Гильбертовы пространства и обозначения Дирака

1. Обобщённый непрерывный базис $L^2(\mathbb{R})$

Модельное пространство $L^2(\R)$ уже подробно рассматривалось в разделе 3.3 (Тема 2, Урок 1). В частности, мы указали его счётный гильбертов базис. Поэтому любое физическое состояние раскладывается в ряд по базису функций Эрмита. К сожалению, явные выражения этих функций довольно громоздки.

Поэтому был придуман другой «базис», который в действительности не является гильбертовым базисом, а представляет собой так называемый обобщённый непрерывный базис. Переход к бесконечной размерности здесь требует осторожности, и для строгой конструкции понадобятся средства следующей темы по теории линейных операторов. Пока примем приведённые ниже формулы, помня, что это инструкция по использованию обозначений Дирака в данном «базисе», а не завершённое математическое построение.

1.1. Обобщённый базис в координатном представлении

Тем не менее попытаемся обрисовать некоторые идеи. Сначала введём самосопряжённый оператор, называемый оператором положения, обозначим его $\hat{X}$. Он действует умножением на функции гильбертова пространства $L^2(\mathbb{R})$:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

Внимание к области определения. Это выражение имеет смысл лишь тогда, когда функция $x\,\psi(x)$ остаётся в $L^2(\R)$. Но так бывает не всегда: после умножения некоторых квадратично интегрируемых функций на $x$ интеграл их квадрата расходится.¹ Таким образом, оператор $\hat{X}$ нельзя определить на всём $L^2(\R)$, а лишь на подпространстве функций, результат его действия на которые остаётся в $L^2$.

Чтобы получить корректно определённую область, плотную в $L^2$ и устойчивую относительно обычных операций дифференцирования, умножения на $x$ и преобразования Фурье, вводят пространство функций Шварца, обозначаемое $\mathcal{S}(\R)$:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

Иными словами, это гладкие быстро убывающие функции, для которых $f$ и все её производные стремятся к нулю быстрее любой обратной степени $x$.

Пространство $\mathcal{S}(\R)$:

• плотно в $L^2(\R)$ — любую функцию из $L^2$ можно сколь угодно хорошо приблизить функциями из $\mathcal{S}$;
• устойчиво относительно дифференцирования, умножения на $x$ и преобразования Фурье.

Поэтому это естественная область для корректного определения операторов положения $\hat{X}$ и импульса $\hat{P}$, и именно на ней основаны строгие построения формализма Дирака и тройки Гельфанда.

С учётом этих предосторожностей можно пока чисто формально² записать собственные состояния $\hat{X}$:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

Эти кет-векторы $\ket{x}$ составляют так называемый обобщённый непрерывный базис: они позволяют представлять элементы $L^2(\R)$ в виде непрерывных суперпозиций, хотя сами $\ket{x}$ не являются векторами гильбертова пространства.

В действительности это не кет-векторы в собственном смысле, поскольку они ненормируемы. Сейчас мы увидим почему. Семейство несчётно, поэтому его ортонормированность выражается не дискретным символом Кронекера $\delta_{ij}$, а его « непрерывной версией »:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

в частности:

Здесь введена дельта-функция Дирака $\delta(x)$, которая является не обычной функцией, а распределением из математической теории обобщённых функций. Она определяется своим действием под интегралом:

для любой пробной функции $f$ пространства Шварца. Нужно понимать, что отдельное $\delta(x)$ не имеет смысла и даже не является числом. На самом деле $\delta$ — линейный функционал $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$, действующий на пробные функции³. Следовательно, он определяется только действием под интегралом (2), а не своими значениями $\delta(x)$.

Если всё же непременно хочется рассматривать его как функцию, можно представить его как предел последовательности функций, всё сильнее сосредоточенных около нуля, например всё более узких гауссиан:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

или прямоугольников с центром в нуле, ширина которых стремится к нулю, а высота — к бесконечности. В любом случае при таком взгляде дельта оказывается в пределе «функцией», нулевой везде, кроме $x = 0$, где она расходится, сохраняя при этом полную площадь под графиком равной 1.

Поэтому в физике всё же пишут $\delta(0) = \infty$, но нужно ясно понимать условность обозначения и смысла. Во всяком случае из уравнения (1) следует, что кет-вектор $\ket{x}$ не нормирован. У дельта-функции Дирака есть также чрезвычайно полезное интегральное представление, вероятно важнейшая формула этого раздела:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

где равенство снова следует понимать в смысле теории обобщённых функций, поскольку интеграл явно не сходится и иначе не имел бы смысла.

«Матричные элементы» оператора положения $\hat{X}$ равны $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$. Мы продолжаем так их называть, сравнивая с предыдущим разделом о конечной размерности, хотя $\hat{X}$ не представляется обычной матрицей. Можно вообразить «матрицу с непрерывными индексами», диагональную в смысле обобщённых функций, но её значение на диагонали $x = x'$ само по себе не имеет смысла, поскольку $x\,\delta(0)$ не является вещественным числом. Именно здесь, вероятно, видна принципиальная разница между конечномерными линейными операторами, то есть матрицами, и бесконечномерными линейными операторами.

В обобщённом базисе разложение единицы имеет вид:

Оно позволяет представить разложение любого кет-вектора $\kpsi$ гильбертова пространства по этому непрерывному базису как интеграл:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

где мы определили волновую функцию

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

Аналогично бра-вектор, сопряжённый к $\kpsi$, раскладывается как:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

Здесь использована эрмитова симметрия скалярного произведения: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

Заметим, что компоненту по $x$ вектора $\hat{X} \psi$, по определению равную $\braket{x}{X\psi}$, опять же из эстетических соображений чаще обозначают, сравнивая с уравнением (4 (Тема 2, Урок 2)), так:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. В импульсном представлении

В квантовой механике материальной точки аналогично вводится оператор импульса через его действие на волновые функции $\psi(x)$, принадлежащие $L^2(\mathbb{R})$:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

Здесь тоже нужно ограничиться областью Шварца, чтобы волновая функция была дифференцируема, а её производная оставалась квадратично интегрируемой.

Убедиться, что $\hat{P}$ действительно самосопряжённый оператор, — хорошее упражнение на применение этой главы. Для этого сначала изучим сам оператор дифференцирования, обозначаемый:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

Это линейный оператор: дифференцирование линейно, $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$. Очевидно, что его нельзя представить матрицей, как в конечномерном случае: он действует дифференциально на бесконечномерном пространстве функций. Поэтому его сопряжённый нельзя вычислить транспонированием с комплексным сопряжением. Тем не менее его можно найти из определения сопряжённого оператора, для двух пробных функций $\phi$ и $\psi$ из $\mathcal{S}(\R)$ удовлетворяющего:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

см. определение 2 (Тема 2, Урок 2). Вставляя в левую часть разложение единицы, получаем:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

что показывает: сопряжённый к оператору $\hat{D} = d/dx$ равен $-\hat{D} = -d/dx$. В первой строке вычисления мы вставили разложение единицы между бра и кет; во второй раскрыли его; в третьей использовали эрмитову симметрию. В четвёртой строке использованы определения $\hat{D}$ и волновых функций, а в пятой выполнено интегрирование по частям на $\R$: граничные члены на бесконечности исчезают, поскольку функции пространства Шварца убывают быстрее любой степени. Наконец, в последних строках мы вернулись от волновых функций к скалярным произведениям, вынесли разложение единицы, а затем убрали его. Поэтому оператор импульса действительно самосопряжён, поскольку

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

Самосопряжённость $\hat{P}$ гарантирует вещественность его собственных значений, то есть возможных импульсов, и то, что собственные функции образуют полный базис пространства состояний в обобщённом смысле, через распределения Дирака.

Собственные состояния импульса. Совершенно аналогично определим обобщённые «кет-векторы» $\ket{p}$ как собственные состояния $\hat{P}$:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

В координатном представлении соответствующая волновая функция получается проектированием на $\bra{x}$:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

Это простое дифференциальное уравнение, решение которого:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

Выражение показывает, что преобразование, связывающее координатное и импульсное представления, — в точности преобразование Фурье.

Ортогональность и полнота. Кет-векторы $\ket{p}$ удовлетворяют соотношениям, аналогичным соотношениям для $\ket{x}$:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

Волновую функцию в импульсном представлении определяют как:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

Таким образом, преобразование $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ является преобразованием Фурье, а обратное записывается так:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

Основное коммутационное соотношение. Наконец, операторы $\hat{X}$ и $\hat{P}$ удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

На этом соотношении основана вся квантовая механика материальной точки. В действительности все формулы раздела следуют только из этого канонического соотношения: доказывается, что единственное возможное гильбертово представление данной алгебры X и P — только что записанное. В частности, $X$ действует умножением на волновые функции от x, а P — дифференцированием, и наоборот. Этот важнейший результат — теорема Стоуна–фон Неймана — будет подробно изложен позже.

1.3. Свойства дельта-функции Дирака

Завершим раздел и главу несколькими полезными формулами для дельта-функции Дирака, которые всегда понимаются в смысле обобщённых функций, то есть когда дельта находится под знаком интеграла:

Симметрия:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

Однородность:

для любого вещественного $a \neq 0$,

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

Замена переменной:

если $f$ — гладкая функция с простыми корнями $\{x_i\}$, такими что $f(x_i) = 0$, то

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Производная дельта-функции:

производная в смысле обобщённых функций определяется равенством

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. Источники