Главная/Темы/Тема 2

Гильбертовы пространства и обозначения Дирака

Структура гильбертовых пространств, топологическое двойственное пространство и обозначения Дирака в конечной и бесконечной размерности.

Гильбертовы пространства

Математические структуры: векторные пространства, метрические пространства, норма, нормированные векторные пространства, скалярное произведение, предгильбертово пространство, гильбертово пространство, алгебраический базис, гильбертов базис, размерность, классификация, модельные пространства, изоморфизмы

Гильбертово пространствоНормированное пространствоЭрмитово скалярное произведениеАлгебраическая размерностьГильбертова размерностьГильбертов базисПолнотаКлассификация гильбертовых пространств

В этом уроке мы точно определим гильбертовы пространства, сначала показав, как и где они возникают в двух больших разделах математики — алгебре и топологии. Мы придём к теореме классификации: два гильбертовых пространства изометрически изоморфны, если имеют одинаковую гильбертову размерность. Её нельзя путать с алгебраической размерностью векторного пространства: они совпадают только в конечномерном случае. Для конечной, счётно-бесконечной и несчётно-бесконечной размерностей дадим эталонные модельные пространства и обзор их применения в элементарной квантовой механике. В завершение поставим вопрос о том, сохраняется ли физика, определяемая гильбертовыми пространствами, связанными изоморфизмами.

1. Математические структуры в физике

Чтобы подойти к гильбертовым пространствам, кратко напомним «карту математики», чаще всего используемой в теоретической физике. На следующей странице приведён очень упрощённый и далеко не полный вариант такой карты, достаточный для нашего курса, см. рисунок (1).

Если начать с интуитивного понятия множества точек1, дальнейшее состоит в постепенном добавлении структуры к множеству. Ниже мы последовательно объясним схему.

Примечание 1: Об этом можно сказать гораздо больше, но здесь это выходит за рамки темы; см. формальную логику и исчисление предикатов.
Иллюстрированный путеводитель по некоторым математическим структурам фундаментальной физики. Сплошные чёрные линии A B означают, что B является подструктурой или подмножеством A в зависимости от случая. Пунктир означает, что для построения B нужны понятия A. Фиолетовые стрелки и текст отведены физическим приложениям. Правая ветвь дифференциальной геометрии не нужна непосредственно в элементарной квантовой механике.
Рисунок 1. Иллюстрированный путеводитель по некоторым математическим структурам фундаментальной физики. Сплошные чёрные линии A →\to B означают, что B является подструктурой или подмножеством A в зависимости от случая. Пунктир означает, что для построения B нужны понятия A. Фиолетовые стрелки и текст отведены физическим приложениям. Правая ветвь дифференциальной геометрии не нужна непосредственно в элементарной квантовой механике.

1.1. Алгебраические структуры и векторные пространства

От множеств точек можно сразу перейти к левой ветви карты (1) — алгебраическим структурам, обычно описывающим множества чисел, хотя и не только их.

Для этого на множестве вводят одну или несколько внутренних операций. Когда операции удовлетворяют определённым правилам — ассоциативности, коммутативности, существованию нейтрального элемента и т. д. — получаются конкретные структуры.

На рисунке показаны основные примеры: магма (множество с одной внутренней операцией без дополнительных свойств), группы, кольца и поля. Есть много других — полугруппы, моноиды, некоммутативные кольца, — но для наглядности они опущены. Каждая структура уточняет предыдущую: всякое поле есть кольцо, всякое кольцо есть группа по сложению и т. д. Важнее всего поле: такую структуру имеют, в частности, действительные и комплексные числа с четырьмя обычными арифметическими действиями. Именно над полем строят векторные пространства.

Определение 1 (Векторное пространство)
Векторное пространство EE над полем K\mathbb{K} — множество с двумя операциями:
  1. сложение: +:E×E→E+: E \times E \to E, (x,y)↦x+y(x,y) \mapsto x+y,
  2. умножение на скаляр: K×E→E\mathbb{K} \times E \to E, (α,x)↦αx(\alpha,x) \mapsto \alpha x,

удовлетворяющими обычным аксиомам: коммутативности, ассоциативности, существованию нулевого и противоположных векторов, дистрибутивности и т. д.

Теперь можно составлять линейные комбинации, говорить о линейно независимых и порождающих семействах, базисе и размерности. В этой главе необходимо различать два понятия базиса: алгебраические базисы, определённые для всех векторных пространств, и гильбертовы базисы, применимые лишь к гильбертовым пространствам. В конечной размерности они совпадают, в бесконечной — нет. Аналогично следует различать алгебраическую и гильбертову размерности. Поэтому полезно кое-что напомнить.

Определение 2 (Алгебраический базис)
Пусть EE — векторное пространство над полем K\mathbb{K}. Семейство (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} — алгебраический базис EE, если каждый вектор x∈Ex \in E единственным образом представим конечной линейной комбинацией элементов семейства; мощность II при этом не обязательно конечна: x=∑i∈Fαiei,F⊂I,F конечно, αi∈K.x = \sum_{i \in F} \alpha_i e_i, \quad F \subset I, F \text{ конечно}, \ \alpha_i \in \mathbb{K}.

Это эквивалентно другому обычному определению: семейство (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} является базисом тогда и только тогда, когда оно линейно независимо и порождает EE. Базис позволяет говорить о размерности векторного пространства.

Определение 3 (Алгебраическая размерность векторного пространства)
Теорема об инвариантности размерности утверждает, что все алгебраические базисы одного векторного пространства EE имеют одинаковую мощность. Эта общая мощность всех базисов EE называется размерностью EE.
  • Если у EE есть конечный базис из nn векторов, говорят, что EE имеет размерность nn.
  • Если у EE нет конечного базиса, говорят, что EE бесконечномерно.

Даже при бесконечной размерности определение алгебраического базиса требует представлять каждый вектор конечной суммой базисных векторов. Дело в том, что бесконечную сумму пока нельзя допустить: необходимо знать, сходится ли она, а это требует топологии. В гильбертовом пространстве это станет возможно и обоснует подходящее понятие гильбертова базиса, см. раздел 2.3.

Возникает естественный вопрос: сколько существует различных векторных пространств и можно ли их классифицировать? Алгебраически — да. Для этого нужно отношение эквивалентности: изоморфизм векторных пространств, то есть взаимно однозначное соответствие между EE и FF, сохраняющее линейную структуру:

Определение 4 (Изоморфизм векторных пространств)
Пусть EE и FF — векторные пространства над одним полем K\mathbb{K}. Отображение T:E→FT : E \to F — изоморфизм, если:
  1. TT линейно: для всех (x,y)∈E2(x,y) \in E^2 и α∈K\alpha \in \mathbb{K}, T(x+y)=T(x)+T(y),T(αx)=αT(x),T(x+y) = T(x) + T(y), \quad T(\alpha x) = \alpha T(x),
  2. TT биективно.

Тогда пишут E≃FE \simeq F; обратное отображение T−1:F→ET^{-1} : F \to E существует и линейно.

Замечание: определение чисто алгебраическое. Если у EE и FF есть топология, согласованная с векторной структурой, выделяют топологический изоморфизм: дополнительно требуют непрерывности и TT, и T−1T^{-1}. К этому вернёмся для нормированных и гильбертовых пространств.

Имеется важнейшая теорема:

Теорема 1 (Классификация в конечной размерности)
Два конечномерных векторных пространства над K\mathbb{K} изоморфны тогда и только тогда, когда имеют одинаковую размерность. В частности, любое пространство размерности nn над K\mathbb{K} изоморфно Kn\mathbb{K}^n.

Таким образом, над K=R\mathbb{K} = \R или C\C практически есть лишь одна модель векторного пространства конечной размерности nn: соответственно Rn\R^n или Cn\C^n, множество nn-компонентных векторов с действительными или комплексными координатами.

В бесконечной размерности принцип тот же: приняв аксиому выбора, можно доказать существование у любого векторного пространства базиса, называемого базисом Гамеля. Теорема обобщается так: пространства над одним полем K\mathbb{K} изоморфны тогда и только тогда, когда их базисы имеют одинаковую мощность.

Мощность бесконечного базиса выражается трансфинитными кардиналами, различающими «размеры» бесконечности. Наименьший бесконечный кардинал ℵ0\aleph_0 — мощность N\mathbb{N}, а также Z\mathbb{Z} и Q\mathbb{Q}. Затем рекурсивно задаётся иерархия ℵ0<ℵ1<ℵ2<⋯\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots, где каждый ℵn+1\aleph_{n+1} — наименьший кардинал, строго больший ℵn\aleph_n; между ними кардиналов нет. В математической логике континуум-гипотеза предполагает отсутствие промежуточной бесконечной мощности между N\mathbb{N} и R\mathbb{R}, и тогда ℵ1\aleph_1 равен мощности R\mathbb{R}.

Однако практическая польза этой классификации ограниченна: базис Гамеля обычно нельзя построить явно. Поэтому классификация векторных пространств остаётся главным образом теоретической. В нормированных и гильбертовых пространствах положение меняется: ортонормированные базисы можно предъявить явно, хотя бы при конечной или счётно-бесконечной гильбертовой размерности, см. раздел 3.

Но прежде чем перейти к гильбертовым пространствам, нужно пройти по средней ветви карты и обсудить метрические и нормированные пространства.

1.2. Метрические и нормированные пространства

На средней ветви карты (1) сначала следует наделить множество точек топологией. Подробности будут в другой главе, о топологии нормированных и гильбертовых пространств. Пока достаточно помнить, что топология даёт понятие локальности, позволяющее определить сходимость, предел и непрерывность. В частности, метрические пространства топологические: это множества точек с расстоянием, которое определяет локальность.

Определение 5 (Метрическое пространство)
Метрическое пространство — пара (X,d)(X,d), где XX — множество, а d:X×X→R+d : X \times X \to \mathbb{R^+} — расстояние, удовлетворяющее для всех (x,y,z)∈X3(x,y,z) \in X^3: d(x,y)≥0,d(x,y)=0  ⟺  x=y,d(x,y)=d(y,x),(Симметрия)d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).(Неравенство треугольника)\begin{aligned} & d(x,y) \geq 0, \quad d(x,y) = 0 \iff x=y, \\[0.5em] & d(x,y) = d(y,x), \quad \textrm{(Симметрия)}\\[0.5em] & d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z). \quad \textrm{(Неравенство треугольника)} \end{aligned}

Теперь можно объединить алгебраическую и топологическую ветви карты 1, рассмотрев метрические пространства, чьё исходное множество XX — векторное пространство, иначе говоря, векторные пространства с расстоянием. Это приведёт к фундаментальной для квантовой механики структуре, частным случаем которой являются гильбертовы пространства: нормированным векторным пространствам.

Мы не хотим допускать любые расстояния. Поскольку пространство линейно, расстояние должно быть согласовано с векторной структурой:

Определение 6 (Расстояние, согласованное с векторной структурой)
Пусть EE — векторное пространство над K\mathbb{K}, а dd — метрика на EE. Говорят, что dd согласована с векторной структурой, если:
  1. Инвариантность относительно сдвига: d(x+z,y+z)=d(x,y)d(x+z, y+z) = d(x,y) для всех (x,y,z)∈E3(x,y,z) \in E^3
  2. Однородность: d(λx,λy)=∣λ∣d(x,y)d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda| d(x,y) для всех (x,y)∈E2(x,y) \in E^2 и λ∈K\lambda \in \mathbb{K}

Условия означают, что расстояние согласуется с геометрией векторного пространства: сдвиги его не меняют, выражая однородность пространства, а гомотетии сохраняют отношения расстояний2  3. Следующее утверждение приводит к нормированным пространствам: если dd — согласованная метрика на векторном пространстве EE, то расстояние до начала координат, то есть нулевого вектора, ∥x∥=d(x,0E)\norm{x} = d(x, 0_E) является нормой.

Примечание 2: Может показаться, что нужна инвариантность относительно вращений, но это оставило бы только изотропные нормы, например евклидову, и исключило бы ∥x∥=x12+4x22\norm{x} = \sqrt{x_1^2 + 4 x_2^2} на плоскости — вполне корректную, хотя и анизотропную норму.
Примечание 3: Также требуется абсолютная величина в K\mathbb{K}, то есть нормированное поле. Далее практически используем обычный модуль на R\R и модуль на C\C.
Доказательство.
Действительно, оно удовлетворяет определяющим норму свойствам:
  1. ∥x∥≥0\|x\| \geq 0 и ∥x∥=0  ⟺  x=0E\|x\| = 0 \iff x = 0_E
  2. ∥λx∥=∣λ∣∥x∥\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\| для всех x∈Ex \in E и λ∈K\lambda \in \mathbb{K}
  3. ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| для всех (x,y)∈E2(x,y) \in E^2

Векторное пространство с таким расстоянием становится нормированным:

Определение 7 (Нормированное векторное пространство)
Нормированное векторное пространство — пара (E,∥⋅∥)(E, \|\cdot\|), где EE — векторное пространство, а ∥⋅∥\|\cdot\| — норма на EE. Благодаря норме оно является топологическим пространством.

Каждое нормированное пространство (E,∥⋅∥)(E, \|\cdot\|) канонически задаёт метрическое пространство (E,d)(E, d) формулой d(x,y)=∥x−y∥d(x,y) = \|x-y\|; эта метрика автоматически согласована с векторной структурой. Значит, нормированные пространства взаимно однозначно соответствуют особому подклассу метрических и в этом смысле являются их подмножеством.

2. Гильбертовы пространства

Мы добрались до нормированных пространств на рисунке (1). Обычно слова «векторное пространство» опускают и говорят просто «нормированное пространство»; во французском также часто используют сокращение EVN. Далее определим предгильбертовы, затем гильбертовы пространства, образующие математическую основу квантовой механики.

Поскольку квантовая механика строится на комплексных числах, далее ограничимся K=C\mathbb{K} = \C. До сих пор векторные и нормированные пространства обозначались EE и FF. Теперь для (пред)гильбертовых пространств используем H\mathcal{H} и G\mathcal{G}. Векторы по-прежнему обозначаем x,y,zx, y, z и т. д.

2.1. Предгильбертово пространство и скалярное произведение

Предгильбертово пространство — нормированное векторное пространство, норма которого порождена скалярным произведением. Не все нормы таковы: например, супремум-норма не получается из скалярного произведения4. Предгильбертовы пространства поэтому образуют собственный подкласс нормированных. Напомним определение эрмитова скалярного произведения над C\C:

Примечание 4: На Cn\C^n, например, она определяется как ∥x∥∞=max⁡i∣xi∣\|x\|_\infty = \max_i |x_i|. Можно показать, что она не удовлетворяет тождеству параллелограмма ∥x+y∥2+∥x−y∥2=2(∥x∥2+∥y∥2)\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2), которое обязательно для нормы, порождённой скалярным произведением. См. также [5]
Определение 8 (Эрмитово скалярное произведение в C\C-пространстве)
Эрмитово скалярное произведение в комплексном векторном пространстве H\mathcal{H} — отображение ⟨⋅,⋅⟩:H×H→C\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathcal{H} \times \mathcal{H} \to \mathbb{C}, удовлетворяющее:
  1. Линейность по второму аргументу: ∀(x,y,z)∈H3,∀(λ,μ)∈C2\forall (x, y, z) \in \mathcal{H}^3, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2,

    ⟨x,λy+μz⟩=λ⟨x,y⟩+μ⟨x,z⟩\langle x, \lambda y + \mu z \rangle = \lambda \langle x, y \rangle + \mu \langle x, z \rangle

    (1)

  2. Эрмитова симметрия: ∀(x,y)∈H2\forall (x, y) \in \mathcal{H}^2,

    ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩∗\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle^*

    (2)

  3. Положительная определённость: ∀x∈H\forall x \in \mathcal{H},

    ⟨x,x⟩≥0и⟨x,x⟩=0⇔x=0H\langle x, x \rangle \geq 0 \quad \text{и} \quad \langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0_{\H}

    (3)

Из свойств (1) и (2) следует сопряжённая линейность, или антилинейность, по первому аргументу5: ⟨λx+μy,z⟩=λ∗⟨x,z⟩+μ∗⟨y,z⟩\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle. Линейное по одному аргументу и сопряжённо-линейное по другому отображение называется полуторалинейным6. Далее говорим просто «скалярное произведение», подразумевая эрмитовость.

Примечание 5: Математики обычно выбирают обратное соглашение: линейность по первому аргументу и сопряжённую линейность по второму; основные свойства от этого не меняются.
Примечание 6: В R\mathbb{R}-пространстве сопряжение не нужно и скалярное произведение просто билинейно.

Заранее отметим важное топологическое свойство: скалярное произведение непрерывно по двум переменным. Если xn→xx_n \to x и yn→yy_n \to y по норме, то есть ∥xn−x∥→0\|x_n - x\| \to 0 и ∥yn−y∥→0\|y_n - y\| \to 0, то

⟨xn,yn⟩→⟨x,y⟩ в C\langle x_n, y_n \rangle \to \langle x, y \rangle \text{ в } \C

В постулатах квантового измерения мы увидим, что вероятность результата физической величины, связанного с собственным вектором φ\phi, для системы в состоянии ψ\psi равна ∣⟨φ,ψ⟩∣2|\langle \phi , \psi \rangle|^2 (см. раздел 1.2 (Тема 3, Урок 1, недоступно на этом языке)). Поэтому непрерывность гарантирует, что малое изменение состояния ψ\psi вызывает малое изменение вероятностей, как и желательно.

Скалярное произведение обладает ещё одним фундаментальным свойством:

Теорема 2 (Неравенство Коши — Шварца)
Для любых векторов xx и yy из H2\mathcal{H}^2 имеем:

∣⟨x,y⟩∣⩽∥x∥ ∥y∥|\langle x,y\rangle |\leqslant \|x\|\ \|y\|

(4)

где ∥x∥  =def  ⟨x,x⟩\|x\| \equiv \sqrt{\langle x, x \rangle}.

В частности, это неравенство доказывает, что отображение x↦∥x∥=⟨x,x⟩x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} действительно норма, как подсказывает обозначение.

Доказательство.
Проверим три условия нормы. ∥x∥2=⟨x,x⟩≥0\|x\|^2 = \langle x, x \rangle \geq 0, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда x=0Hx = 0_{\H}, непосредственно по определению скалярного произведения. Кроме того, ∥λx∥=⟨λx,λx⟩=∣λ∣2⟨x,x⟩=∣λ∣∥x∥\|\lambda x\| = \sqrt{\langle \lambda x, \lambda x \rangle} = \sqrt{|\lambda|^2 \langle x, x \rangle} = |\lambda| \|x\|. Наконец, ∥x+y∥2=⟨x+y,x+y⟩=∥x∥2+2 ℜ⟨x,y⟩+∥y∥2≤∥x∥2+2∣⟨x,y⟩∣+∥y∥2.\begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \langle x+y, x+y \rangle \\ &= \|x\|^2 + 2\,\Re\langle x, y \rangle + \|y\|^2 \\ &\leq \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2. \end{aligned}

Используя Коши — Шварца, ∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥ ∥y∥|\langle x, y \rangle| \leq \|x\|\,\|y\|, получаем:

∥x+y∥2≤∥x∥2+2∥x∥ ∥y∥+∥y∥2=(∥x∥+∥y∥)2,\|x+y\|^2 \leq \|x\|^2 + 2\|x\|\,\|y\| + \|y\|^2 = \bigl(\|x\| + \|y\|\bigr)^2,

и извлечение квадратного корня даёт неравенство треугольника.

Теперь получаем определение:

Определение 9 (Комплексное предгильбертово пространство)
Комплексное предгильбертово пространство — векторное пространство с эрмитовым скалярным произведением. Отображение ∥x∥=⟨x,x⟩\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} является нормой и делает его нормированным пространством.

В комплексном предгильбертовом пространстве H\mathcal{H} полезны следующие формулы.

Утверждение 1 (Сводка формул)
Пусть (x,y)∈H2(x, y) \in \mathcal{H}^2, а (x1,…,xn)(x_1, \dots, x_n) — семейство векторов H\mathcal{H}.
  1. Теорема Пифагора: ⟨x,y⟩=0  ⟺  ∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2\langle x, y \rangle = 0 \iff \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2. В общем случае, если (xi)1≤i≤n(x_i)_{1 \le i \le n} попарно ортогональны:

    ∥∑i=1nxi∥2=∑i=1n∥xi∥2\left\| \sum_{i=1}^n x_i \right\|^2 = \sum_{i=1}^n \|x_i\|^2

    (5)

  2. Тождество параллелограмма:

    ∥x+y∥2+∥x−y∥2=2(∥x∥2+∥y∥2).\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2 \left( \|x\|^2 + \|y\|^2 \right).

    (6)

  3. Поляризационная формула:

    ⟨x,y⟩=14(∥x+y∥2−∥x−y∥2+i∥x+iy∥2−i∥x−iy∥2)\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left( \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i \|x + iy\|^2 - i \|x - iy\|^2 \right)

    (7)

Последние две формулы связаны с важной теоремой о норме и эрмитовом скалярном произведении. Теорема Фреше — фон Неймана — Жордана утверждает: норма ∥⋅∥\|\cdot\| в нормированном пространстве EE порождена скалярным произведением тогда и только тогда, когда удовлетворяет тождеству параллелограмма. Это тождество — критерий существования скалярного произведения; если оно существует, поляризационная формула позволяет восстановить его по норме.

2.2. Полнота и гильбертово пространство

Для перехода от предгильбертова пространства к гильбертову необходимо топологическое понятие полноты.

Определение 10 (Гильбертово пространство)
Гильбертово пространство H\mathcal{H} — предгильбертово пространство, полное по норме, порождённой скалярным произведением: все последовательности Коши в H\mathcal{H} сходятся в H\mathcal{H}. Последовательности Коши удовлетворяют условию:

∀ε>0,∃N∈Nтакое, что∀p≥N∀q≥Nd(xp,xq)<ε,\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \N \quad \textrm{такое, что} \quad \forall p\geq N\quad \forall q\geq N\quad d(x_{p},x_{q})<\varepsilon ,

(8)

для расстояния, определяемого нормой. При росте nn члены таких последовательностей становятся сколь угодно близкими друг к другу.

Топологические вопросы вновь будут рассмотрены в отдельной главе. Пока отметим: полнота необходима квантовой физике. Интуитивно в полном пространстве нет «дыр». Иначе говоря, последовательность элементов H\mathcal{H} не может сходиться к чему-то вне H\mathcal{H}. Именно этого не хватает рациональным числам: подходящая последовательность рациональных чисел может стремиться к нерациональному числу; так, собственно, и строят действительные числа.

В квантовой механике всякое физическое состояние системы — вектор гильбертова пространства, и наоборот. Это первый постулат. Если бы пространство состояний не было полным, эволюция волновой функции под действием уравнения Шрёдингера могла бы «выйти из пространства» и привести к бессмысленному «нефизическому состоянию».

Полнота участвует и в другом основном постулате: результаты квантовых измерений должны соответствовать спектру физических наблюдаемых, рассматриваемых как самосопряжённые линейные операторы. В неполном пространстве оператор не всегда имеет сопряжённый; кроме того, полнота нужна спектральной теореме, исследующей структуру самосопряжённых операторов.

Наконец, любое квантовое выражение с бесконечной суммой — ряд Фурье, разложение по собственным состояниям и т. п. — требует полноты, чтобы иметь смысл. Например, запись ∣ψ⟩=∑n=1∞cn∣n⟩|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle в обозначениях Дирака (см. раздел 4 (Тема 2, Урок 2)) предполагает существование ряда, гарантируемое только полнотой.

Есть, однако, хорошая новость: эта тонкость с полнотой существенна только в бесконечной размерности. В конечной размерности вопрос упрощает важная теорема:

Теорема 3 (Полнота конечномерных нормированных пространств)
Любое конечномерное нормированное пространство над полным нормированным полем7, например R\mathbb{R} или C\mathbb{C}, полно. В частности, всякое конечномерное предгильбертово пространство над R\R или C\C автоматически гильбертово.
Примечание 7: Это поле с абсолютной величиной, полное относительно неё.

Теперь перейдём к алгебраическому описанию гильбертовых пространств.

2.3. Алгебраический и гильбертов базисы

Выше мы напомнили алгебраический базис, см. определение 2: он даёт разложение векторов в конечную сумму. Основной смысл введения топологии от нормы и полного пространства таков. Теперь можно говорить о сходимости последовательностей, в частности частичных сумм (xn)(x_n), где xn=∑k=1nxkx_n = \sum_{k=1}^{n} x_k для некоторых векторов xkx_k. Если сумма сходится, получается ряд, то есть бесконечная сумма: (xn)→x(x_n) \to x и x=∑k=1∞xkx = \sum_{k=1}^{\infty} x_k. В полном пространстве этот предел гарантированно принадлежит пространству.

Иначе говоря, при бесконечной алгебраической размерности гильбертова пространства теперь можно разлагать векторы в бесконечный ряд. Это даёт новое понятие базиса:

Определение 11 (Гильбертов базис)
Пусть H\mathcal{H} — гильбертово пространство. Семейство (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} — гильбертов базис, если это полная ортонормированная система, то есть:
  1. Она ортонормирована: ⟨ei,ej⟩=δij\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}
  2. Она полна: конечные линейные комбинации плотны в H\mathcal{H}: Vect(ei,i∈I)‾=H,\overline{\mathrm{Vect}(e_i, i \in I)} = \mathcal{H},

    черта сверху означает замыкание. Подробности — в главе о топологии.

Для понимания определения нужно топологическое понятие плотности:

Определение 12 (Плотность в нормированном пространстве)
Пусть (X,∥⋅∥X)(X, \|\cdot\|_X) — нормированное пространство и A⊆XA \subseteq X. Множество AA плотно в XX, если любую точку XX можно сколь угодно точно приблизить точками AA. То есть для всех x∈Xx \in X и ε>0\varepsilon > 0 существует a∈Aa \in A с ∥x−a∥<ε\norm{x -a} < \varepsilon.

Это определение применимо и к гильбертову пространству, которое, в частности, нормировано. Полнота семейства означает, что любой вектор H\H можно сколь угодно близко приблизить конечной линейной комбинацией элементов H\H.

В отличие от алгебраического базиса, речь не о точном равенстве конечной линейной комбинации, а о возможности сколь угодно хорошо приблизить вектор комбинацией гильбертова базиса. По полноте пространства приближения действительно сходятся к x. Для любой мощности II имеем теорему:

Теорема 4 (Теорема о разложении)
Если (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} — гильбертов базис H\mathcal{H}, то любой x∈Hx \in \mathcal{H} представим как:

x=∑i∈I⟨ei,x⟩eix = \sum_{i \in I} \langle e_i, x \rangle e_i

(9)

Кроме того, верно равенство Парсеваля:

∥x∥2=∑i∈I∣⟨ei,x⟩∣2\|x\|^2 = \sum_{i \in I} |\langle e_i, x \rangle|^2

(10)

если II несчётно, сумма фактически берётся по не более чем счётному множеству индексов, зависящему от xx.

Связь определения гильбертова базиса с теоремой о разложении не непосредственна.

Доказательство.
В доказательстве две основные идеи. Во-первых, полнота ортонормированного семейства {ei}i∈I\{e_i\}_{i \in I} позволяет построить последовательность приближений к любой точке xx. Действительно, плотность говорит: для каждого ε>0\epsilon > 0 есть конечная линейная комбинация yε=∑i∈Jαieiy_\epsilon = \sum_{i \in J} \alpha_i e_i, где J⊂IJ \subset I — конечное множество индексов, такая, что ∣x−yε∣<ε|x - y_\epsilon| < \epsilon.

Во-вторых, частичная сумма SJ=∑i∈J⟨ei,x⟩eiS_J = \sum_{i \in J} \langle e_i, x \rangle e_i — ортогональная проекция xx на VJ=Vect(ei,i∈J)V_J = \mathrm{Vect}(e_i, i \in J). По свойству ортогональной проекции, принятому здесь без доказательства, SJS_J минимизирует расстояние до xx:

∣x−SJ∣=inf⁡y∈VJ∣x−y∣≤∣x−yε∣<ε|x - S_J| = \inf_{y \in V_J} |x - y| \leq |x - y_\epsilon| < \epsilon

Поэтому, взяв последовательность εn→0\epsilon_n \to 0, получаем конечные подмножества JnJ_n с ∥x−SJn∥≤εn\|x - S_{J_n}\| \leq \epsilon_n. Пока этого недостаточно: последовательность JnJ_n не обязательно возрастает. В счётном случае достаточно заменить JnJ_n на Jn′=J1∪⋯∪JnJ_n' = J_1 \cup \cdots \cup J_n и получить возрастающую последовательность конечных подмножеств с ∥x−SJn′∥→0\|x - S_{J_n'}\| \to 0, что и даёт нужную сходимость. Подробности см. в [6].

В бесконечной размерности мощность алгебраического базиса всегда строго больше мощности гильбертова. Интуиция проста: конечные комбинации алгебраического базиса должны точно достигать каждой точки xx, а для гильбертова достаточно приближения. Последний поэтому «менее точен» и требует меньше независимых направлений.8 Иначе говоря, конечные комбинации гильбертова базиса дают лишь малую часть пространства: Vect(ei)⊊H\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}. Для представления векторов H\mathcal{H} обычно нужны сходящиеся бесконечные ряды.

Примечание 8: Точнее, если у H\mathcal{H} есть счётный гильбертов базис мощности ℵ0\aleph_0, то по теореме Бэра алгебраический базис обязательно несчётен, с мощностью не менее 2ℵ02^{\aleph_0}.
Замечание 1 (Эквивалентность базисов в конечной размерности)
Сказанное относится к бесконечной размерности. При конечной размерности nn два понятия совпадают. Всякий гильбертов базис алгебраический, а «почти наоборот» процедура ортонормирования Грама — Шмидта превращает любой алгебраический базис в гильбертов. Полученная система мощности nn автоматически полна: конечными комбинациями она уже порождает всё пространство. Поэтому теорема о разложении тривиальна в конечномерном случае и существенна лишь в бесконечномерном.

Наконец, приведём ещё одну полезную формулу математики квантовой физики.

Утверждение 2 (Неравенство Бесселя)
Пусть (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} — ортонормированная система. Для каждого вектора x∈Hx \in \mathcal{H}:

∑i∈I∣⟨x,ei⟩∣2≤∥x∥2\sum_{i \in I} |\langle x, e_i \rangle|^2 \leq \|x\|^2

(11)

равенство Парсеваля выполняется тогда и только тогда, когда система также полна.

2.4. Гильбертова размерность и классификация

Почти всё для классификации гильбертовых пространств готово. Не хватает фундаментального инварианта — гильбертовой размерности:

Теорема 5 (Гильбертова размерность)
Пусть H\mathcal{H} — гильбертово пространство. Верны утверждения:
  1. Всякое гильбертово пространство имеет хотя бы один гильбертов базис.
  2. Все гильбертовы базисы H\mathcal{H} имеют одинаковую мощность.

Поэтому можно говорить о гильбертовой размерности H\mathcal{H}, обозначаемой dim⁡(H)\dim(\mathcal{H}). Она конечна, счётно-бесконечна или несчётно-бесконечна.

Для классификации наконец нужно подходящее отношение эквивалентности. Расширим изоморфизм векторных пространств из определения 4 сначала на нормированные, затем на гильбертовы пространства, пока используя интуитивное понимание непрерывности:

Определение 13 (Изоморфизм нормированных и гильбертовых пространств)
Пусть EE и FF — нормированные пространства, а T:E→FT : E \to F — линейное отображение.
  • TT называется изоморфизмом нормированных векторных пространств, или топологическим изоморфизмом, если TT линейно, биективно, а TT и T−1T^{-1} непрерывны.
  • Для гильбертовых пространств H\H и G\mathcal{G} отображение TT — гильбертов изоморфизм, или изометрический изоморфизм, если TT дополнительно сохраняет скалярное произведение: ⟨T(x),T(y)⟩G=⟨x,y⟩H,∀(x,y)∈H2.\langle T(x), T(y) \rangle_\mathcal{G} = \langle x, y \rangle_{\H}, \quad \forall (x,y) \in \H^2.

    Также говорят, что TT — унитарный оператор.

Если TT сохраняет скалярное произведение, то TT автоматически сохраняет норму: ∥T(x)∥G=∥x∥H\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}. Поэтому это изометрия, линейная и биективная. Основа классификации — следующая теорема:

Теорема 6 (Характеризация размерностью)
Гильбертовы пространства H1\mathcal{H}_1 и H2\mathcal{H}_2 изометрически изоморфны тогда и только тогда, когда имеют одинаковую гильбертову размерность: dim⁡(H1)=dim⁡(H2)\dim(\mathcal{H}_1) = \dim(\mathcal{H}_2).
Следствие 1 (Классификация гильбертовых пространств.)
С точностью до изометрического изоморфизма существуют:
  1. Для каждого целого n≥1n \geq 1 единственное гильбертово пространство конечной размерности nn, канонический представитель которого — Cn\mathbb{C}^n, или Rn\mathbb{R}^n над R\mathbb{R}.
  2. Единственное гильбертово пространство счётно-бесконечной размерности с каноническим представителем ℓ2(N)\ell^2(\mathbb{N}), пространством квадратично суммируемых последовательностей: ℓ2(N)={(xn)n∈N:∑n=1∞∣xn∣2<∞}\ell^2(\mathbb{N}) = \left\{(x_n)_{n \in \mathbb{N}} : \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty\right\}
  3. Для каждого несчётного бесконечного кардинала κ≥ℵ1\kappa \geq \aleph_1 единственное гильбертово пространство размерности κ\kappa, представленное ℓ2(κ)\ell^2(\kappa)9.
    Примечание 9: Для множества индексов II мощности κ\kappa определяют ℓ2(I)={(xi)i∈I:∑i∈I∣xi∣2<∞}\ell^2(I) = \{(x_i)_{i \in I} : \sum_{i \in I} |x_i|^2 < \infty\}, причём ненулевых слагаемых в сумме не более чем счётно.

Разумеется, теперь размерность означает гильбертову размерность. Каждое гильбертово пространство изометрически изоморфно одной из этих моделей, и классификация полна. В следующем разделе разберём их подробно, отложив несчётно-бесконечную размерность на гораздо более позднее время. Это эталонные пространства квантовых систем с конечными (например, спин), счётно-бесконечными (квантовая механика точки) или несчётными (квантовая теория поля) степенями свободы.

Замечание 2 (Сепарабельность и мощность)
Гильбертово пространство H\mathcal{H} называют сепарабельным, если оно имеет счётное плотное подмножество. Можно показать, что это равносильно не более чем счётной гильбертовой размерности, то есть конечной или счётно-бесконечной.

Поэтому классификация равносильна следующей: конечномерные, бесконечномерные сепарабельные и несепарабельные гильбертовы пространства, как указано на карте, рисунок (1).

Хотя это понятие не требуется для классификации выше, оно полезно практически: установить сепарабельность или её отсутствие часто легче, чем явно построить гильбертов базис.

3. Модельные пространства

3.1. Гильбертово пространство Cn\C^n

Явно это множество упорядоченных наборов из nn комплексных чисел:

Cn={x=(x1,x2,...,xn):xi∈C,i=1,...,n}\mathbb{C}^n = \{x = (x_1, x_2, ..., x_n) : x_i \in \mathbb{C}, i = 1, ..., n\}

снабжённое:

  • Эрмитовым скалярным произведением: ⟨x,y⟩=∑i=1nxi∗yi\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i; обратите внимание на комплексное сопряжение.
  • Соответствующей евклидовой нормой: ∥x∥=∑i=1n∣xi∣2\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}

Это нормированное пространство размерности nn, заведомо полное, поскольку конечномерно над полным полем. Следовательно, оно гильбертово. Его канонический базис, записанный столбцами:

ei=(0⋮010⋮0)(1 стоит на i-м месте).e_i = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{(1 стоит на i-м месте).}

Это гильбертов базис мощности nn, одновременно алгебраический: каждый вектор x∈Cnx \in \mathbb{C}^n точно представляется конечной суммой:

x=∑i=1nxiei=∑i=1n⟨ei,x⟩eix = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i = \sum_{i=1}^{n} \langle e_i , x \rangle e_i

Это гильбертово пространство используется для любой квантовой системы с конечным числом взаимно различимых состояний, в частности двухуровневых систем, или кубитов.

3.2. Гильбертово пространство ℓ2(N)\ell^2(\mathbb{N})

Оно определяется как множество квадратично суммируемых последовательностей:

ℓ2(N)={x=(xn)n≥1:xn∈C,∑n=1∞∣xn∣2<∞}\ell^2(\mathbb{N}) = \left\{x = (x_n)_{n \geq 1} : x_n \in \mathbb{C}, \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty\right\}

Можно доказать, что оно гильбертово со следующими структурами:

  • Скалярное произведение: ⟨x,y⟩=∑i=1∞xi∗yi\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i; теперь сумма бесконечная.
  • Соответствующая норма: ∥x∥=∑i=1∞∣xi∣2\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}; то же замечание.

Покажем счётность явным построением канонического базиса, похожего на базис Cn\C^n. Для каждого i∈Ni \in \mathbb{N} определим, также столбцом:

ei=(0,0,…,0,1,0,… ),e_i = (0,0,\dots,0,1,0,\dots),

то есть вектор с 11 на ii-м месте и 00 на остальных. Единственное отличие от конечномерного случая — бесконечно много компонент.

Доказательство.
Семейство {ei}i∈N\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}} очевидно ортонормировано и также полно: любой x∈ℓ2(N)x \in \ell^2(\mathbb{N}), заданный последовательностью (x1,x2,...)(x_1, x_2, ...), позволяет приблизить xx конечными частичными суммами: x(N)=∑i=1Nxiei=(x1,x2,…,xN,0,0,… ).x^{(N)} = \sum_{i=1}^N x_i e_i = (x_1, x_2, \dots, x_N, 0,0,\dots).

Действительно, разность удовлетворяет 10 :

Примечание 10: Используется результат: если ∑n=1∞∣xn∣2<∞\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty, хвост ряда стремится к нулю: lim⁡N→∞∑n=N+1∞∣xn∣2=0.\lim_{N \to \infty} \sum_{n=N+1}^\infty |x_n|^2 = 0. Это связано с тем, что остаётся суммировать бесконечно много непременно неотрицательных членов.
∥x−x(N)∥2=∑i=N+1∞∣xi∣2→N→∞0,\|x - x^{(N)}\|^2 = \sum_{i=N+1}^\infty |x_i|^2 \xrightarrow[N\to\infty]{} 0,

что доказывает плотность конечных комбинаций eke_k, см. определение 11. Итак, {ei}i∈N\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}} — гильбертов базис, по построению имеющий мощность N\N. Теорема о разложении говорит, что каждый вектор x∈ℓ2(N)x \in \ell^2(\mathbb{N}) записывается как

x=∑i=1∞xiei=∑i=1∞⟨ei,x⟩eix = \sum_{i=1}^\infty x_i e_i = \sum_{i=1}^\infty \langle e_i, x \rangle e_i

где ряд сходится по норме ℓ2\ell^2.

Это гильбертово пространство, например, описывает квантовый гармонический осциллятор. Его собственные состояния энергии, как мы увидим, нумеруются неограниченным целым nn, поэтому любое состояние осциллятора записывается таким рядом.

3.3. Гильбертово пространство L2(R)L^2(\R)

В одномерной квантовой механике точки волновая функция ψ(x)\psi(x) комплекснозначна и зависит от действительной переменной. Вероятностная интерпретация требует:

∫Rψ∗(x) ψ(x) dx=1.\int_\R \psi^*(x)\, \psi(x)\, dx = 1.

Поэтому естественно определить соответствующее пространство как множество квадратично интегрируемых функций:

H=L2(R)={ψ:R→C ∣ ∫R∣ψ(x)∣2 dx<∞}.\mathcal{H} = L^2(\R) = \big\{\psi : \R \to \mathbb{C} \ \big|\ \int_\R |\psi(x)|^2\, dx < \infty \big\}.

Условие «<∞< \infty» показывает, что состояние всегда можно нормировать. Введём скалярное произведение:

⟨ψ,φ⟩=∫Rψ∗(x) φ(x) dx,\langle \psi, \phi \rangle = \int_\R \psi^*(x)\, \phi(x)\, dx,

порождающее норму:

∥ψ∥=⟨ψ,ψ⟩=∫R∣ψ(x)∣2 dx.\|\psi\| = \sqrt{\langle \psi, \psi \rangle} = \sqrt{\int_\R |\psi(x)|^2 \, dx}.

Можно показать, что это гильбертово пространство, но доказательство не вполне тривиально. Гильбертов базис можно задать явно; известны базисы Эрмита, вейвлеты, Лагерра, Уолша и другие. Например, сначала определим полиномы Эрмита рекурсией:

Hn+1(x)=2 x Hn(x)−2 n Hn−1(x),H0(x)=1,  H1(x)=2x,H_{n+1}(x) = 2\, x\, H_n(x) - 2\, n\, H_{n-1}(x), \quad H_0(x) = 1, \; H_1(x) = 2x,

затем функции Эрмита:

ψn(x)=12nn!π e−x2/2Hn(x);\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}\, e^{-x^2/2} H_n(x) ;

Примем без доказательства, что эти функции образуют ортонормированную систему:

∫Rψn(x) ψm(x)dx=δnmздесь ψn∗=ψn\int_\R \psi_n(x) \, \psi_m(x) dx = \delta_{nm} \quad \textrm{здесь ψn∗=ψn\psi_n^* = \psi_n}

причём полную, а значит, гильбертов базис. Заметим, что это также собственный базис гамильтониана одномерного гармонического осциллятора. Подробности см. в Википедии [7]. На практике этот базис используют мало из-за крайне громоздких явных выражений. Был придуман «другой базис» — на самом деле не настоящий базис, а непрерывный обобщённый базис, знаменитые кеты ∣x⟩\ket{x}, к которым мы вернёмся.

3.4. Гильбертовы пространства L2(R3)L^2(\mathbb{R}^3) и L2(R3n)L^2(\mathbb{R}^{3n})

В трёх измерениях аналогично рассматривают L2(R3)L^2(\R^3) со скалярным произведением

⟨ψ,φ⟩=∫R3ψ∗(x) φ(x) d3x.\langle \psi, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\mathbf{x})\, \phi(\mathbf{x})\, d^3x.

Для системы nn частиц в трёх измерениях пространство состояний есть

L2(R3n)={ψ:R3n→C  ∣  ∫R3n∣ψ(x1,…,xn)∣2 d3x1…d3xn<∞}.L^2(\mathbb{R}^{3n}) = \Bigl\{ \psi : \mathbb{R}^{3n} \to \mathbb{C} \;\Bigm|\; \int_{\mathbb{R}^{3n}} |\psi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)|^2 \, d^3x_1 \dots d^3x_n < \infty \Bigr\}.

Скалярное произведение задаётся формулой

⟨ψ,φ⟩=∫R3nψ∗(x1,…,xn) φ(x1,…,xn) d3x1…d3xn,\langle \psi, \phi \rangle = \int_{\mathbb{R}^{3n}} \psi^*(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)\, \phi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)\, d^3x_1 \dots d^3x_n,

а соответствующая норма равна

∥ψ∥=⟨ψ,ψ⟩=∫R3n∣ψ(x1,…,xn)∣2 d3x1…d3xn.\|\psi\| = \sqrt{\langle \psi, \psi \rangle} = \sqrt{\int_{\mathbb{R}^{3n}} |\psi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)|^2 \, d^3x_1 \dots d^3x_n}.

Все эти пространства гильбертовы; примем это без доказательства.

4. Заключительное замечание

Читателя может удивить, что L2(R)L^2(\R) для одномерной квантовой механики точки изоморфно L2(R3)L^2(\R^3), моделирующему трёхмерную физику. В другом уроке подробно объясним, почему это не парадокс. Главная мысль: физика определяется не только гильбертовым пространством, но и набором наблюдаемых. Ни один изоморфизм L2(R)L^2(\R) в L2(R3)L^2(\R^3) не переносит одновременно всю алгебру одномерных наблюдаемых в трёхмерную: одну пару [X^,P^][\hat{X}, \hat{P}] нельзя так перенести в три независимые пары [X^i,P^j]=iℏδij[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}.

Изоморфизм не означает и математического равенства: эти пространства действительно различны как пространства функций, но изоморфны по гильбертовой структуре. Он утверждает лишь структурное подобие: одинаковый размер, то есть мощность гильбертовых базисов, и одинаковые свойства гильбертовой структуры. Сохраняются нормы, расстояния, ортогональность, топологические свойства сходимости, непрерывности и т. д.

Следовательно, хотя при заданной мощности абстрактное гильбертово пространство единственно с точностью до изометрии, конкретных реализаций бесконечно много.

Время, потраченное на понимание классификации, не было напрасным. Как мы видели, она соответствует различным физическим ситуациям по «размерности» квантовой системы и сопровождается различными правилами вычислений: конечными суммами, бесконечными рядами или непрерывными интегралами в зависимости от природы базиса. Соответствующая теория линейных операторов также радикально меняется между конечномерным и бесконечномерным случаями.

5. Источники