Гильбертовы пространства и обозначения Дирака

1. Идея двойственности

Двойственность — сквозная идея этого урока. Попробуем дать ей интуитивное истолкование. В математике понятие двойственности охватывает множество ситуаций, но в гильбертовых пространствах оно выражает простую и глубокую мысль: вектор можно рассматривать не только как самостоятельный объект, но и как оператор, действующий на другие векторы и выдающий числа (то есть как линейный функционал). В квантовой механике полученное число является амплитудой вероятности.

Квантовый формализм в полной мере использует обе эти стороны, а обозначения Дирака представляют собой остроумную систему записи, позволяющую легко с ними обращаться. В ней кет-векторы, обозначаемые $\ket{u}$, представляют векторы пространства, а бра-векторы, обозначаемые $\bra{u}$, — линейные функционалы, действующие на эти векторы. Их сочетание $\langle u|v\rangle$ даёт скаляр, называемый бракетом, тогда как выражения вида $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ описывают операторы.

Эта запись стала стандартным языком квантовой физики, и необходимо владеть ею в полной мере. После урока будет приведена сводка правил вычисления. На самом деле научиться обращаться с этими символами вполне возможно, не понимая стоящей за ними математики. Однако, чтобы постичь их глубокий смысл, нужно выполнить намеченную здесь программу: понять, как строится полное отождествление векторов и линейных функционалов и почему этот подход естественным образом приводит к определению ещё одного важнейшего объекта — сопряжённого оператора.

В следующем разделе мы попытаемся построить такой изоморфизм между векторным пространством и его алгебраически сопряжённым пространством, определяемым как совокупность всех его линейных функционалов. Оказывается, это невозможно. Хотя конечномерное векторное пространство действительно изоморфно своему сопряжённому, этот изоморфизм не каноничен: он зависит от произвольного выбора базиса. В бесконечномерном случае ситуация ещё хуже: такого изоморфизма просто не существует. Эти препятствия не позволяют автоматически отождествлять векторы и линейные функционалы и обосновывают обращение к более богатой структуре гильбертовых пространств.

В разделе 3 показано, как использовать дополнительную структуру для преодоления этих трудностей. Благодаря скалярному произведению и ограничению непрерывными линейными функционалами, образующими так называемое топологически сопряжённое пространство, получается замечательный результат. Теорема Рисса утверждает, что для любого гильбертова пространства произвольной размерности существует канонический антилинейный изометрический изоморфизм между пространством и его топологически сопряжённым.

Этот результат строго обосновывает обозначения Дирака, которые мы подробно рассмотрим в разделах 4 и 5 (кет- и бра-векторы, линейные операторы), после чего покажем, как из изоморфизма Рисса естественно возникает понятие сопряжённого оператора (раздел 6). В разделе 7 вся конструкция собрана в общей схеме. На протяжении урока мы будем использовать конечномерный случай как конкретный пример для иллюстрации теории, неизменно работая над полем $\mathbb{C}$.

2. Линейные функционалы и алгебраически сопряжённое пространство

Пусть $E$ — векторное пространство над $\C$. Его алгебраически сопряжённым пространством $E^*$ называется множество линейных функционалов на $E$, то есть линейных отображений $\varphi : E \to \C.$

В конечномерном случае размерности $n$, зафиксировав базис $(e_1,\dots,e_n)$ пространства $E$, можно построить соответствующее семейство линейных функционалов $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ в $E^*$, определяемое соотношением:

Можно доказать, что это семейство линейно независимо и порождает всё пространство, а значит, является базисом $E^*$ (его называют сопряжённым базисом). Следовательно, $\dim(E^*) = \dim(E)$, то есть $E$ и $E^*$ изоморфны. Один из возможных изоморфизмов — отображение $T$, сопоставляющее каждому вектору $x = \sum x_i e_i$ линейный функционал $w_x = \sum x_i \theta_i$.

Однако этот изоморфизм $T$ в некотором смысле искусственен, поскольку зависит от первоначального выбора базиса $E$. При замене базиса отображение $T$ тоже меняется. Поэтому канонического (естественного) отождествления векторного пространства с его алгебраически сопряжённым нет.

В бесконечномерном случае классический результат показывает, что $E$ никогда не изоморфно своему алгебраически сопряжённому пространству, поскольку размерность последнего строго больше (см. теорему Эрдёша–Капланского). Например, если алгебраическая размерность $E$ счётна, то алгебраическая размерность его алгебраически сопряжённого пространства несчётна.

Таким образом, в обоих случаях канонического отождествления векторов и линейных функционалов не существует.

3. Топологически сопряжённое пространство и теорема Рисса

В гильбертовом пространстве $\H$ норма, связанная со скалярным произведением, позволяет выделить особый класс линейных функционалов: непрерывные. Говорят, что $\varphi : \H \to \C$ непрерывен в $x_0$, если

причём из непрерывности в одной точке в силу линейности следует непрерывность всюду¹. Множество непрерывных линейных функционалов образует векторное подпространство алгебраически сопряжённого пространства. Его называют топологически сопряжённым пространством и по-прежнему обозначают (несколько вольно) $\H^*$.

Замечание: эта норма — частный случай операторной нормы, которая встретится далее (см. раздел 1.5 (Тема 4, Урок 3, недоступно на этом языке)). Сама по себе предыдущая конструкция применима к любому нормированному пространству. Специфика гильбертова случая заключается в следующей теореме: скалярное произведение позволяет построить взаимно однозначное соответствие между каждым непрерывным линейным функционалом и вектором.

Отметим, что отображение $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ из $\mathcal{H}$ в $\H^*$ инъективно даже в предгильбертовом пространстве. Действительно, если $\varphi_u = \varphi_v$, то для любого $x$ из $\mathcal{H}$ имеем $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$. Выбирая $x = u - v$ и используя положительную определённость скалярного произведения, получаем $u = v$.

Теорема Рисса утверждает, что это отображение также сюръективно. Это нетривиально и справедливо лишь в гильбертовых пространствах. Например, в неполном предгильбертовом пространстве оно не сюръективно, поскольку существуют непрерывные линейные функционалы, которые нельзя записать как скалярное произведение с вектором этого неполного пространства.

Таким образом, теорема Рисса даёт искомую биекцию $\Phi$ между $\mathcal{H}$ и $\mathcal{H}^*$. Получаем следующее следствие.

4. Обозначения Дирака: бра, кет, бракет

Теперь обозначения Дирака представляют собой лишь другую запись изоморфизма Рисса. Сначала определим кет-векторы, бра-векторы и бракет. Затем с их помощью перепишем разложение по гильбертову базису из предыдущего урока.

1. Кет-векторы. Вектор $u \in \mathcal{H}$ записывают как кет-вектор следующим образом: $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$

   Линейная структура даёт следующие правила вычислений:

   $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. Бра-векторы. Каждому вектору $u \in \H$ через $\Phi$ сопоставляется функционал $\varphi_u$. Его обозначают как бра-вектор, записывая внутри соответствующий вектор: $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$

   Таким образом, $\bra{u}$ представляет вектор $u$, рассматриваемый как линейный функционал, то есть действие « взять скалярное произведение с $u$ и вернуть число ». Имеем следующие правила вычислений:

   $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ которые следуют из антилинейности $\Phi$.
3. Бракет. Два предыдущих приёма записи позволяют представить скалярное произведение, по-английски bracket (или inner product), как произведение бра-вектора на кет-вектор: $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$

   В действительности эта запись отражает действие линейного функционала $\bra{u}$ на вектор $\ket{x}$:

   $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. Разложение по гильбертову базису. Для любой размерности гильбертова пространства мы получили формулу разложения $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$, где сумма конечна либо сходится в $\mathcal{H}$, если $I$ бесконечно. В обозначениях Дирака это записывается так:

   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)

   где $u_i$ — компоненты кет-вектора $u$ в данном базисе. Они получаются ортогональным проектированием на $e_i$ в виде $u_i = \braket{e_i}{u}$, а не $\braket{u}{e_i}$, что равно $u_i^*$. Это частая ошибка, вероятно связанная с тем, что в обычном векторном исчислении на $\R^n$ компоненту $v_i$ вектора $\vec{v}$ находят по формуле $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$. Отсюда может возникнуть мысль записать $u_i = \braket{u}{e_i}$ в квантовом случае. Однако это игнорирует полуторалинейность скалярного произведения над $\C$ и сразу приводит к ошибке в вычислениях.

   Для бра-векторов имеем:

   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)

   а квадрат нормы записывается как

   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   где второе равенство — равенство Парсеваля.
5. Операция « dagger ». Применение изоморфизма $\Phi$ (от кет-векторов к бра-векторам) обычно обозначают верхним индексом $\dagger$. Обратный изоморфизм $\Phi^{-1}$ от бра-векторов к кет-векторам договоримся записывать тем же символом. Тем самым операция dagger становится инволюцией. По этому соглашению: $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(отображение } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(отображение } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(инволюция)} \end{aligned}$$

Проиллюстрируем эти положения в конечномерном случае. Выберем $\H$ размерности $n$ и гильбертов базис $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ со стандартным скалярным произведением (см. раздел 3.1 (Тема 2, Урок 1)). Канонически представим кет-векторы базиса столбцами, то есть матрицами $(n,1)$:

где $1$ находится на $i$-м месте. Тогда все кет-векторы $\ket{u}$ записываются как столбцы:

где $u_i = \braket{e_i}{u}$. Линейный функционал $\varphi_u$, соответствующий вектору $u$, должен для любого вектора $v$ удовлетворять:

Чтобы получить эту сумму, $\bra{u}$ должен представляться строкой размера $(1, n)$ из комплексно-сопряжённых координат $u$:

тогда скалярное произведение $\braket{u}{v}$ получается как обычное матричное произведение:

Например, в размерности 2:

Мы получили следующий результат:

Внимание: в бесконечномерном случае это не имеет смысла, поскольку транспонирование не определено. Тем не менее в пространстве $\ell^2(\N)$ со стандартным базисом всё происходит относительно похоже, если рассматривать бесконечные столбцы и строки и заменять конечные суммы сходящимися рядами. Это полезно для развития интуиции, но в строгом смысле речь идёт не о матрицах и не о транспонировании.

5. Операторы, матричные элементы, разложение единицы

Продолжим изложение обозначений Дирака, теперь введя также линейные отображения (линейные операторы) $\hat A$ из $\mathcal{H}$ в $\mathcal{G}$, где $\mathcal{G}$ — другое гильбертово пространство.

Запись операторов. Прежде всего заметим, что в физике их принято обозначать символом с крышкой. Оператор $\hat A$, действуя на вектор $v$, даёт вектор $\hat A v$. В обозначениях Дирака имеются две равносильные записи, причём вторая используется чаще:

Аналогично скалярное произведение с участием оператора можно записать так:

причём вторая запись чаще используется из эстетических соображений.

Матричные элементы. В приведённой формуле случай $\bra{w} = \bra{e_i}$ и $\ket{u} = \ket{e_j}$ особенно важен, поскольку определяет так называемые матричные элементы оператора $\hat A$:

В бесконечномерном случае выражение не всегда имеет смысл: нужно, чтобы $\ket{e_i}$ принадлежал области определения оператора $\hat A$. Мы ещё вернёмся к этому. В конечномерном случае определение, напротив, совершенно ясно: при записи базисных векторов столбцами линейный оператор однозначно соответствует представляющей его матрице; поэтому пишут $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$, где $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. Приведённое выше равенство $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ тогда принимает вид обычного матричного произведения $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$, а скалярное произведение записывается как $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$.

Кет-бра-операторы. Бракет — число, а кет-бра — оператор, называемый внешним произведением (не связанным с внешним произведением дифференциальных форм). Двум векторам $\ket{u}$ и $\ket{v}$ одного и того же гильбертова пространства $\H$ сопоставляется оператор $\ket{u}\bra{v}$ из $\H$ в $\H$, определяемый так:

Здесь также в конечномерном случае особенно важен оператор $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$. Все его матричные элементы равны нулю, кроме «1» в строке $i$ и столбце $j$; соответствующая матрица имеет вид:

Любой линейный оператор $\hat{A}$ в конечномерном случае раскладывается по своим матричным элементам:

где $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. Внимание: в бесконечномерном случае такое разложение не всегда возможно, а если существует, то должно пониматься в смысле сильной сходимости. Мы вернёмся к этому в следующих уроках.

Разложение единичного оператора. Единичный оператор в $\mathcal{H}$ обозначается $\mathbf{1}$ и, очевидно, определяется условием $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ для любого $\ket{x} \in \mathcal{H}$. В конечномерном случае он, конечно, представляется единичной матрицей. Более общо, имеем формулу

справедливую и в случае счётной бесконечной размерности, где ряд сходится сильно. Её называют разложением единицы или соотношением полноты. Эта формула чрезвычайно полезна во всех вычислениях квантовой механики. Обратите внимание: она неверна в несепарабельных пространствах²

6. Сопряжённый оператор

Вернёмся к изоморфизму Рисса и рассмотрим непрерывный линейный оператор³ $\hat{A}$ из $\mathcal{H}$ в $\mathcal{G}$, где $\H$ и $\G$ — два гильбертовых пространства, возможно $\H = \G$.

При действии $\hat{A}$ на кет-вектор $\ket{u} \in \mathcal{H}$ получается новый кет-вектор $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$. Естественно спросить, какой бра-вектор соответствует вектору $\ket{v}$ через изоморфизм Рисса, то есть чему равен линейный функционал на $\G$: $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$. Это естественно приводит к новому оператору, называемому сопряжённым к $\hat{A}$ и вновь обозначаемому $\hat{A}^\dagger$. Он играет важнейшую роль в квантовой механике.

Чтобы найти $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$, зафиксируем произвольный кет-вектор $\ket{w} \in \mathcal{G}$ и рассмотрим линейный функционал на $\H$:

(Здесь индекс $\G$ указывает пространство, в котором берётся скалярное произведение.) Примем, что $\varphi$ — непрерывный линейный функционал на $\mathcal{H}$, если $\hat{A}$ — непрерывный оператор. По теореме Рисса, применённой к $\mathcal{H}$, существует единственный вектор $\ket{z} \in \mathcal{H}$, для которого $\varphi = \varphi_z$, то есть:

Предыдущая конструкция позволила сопоставить вектору $\ket{w}$ из $\G$ единственный вектор $\ket{z}$ из $\H$. Формально эту операцию можно записать как действие оператора, называемого сопряжённым и обозначаемого $\hat{A}^\dagger$, в виде $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$. Таким образом, оператор $\hat A$ действует из $\H$ в $\G$, а сопряжённый — из $\G$ в $\H$.

Проделав эту конструкцию для всех $\ket{w}$, нетрудно проверить, что определённый оператор сам является непрерывным линейным оператором. Получаем фундаментальный результат:

У сопряжённого оператора есть два практических применения в формальных квантовых вычислениях.

1. Предыдущая формула показывает, что, так сказать, « при фиксированных позициях $u$ и $w$ сопряжение позволяет перенести оператор слева направо ».
2. Используя эрмитову симметрию скалярного произведения $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$, также получаем:
   $$\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)

   что теперь показывает: « сопряжение позволяет переставить бра и кет с одновременным комплексным сопряжением ».

Эти два тождества равносильны. Конечно, нужно следить за пространствами отправления и прибытия $\H$ и $\G$ и за тем, какое скалярное произведение — в $\H$ или в $\G$ — используется. Однако на практике почти всегда будет $\H = \G$, и обозначения соответственно упростятся.

Проиллюстрируем предыдущую конструкцию в конечномерном случае. Имеем следующий основной результат:

Мы пока не дали явного ответа на вопрос: чему равен бра-вектор $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$, канонически соответствующий кет-вектору $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$? Формула (6) отвечает посредством скалярного произведения, справедливого для любого вектора $w$, что позволяет написать:

Здесь вывод следует из того, что два линейных функционала, совпадающие на каждом векторе $w$, обязательно равны. Однако чрезвычайно важно правильно понимать этот объект. Распространённое заблуждение — считать на основании этой записи, что « сопряжённый оператор действует налево на бра-векторы ». Это неверно! Объект $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ в действительности представляет собой композицию операторов, а не действие налево. Пространства отправления и прибытия таковы:

так что $\bra{u} \hat A^\dagger$ — композиция $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$, действительно являющаяся линейным функционалом на $\mathcal{G}$. Обычно символ $\circ$ опускают, что может приводить к путанице.

Наконец, из $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$ с помощью dagger получаем полезные формулы:

Следующий рисунок подводит итог рассмотренным в уроке связям между бра-векторами, кет-векторами, оператором $\hat A$ и его сопряжённым.

Завершим раздел несколькими важными свойствами сопряжения:

7. Источники