базиса. По полноте пространства приближения действительно сходятся к x. Для любой мощности $I$ имеем теорему:

Связь определения гильбертова базиса с теоремой о разложении не непосредственна.

В бесконечной размерности мощность алгебраического базиса всегда строго больше мощности гильбертова. Интуиция проста: конечные комбинации алгебраического базиса должны точно достигать каждой точки $x$, а для гильбертова достаточно приближения. Последний поэтому «менее точен» и требует меньше независимых направлений.⁸ Иначе говоря, конечные комбинации гильбертова базиса дают лишь малую часть пространства: $\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$. Для представления векторов $\mathcal{H}$ обычно нужны сходящиеся бесконечные ряды.

Наконец, приведём ещё одну полезную формулу математики квантовой физики.

2.4. Гильбертова размерность и классификация

Почти всё для классификации гильбертовых пространств готово. Не хватает фундаментального инварианта — гильбертовой размерности:

Для классификации наконец нужно подходящее отношение эквивалентности. Расширим изоморфизм векторных пространств из определения 4 сначала на нормированные, затем на гильбертовы пространства, пока используя интуитивное понимание непрерывности:

Если $T$ сохраняет скалярное произведение, то $T$ автоматически сохраняет норму: $\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$. Поэтому это изометрия, линейная и биективная. Основа классификации — следующая теорема:

Разумеется, теперь размерность означает гильбертову размерность. Каждое гильбертово пространство изометрически изоморфно одной из этих моделей, и классификация полна. В следующем разделе разберём их подробно, отложив несчётно-бесконечную размерность на гораздо более позднее время. Это эталонные пространства квантовых систем с конечными (например, спин), счётно-бесконечными (квантовая механика точки) или несчётными (квантовая теория поля) степенями свободы.

3. Модельные пространства

3.1. Гильбертово пространство $\C^n$

Явно это множество упорядоченных наборов из $n$ комплексных чисел:

снабжённое:

• Эрмитовым скалярным произведением: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$; обратите внимание на комплексное сопряжение.
• Соответствующей евклидовой нормой: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$

Это нормированное пространство размерности $n$, заведомо полное, поскольку конечномерно над полным полем. Следовательно, оно гильбертово. Его канонический базис, записанный столбцами:

Это гильбертов базис мощности $n$, одновременно алгебраический: каждый вектор $x \in \mathbb{C}^n$ точно представляется конечной суммой:

Это гильбертово пространство используется для любой квантовой системы с конечным числом взаимно различимых состояний, в частности двухуровневых систем, или кубитов.

3.2. Гильбертово пространство $\ell^2(\mathbb{N})$

Оно определяется как множество квадратично суммируемых последовательностей:

Можно доказать, что оно гильбертово со следующими структурами:

• Скалярное произведение: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$; теперь сумма бесконечная.
• Соответствующая норма: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$; то же замечание.

Покажем счётность явным построением канонического базиса, похожего на базис $\C^n$. Для каждого $i \in \mathbb{N}$ определим, также столбцом:

то есть вектор с $1$ на $i$-м месте и $0$ на остальных. Единственное отличие от конечномерного случая — бесконечно много компонент.

Это гильбертово пространство, например, описывает квантовый гармонический осциллятор. Его собственные состояния энергии, как мы увидим, нумеруются неограниченным целым $n$, поэтому любое состояние осциллятора записывается таким рядом.

3.3. Гильбертово пространство $L^2(\R)$

В одномерной квантовой механике точки волновая функция $\psi(x)$ комплекснозначна и зависит от действительной переменной. Вероятностная интерпретация требует:

Поэтому естественно определить соответствующее пространство как множество квадратично интегрируемых функций:

Условие «$< \infty$» показывает, что состояние всегда можно нормировать. Введём скалярное произведение:

порождающее норму:

Можно показать, что это гильбертово пространство, но доказательство не вполне тривиально. Гильбертов базис можно задать явно; известны базисы Эрмита, вейвлеты, Лагерра, Уолша и другие. Например, сначала определим полиномы Эрмита рекурсией:

затем функции Эрмита:

Примем без доказательства, что эти функции образуют ортонормированную систему:

причём полную, а значит, гильбертов базис. Заметим, что это также собственный базис гамильтониана одномерного гармонического осциллятора. Подробности см. в Википедии ^[7]. На практике этот базис используют мало из-за крайне громоздких явных выражений. Был придуман «другой базис» — на самом деле не настоящий базис, а непрерывный обобщённый базис, знаменитые кеты $\ket{x}$, к которым мы вернёмся.

3.4. Гильбертовы пространства $L^2(\mathbb{R}^3)$ и $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

В трёх измерениях аналогично рассматривают $L^2(\R^3)$ со скалярным произведением

Для системы $n$ частиц в трёх измерениях пространство состояний есть

Скалярное произведение задаётся формулой

а соответствующая норма равна

Все эти пространства гильбертовы; примем это без доказательства.

4. Заключительное замечание

Читателя может удивить, что $L^2(\R)$ для одномерной квантовой механики точки изоморфно $L^2(\R^3)$, моделирующему трёхмерную физику. В другом уроке подробно объясним, почему это не парадокс. Главная мысль: физика определяется не только гильбертовым пространством, но и набором наблюдаемых. Ни один изоморфизм $L^2(\R)$ в $L^2(\R^3)$ не переносит одновременно всю алгебру одномерных наблюдаемых в трёхмерную: одну пару $[\hat{X}, \hat{P}]$ нельзя так перенести в три независимые пары $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$.

Изоморфизм не означает и математического равенства: эти пространства действительно различны как пространства функций, но изоморфны по гильбертовой структуре. Он утверждает лишь структурное подобие: одинаковый размер, то есть мощность гильбертовых базисов, и одинаковые свойства гильбертовой структуры. Сохраняются нормы, расстояния, ортогональность, топологические свойства сходимости, непрерывности и т. д.

Следовательно, хотя при заданной мощности абстрактное гильбертово пространство единственно с точностью до изометрии, конкретных реализаций бесконечно много.

Время, потраченное на понимание классификации, не было напрасным. Как мы видели, она соответствует различным физическим ситуациям по «размерности» квантовой системы и сопровождается различными правилами вычислений: конечными суммами, бесконечными рядами или непрерывными интегралами в зависимости от природы базиса. Соответствующая теория линейных операторов также радикально меняется между конечномерным и бесконечномерным случаями.

5. Источники