Nafasi za Hilbert na uandishi wa Dirac

Muundo wa nafasi za Hilbert, duali ya kitopolojia na uandishi wa Dirac katika vipimo vyenye kikomo na visivyo na kikomo.

Somo 1: Nafasi za Hilbert Somo 2: Nafasi duali, ket, bra na adjointi

Karatasi 1: Uandishi wa Dirac katika kipimo chenye kikomo Karatasi 2: Uandishi wa Dirac katika kipimo kisicho na kikomo

Nafasi duali, ket, bra na adjointi

Ujenzi wa duali ya kitopolojia, nadharia ya uwakilishi ya Riesz, utangulizi wa ket, bra na adjointi

Duali ya kialjebra Duali ya kitopolojia Isomofizimu ya Riesz Ket na bra Vipengele vya matriki Mtengano wa identiti Dagger Opereta adjointi

← Iliyotangulia

Somo 1: Nafasi za Hilbert

Inayofuata →

Karatasi 1: Uandishi wa Dirac katika kipimo chenye kikomo

1. Wazo la dualiti

Dualiti ndiyo wazo linalounganisha somo hili lote. Tujaribu kuipa tafsiri ya angavu. Katika hisabati, dualiti inahusu hali nyingi, lakini katika nafasi za Hilbert inaeleza wazo rahisi na la kina: vekta inaweza kuonekana si tu kama kitu chenyewe, bali pia kama opereta inayotenda juu ya vekta nyingine ili kutoa namba (yaani, kama fomu ya mstari). Katika mekanika ya kwanta, namba inayotolewa hivyo ni amplitudo ya uwezekano.

Mfumo rasmi wa kwanta unatumia kikamilifu pande hizi mbili, na notasyo za Dirac ni mfumo mahiri wa uandishi unaorahisisha matumizi yake. Kuna ket, zinazoandikwa $\ket{u}$ , zinazowakilisha vekta za nafasi, na bra, zinazoandikwa $\bra{u}$ , zinazowakilisha fomu za mstari zinazotenda juu ya vekta hizo. Muunganiko wake $\langle u|v\rangle$ hutoa skala, inayoitwa bracket, huku maumbo kama $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ yakieleza opereta.

Notasyo hii imekuwa lugha ya kawaida ya fizikia ya kwanta, na ni lazima kuimudu kikamilifu. Muhtasari wa kanuni za hesabu utatolewa baada ya somo hili. Kwa kweli, inawezekana kujifunza kutumia alama hizi bila kuelewa vizuri hisabati iliyofichika nyuma yake. Lakini ili kuelewa maana yake ya kina, lazima tushughulikie mpango tunaouchora hapa: kuelewa jinsi utambulisho kamili kati ya vekta na fomu za mstari unavyojengwa, na kwa nini hatua hii inaongoza kwa kawaida kwenye ufafanuzi wa kitu kingine muhimu: opereta adjointi.

Katika sehemu inayofuata, tutajaribu kuanzisha isomofizimu hiyo kati ya nafasi ya vekta na duali yake ya kialjebra, inayofafanuliwa kuwa seti ya fomu zake zote za mstari. Tutaona kwamba haiwezekani. Ingawa nafasi ya vekta yenye dimensheni yenye kikomo ni isomofiki na duali yake, isomofizimu hiyo si kanoniki (inategemea chaguo holela la msingi). Zaidi ya hayo, hali huwa mbaya zaidi katika dimensheni isiyo na kikomo: isomofizimu hiyo haipo kabisa. Vikwazo hivi vinabatilisha utambulisho wa moja kwa moja wa vekta na fomu za mstari, na vinahalalisha kutumia muundo tajiri zaidi wa nafasi za Hilbert.

Sehemu ya 3 inaonyesha jinsi ya kutumia muundo huu wa ziada ili kushinda matatizo hayo. Kwa kutumia zao la ndani, na kujikita kwenye fomu za mstari zinazoendelea zinazounda kile kinachoitwa duali ya kitopolojia, tunapata matokeo muhimu. Nadharia ya Riesz inasema kwamba kwa kila nafasi ya Hilbert ya dimensheni yoyote, kuna isomofizimu kanoniki, isometriki na ya kinza-mstari kati ya nafasi hiyo na duali yake ya kitopolojia.

Matokeo haya yanaweka msingi madhubuti wa notasyo za Dirac, ambazo tutazieleza katika Sehemu ya 4 na 5 (ket na bra, na opereta za mstari), kabla ya kuonyesha jinsi isomofizimu ya Riesz inavyoleta kwa kawaida dhana ya adjointi ya opereta (Sehemu ya 6). Sehemu ya 7 inafupisha ujenzi huu kwa mchoro kamili. Katika somo zima, tutatumia dimensheni yenye kikomo kama mfano halisi wa kuonyesha nadharia, tukifanya kazi daima juu ya uga $\mathbb{C}$ .

2. Fomu za mstari na duali ya kialjebra

Iwe $E$ nafasi ya vekta juu ya $\C$ . Tunafafanua duali yake ya kialjebra $E^*$ kama seti ya fomu za mstari juu ya $E$ , yaani ramani za mstari $\varphi : E \to \C.$

Katika dimensheni yenye kikomo $n$ , tukichagua msingi $(e_1,\dots,e_n)$ wa $E$ , tunaweza kujenga familia inayolingana ya fomu za mstari $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ katika $E^*$ , inayofafanuliwa kwa uhusiano:

\theta_j(e_i)=\delta_{ij}

Kisha inathibitishwa kuwa familia hii ni huru na inazalisha nafasi, kwa hiyo ni msingi wa $E^*$ (unaoitwa msingi duali). Tunapata $\dim(E^*) = \dim(E)$ , hivyo $E$ na $E^*$ ni isomofiki. Isomofizimu moja inayowezekana ni ramani $T$ inayohusisha kila vekta $x = \sum x_i e_i$ na fomu ya mstari $w_x = \sum x_i \theta_i$ .

Hata hivyo, isomofizimu hii $T$ ni ya kutengenezwa, kwa maana inategemea chaguo la awali la msingi wa $E$ . Tukibadilisha msingi, ramani $T$ pia hubadilika. Kwa hiyo hakuna utambulisho kanoniki (wa asili) kati ya nafasi ya vekta na duali yake ya kialjebra.

Katika dimensheni isiyo na kikomo, matokeo ya kawaida yanaonyesha kwamba $E$ kamwe si isomofiki na duali yake ya kialjebra, kwa sababu duali hiyo ina dimensheni kubwa zaidi kabisa (tazama nadharia ya Erdös–Kaplansky). Kwa mfano, ikiwa $E$ ina dimensheni ya kialjebra inayohesabika, duali yake ya kialjebra ina dimensheni ya kialjebra isiyohesabika.

Katika hali zote mbili, basi, hakuna utambulisho kanoniki kati ya vekta na fomu za mstari.

3. Duali ya kitopolojia na nadharia ya Riesz

Katika nafasi ya Hilbert $\H$ , norma inayohusishwa na zao la ndani hutuwezesha kutofautisha kundi maalumu la fomu za mstari: zile zinazoendelea. Tunasema $\varphi : \H \to \C$ inaendelea katika $x_0$ ikiwa

\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 : \|x - x_0\|_\H < \delta \implies |\varphi(x) - \varphi(x_0)| < \varepsilon,

na ikiendelea katika nukta moja, kwa umstari inaendelea kila mahali¹. Seti ya fomu za mstari zinazoendelea huunda nafasi ndogo ya vekta ya duali ya kialjebra. Inaitwa duali ya kitopolojia na bado inaandikwa (kwa matumizi mapana ya alama) $\H^*$ .

Tanbihi 1: Tutarejea mambo haya katika masomo yanayofuata (topolojia, nadharia ya opereta za mstari)

Ufafanuzi 1 (Duali ya kitopolojia)

Iwe

\H

nafasi ya Hilbert juu ya

\C

. Seti ya fomu za mstari zinazoendelea juu ya

\H

ni nafasi ya vekta, inayoitwa duali ya kitopolojia ya

\H

na kuandikwa

\H^*

. Nafasi hii ina norma ya asili, inayoitwa norma duali na kutolewa na

\|\varphi\|_{\H^*} \equiv \sup_{\|x\|_\H=1} |\varphi(x)|,

ambayo hufanya $\H^*$ kuwa nafasi kamili ya vekta yenye norma (yaani, nafasi ya Banach).

Tanbihi: norma hii ni hali maalumu ya norma ya opereta tutakayoiona baadaye (tazama sehemu 1.5 (Mada 4, Somo 3, haipatikani katika lugha hii)). Ujenzi huo wenyewe unatumika kwa kila nafasi yenye norma. Kinachotofautisha hali ya Hilbert ni nadharia ifuatayo: tunatumia zao la ndani kujenga utambulisho wa moja-kwa-moja na juu kati ya kila fomu ya mstari inayoendelea na vekta:

Nadharia 1 (Nadharia ya uwakilishaji ya Riesz)

Iwe

\mathcal{H}

nafasi ya Hilbert, iwe inatenganishika au la. Kila fomu ya mstari inayoendelea

\varphi \in \mathcal{H}^*

inaweza kuandikwa kwa namna ya pekee katika umbo

\varphi(x) = \langle u, x \rangle

kwa vekta fulani $u \in \mathcal{H}$ .

Tunaona kwamba ramani $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ kutoka $\mathcal{H}$ kwenda $\H^*$ ni injektivu hata katika nafasi iliyo pre-Hilbert tu. Kwa kweli, ikiwa $\varphi_u = \varphi_v$ , basi kwa kila $x$ katika $\mathcal{H}$ tuna $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$ , hivyo $u = v$ kwa kuchagua $x = u - v$ na kutumia unadhifu chanya wa zao la ndani.

Nadharia ya Riesz basi inasema kwamba ramani hii pia ni surjektivu. Hili si jambo la moja kwa moja, na linatumika kwa nafasi za Hilbert tu. Kwa mfano, katika nafasi ya pre-Hilbert isiyo kamili, ramani si surjektivu kwa sababu kuna fomu za mstari zinazoendelea ambazo haziandikiki kama zao la ndani na vekta ya nafasi hiyo isiyo kamili.

Kwa hiyo nadharia ya Riesz inatoa bijeksheni $\Phi$ kati ya $\mathcal{H}$ na $\mathcal{H}^*$ tuliyokuwa tunatafuta. Tunapata korolari ifuatayo:

Tokeo 1

Ramani

\Phi : u \mapsto \varphi_u

ni isomofizimu ya kinza-mstari na isometriki, inayoitwa isomofizimu kanoniki ya Riesz kati ya

\H

na duali yake ya kitopolojia yenye norma duali:

\mathcal{H}^* \simeq \mathcal{H}

Uthibitisho.

Ukinza-mstari unatokana na ule wa zao la ndani la $\H$ : $\Phi(\lambda u) = \varphi_{\lambda u} = \langle \lambda u, . \rangle = \lambda^* \langle u, . \rangle = \lambda^* \, \varphi_u = \lambda^* \, \Phi(u)$ .
Tuthibitishe isometria, yaani: $\|\Phi(u)\|_{\H^*} = \|u\|_\H$ . Kwanza tuna: $\|\varphi_u\|_{\H^*} = \sup_{\|x\|=1} |\langle u,x\rangle| \leq \|u\|_\H$ kwa kutokuwa sawa kwa Cauchy–Schwarz. Kisha tunaona kwamba usawa unapatikana kwa $x = u/\|u\|$ ikiwa $u \neq 0$ . Usawa ni wa moja kwa moja ikiwa $u = 0$ .
Tunatumia ramani $\Phi$ , bijeksheni isometriki, kuhamisha zao la ndani kutoka $\H$ kwenda $\H^*$ kwa kufafanua: $\langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} \equiv \langle \Phi^{-1}(\varphi_v), \Phi^{-1}(\varphi_u) \rangle_{\mathcal{H}} = \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}}.$ Angalia mpangilio uliogeuzwa (v, u badala ya u, v) ili kufidia ukinza-mstari wa $\Phi$ . Tuhakikishe seskuilinearia ya zao hili la ndani juu ya $\H^*$ : $\langle \lambda \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle \varphi_{\lambda^*u}, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle v, \lambda^*u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*}$ . Aksioma nyingine za zao la ndani zinathibitishwa kwa urahisi.
Norma inayotokana na zao hili la ndani inatimiza: $\sqrt{\langle \varphi_u, \varphi_u \rangle_{\H^*}} = \sqrt{\langle u,u \rangle_{\H}} = \|u\|_\H = \|\varphi_u\|_{\H^*},$ kwa hiyo inalingana na norma duali.
Mwishowe, ukamilifu wa $\H^*$ , na hivyo kuwa kwake nafasi ya Hilbert, unahakikishwa na ukweli kwamba isometria bijektivu kutoka nafasi kamili huhifadhi ukamilifu; tutakubali ukweli huo hapa.

Hivyo $\H^*$ hurithi muundo wa nafasi ya Hilbert ambao hufanya $\Phi$ kuwa isomofizimu (ya kinza-mstari) ya nafasi za Hilbert.

4. Notasyo za Dirac: bra, ket na bracket

Notasyo za Dirac basi ni uandishi mpya tu wa isomofizimu ya Riesz. Kwanza tunafafanua ket, bra na bracket. Tunazitumia kuandika upya mtengano katika msingi wa Hilbert tulioona katika somo lililopita.

Ket. Vekta $u \in \mathcal{H}$ inaandikwa kama ket, kwa namna hii: $\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$
Muundo wa mstari unatupa kanuni zifuatazo za hesabu:
$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$
Bra. Kwa kila vekta $u \in \H$ tunahusisha kupitia $\Phi$ fomu $\varphi_u$ . Tunaandika fomu hii ya mstari kama bra, tukiandika vekta inayohusishwa ndani yake: $\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$
Hivyo $\bra{u}$ inawakilisha vekta $u$ inapoonekana kama fomu ya mstari, yaani kitendo cha « kuchukua zao la ndani na $u$ na kurudisha namba ». Tuna kanuni zifuatazo za hesabu:
$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$ zinazotokana na ukinza-mstari wa $\Phi$ .
Bracket. Mbinu mbili za uandishi hapo juu hutuwezesha kuunda zao la ndani, linaloitwa bracket kwa Kiingereza (pia inner product), kama zao la bra na ket: $\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$
Kwa kweli notasyo hii inaonyesha kitendo cha fomu ya mstari $\bra{u}$ juu ya vekta $\ket{x}$ :
$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$
Mtengano wa Hilbert. Bila kujali dimensheni ya nafasi ya Hilbert, tumeona fomula ya mtengano $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$ , ambapo jumla ina kikomo au inaelekea kwenye kikomo katika $\mathcal{H}$ ikiwa $I$ haina kikomo. Katika notasyo ya Dirac inaandikwa:
$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$
(1)

ambapo $u_i$ ni vijenzi vya ket $u$ katika msingi. Angalia kwamba vinapatikana kwa makadirio ya kiothogonali juu ya $e_i$ kwa $u_i = \braket{e_i}{u}$ , si kwa $\braket{u}{e_i}$ ambayo ni $u_i^*$ . Hili ni kosa la kawaida, labda kwa sababu katika hesabu ya kawaida ya vekta kwenye $\R^n$ , kijenzi $v_i$ cha vekta $\vec{v}$ kinapatikana kwa $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$ , jambo linaloweza kupendekeza $u_i = \braket{u}{e_i}$ katika hali ya kwanta. Lakini hilo lingepuuza seskuilinearia ya zao la ndani juu ya $\C$ , na mara moja lingeleta kosa la hesabu.

Kwa bra tuna:

$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$
(2)

na mraba wa norma unaandikwa

$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$
(3)
ambapo usawa wa pili ni wa Parseval.
Operesheni ya « dagger ». Kutumia isomofizimu $\Phi$ (kutoka ket kwenda bra) kwa kawaida huandikwa kwa alama $\dagger$ juu. Tunachagua kuandika isomofizimu ya kinyume $\Phi^{-1}$ kutoka bra kwenda ket kwa alama ileile. Hivyo operesheni ya dagger huwa involusheni. Kwa makubaliano ya uandishi, basi: $\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(ramani } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(ramani } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(involusheni)} \end{aligned}$

Tuonyeshe mambo haya katika dimensheni yenye kikomo. Tunachagua $\H$ yenye dimensheni $n$ na msingi wa Hilbert $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ pamoja na zao lake la ndani kanoniki (tazama sehemu 3.1 (Mada 2, Somo 1)). Kwa kuwakilisha ket za msingi kikanoniki kama vekta safu wima, yaani matriksi $(n,1)$ :

\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

ambapo $1$ iko katika nafasi ya $i$ , tunapata uandishi wa ket zote $\ket{u}$ kama vekta safu wima

\ket{u} = \sum_{i=1}^n u_i \ket{e_i} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

na $u_i = \braket{e_i}{u}$ . Fomu ya mstari $\varphi_u$ inayohusishwa na vekta $u$ lazima itimize, kwa kila vekta $v$ :

\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i, \quad \text{(zao la ndani kanoniki la } \C^n)

Ili kupata jumla hii, $\bra{u}$ lazima iwakilishwe na vekta safu mlalo ya ukubwa $(1, n)$ ya viwianishi konjugeti vya $u$ :

\bra{u} = \left(u_1^*, u_2^*, \cdots, u_n^*\right),

kwa sababu ndipo zao la ndani $\braket{u}{v}$ linapatikana kama zao la kawaida la matriksi:

\begin{aligned} \braket{u}{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

Kwa mfano, katika dimensheni ya 2:

\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \bra{u} = (1, -i)

Tumepata matokeo:

Pendekezo 1 (Transpozi konjugeti)

Katika dimensheni yenye kikomo, bra

\bra{u}

ni transpozi konjugeti ya ket

\ket{u}

. Tuna:

\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u^*}}\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger = \transpose{\bra{u^*}} \end{aligned}

Tahadhari, hili halina maana katika dimensheni isiyo na kikomo, kwa sababu transpozi haijafafanuliwa. Hata hivyo, katika nafasi $\ell^2(\N)$ na msingi wake kanoniki, mambo hufanyika kwa namna inayofanana kiasi tukitumia vekta safu wima au mlalo zisizo na kikomo, na kubadilisha jumla zenye kikomo kwa mfululizo unaoelekea kwenye kikomo. Hilo linaweza kusaidia kujenga uelewa wa angavu, lakini kwa maana madhubuti si matriksi wala transpozi.

5. Opereta, elementi za matriksi na mtengano wa utambulisho

Tunaendelea kueleza notasyo za Dirac, sasa tukianzisha pia ramani za mstari (zinazoitwa pia opereta za mstari) $\hat A$ kutoka $\mathcal{H}$ kwenda $\mathcal{G}$ , ambapo $\mathcal{G}$ ni nafasi nyingine ya Hilbert.

Uandishi wa opereta. Kwanza tambua kwamba katika fizikia ni kawaida kuziandika na kofia. Opereta $\hat A$ inayotenda juu ya vekta $v$ hutoa vekta $\hat A v$ . Katika notasyo za Dirac, basi tuna miandiko miwili sawa, wa pili ndio unaotumiwa zaidi:

\boxed{v = \hat A \, u \quad \longleftrightarrow \quad \ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u} \equiv \hat A \ket{u}}.

Vivyo hivyo, zao la ndani linalohusisha opereta linaweza kuandikwa:

\boxed{\langle w, \hat A \, u \rangle \quad \longleftrightarrow \quad \braket{w}{\smash{\hat{A}} u} \equiv \bra{w} \hat A \ket{u} }

ambapo uandishi wa pili ni wa kawaida zaidi kwa sababu za umaridadi.

Elementi za matriksi. Katika fomula hapo juu, hali ya $\bra{w} = \bra{e_i}$ na $\ket{u} = \ket{e_j}$ ni muhimu sana kwa sababu inafafanua kile kinachoitwa elementi za matriksi za opereta $\hat A$ :

\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(4)

Katika dimensheni isiyo na kikomo, umbo hili halina maana kila wakati, kwa sababu lazima pia $\ket{e_i}$ iwe katika kikoa cha ufafanuzi cha opereta $\hat A$ . Tutarejea hili. Lakini katika dimensheni yenye kikomo, ufafanuzi huu uko wazi: kupitia uandishi wa vekta za msingi kama safu wima, opereta ya mstari inalingana kwa upekee na matriksi yake; basi tunaandika $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ na $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$ . Mlinganyo hapo juu $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ sasa unaandikwa kama zao la kawaida la matriksi $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$ , huku zao la ndani likiandikwa $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$ .

Mfano 1 (Hesabu za matriksi)

Kwa uwazi, tuchukulie kwa mfano:

\begin{aligned} \quad \hat A = \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \ket{w} = \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}, \end{aligned}

basi tuna:

\begin{aligned} \ket{v} = \hat A \ket{u} = \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u} = (-i, 1) \cdot \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = -1. \end{aligned}

Opereta za ket-bra. Bracket ni namba, lakini ket-bra ni opereta, inayoitwa zao la nje (lisilohusiana na zao la nje la fomu diferenshali). Kwa vekta mbili $\ket{u}$ na $\ket{v}$ za nafasi ileile ya Hilbert $\H$ , tunahusisha opereta $\ket{u}\bra{v}$ kutoka $\H$ kwenda $\H$ inayofafanuliwa kwa:

\begin{aligned} \ket{u}\bra{v} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{x} \mapsto \ket{u} \underbrace{\braket{v}{x}}_{\in \mathbb{C}} = \braket{v}{x} \, \ket{u}. \end{aligned}

Hapa pia, katika dimensheni yenye kikomo, hali ya $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$ ni muhimu sana. Ni opereta ambayo elementi zake zote za matriksi ni sifuri isipokuwa "1" katika safu mlalo $i$ na safu wima $j$ ; kwa hiyo matriksi yake ni:

\begin{aligned} E_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}, \end{aligned}

Kila opereta ya mstari $\hat{A}$ katika dimensheni yenye kikomo hutenganishwa kulingana na elementi zake za matriksi:

\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\hat E_{ij} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

ambapo $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$ . Tahadhari, katika dimensheni isiyo na kikomo mtengano huu hauwezekani kila wakati; unapokuwepo, lazima ueleweke kwa maana ya uelekeaji imara kwenye kikomo. Tutarejea hili katika masomo yanayofuata.

Mtengano wa opereta utambulisho. Opereta utambulisho katika $\mathcal{H}$ , inayoandikwa $\mathbf{1}$ , inafafanuliwa kirahisi na $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ kwa kila $\ket{x} \in \mathcal{H}$ . Katika dimensheni yenye kikomo, bila shaka inawakilishwa na matriksi utambulisho. Kwa ujumla zaidi, tuna fomula

\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(5)

inayotumika pia katika dimensheni isiyo na kikomo inayohesabika, ambapo mfululizo unaelekea kwa nguvu kwenye kikomo. Pia inaitwa utatuzi wa utambulisho au uhusiano wa kufunga. Fomula hii ni muhimu sana kwa hesabu zote za mekanika ya kwanta. Tahadhari, si sahihi katika nafasi zisizotenganishika²

Tanbihi 2: Kwa kweli, fomula ya mtengano

x = \sum_{i \in I} \langle e_i, x \rangle e_i

inaendelea kutumika katika kila nafasi ya Hilbert, lakini katika hali isiyotenganishika jumla inahusu tu seti ndogo inayohesabika ya fahirisi

I(x) \subset I

inayotegemea

x

. Kwa hiyo hatuwezi kupata uandishi wa utambulisho usiotegemea vekta inayotendewa, jambo linalobatilisha fomula (5) katika hali hii.

6. Opereta adjointi

Turudi kwenye isomofizimu ya Riesz na tuchukulie opereta ya mstari inayoendelea³ $\hat{A}$ kutoka $\mathcal{H}$ kwenda $\mathcal{G}$ , ambapo $\H$ na $\G$ ni Hilbert mbili, na huenda $\H = \G$ .

Tanbihi 3: Hapa tutajikita katika opereta zinazoendelea ili kurahisisha. Tutarejea baadaye ujenzi wa adjointi katika hali isiyoendelea; tazama sehemu 1.6 (Mada 4, Somo 3, haipatikani katika lugha hii)

Wakati $\hat{A}$ inatenda juu ya ket $\ket{u} \in \mathcal{H}$ , tunapata ket mpya $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$ . Ni kawaida kujiuliza ni bra ipi inayohusishwa kupitia isomofizimu ya Riesz na vekta $\ket{v}$ , yaani fomu ya mstari juu ya $\G$ ina thamani gani: $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ . Hili litatuongoza kwa kawaida kuzingatia opereta mpya, inayoitwa adjointi ya $\hat{A}$ , na kuandikwa tena $\hat{A}^\dagger$ . Opereta hii ina jukumu muhimu katika mekanika ya kwanta.

Ili kupata $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ , tuchague ket yoyote $\ket{w} \in \mathcal{G}$ na tuzingatie fomu ya mstari juu ya $\H$ :

\begin{aligned} \varphi : \begin{array}{rcl} \mathcal{H} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\[4pt] \ket{u} & \longmapsto & \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} \end{array} \end{aligned}

(Hapo juu, fahirisi $\G$ inaonyesha nafasi ambayo zao la ndani linapaswa kuchukuliwa.) Tutakubali hapa kwamba $\varphi$ ni fomu ya mstari inayoendelea juu ya $\mathcal{H}$ wakati $\hat{A}$ ni opereta inayoendelea. Kwa nadharia ya Riesz ikitumika kwa $\mathcal{H}$ , basi kuna vekta ya pekee $\ket{z} \in \mathcal{H}$ ambayo $\varphi = \varphi_z$ , yaani:

\forall\, \ket{u} \in \mathcal{H}, \quad \varphi(u) = \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} = \varphi_z(u) = \langle u, z \rangle_{\mathcal{H}}.

Kwa hiyo ujenzi uliotangulia umehusisha vekta $\ket{w}$ ya $\G$ na vekta ya pekee $\ket{z}$ ya $\H$ . Operesheni hii inaweza kuandikwa rasmi kupitia kitendo cha opereta, iitwayo opereta adjointi, inayoandikwa $\hat{A}^\dagger$ , kwa namna $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$ . Tunaona basi kwamba opereta $\hat A$ hutenda kutoka $\H$ kwenda $\G$ , ilhali adjointi hutenda kutoka $\G$ kwenda $\H$ .

Tukikamilisha ujenzi huu kwa kila $\ket{w}$ , tunathibitisha kwa urahisi kwamba opereta iliyofafanuliwa hivyo yenyewe ni ya mstari na inaendelea. Tunapata basi matokeo ya msingi yafuatayo:

Ufafanuzi 2 (Adjointi ya opereta inayoendelea)

Adjointi ya opereta ya mstari inayoendelea

\hat{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{G}

ni opereta ya pekee ya mstari inayoendelea

\hat{A}^\dagger : \mathcal{G} \to \mathcal{H}

ambayo:

\boxed{ \forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{u}{\smash{\hat{A}}^\dagger w}_{\mathcal{H}} }

(6)

Adjointi ina matumizi mawili ya vitendo katika hesabu rasmi ya kwanta.

Fomula iliyotangulia inaonyesha kwamba, kwa namna fulani, « tukiweka nafasi za $u$ na $w$ bila kubadilika, adjointi inaruhusu kuhamisha opereta kutoka kushoto kwenda kulia ».
Tukitumia ulinganifu wa Hermite wa zao la ndani: $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$ , tunapata pia:
$\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$
(7)

inayoonyesha sasa kwamba « adjointi inaruhusu kubadilishana bra na ket, pamoja na kuchukua konjugeti changamani ».

Utambulisho huu miwili ni sawa. Bila shaka lazima kuzingatia nafasi za kuanzia na kufikia $\H$ na $\G$ , na zao la ndani linalotumiwa kati ya lile la $\H$ na lile la $\G$ . Hata hivyo, katika vitendo karibu kila wakati tutakuwa na $\H = \G$ , hivyo notasyo zitarahisika.

Sasa tuonyeshe ujenzi uliotangulia katika dimensheni yenye kikomo. Tuna matokeo makuu yafuatayo:

Pendekezo 2 (Transpozi konjugeti)

Katika dimensheni yenye kikomo, matriksi inayowakilisha adjointi

\hat{A}^\dagger

ni transpozi konjugeti ya matriksi inayowakilisha opereta

\hat{A}

\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}}

(8)

Uthibitisho.

Kwa ufafanuzi, elementi za matriksi za

\hat{A}^\dagger

ni:

(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}^\dagger \ket{e_j} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

Kwa ufafanuzi wa adjointi, tuna:

\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

na kwa ulinganifu wa Hermite tuna

\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^* = \bra{e_j}\hat{A} \ket{e_i}^* = A_{ji}^*

Tumethibitisha:

(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

Bado hatujajibu wazi swali: bra $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ inayohusishwa kikanoniki na ket $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$ ni ipi? Fomula (6) inajibu kupitia zao la ndani linalotumika kwa kila vekta $w$ , jambo linalotuwezesha kuandika:

\forall w \in \mathcal{G}, \quad \braket{\hat{A} u}{w}_{\mathcal{G}} = \bra{u} \hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}} \;\Rightarrow\; \boxed{\bra{\hat{A} u} = \bra{u} \hat{A}^\dagger}

hitimisho likipatikana kwa kutambua kwamba fomu mbili za mstari zinazolingana juu ya kila vekta $w$ lazima ziwe sawa. Hata hivyo, ni muhimu sana kuelewa kitu hiki ni nini. Kwa kweli, mkanganyiko wa kawaida ni kuamini kutokana na uandishi huu kwamba « adjointi hutenda kuelekea kushoto juu ya bra ». Hilo si kweli! Kitu $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ kwa kweli ni utungaji wa opereta, si kitendo kuelekea kushoto. Nafasi za kuanzia na kufikia ni:

\begin{aligned} \hat A^\dagger &: \mathcal G \to \mathcal H, \\ \bra{u} &: \mathcal H \to \mathbb{C}, \end{aligned}

kwa hiyo $\bra{u} \hat A^\dagger$ ni utungaji $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$ , ambao hakika ni fomu ya mstari juu ya $\mathcal{G}$ . Kwa kawaida tunaacha alama $\circ$ , jambo linaloweza kuleta mkanganyiko.

Mfano 2 (Mfano katika dimensheni yenye kikomo)

Ket ni vekta safu wima, bra ni vekta safu mlalo, na adjointi ni transpozi konjugeti. Tuchukue kwa mfano:

\begin{aligned} \hat{A} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad \hat{A}^\dagger = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix}, \quad \ket{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}

Tunahesabu:

\begin{aligned} \hat{A}\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} \quad \text{ambapo tunapata} \quad \bra{\smash{\hat{A}}u} = \begin{pmatrix} -i & 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}

Tuhakikishe kwa hesabu ya moja kwa moja:

\begin{aligned} \bra{u}\hat{A}^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i & 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}

Tunapata tena vekta ileile ya safu mlalo. Hapa $\bra{u}\hat{A}^\dagger$ ni zao la vekta safu mlalo $\times$ matriksi, ambalo matokeo yake ni vekta safu mlalo juu ya $\mathcal{G}$ . Ili kujihakikishia kwamba kitendo kuelekea kushoto hakiwezekani, tunaweza kujaribu kuhesabu $\hat{A}^\dagger\bra{u}$ , yaani kimatriksi:

\begin{aligned} \hat{A}^\dagger \bra{u} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{aligned}

ambalo ni zao la matriksi $2\times 2$ na vekta safu mlalo $1\times 2$ : operesheni isiyo na maana kimatriksi.

Mwishowe, kutoka $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$ , tunapata kwa dagger fomula muhimu:

\left(\hat{A} \ket{u}\right)^\dagger = \bra{u} \hat{A}^\dagger.

(9)

\left(\bra{u} \hat{A}^\dagger\right)^\dagger = \hat{A} \ket{u}.

(10)

Mfano 3 (Kuhesabu utungaji rasmi kwa adjointi)

Tuone swali la kawaida la mtihani wa mekanika ya kwanta ya msingi kuhusu osileta ya harmoniki. Swali linatoa familia ya ket

\ket{n}

kwa namba kamili chanya

n

, na sheria zifuatazo:

\hat a \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n-1}

\hat a^\dagger \ket{n} = \sqrt{n + 1} \ket{n+1}

. Kisha swali linaulizwa:

\bra{n} \hat a^\dagger

ina thamani gani?

Tukiamini kwamba $\hat a^\dagger$ hutenda kuelekea kushoto, tutashawishika kujibu $\bra{n} \hat a^\dagger = \sqrt{n + 1} \bra{n+1}$ . Tunaona kwamba jibu hili si sahihi, kwa sababu milinganyo hapo juu badala yake inatoa, kwa mlinganyo (9) na $\hat{A} = \hat{a}$ :