Nafasi za Hilbert na uandishi wa Dirac

1. Msingi endelevu uliopanuliwa wa $L^2(\mathbb{R})$

Tayari tumeeleza kwa kina nafasi ya modeli $L^2(\R)$ katika Sehemu 3.3 (Mada 2, Somo 1). Hasa, tumeonyesha msingi wake wa Hilbert unaohesabika. Kila hali ya kifizikia basi hutenganishwa kama mfululizo katika msingi wa funkseni za Hermite. Kwa bahati mbaya, maumbo ya wazi ya funkseni hizi ni magumu sana.

Kwa hiyo « msingi » mwingine ulibuniwa, ambao si msingi halisi kwa maana ya msingi wa Hilbert, bali kile kinachoitwa msingi endelevu uliopanuliwa. Kuhamia kwenye dimensheni isiyo na kikomo hapa ni jambo nyeti, na ujenzi wake madhubuti utahitaji zana za mada inayofuata ya nadharia ya opereta za mstari. Kwa sasa, basi, tunakubali muhtasari wa fomula unaofuata, tukikumbuka kwamba ni mwongozo wa kutumia notasyo za Dirac katika « msingi » huu, si ujenzi wa hisabati uliothibitishwa.

1.1. Msingi uliopanuliwa katika uwakilishaji wa nafasi

Hata hivyo, tujaribu kutoa mawazo kadhaa. Kwanza tunaanzisha opereta ya « nafasi » yenye adjointi yenyewe, inayoandikwa $\hat{X}$, inayotenda juu ya funkseni za nafasi ya Hilbert $L^2(\mathbb{R})$ kwa kuzidisha:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

Zingatia kikoa cha ufafanuzi. Umbo hili lina maana ikiwa tu funkseni $x\,\psi(x)$ inabaki katika $L^2(\R)$. Lakini hali hii haitokei daima: baadhi ya funkseni zinazojumlishika kwa mraba huwa zinaachana na kikomo zikizidishwa kwa $x$.¹ Kwa hiyo opereta $\hat{X}$ haiwezi kufafanuliwa juu ya $L^2(\R)$ yote, bali juu ya nafasi ndogo tu ya funkseni ambazo kitendo chake kinabaki katika $L^2$.

Ili kuwa na kikoa kilichofafanuliwa vizuri, kilicho mnene katika $L^2$ na thabiti chini ya operesheni za kawaida (udiferenshaji, kuzidisha kwa $x$, transfoma ya Fourier), tunaanzisha nafasi ya funkseni za Schwartz, inayoandikwa $\mathcal{S}(\R)$:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

Kwa maneno mengine, hizi ni funkseni laini zinazopungua kwa kasi, ambazo $f$ na derivativi zake zote huelekea sifuri haraka zaidi kuliko kila nguvu ya kinyume ya $x$.

Nafasi $\mathcal{S}(\R)$ ni:

• mnene katika $L^2(\R)$ (kila funkseni ya $L^2$ inaweza kukadiriwa kwa usahihi wowote kwa funkseni za $\mathcal{S}$),
• thabiti chini ya udiferenshaji, kuzidisha kwa $x$, na transfoma ya Fourier.

Kwa hiyo ni kikoa cha asili cha kufafanua vizuri opereta ya nafasi $\hat{X}$ na ya momentamu $\hat{P}$, na juu ya nafasi hii ndipo ujenzi madhubuti wa mfumo wa Dirac na utatu wa Gelfand unategemea.

Baada ya tahadhari hizi, tunaweza kuandika, kwa namna iliyo rasmi tu kwa sasa², hali egeni za $\hat{X}$:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

Ket hizi $\ket{x}$ huunda kile kinachoitwa msingi endelevu uliopanuliwa, kwa maana zinaruhusu kuwakilisha elementi za $L^2(\R)$ kama superposisheni endelevu, ingawa $\ket{x}$ zenyewe si vekta za Hilbert.

Kwa kweli si ket kwa maana halisi, kwa sababu haziwezi kunormalishwa. Tutaona kwa nini. Familia hii haihesabiki, kwa hiyo uothonormali wake hauwezi kuandikwa kwa alama ya Kronecker diskreti $\delta_{ij}$, bali kwa « toleo lake endelevu »   katika umbo:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

hasa:

ambapo tumeanzisha delta ya Dirac $\delta(x)$, ambayo si funkseni ya kawaida bali distribusheni katika nadharia ya distribusheni ya hisabati. Tunaifafanua kwa kitendo chake chini ya integrali:

kwa kila funkseni ya majaribio $f$ ya nafasi ya Schwartz. Ni lazima kuelewa kwamba $\delta(x)$ peke yake haina maana, hata si namba. Kwa kweli, $\delta$ ni fomu ya mstari $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ inayotenda juu ya funkseni za majaribio³. Basi imefafanuliwa tu kwa kitendo chake chini ya integrali (2), si kwa thamani zake $\delta(x)$.

Lakini tukisisitiza kuiona kama funkseni, tunaweza kuiona kama kikomo cha mfuatano wa funkseni zinazozidi kujikusanya karibu na sifuri, kwa mfano kikomo cha funkseni za Gauss zinazozidi kuwa na kilele chembamba:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

au kama mistatili yenye kitovu sifuri, upana unaoelekea sifuri na urefu unaoelekea ukomo usio na mwisho. Katika hali zote, kwa mtazamo huu, delta huonekana katika kikomo kama « funkseni » iliyo sifuri kila mahali isipokuwa $x = 0$, ambako haina kikomo, huku ikihifadhi eneo lote chini ya mkunjo sawa na 1.

Ndiyo maana katika fizikia bado tutaandika $\delta(0) = \infty$, lakini lazima kuelewa upanuzi wa matumizi ya alama na maana hapa. Kwa vyovyote, kupitia mlinganyo (1), hili linaonyesha kwamba ket $\ket{x}$ haina norma iliyowekwa. Delta ya Dirac pia ina uwakilishaji wa integrali, muhimu sana, ambao labda ndio fomula muhimu zaidi ya sehemu hii:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

ambapo pia usawa lazima ueleweke kwa maana ya nadharia ya distribusheni, kwa sababu integrali hii kwa wazi haielekei kwenye kikomo na vinginevyo isingekuwa na maana.

« Elementi za matriksi » za opereta ya nafasi $\hat{X}$ ni $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$. Tunaendelea kuziita hivyo (linganisha na sehemu iliyotangulia ya dimensheni yenye kikomo), ingawa $\hat{X}$ haiwezi kuwakilishwa na matriksi ya kawaida. Tunaweza kufikiria « matriksi yenye fahirisi endelevu », iliyo ya ulalo kwa maana ya distribusheni, lakini thamani yake kwenye ulalo $x = x'$ haina maana yake halisi (kwa kuwa $x\,\delta(0)$ si namba halisi). Pengine hapa ndipo tunaona tofauti ya msingi kati ya opereta za mstari katika dimensheni yenye kikomo (= matriksi) na opereta za mstari katika dimensheni isiyo na kikomo.

Katika msingi uliopanuliwa, utatuzi wa utambulisho unaandikwa:

Unaruhusu kuona mtengano wa kila ket $\kpsi$ ya Hilbert katika msingi huu endelevu kama integrali:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

ambapo tumefafanua funkseni ya wimbi

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

Vivyo hivyo, bra konjugeti ya $\kpsi$ hupanuliwa kama:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

ambapo tumetumia ulinganifu wa Hermite wa zao la ndani: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

Tambua kwamba kijenzi katika $x$ cha vekta $\hat{X} \psi$, ambacho kwa ufafanuzi ni $\braket{x}{X\psi}$, mara nyingi zaidi kitaandikwa, hapa pia kwa sababu za umaridadi (linganisha na mlinganyo (4 (Mada 2, Somo 2))), kwa namna:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. Katika uwakilishaji wa momentamu

Katika mekanika ya kwanta ya chembe ya nukta, kwa namna inayofanana tunaanzisha opereta ya momentamu (au kiasi cha mwendo) kwa kitendo chake juu ya funkseni za wimbi $\psi(x)$ zilizo katika $L^2(\mathbb{R})$:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

Hapa pia lazima kujikita kwenye kikoa cha Schwartz ili, kwa upande mmoja, funkseni ya wimbi iweze kudiferenshiwa, na kwa upande mwingine derivativi yake iendelee kujumuishika kwa mraba.

Ni zoezi zuri sana la matumizi ya sura hii kujihakikishia kwamba $\hat{P}$ kweli ni opereta yenye adjointi yenyewe. Kwa hilo, kwanza tuanze kuchunguza opereta ya udiferenshaji yenyewe, inayoandikwa:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

Hii ni opereta ya mstari (udiferenshaji ni wa mstari: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$). Ni wazi kwamba opereta hii haiwezi kuwakilishwa na matriksi kama katika dimensheni yenye kikomo: hutenda kidiferenshali juu ya nafasi ya funkseni yenye dimensheni isiyo na kikomo. Kwa hiyo hatuwezi kuhesabu adjointi yake kwa operesheni ya transpozi konjugeti, lakini bado tunaweza kuihesabu kwa kutumia ufafanuzi wa adjointi, unaotimiza, kwa funkseni mbili za majaribio za $\mathcal{S}(\R)$, $\phi$ na $\psi$:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

tazama ufafanuzi 2 (Mada 2, Somo 2). Lakini upande wa kushoto, tukiingiza utatuzi wa utambulisho, ni:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

hivyo kuonyesha kwamba adjointi ya opereta $\hat{D} = d/dx$ ni $-\hat{D} = -d/dx$. Katika hesabu hapo juu, kwanza tumeingiza utatuzi wa utambulisho kati ya bra na ket kwenye mstari wa kwanza; tumeusambaza kwenye wa pili, na kutumia ulinganifu wa Hermite kwenye wa tatu. Katika mstari wa nne tumetumia ufafanuzi wa $\hat{D}$ na wa funkseni za wimbi, na katika wa tano tumefanya uintegrishaji kwa sehemu juu ya $\R$: termini za mpaka katika ukomo usio na mwisho hutoweka kwa sababu funkseni za Schwartz hupungua haraka zaidi kuliko kila monomia. Mwishowe, katika mistari ya mwisho, tumerudi kutoka funkseni za wimbi kwenye mazao ya ndani, kisha kutoa kipengele cha pamoja cha utatuzi wa utambulisho na kukiondoa. Kwa hiyo opereta ya momentamu kweli ina adjointi yenyewe, kwa sababu

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

Kuwa na adjointi yenyewe kwa $\hat{P}$ kunahakikisha kwamba thamani zake egeni (momentamu zinazowezekana) ni halisi, na kwamba funkseni zake egeni huunda msingi kamili wa nafasi ya hali kwa maana iliyopanuliwa (kupitia distribusheni za Dirac).

Hali egeni za momentamu. — Kwa namna ileile kabisa, basi tunafafanua « ket » zilizopanuliwa $\ket{p}$ kama hali egeni za $\hat{P}$:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

Katika uwakilishaji wa nafasi, funkseni ya wimbi inayohusishwa inapatikana kwa kufanya makadirio juu ya $\bra{x}$:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

Huu ni mlinganyo rahisi wa diferenshali wenye suluhisho:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

Umbo hili linaonyesha kwamba mabadiliko yanayounganisha uwakilishaji wa nafasi na wa momentamu ni hasa transfoma ya Fourier.

Uothogonali na ukamilifu. — Ket $\ket{p}$ hutimiza mahusiano yanayofanana na yale ya $\ket{x}$:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

Tunafafanua funkseni ya wimbi katika uwakilishaji wa momentamu kama:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

Kwa hiyo mabadiliko $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ ni transfoma ya Fourier, na mabadiliko ya kinyume yanaandikwa:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

Ubadilishanaji wa msingi. — Mwishowe, opereta $\hat{X}$ na $\hat{P}$ hutimiza uhusiano kanoniki wa ubadilishanaji:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

Uhusiano huu ndio msingi wa mekanika yote ya kwanta ya chembe ya nukta. Kwa kweli, fomula zote za sehemu hii zinatokana tu na uhusiano huu kanoniki: inathibitishwa kwamba uwakilishaji pekee wa Hilbert unaowezekana wa aljebra hii kati ya X na P ni ule ambao tumetoka kuandika. Hasa, inaonyeshwa kwamba $X$ hutenda kwa kuzidisha juu ya funkseni za wimbi katika x, na P kwa udiferenshaji, na kinyume chake. Matokeo haya makubwa yataelezwa baadaye kwa kina: ni nadharia ya Stone–von Neumann.

1.3. Sifa za delta ya Dirac

Tunamalizia sehemu hii na sura hii kwa fomula muhimu za delta ya Dirac, ambazo lazima zieleweke daima kwa maana ya distribusheni, yaani wakati delta iko chini ya alama ya integrali:

Ulinganifu:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

Uhomojenia:

kwa kila namba halisi $a \neq 0$,

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

Mabadiliko ya kigeu:

ikiwa $f$ ni funkseni ya kawaida yenye mizizi rahisi $\{x_i\}$ ambayo $f(x_i) = 0$, basi

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Derivativi ya delta:

derivativi kwa maana ya distribusheni hufafanuliwa kwa

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. Marejeo