Nafasi za Hilbert na uandishi wa Dirac

Vitu ambavyo tumefafanua vinatii mkusanyiko wa sifa za msingi, zinazotumika daima bila kujali dimensheni ya nafasi ya Hilbert na bila kujali kama opereta zina mpaka au la. Katika hali ya mwisho bado tunaweza kufafanua adjointi, lakini hisabati yake ni nyeti zaidi; tutarejea hili katika mada inayofuata ya nadharia ya opereta za mstari. Kwa kuwa dunia nzima inatumia notasyo za Dirac, sifa hizi kwa kweli ni kanuni za kialjebra za hesabu ya kwanta, na kwa hiyo ni lazima kuzimudu.

Somo hili linakusanya fomula zote muhimu tulizoona hadi sasa, hata ikibidi kuzirudia, na kuongeza nyingine chache. Kwanza tunatoa zinazotumika katika kila dimensheni, kisha muhtasari wa fomula maalumu za dimensheni yenye kikomo, ambapo notasyo za Dirac zinakuwa hesabu ya wazi ya matriksi.

1. Kanuni za hesabu katika kila dimensheni

Sifa za zao la ndani.

Ziwe $(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2$ vekta mbili za nafasi ya Hilbert na $(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$ skala. Zao la ndani linatimiza sifa zifuatazo:

1. Ulinganifu wa Hermite:

   $$\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}$$

   (1)

2. Ukinza-mstari upande wa kushoto: bra inayohusishwa na $\lambda \ket{\psi}$ ni $\lambda^* \bra{\psi}$, yaani:

   $$\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{na} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }$$

   (2)

3. Umstari upande wa kulia:

   $$\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}$$

   (3)

4. Michanganyiko ya mstari: sifa zilizotangulia huruhusu kupanua kwa namna ya kawaida maumbo changamano kama lifuatalo: kwa kila $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C$, tuna:

   $$\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }$$

   (4)

5. Norma: kwa ufafanuzi,

   $$\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}$$

   (5)

   na usawa hutokea ikiwa na ikiwa tu $\ket{\psi} = 0$ ni vekta sifuri (wakati mwingine, lakini mara chache, huandikwa $\ket{\varnothing}$).

Sifa za adjointi.

Tunaandika tena hapa fomula mbili zinazotumika kama ufafanuzi:

na

ambazo pia huruhusu kuthibitisha kupitia ulinganifu wa Hermite kwamba:

Sifa za opereta adjointi.

Kwa opereta zote za mstari zinazoendelea $\hat{A}, \hat{B}$ juu ya $\mathcal{H}$ na kila skala $\lambda \in \mathbb{C}$, tuna:

Opereta ket-bra.

Bracket ni namba, lakini ket-bra ni opereta, inayoitwa zao la nje (lisilohusiana na zao la nje la fomu diferenshali). Kwa vekta mbili $\ket{\phi}$ na $\ket{\psi}$ tunahusisha opereta $\ket{\phi}\bra{\psi}$ inayofafanuliwa kwa:

Mtengano wa opereta utambulisho.

Opereta utambulisho katika $\Hilb$ huandikwa $\mathbf{1}$, na hufafanuliwa kirahisi na $\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb$. Katika msingi wa Hilbert unaohesabika $\{\ket{e_i}\}_{i \in I}$, ambapo $I$ ina kikomo au haina kikomo lakini inahesabika, opereta utambulisho $\mathbf{1}$ huandikwa:

Fomula hii ni muhimu sana katika vitendo. Pia huitwa utatuzi wa utambulisho au uhusiano wa kufunga. Upande wa kulia ni jumla katika dimensheni yenye kikomo, au mfululizo unaoelekea kwenye kikomo katika dimensheni isiyo na kikomo inayohesabika. Si sahihi katika dimensheni isiyohesabika.

Mtengano wa Hilbert.

Kwa mfano, fomula iliyotangulia huruhusu kupata moja kwa moja nadharia ya mtengano tuliyoona katika somo la 1, tukifafanua $\psi_i$ kuwa kijenzi cha ket $\kpsi$ juu ya $\ket{e_i}$:

Hii ni jumla au mfululizo kutegemea dimensheni. Mtengano wa ket una mwenzake kwa bra:

Norma basi huandikwa:

Baadhi ya opereta maalumu.

Mada inayofuata inaeleza kwa kina nadharia ya opereta za mstari juu ya Hilbert. Hata hivyo, tunaandika baadhi ya hali za kawaida sana kwa matumizi yajayo. Katika seti ya opereta kutoka $\Hilb \to \Hilb$, tutakuwa hasa na opereta:

1. $\hat A$, ya Hermite au yenye adjointi yenyewe, ikiwa $\hat{A}^\dagger = \hat{A}$,
2. $\hat U$, unitari ikiwa $\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}$,
3. $\hat P$, projekta ikiwa $\hat{P}^2 = \hat{P}$,
4. $\hat P$, projekta othogonali: projekta yenye adjointi yenyewe.

Opereta unitari ni bijektivu, za mstari, na huhifadhi zao la ndani. Kwa hiyo tayari tumekutana nazo hapo juu: ni isomofizimu isometriki (hapa ni automofizimu isometriki kwa kuwa tunazungumzia tu opereta za mstari kutoka $\Hilb$ kwenda yenyewe).

2. Muhtasari wa fomula katika dimensheni yenye kikomo

Tunaweza kufafanua zaidi kanuni za hesabu ya kwanta wakati Hilbert ina dimensheni yenye kikomo $n$. Tayari fomula zote za sehemu iliyotangulia zinatumika, na jumla tulizokutana nazo zinapaswa kuandikwa kama jumla zenye kikomo: $\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}$.

Zaidi ya hayo, baada ya kuchagua msingi othonormali $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$, notasyo za Dirac zinalingana na hesabu ya wazi ya matriksi tunayoieleza sasa (tahadhari, yanayofuata hayana maana yoyote katika dimensheni isiyo na kikomo).

Ket kama vekta safu wima.

Tukiwakilisha kikanoniki ket za msingi $\mathcal{B}$ kwa matriksi $(n,1)$, zinazoitwa pia vekta safu wima:

ambapo $1$ iko katika nafasi ya $i$, na kupitia mtengano wa kialjebra:

tunapata uandishi wa ket zote kama vekta safu wima: kwa $\ket{v} \in \mathcal{H}$, tunaandika:

ambapo tutaacha kutaja msingi $\mathcal{B}$ unaotumiwa katika upanuzi huu isipokuwa inapohitajika. Aidha, vijenzi vinapatikana kwa makadirio othogonali:

Bra kama vekta safu mlalo konjugeti.

Fomu ya mstari $\varphi_u$ inayohusishwa na vekta $u$ lazima itimize, kwa kila vekta $v$:

kwa ukinza-mstari wa zao la ndani la Hermite upande wa kushoto. Ili kupata jumla hii kama zao la matriksi, $\bra{u}$ lazima iwe vekta safu mlalo ya viwianishi konjugeti vya $u$:

kwa sababu ndipo zao la ndani $\braket{u}{v}$ linapatikana kama zao la kawaida la matriksi:

Tunaona basi kwamba bra $\bra{u}$ ni transpozi konjugeti ya ket $\ket{u}$. Kwa hiyo katika dimensheni yenye kikomo, operesheni ya dagger ni kuchukua transpozi konjugeti:

Hili si sahihi katika dimensheni isiyo na kikomo, na hata halingekuwa na maana, kwa sababu transpozi haijafafanuliwa¹.

Uwakilishaji wa opereta kwa matriksi.

Katika msingi othonormali $\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n$ wa dimensheni yenye kikomo, kila opereta ya mstari $\hat{A}$ hutenganishwa kwa:

jambo linaloleta, katika dimensheni yenye kikomo, utambulisho wa asili kati ya opereta ya mstari $\hat{A}$ (yenye kofia) na matriksi yake $A$ (isiyo na kofia). Fomula hiyo ni mwenzake, katika mfumo wa Dirac, wa upanuzi wa matriksi $A = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}$, ambapo $E_{ij}$ ni matriksi ya msingi yenye $1$ katika nafasi $(i,j)$ na sifuri kwingineko. Hapa basi $E_{ij}$ ni matriksi inayowakilisha opereta $\ket{e_i} \bra{e_j}$. Vigawo $A_{ij}$ huitwa kwa kawaida elementi za matriksi za opereta $\hat{A}$ katika msingi $\{\ket{e_i}\}$. Thamani zake ni:

lakini kwa sababu za umaridadi, mara nyingi zaidi tutaandika:

Bila shaka, opereta utambulisho ina matriksi utambulisho na elementi zake za matriksi ni $\delta_{ij}$ (alama ya Kronecker).

Trace ya opereta.

Baadaye mara nyingi tutahitaji kuzingatia trace ya opereta $\hat{A}$. Katika notasyo za Dirac inahesabiwa kwa:

Umbo hili halitegemei uchaguzi wa msingi othonormali.

Adjointi na transpozi konjugeti.

Katika dimensheni yenye kikomo, matriksi inayowakilisha adjointi $\hat{A}^\dagger$ ni transpozi konjugeti ya matriksi inayowakilisha opereta $\hat{A}$:

Tunatoa uthibitisho mfupi hapa, kwa sababu unaonyesha jinsi ya kutumia kwa vitendo kanuni za hesabu tulizoona hapo juu. Kwa ufafanuzi, elementi za matriksi za $\hat{A}^\dagger$ ni:

Lakini kwa ufafanuzi wa adjointi tuna:

Tukitumia ulinganifu wa Hermite, tuna $\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*$, lakini hizi si kitu kingine zaidi ya elementi za matriksi $A_{ji}^*$. Kwa hiyo:

jambo linalothibitisha sifa hiyo. Katika dimensheni yenye kikomo, basi, tutaweza kuthibitisha wazi kwa hesabu ya matriksi kama opereta ni ya Hermite, unitari, na kadhalika.

3. Marejeo